10.1.2 第2课时 两角和与差的正、余弦公式的应用(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

第2课时　两角和与差的正、余弦公式的应用 　 题型一｜证明恒等式 【例1】　（链接教科书第60页例4）证明：＝tan（α＋β）. 通性通法 解决有关的证明问题的策略 　　对于三角函数中的证明问题，首先需要看等号两边式子的结构特征（等式两边的角和三角函数名称之间的关系），确定证明的方向，遵循从繁到简原则，然后利用公式证明. 【跟踪训练】 　已知3sin β＝sin（2α＋β），求证tan（α＋β）＝2tan α. 题型二｜灵活拆角求值 【例2】　（链接教科书第60页例5）求的值. 通性通法 拆角求值问题的思路 （1）在利用两角和与差的余弦、正弦公式时，不能机械地去套公式，而要变通地从本质上使用公式.要注意观察式中出现的多个角之间是否存在一定的关系，在解题过程中可以利用角之间的关系进行拆角来减少角的个数； （2）要把非特殊角拆分成某两个角（已知的两个角或者可以从已知的角简单变形就能得到的两个角）的和或差，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解. 【跟踪训练】 　求值：. 题型三｜两角和与差的正弦、余弦公式的综合应用 【例3】　（1）（链接教科书第60页例6）若cos（α＋β）＝，cos（α－β）＝－，求tan αtan β的值； （2）化简：sin（α＋β）cos α－[sin（2α＋β）－sin β]. 通性通法 化简三角函数式的方法技巧 （1）正确逆用两角和与差的正、余弦公式，是化简三角函数式的基本途径； （2）化简三角函数式要从分析角之间的关系入手，这是化简三角函数式的一个切入点. 【跟踪训练】 　已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin（α＋β）＝　　　　. 1.＝（　　） A.－1　 B.－　　C.1　 D. 2.〔多选〕已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P，将角α的终边逆时针旋转得到角β，则下列结论中正确的是（　　） A.tan α＝　 B.cos β＝－ C.sin（α－β）＝－1　 D.sin＝－ 3.已知sin α＝，sin（α－β）＝－，α，β均为锐角，则β＝　　　　. 提示：完成课后作业　第十章　10.1　10.1.2　第2课时 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　两角和与差的正、余弦公式的应用 【典例研析】 【例1】　证明： ＝ ＝＝ ＝tan（α＋β），所以原式得证. 跟踪训练 　证明：由已知得3sin[（α＋β）－α]＝sin[（α＋β）＋α]， 即3[sin（α＋β）cos α－cos（α＋β）sin α]＝sin（α＋β）cos α＋cos（α＋β）sin α， 即2sin（α＋β）cos α＝4cos（α＋β）sin α， 所以tan（α＋β）＝2tan α. 【例2】　解：原式＝ ＝ ＝ ＝＝. 跟踪训练 　解：原式＝ ＝ ＝＝sin 30°＝. 【例3】　解：（1）由已知条件得 所以 所以tan αtan β＝＝（－）÷＝－. （2）原式＝sin（α＋β）cos α－{sin[（α＋β）＋α]－sin[（α＋β）－α]} ＝sin（α＋β）cos α－·2cos（α＋β）sin α ＝sin（α＋β）cos α－cos（α＋β）sin α ＝sin[（α＋β）－α] ＝sin β. 跟踪训练 　－　解析：∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，∴sin2α＋cos2β＋2sin αcos β＝1①，cos2α＋sin2β＋2cos αsin β＝0②，①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2（sin αcos β＋cos αsin β）＝1，∴sin（α＋β）＝－. 随堂检测 1.B　因为2cos 10°＝2sin 80°＝2sin（60°＋20°）＝2（sin 60°cos 20°＋cos 60°sin 20°）＝cos 20°＋sin 20°，所以＝＝－.故选B. 2.AC　对于A，由题意，得tan α＝＝，故A正确；对于B，由题意，得β＝α＋，所以cos β＝cos＝－sin α＝－＝，故B错误；对于C，sin β＝sin＝cos α＝－，所以sin（α－β）＝－×－×＝－1，故C正确；对于D，sin＝－×＋×＝，故D错误.故选A、C. 3.　解析：∵α，β均为锐角，∴－＜α－β＜，∴cos（α－β）＝，cos α＝，∴sin β＝sin[α－（α－β）]＝sin αcos（α－β）－cos αsin（α－β）＝.又0＜β＜，∴β＝. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $