10.1.2 第1课时 两角和与差的正弦-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（苏教版）

10.1.2　两角和与差的正弦 第1课时　两角和与差的正弦[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.能由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式，了解它们的内在联系. 2.掌握两角和与差的正弦公式，并能灵活运用这些公式进行简单的恒等变换. 两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正弦公式 S(α+β) sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β α，β∈R 两角差的正弦公式 S(α-β) sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β α，β∈R |微|点|助|解| 1.两角和与差的正弦公式的结构特征 (1)公式中的角α，β都是任意角. (2)一般情况下，两角和与差的正弦不能按分配律展开，即sin (α±β)≠sin α±sin β. (3)注意公式的逆向运用和变形运用. ①公式的逆用:如sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=sin[(α+β)-β]=sin α. ②公式的变形运用:变形运用涉及两个方面， 一个是公式本身的变形运用，如sin(α-β)+cos αsin β=sin αcos β;一个是角的变形运用，也称为角的拆分变换，如α=(α+β)-β，2α=(α+β)+(α-β)等，这些在某种意义上来说是一种整体思想的体现. 2.利用公式统一角的方法 f(x)=asin x+bcos x=sin(x+φ)(a，b不同时为0)，其中cos φ=，sin φ= . 基础落实训练 1.sin 105°的值为 (　　) A.　 B.　 C.　 D. 答案:D 2.化简sin 21°cos 81°-cos 21°sin 81°等于 (　　) A.- B.- C. D. 答案:A 3.若sin=，则sin α+cos α=　　　　.  解析:因为sin=sincos α+cossin α=， 即cos α+sin α=，所以sin α+cos α=. 答案: 题型(一)　给角求值 [例1]　(1)cos-sin= (　　) A. B. C. D. (2)sin 52°cos 22°-sin 38°sin 158°= (　　) A.- B. C. D.- (3)cos(70°+α)sin(170°-α)-sin(70°+α)cos(10°+α)= (　　) A.- B.- C. D. 解析:(1)cos-sin=cos-sin=coscos+sinsin-sincos+cossin=×+×-×+×=. (2)sin 52°cos 22°-sin 38°sin 158° =sin 52°cos 22°-cos 52°sin 22° =sin(52°-22°)=sin 30°=. (3)原式=cos(70°+α)sin[180°-(10°+α)]-sin(70°+α)cos(10°+α)=cos(70°+α)sin(10°+α)-sin(70°+α)cos(10°+α)=sin[(10°+α)-(70°+α)]=sin(-60°)=-sin 60°=-. 答案:(1)D　(2)B　(3)B |思|维|建|模| 掌握两个解题技巧 (1)利用诱导公式把不同的角转化为相同的角. (2)注意公式的逆用或变形用. [针对训练] 1.sin 2 023°cos 17°+cos 2 023°cos 73°= (　　) A. B.- C.- D. 解析:选C　sin 2 023°cos 17°+cos 2 023°cos 73°=sin 2 023°cos 17°+cos 2 023°sin 17°=sin(2 023°+17°)=sin 2 040°=sin 240°=-sin 60°=-. 2.sin 50°cos 170°-sin 40°sin 170°= (　　) A.- B. C. D.- 解析:选A　sin 50°cos 170°-sin 40°sin 170°=sin 50°cos 170°-cos 50°sin 170°=sin(50°-170°)=sin(-120°)=-sin 120°=-. 3.已知a=(2sin 35°，2cos 35°)，b=(cos 5°，-sin 5°)，则a·b= (　　) A. B.1 C.2 D.2sin 40° 解析:选B　a·b=2sin 35°cos 5°-2cos 35°sin 5°=2sin(35°-5°)=2sin 30°=1. 题型(二)　条件求值 [例2]　已知sin α=，cos β=-，且α为第一象限角，β为第二象限角，求sin(α+β)的值. 解:因为α为第一象限角，β为第二象限角，sin α=，cos β=-，所以cos α=，sin β=. 所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β =×+×=. [变式拓展] 1.若本例条件不变，求sin(α-β)的值. 解:sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β =×-×=-. 2.若本例条件“cos β=-”变为“cos(α+β)=-”，“α为第一象限角，β为第二象限角”变为“0<α<<β<π”，求sin β的值. 解:∵0<α<<β<π，∴<α+β<. ∵sin α=，cos(α+β)=-， ∴cos α=，sin(α+β)=±. ∴sin β=sin[(α+β)-α] =sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α， 当sin(α+β)=时，sin β=; 当sin(α+β)=-时，sin β=0. ∵<β<π，∴sin β=. 　　|思|维|建|模| 1.求角的三角函数值的一般思路是把“所求角”用“已知角”表示: (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式. (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. 2.常见的配角技巧:2α=(α+β)+(α-β)，α=(α+β)-β，β=-，α=+=-等. [针对训练] 4.已知α∈，cos α=，则sin= (　　) A. B. C. D. 解析:选A　∵α∈，cos α=， ∴sin α==， ∴sin=sin α×-cos α×=×-×=，故选A. 5.若α，β为锐角，且满足cos α=，cos(α+β)=，则sin β的值为 (　　) A.- B. C. D. 解析:选B　因为α，β为锐角， 且cos α=，cos(α+β)=， 所以sin α=，sin(α+β)=， 所以sin β=sin[(α+β)-α] =×-×=，故选B. 题型(三)　三角公式的应用 [例3]　已知函数f(x)=sin 2x-cos 2x.则下列判断正确的是 (　　) A.关于直线x=对称 B.关于直线x=对称 C.关于点对称 D.关于点对称 解析:选C　f(x)=sin 2x-cos 2x=sin.因为f=sin=sin=≠±1，所以A不正确; 因为f=sin=sin=≠±1， 所以B不正确; 因为f=sin=sin 0=0， 所以C正确; 因为f=sin=sin=1≠0， 所以D不正确.故选C. |思|维|建|模| 　　对形如sin α±cos α，sin α±cos α的三角函数式均可利用特殊角的关系，运用和、差角的正弦、余弦公式化简为含一个三角函数式的形式，即y=Asin(ωx+φ)的形式. [针对训练] 6.函数f=cos x-sin x的一个单调递增区间是 (　　) A. B. C. D. 解析:选D　由函数f=cos x-sin x =2cos，令-π+2kπ≤x+≤2kπ，k∈Z， 解得-+2kπ≤x≤2kπ-，k∈Z，令k=1， 可得≤x≤， 即区间是函数的一个单调递增区间. 7.(2024·全国甲卷)函数f(x)=sin x-cos x在[0，π]上的最大值是　　　　.  解析:由题意知f(x)=sin x-cos x=2sin，当x∈[0，π]时，x-∈，当x-=，即x=时，f(x)取得最大值2.故f(x)在[0，π]上的最大值为2. 答案:2 学科网（北京）股份有限公司 $