10.1.1 两角和与差的余弦 学案-2024-2025学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

第二册问题导学单·第10章——三角恒等变换 江苏省启东中学高一数学讲义 高一 班 姓名： 学号： A 第10章 三角恒等变换 10.1 两角和与差的三角函数 (第1课时 两角和与差的余弦) 【学习目标】 1．了解两角和与差的余弦公式的推导过程，理解用向量法导出公式的主要步骤； 2．理解两角和与差的余弦公式间的关系，熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用公式进行化简求值． 【温顾·习新】 两角差的余弦公式 【引1】思考　(1)回顾三角函数的诱导公式： ①cos(π－α)＝cos π－cos α能否成立？②cos＝coscos α＋sin sin α成立吗？ (2)如何推出cos(α－β)的展开式？ 【引2】两角差的余弦公式：对于任意α，β，都有cos(α－β)＝ ． 这就是两角差的余弦公式，通常简记为C(α－β)． 【引3】做一做　(1)cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°＝________． (2)cos 15°＝________． 【研讨·拓展】 两角和的余弦公式 思考　(1)由于公式C(α－β)对于任意α，β都成立，那么由cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β如何得到两角和的余弦？ (2)在两角和与差的余弦公式中，α，β的范围是什么？ 填空　两角和的余弦公式：在两角差的余弦公式中，以－β替代β就得到两角和的余弦公式，即C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝ ． 做一做　(1)cos 57°cos 3°－sin 57°sin 3°＝________． (2)cos ＝________． 给角求值 【例1】(1)cos 10°cos 20°－sin 10°sin 20°＝______． (2)cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)·sin(α＋25°)＝________． (3)＝________． 【变式1-1】求下列三角函数式的值：(1)sin； (2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°． 【变式1-2】化简：＝________． 给值求值 【例2】已知α，β为锐角，且cos α＝，cos(α＋β)＝－，求cos β的值． 【变式2-1】已知sin α＝，α∈，cos β＝－，β∈，求cos(α－β)的值． 【变式2-2】已知cos＝－，则cos x＋cos＝(　　) A．－ B．± C．－1 D．±1 给值求角 【例3】已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，求β的值． 【变式3-1】已知cos α＝，sin(α＋β)＝，且α，β∈，求β的值． 【变式3-2】已知sin(π－α)＝，cos(α－β)＝，0<β<α<，求β的大小． 【总结提炼】 一、牢记3个知识点 1．记牢2个公式：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； 2．两角差(和)的余弦公式的推导过程； 3．给角求值，给值求值，给值求角． 二、掌握1种方法——构造法 三、注意2个易错点 1．公式的正用、逆用、变形用； 2．求角时易忽视角的范围． 【拓展强化】 1．(多选)下列四个选项中正确的是(　　) A．cos(－15°)＝ B．cos 26°cos 116°＋sin 26°sin 116°＝cos(26°－116°)＝0 C．cos(α－20°)cos(40°＋α)＋sin(α－20°)·sin(40°＋α)＝cos(－60°)＝cos 60°＝ D．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝ 2．(多选)若sin x＋cos x＝cos(x＋φ)，则φ的可能值是(　　) A．－ B．－ C．π D． 3．若cos(α－β)＝，cos 2α＝，α，β均为锐角且α<β，则α＋β的值为(　　) A． B． C． D． 4．在△ABC中，sin A＝，cos B＝，则cos C等于(　　) A．或 B．－或－ C．－ D． 5．定义运算＝ad－bc，若cos α＝，＝，0<β<α<，则β＝________． 6．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则cos αcos β＝          ，sin αsin β＝         ． 7．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tan α·tan β＝         ． 8．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是         ． 9．已知cos(α－β)cos α＋sin(α－β)sin α＝m，且β为第三象限角，则sin β＝         ． 10．已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求cos(α－β)． 11．已知α，β为锐角，且＝． (1)求cos(α－β)的值； (2)若cos α＝，求cos β的值． 12．已知cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，且<α<，0<β<，求cos(α＋β)的值． ·4· ·3· 学科网（北京）股份有限公司 $$