10.1.3 两角和与差的正切(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

10.1.3　两角和与差的正切 课标要求 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式（逻辑推理）. 2.能够运用两角和与差的正切公式解决有关求值、化简等问题（数学运算）. 　　如图所示，每个小正方形的边长为1，tan α＝，tan β＝，∠COD＝α－β. 【问题】　能否求出tan（α－β）和tan（α＋β）的值？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　两角和与差的正切公式 1.正切公式 名称 公式 简记符号 条件 两角和 的正切 公式 tan（α＋β）＝ 　　 　　　　 T（α＋β） α，β，α＋β≠ 　　　　　 两角差 的正切 公式 tan（α－β）＝ 　　　 　　　 T（α－β） α，β，α－β≠ 　　　　　 　　提醒：（1）公式T（α±β）的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和； （2） 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 2.正切公式的变形 tan α＋tan β＝tan（α＋β）（1－tan αtan β）； tan α－tan β＝tan（α－β）（1＋tan αtan β）； 1－tan αtan β＝； 1＋tan αtan β＝. 【想一想】 你能借助两角和与差的正、余弦公式推导出tan（α＋β）与tan（α－β）吗？ 1.下列说法正确的个数为（　　） ①存在α，β∈R，使tan（α＋β）＝tan α＋tan β成立； ②对任意的α，β∈R，tan（α＋β）＝都成立； ③tan能根据公式tan（α－β）直接展开. A.0　　 B.1　　　C.2　　 D.3 2.已知tan α＝，则tan＝　　　　. 3.已知tan α＋tan β＝2，tan（α＋β）＝4，则tan αtan β＝　　　　. 　 题型一｜给角求值 【例1】　（链接教科书第65页练习2题）求下列各式的值：（1）tan； （2）； （3）tan＋tan＋tantan. 通性通法 探究公式T（α±β）的逆用及变形应用的解题策略 　　应用两角和与差的正切公式解题时，要注意公式的逆用和常用的公式变形. （1）“1”的代换：在T（α±β）中，如果式子中出现“1”常利用1＝tan来代换，以达到化简求值的目的，如＝tan；＝tan； （2）整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan αtan β”两个整体，常考虑tan（α±β）的变形公式. 【跟踪训练】 　计算：（1）； （2）tan 10°·tan 20°＋（tan 10°＋tan 20°）. 题型二｜给值求值（角） 【例2】　（1）（链接教科书第64页例1）若tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan（α＋β）＝（　　） A.3　　 B.－3　　C.±3　 D.－1 （2）已知tan α＝，tan β＝且α，β∈，求2α＋β的值. 通性通法 1.关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和或差，再根据公式求解. 2.关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小. 【跟踪训练】 　已知sin α＝，sin β＝，且α和β均为钝角. 求：（1）sin（α－β），tan（α－β）；（2）α＋β. 题型三｜两角和与差正切公式的综合应用 【例3】　（1）（链接教科书第66页例4）若A＋B＝，求证：tan Atan B＋tan A＋tan B＝1； （2）（链接教科书第66页例5）如图，在某开发区内新建两栋高楼AB，CD（AC为水平地面），P是AC的中点，在点P处测得两楼顶的张角∠BPD＝45°，AB＝AC＝50 m.试求楼CD的高度（测量仪器的高度不计）. 通性通法 证明三角恒等式的常用方法 （1）从复杂的一边入手，逐步化简，证得与另一边相等.在证明的过程中，应时刻“盯”住目标，分析其特征，向着目标“奔”去； （2）从两边入手，证得等式两边都等于同一个式子； （3）作差法，证明左边－右边＝0. 【跟踪训练】 1.已知tan α＝2，证明：sin2α＋sin αcos α＝－－. 2.如图，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝2a，在BC上取一点P，使得AB＋BP＝PD，求tan∠APD的值. 1.tan 15°＝（　　） A.2＋　　　　　　　B.2－ C.＋1　 D.－1 2.