15.2 随机事件的概率 第1课时 古典概型 学案-2024-2025学年高一下学期数学苏教版必修第二册

该高中数学导学案聚焦古典概型，围绕其定义（有限个样本点、等可能）及概率公式展开，通过诊断分析判断题激活概率基本性质前备知识，搭建从概率性质到古典概型的认知支架。 探究点设计层层递进，从判定到复杂事件概率计算，结合抛骰子、摸球等情境培养数学建模，诊断分析与素养小结明确易错点提升数学抽象，列表法等方法落实数学运算，支持自主学习，符合核心素养要求。

15.2　随机事件的概率 第1课时　古典概型 【学习目标】 　　1.会计算古典概型中的简单随机事件的概率. 　　2.在解决问题的过程中,提升数学抽象、数学建模、数学运算素养. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ◆ 知识点一　概率的基本性质 1.将事件记为A,用P(A)表示事件A发生的概率,则P(A)满足0≤P(A)≤1. 2.对于必然事件Ω和不可能事件⌀,显然P(Ω)=1,P(⌀)=0. ◆ 知识点二　古典概型 1.等可能基本事件:在一次试验中,每个基本事件{ωk}(k=1,2,…,n)发生的可能性都相同,则称这些基本事件为等可能基本事件. 2.古典概型 如果一个随机试验满足: (1)样本空间Ω只含有　　　　样本点;  (2)每个基本事件的发生都是　　　　的.  那么我们称这个随机试验的概率模型为古典概型. 3.古典概型的概率公式 在古典概型中,如果样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}(其中,n为样本点的个数),那么每一个基本事件{ωk}(k=1,2,…,n)发生的概率都是.如果事件A由其中m个等可能基本事件组合而成,即A中包含m个样本点,那么事件A发生的概率为P(A)==,其中n(A)表示事件A包含的样本点个数. 【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)抛两枚质地均匀的硬币(标记为Ⅰ号和Ⅱ号),出现的样本点有“两正面”“两反面”“一个正面、一个反面”共3个. (　 ) (2)古典概型的概率公式P(A)=中,m为事件A包含的样本点个数,n为样本空间Ω包含的样本点个数. (　 ) ◆ 探究点一　古典概型的判定 例1 袋中有大小相同的3个白球,2个红球,2个黄球,每个球有一个区别于其他球的编号,从中随机摸出1个球. (1)把每个球的编号看作一个样本点建立的概率模型是不是古典概型? (2)把球的颜色作为划分样本点的依据,有多少个样本点?以这些样本点建立的概率模型是不是古典概型? 变式 下列概率模型,其中属于古典概型的是 (　 ) A.在平面直角坐标系内,从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点 B.某射手射击一次,可能命中0环,1环,2环,…,10环 C.某小组有男生5人,女生3人,从中任选1人做演讲 D.一只使用中的灯泡寿命长短 [素养小结] 判断试验是不是古典概型,关键看是否符合两大特征:有限性和等可能性. ◆ 探究点二　古典概型的概率 例2 将一枚骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,事件A为“两数之和为8”,事件B为“两数之和是3的倍数”,事件C为“两个数均为偶数”. (1)写出该试验的样本空间Ω,并求事件A发生的概率; (2)求事件B发生的概率; (3)求事件A与事件C至少有一个发生的概率. 变式 袋子中有5个大小质地完全相同的球,其中红球3个,白球2个. (1)从中有放回地依次随机摸出2个球,求第一次摸到白球的概率; (2)从中无放回地依次随机摸出2个球,求第二次摸到白球的概率; (3)若同时随机摸出2个球,求至少摸到一个白球的概率. [素养小结] 1.求古典概型的基本方法: 首先,判断每个样本点发生的可能性是否相等,并用字母A表示所求事件;其次,求出样本空间Ω包含的样本点的个数n及事件A包含的样本点的个数m;最后,利用公式P(A)==,求出事件A发生的概率. 2.求概率时,若样本点可以表示成有序数对的形式,可以用平面直角坐标系中的点表示,也可以采用数形结合法用图表表示,使解决问题变得更为直观. ◆ 探究点三　 求复杂事件的古典概型 例3 [2024·江苏南通期末] 某班学生日睡眠时间(单位:h)的频率分布表如下: 分组 [7,7.5) [7.5,8) [8,8.5) [8.5,9] 频数 4 x 20 y 频率 a b 0.4 0.12 (1)计算该班学生的平均日睡眠时间(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表); (2)用分层抽样的方法,从该班日睡眠时间在[7,7.5)和[8.5,9]内的学生中抽取5人,再从抽取的5人中随机抽取2人,求2人中至少有1人的日睡眠时间在[7,7.5)内的概率. 变式 [2024·嘉兴期末] 数学多选题评分标准如下:若某试题有两个正确选项,选对一个得3分,选对两个得6分,有错选得0分;若该试题有三个正确选项,选对一个得2分,选对两个得4分,三个都选对得6分,有错选得0分.小明同学正在做一道数学多选题(多选题每题至少选一项且不能全选,假设每个选项被选到的概率是等可能的),请帮助小明求解以下问题: (1)若该多选题有两个正确选项,在完全盲猜(可以选一个选项、可以选两个选项、也可以选三个选项)的情况下,求小明得6分的概率; (2)若该多选题有三个正确选项,小明已经判定A正确(正确答案中有A选项,且A必选)的情况下,求小明的得分大于或等于4的概率. [素养小结] 解题时要注意是“有放回抽取”还是“不放回抽取”,若是“有放回抽取”,则在每次抽取之前,对象种类及数量都不发生变化,因此某元素被抽到的概率也不变;若是“不放回抽取”(假设每次抽取的结果都可知),则在每次抽取之前,对象种类及数量都在发生变化,因此某元素被抽到的概率也在不断变化. 15.2　随机事件的概率 第1课时　古典概型 【课前预习】 知识点二 2.(1)有限个　(2)等可能 诊断分析 1.(1)×　(2)√ 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)是古典概型,因为样本点个数有限,而且每个样本点发生的可能性相等,所以是古典概型. (2)把球的颜色作为划分样本点的依据,可得到“取得1个白球”“取得1个红球”“取得1个黄球”3个样本点.样本点个数有限,但“取得1个白球”的可能性与“取得1个红球”或“取得1个黄球”的可能性不相等,即不满足等可能性,故不是古典概型. 变式　C　[解析] 对于A,在平面直角坐标系内,从横坐标和纵坐标都是整数的所有点有无限多个,不满足有限性,故A不属于古典概型;对于B,某射手射击一次,命中0环,1环,2环,…,10环的概率不一定相同,不满足等可能性,故B不属于古典概型;对于C,某小组有男生5人,女生3人,从中任选1人做演讲,满足有限性,且任选一人与性别无关,是等可能的,故C属于古典概型;对于D,一只使用中的灯泡寿命长短不满足等可能性,故D不属于古典概型.故选C. 探究点二 例2　解:(1)将一枚骰子先后抛掷2次,观察向上的点数, 该试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3), (3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共包含36个样本点. 事件A包含的样本点有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共5个, 所以事件A发生的概率P(A)=. (2)事件B包含的样本点有(1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(3,3),(3,6),(4,2),(4,5),(5,1),(5,4),(6,3),(6,6),共12个, 所以事件B发生的概率P(B)==. (3)事件A与事件C至少有一个发生包含的样本点有(2,2),(2,4),(2,6),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,3),(6,2),(6,4),(6,6),共11个, 所以事件A与事件C至少有一个发生的概率P(A∪C)=. 变式　解:记3个红球分别为1,2,3,2个白球分别为4,5. (1)在有放回情况下,第一次摸球时有5种等可能的结果,对应第一次摸球的每种可能结果,第二次摸球时都有5种等可能的结果,将两次摸球的结果配对,组成25种等可能的结果,如表1所示. 表1 第一次 第二次 1 2 3 4 5 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) 由表可知,第一次摸到白球的可能结果有10种, 记事件A为 “第一次摸到白球”,则P(A)==. (2)在无放回情况下,第一次摸球时有5种等可能的结果,对应第一次摸球的每种可能结果,第二次摸球时都有4种等可能的结果,将两次摸球的结果配对,组成20种等可能的结果,如表2所示. 表2 第一次 第二次 1 2 3 4 5 1 × (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) 2 (2,1) × (2,3) (2,4) (2,5) 3 (3,1) (3,2) × (3,4) (3,5) 4 (4,1) (4,2) (4,3) × (4,5) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) × 由表可知,第二次摸到白球的可能结果有8种. 记事件B为 “第二次摸到白球”,则P(B)==. (3)“同时摸出2个球”的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},共包含10个样本点, 其中至少摸到一个白球包含的样本点有(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共7个. 记事件C为 “至少摸到一个白球”,则P(C)=. 探究点三 例3　解:(1)该班共有学生20÷0.4=50(人), 所以y=50×0.12=6,x=50-(4+20+6)=20, 所以该班学生的平均日睡眠时间为×(7.25×4+7.75×20+8.25×20+8.75×6)=×(29+155+165+52.5)=8.03(h). (2)由(1)知,该班日睡眠时间在[7,7.5)和[8.5,9]内的频率比为2∶3, 用分层抽样的方法,应分别从日睡眠时间在[7,7.5)和[8.5,9]内的两组学生中抽取2人,3人. 记抽取的日睡眠时间在[7,7.5)内的2人分别为a,b,抽取的日睡眠时间在[8.5,9]内的3人分别为c,d,e, 设“2人中至少有1人的日睡眠时间在[7,7.5)内”为事件A, 由题知,从抽取的5人中随机抽取2人,样本空间Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)},共包含10个样本点, A={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e)},共包含7个样本点, 所以事件A发生的概率P(A)=. 故抽取的2人中至少有1人的日睡眠时间在[7,7.5)内的概率为. 变式　解:(1)该试验的样本空间Ω1={A,B,C,D,AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,BCD},共包含14个样本点,记事件M为小明得6分, 则事件M包含的样本点个数为1,所以P(M)=, 故小明得6分的概率为. (2)该试验的样本空间Ω2={A,AB,AC,AD,ABC,ABD,ACD},共包含7个样本点,不妨设正确答案为ABC,记事件N为小明的得分大于或等于4, 则N={AB,AC,ABC},共包含3个样本点, 所以P(N)=, 故小明的得分大于或等于4的概率为. 学科网（北京）股份有限公司 $