10.1.1 两角和与差的余弦-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（苏教版）

　三角恒等变换 10.1　两角和与差的三角函数 10.1.1　两角和与差的余弦[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.经历推导两角差的余弦公式的过程，知道两角差的余弦公式的意义. 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式，了解它们的内在联系. 3.掌握两角和与差的余弦公式的正用、逆用、变形用，并能进行求值、计算. 两角和与差的余弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差的余弦公式 C(α-β) cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β α，β∈R 两角和的余弦公式 C(α+β) cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β α，β∈R |微|点|助|解| 　　两角和与差的余弦公式的结构特征 (1)公式中的α，β都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合. 如cos中的分别相当于公式中的角α，β. (2)cos(α-β)=cos α-cos β一般不成立，但在特殊情况下也可能成立. 例如:当α=0°，β=60°时，cos(0°-60°)=cos 0°-cos 60°. (3)要掌握公式的逆用，如cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=cos[(α+β)-β]=cos α. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)存在角α，β，使cos(α-β)=cos α+cos β. (　　) (2)对于任意角α，β，总有cos(α-β)=cos α-cos β. (　　) (3)对于任意角α，β，总有cos(α-β)=cos αcos β-sin αsin β. (　　) (4)存在角α，β，使cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β. (　　) 答案:(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2.cos 72°cos 12°+sin 72°sin 12°= (　　) A.- B. C.- D. 解析:选B　cos 72°cos 12°+sin 72°sin 12°=cos(72°-12°)=cos 60°=. 3.不满足sin αsin β=-cos αcos β的一组α，β值的是 (　　) A.α=，β= B.α=，β= C.α=，β= D.α=，β= 解析:选C　因为sin αsin β=-cos αcos β，所以cos(α-β)=.对于A，cos(α-β)=cos =，符合题意;对于B，cos(α-β)=cos =，符合题意;对于C，cos(α-β)=cos =cos=×-×=，不符合题意;对于D，cos(α-β)=cos(-)=，符合题意. 4.化简cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=　　　　.  解析:cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=cos [(α+β)-α]=cos β. 答案:cos β 题型(一)　给角求值 [例1]　求下列各式的值: (1)cos 63°sin 57°+sin 117°sin 33°; (2)sin 245°sin 125°+sin 155°sin 35°; (3)cos 15°+sin 15°. 解:(1)原式=cos 63°cos 33°+sin 63°sin 33°=cos(63°-33°)=cos 30°=. (2)原式=sin(270°-25°)sin(90°+35°)+sin(180°-25°)sin 35°=-cos 25°cos 35°+sin 25°sin 35° =-cos(25°+35°)=-cos 60°=-. (3)原式=cos 60°cos 15°+sin 60°sin 15°=cos(60°-15°)=cos 45°=. |思|维|建|模| 解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形. (2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分. [针对训练] 1.若a=(cos 100°，sin 100°)，b=(cos 10°，sin 10°)，则a·b= (　　) A.cos 110°　　　　　　　　 B.sin 110° C.1 D.0 解析:选D　a·b=cos 100°cos 10°+sin 100°sin 10°=cos(100°-10°)=cos 90°=0. 2.(1)cos 105°=　　　　;  (2)coscos+cossin=　　　　.  解析:(1)原式=cos(60°+45°)=cos 60°cos 45°-sin 60°sin 45°=×-×=. (2)原式=coscos+sinsin =cos=cos=. 答案:(1)　(2) 题型(二)　给值(式)求值 [例2]　已知α，β为锐角，且cos α=，cos(α+β)=-，求cos β的值. 解:∵0<α<，0<β<，∴0<α+β<π. 由cos(α+β)=-， 得sin(α+β)= ==. 又∵cos α=，∴sin α=. ∴cos β=cos[(α+β)-α] =cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α =×+×=. |思|维|建|模| 给值求值的解题策略 (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角. (2)由于和、差角与单角是相对的，因此在解题过程中要根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换:①α=(α-β)+β;②α=+;③2α=(α+β)+(α-β);④2β=(α+β)-(α-β). 　　[针对训练] 3.(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m，tan αtan β=2，则cos(α-β)= (　　) A.-3m B.- C. D.3m 解析:选A　法一　因为cos(α+β)=m，所以cos αcos β-sin αsin β=m，而tan αtan β=2，所以sin αsin β=2cos αcos β，故cos αcos β-2cos αcos β=m，即cos αcos β=-m，从而sin αsin β=-2m， 故cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-3m，故选A. 法二　设cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=t， 因为cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=m， 所以==-3=，故t=-3m. 4.已知cos(2α-β)=-，sin(α-2β)=，且<α<，0<β<，求cos(α+β)的值. 解:因为<α<，0<β<， 所以<2α-β<π，-<α-2β<. 因为cos(2α-β)=-， 所以sin(2α-β)=. 因为sin(α-2β)=，所以cos(α-2β)=. 所以cos(α+β)=cos[(2α-β)-(α-2β)] =cos(2α-β)cos(α-2β)+sin(2α-β)sin(α-2β)=-×+×=0. 题型(三)　给值求角 [例3]　已知cos α=，cos(α-β)=，且0<β<α<，求β的值. 解:由cos α=，0<α<， 得sin α===. 由0<β<α<，得0<α-β<. 又∵cos(α-β)=， ∴sin(α-β)===. 由β=α-(α-β)， 得cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+ sin αsin(α-β)=×+×=. ∵0<β<，∴β=. [变式拓展] 将本例中条件“cos(α-β)=，且0<β<α<”换为“cos(α+β)=-，且α，β∈”，求β的值. 解:∵α，β∈且cos α=，cos(α+β)=-，∴α+β∈，sin α==. ∴sin(α+β)==. 又∵β=(α+β)-α， ∴cos β=cos[(α+β)-α] =cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α =×+×=. 又∵β∈，∴β=. |思|维|建|模| 已知三角函数值求角的解题步骤 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围. (2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数. (3)结合三角函数值及角的范围求角. [针对训练] 5.已知0<α<β<，cos 2α+cos 2β+1=2cos(α-β)+cos(α+β)，则 (　　) A.α+β= B.α+β= C.β-α= D.β-α= 解析:选D　由2α=(α+β)+(α-β)，2β=(α+β)-(α-β)，则cos[(α+β)+(α-β)]+cos[(α+β)-(α-β)]+1=2cos(α-β)+cos(α+β)，2cos(α+β)cos(α-β)-2cos(α-β)-cos(α+β)+1=0，[cos(α+β)-1][2cos(α-β)-1]=0，即cos(α+β)=1或cos(α-β)=.又0<α<β<，所以0<α+β<π，-<α-β<0，所以cos(α+β)≠1，cos(α-β)=，则α-β=-，所以β-α=.显然α+β>，故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $