9.3.2 第2课时 向量数量积的坐标表示-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（苏教版）

第2课时　向量数量积的坐标表示[教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会根据向量的坐标形式求数量积、模、夹角. 2.掌握向量垂直条件的坐标形式，并能灵活运用. 3.会利用数量积计算长度与角度. 1.向量数量积的坐标表示 若两个向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=x1x2+y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 2.向量的模 (1)公式：设a=(x，y)，则|a|=. (2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB=. 3.向量的夹角公式 设两个非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，它们的夹角为θ，则cos θ==. 4.两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0. 基础落实训练 1.已知a=(-3，4)，b=(5，2)，则a·b的值是 (　　) A.23 B.7 C.-23 D.-7 解析：选D　a·b=(-3，4)·(5，2)=-3×5+4×2=-7. 2.设a=(1，-2)，b=(-3，4)，c=(3，2)，则(a+2b)·c= (　　) A.12 B.0 C.-3 D.-11 解析：选C　∵a+2b=(-5，6)，∴(a+2b)·c=(-5)×3+6×2=-3. 3.已知a=(3，4)，b=(5，12)，则a与b夹角的余弦值为　　　　.  解析：因为a·b=3×5+4×12=63，|a|==5，|b|==13，所以a与b夹角的余弦值为==. 答案： 　　　　　题型(一)　平面向量数量积的坐标表示 [例1]　(1)已知向量a=(0，-2)，b=(1，t)，若向量b在向量a上的投影向量为-a，则a·b= (　　) A.-2 B.- C.2 D. (2)如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E在边CD上，且=2，则·的值是　　　　.  解析：(1)由题意，设a与b的夹角为θ，则b在a上的投影向量为|b|cos θ·==(0，t). 又-a=(0，1)，∴t=1，即b=(1，1)， ∴a·b=0×1+(-2)×1=-2. (2)以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系. ∵AB=，BC=2， ∴A(0，0)，B(，0)，C(，2)， D(0，2).∵点E在边CD上， 且=2，∴E， ∴==，∴·=-+4=. 答案：(1)A　(2) |思|维|建|模| 数量积运算的途径及注意点 (1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算律和运算性质.解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算. (2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标即可求解. 　　[针对训练] 1.设a=(1，-2)，b=(3，1)，c=(-1，1)，则(a+b)·(a-c)= (　　) A.11 B.5 C.-14 D.10 解析：选A　由题意，得a+b=(4，-1)，a-c=(2，-3)，所以(a+b)·(a-c)=4×2+(-1)×(-3)=11. 2.已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，且=2，则·=　　　　　.  解析：如图所示，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则B(2，0)，E(1，2)，C(2，2)，F，∴=(-1，2)，=，∴·=2-=. 答案： 题型(二)　平面向量模的坐标表示 [例2]　设平面向量a=(1，1)，b=(0，2).求a-2b的坐标和模的大小. 解：∵a=(1，1)，b=(0，2)，∴a-2b=(1，1)-2(0，2)=(1，-3).∴|a-2b|==. 　　[变式拓展] 1.例题中的条件不变，若c=3a-(a·b)·b，试求|c|. 解：∵a·b=1×0+1×2=2， ∴c=3(1，1)-2(0，2)=(3，-1). ∴|c|==. 2.将例题中的“b=(0，2)”改为“b=(0，-2)”，其他条件不变，若ka-b的模等于，试求k值. 解：∵ka-b=k(1，1)-(0，-2)=(k，k+2)， ∴=，化简得k2+2k-3=0，解得k=1或k=-3.即当k=1或k=-3时满足条件. |思|维|建|模| 求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算：利用|a|2=a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题. (2)坐标表示下的运算：若a=(x，y)，则a·a=a2=|a|2=x2+y2，于是有|a|=. 　　[针对训练] 3.已知梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=1，AD=2，P是CD的中点，则|+2|= (　　) A. B.2 C.4 D.5 解析：选A　以B为坐标原点，分别以BC，BA所在的直线为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0，0)，A(0，1)，C(1，0)，D(2，1).∵P是CD的中点， ∴P.∴==. ∴+2=+2=. ∴|+2|==. 4.已知向量a=(1，2)，b=(-3，4)，c=a+λb(λ∈R)，则|c|取最小值时，λ的值为　　　　.  解析：∵a=(1，2)，b=(-3，4)， ∴c=a+λb=(1-3λ，2+4λ)， ∴|c|2=c2=(1-3λ)2+(2+4λ)2=25λ2+10λ+5=25+4.当λ=-时，|c|min=2. 答案：- 题型(三)　平面向量夹角及垂直的坐标表示 [例3]　(1)若向量a=(1，2)，b=(1，-1)，则2a+b与a-b的夹角等于 (　　) A.- B. C. D. (2)(2022·新课标Ⅱ卷)已知向量a=(3，4)，b=(1，0)，c=a+tb，若<a，c>=<b，c>，则t= (　　) A.-6 B.-5 C.5 D.6 (3)(2025·全国Ⅱ卷)已知平面向量a=(x，1)，b=(x-1，2x)，若a⊥(a-b)，则|a|=　　　.  解析：(1)∵2a+b=(3，3)，a-b=(0，3)， ∴cos<2a+b，a-b>===.故2a+b与a-b的夹角为. (2)由题意，得c=a+tb=(3+t，4).∴a·c=3×(3+t)+4×4=25+3t，b·c=1×(3+t)+0×4=3+t.∵<a，c>=<b，c>，∴cos<a，c>=cos<b，c>，即=，即=3+t，解得t=5，故选C. (3)∵a-b=(1，1-2x)，a⊥(a-b)， ∴由a·(a-b)=0，得x+1-2x=0，解得x=1，故|a|=. 答案：(1)C　(2)C　(3) |思|维|建|模| 利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤 (1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积. (2)利用|a|= 计算出这两个向量的模. (3)由公式cos θ=直接求出cos θ的值. (4)在[0，π]内，由cos θ的值求角θ. [针对训练] 5.(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(1，1)，b=(1，-1)，若(a+λb)⊥(a+μb)，则 (　　) A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1 C.λμ=1 D.λμ=-1 解析：选D　因为a=(1，1)，b=(1，-1)，所以a+λb=(1+λ，1-λ)，a+μb=(1+μ，1-μ).因为(a+λb)⊥(a+μb)，所以(a+λb)·(a+μb)=0，所以(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0，整理得λμ=-1.故选D. 6.已知a=(4，3)，b=(-1，2). (1)求a与b夹角的余弦值; (2)若(a-λb)⊥(2a+b)，求实数λ的值. 解：(1)因为a·b=4×(-1)+3×2=2， |a|==5，|b|==， 设a与b的夹角为θ， 所以cos θ===. (2)因为a-λb=(4+λ，3-2λ)，2a+b=(7，8)， 又(a-λb)⊥(2a+b)， 所以7(4+λ)+8(3-2λ)=0，解得λ=. 学科网（北京）股份有限公司 $