〔多选〕若tan β＝，则α＋β的大小可能是（　　） A.－　 B. C.　 D.－π 3.若tan（α＋）＝5，则tan α＝　　　　. 4.已知A，B都是锐角，且A＋B≠，（1＋tan A）·（1＋tan B）＝2.求证：A＋B＝. 提示：完成课后作业　第十章　10.1　10.1.3 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.1.3　两角和与差的正切 【基础落实】 知识点 1.　kπ＋（k∈Z）　　kπ＋（k∈Z） 想一想 　提示：tan（α＋β）＝＝＝＝. 类似地可以推导tan（α－β），也可用－β代替tan（α＋β）中的β，tan（α－β）＝tan[α＋（－β）]＝＝. 自我诊断 1.B　①若α＝，β＝0，则等式成立，所以①正确；②只有当α，β，α＋β≠＋kπ，k∈Z时，公式才成立，所以②错误；③由于按公式展开后出现tan 无意义，故不能按公式tan（α－β）直接展开，所以③错误，故选B. 2.7　解析：∵tan α＝，∴tan＝＝＝7. 3.　解析：∵tan（α＋β）＝，∴4＝，即1－tan αtan β＝，∴tan αtan β＝. 【典例研析】 【例1】　解：（1）tan＝tan（π－） ＝－tan＝－tan（－） ＝－＝－（2－）＝－2. （2）法一　因为tan 75°＝tan（45°＋30°）＝＝＝2＋. 所以＝＝－. 法二　＝＝tan（45°＋75°）＝tan 120°＝－. （3）tan＋tan＋ tan tan ＝tan＋tantan ＝（1－tantan）＋tantan＝. 跟踪训练 　解：（1）原式＝＝＝＝－1. （2）原式＝tan 10°·tan 20°＋[tan （10°＋20°）·（1－tan 10°tan 20°）]＝tan 10°tan 20°＋1－tan 10°tan 20°＝1. 【例2】　（1）B　由题意知tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2，∴tan（α＋β）＝＝＝－3.故选B. （2）解：∵tan α＝，tan β＝且α，β∈， ∴tan（α＋β）＝ ＝＝＞0， ∴α＋β∈，2α＋β∈（0，π）， ∴tan（2α＋β）＝tan[（α＋β）＋α]＝＝＝1，∴2α＋β＝. 跟踪训练 　解：∵α和β均为钝角，∴cos α＝－＝－，cos β＝－＝－. tan α＝＝－，tan β＝＝－. （1）sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β＝×（－）－（－）×＝－. tan（α－β）＝ ＝＝－. （2）法一　cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝－×（－）－×＝. 由α和β均为钝角，得π＜α＋β＜2π，∴α＋β＝. 法二　tan（α＋β）＝＝＝－1，由α和β均为钝角，得π＜α＋β＜2π，∴α＋β＝. 【例3】　解：（1）证明：左边＝tan Atan B＋tan（A＋B）（1－tan Atan B）＝tan Atan B＋tan·（1－tan Atan B）＝tan Atan B＋1－tan Atan B＝1＝右边. 故当A＋B＝时，tan Atan B＋tan A＋tan B＝1. （2）如图，设∠APB＝α，∠CPD＝β， 则α＋β＋45°＝180°，β＝135°－α. 依题意，得tan α＝＝＝2， ∴tan β＝tan（135°－α） ＝＝＝3， ∴在Rt△DCP中，CD＝PCtan β＝25×3＝75， 即楼CD的高度为75 m. 跟踪训练 1.证明：因为tan α＝2， 所以左边＝ ＝＝＝. 右边＝－－ ＝－－ ＝－－tan（＋） ＝－－tan＝， 所以左边＝右边， 所以原等式成立. 2.解：由AB＋BP＝PD， 得a＋BP＝， 解得BP＝a，PC＝a， 设∠APB＝α，∠DPC＝β， 则tan α＝＝，tan β＝＝， ∴tan（α＋β）＝＝－18， 又∠APD＋α＋β＝π， ∴tan∠APD＝tan[π－（α＋β）]＝－tan（α＋β）＝18. 随堂检测 1.B　tan 15°＝tan（45°－30°）＝＝＝＝＝2－.故选B. 2.BD　由题意知tan β＝，所以tan α＋tan β＝1－tan αtan β，即tan（α＋β）＝1，故α＋β＝＋kπ， k∈Z.当k＝0时，α＋β＝；当k＝－1时，α＋β＝－π.故选B、D. 3.　解析：tan（α＋）＝＝，故＝5，解得tan α＝. 4.证明：∵（1＋tan A）（1＋tan B）＝1＋tan A＋tan B＋tan Atan B＝2，∴1－tan Atan B＝tan A＋tan B， 又∵A＋B≠，∴1－tan Atan B≠0， ∴＝1，∴tan（A＋B）＝1， 又∵A，B是锐角，∴A＋B＝. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $