9.3.2 第1课时 向量的坐标表示及向量线性运算的坐标表示-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（苏教版）

9.3.2　向量坐标表示与运算 第1课时　向量的坐标表示及向量线性运算的坐标表示 　　　　　　　　　　　　　　　　　[教学方式：基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.借助于平面直角坐标系，理解向量坐标的概念，会求点的坐标. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.会用坐标表示平面向量的加法和减法及数乘运算. 逐点清(一)　向量的坐标表示 [多维理解] 　　在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对有序实数(x， y)，使得a=xi+yj. 我们把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a=(x，y). 　　特殊向量的坐标：i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0). |微|点|助|解| 　　点的坐标与向量坐标的区别和联系 区 别 表示形式不同 向量a=(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号 意义不同 点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a=(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y) 联 系 当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同 [微点练明] 1.如图所示，e1，e2为单位正交基底，则向量a，b的坐标分别是 (　　) A.(3，4)，(2，-2) B.(2，3)，(-2，-3) C.(2，3)，(2，-2) D.(3，4)，(-2，-3) 解析：选C　根据平面直角坐标系，可知a=2e1+3e2，b=2e1-2e2.∴a=(2，3)，b=(2，-2). 2.已知D是△ABC所在平面内一点，=3，设=e1，=e2，则在基底e1，e2下的坐标为 (　　) A. B. C. D. 解析：选D　因为=3， 所以==(-). 所以=+=+(-) =-+=-e1+e2. 因此向量在基底e1，e2下的坐标为. 3.若i，j为正交基底，设a=(x2+x+1)i-(x2-x+1)j(其中x∈R)，则向量a对应的坐标位于 (　　) A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：选D　x2+x+1=+>0，x2-x+1=+>0，因此a对应的坐标满足x2+x+1>0，-(x2-x+1)<0.所以向量a对应的坐标位于第四象限. 4.已知O为坐标原点，点A在第二象限，||=2，∠xOA=120°，则向量的坐标为　　　　.  解析：如图，由∠xOA=120°可得∠yOA=30°.因为||=2， 所以A(-1，). 故=(-1，). 答案：(-1，) 逐点清(二)　向量线性运算的坐标表示 [多维理解] 文字叙述 符号表示 加法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a+b=(x1+x2，y1+y2) 减法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a-b=(x1-x2，y1-y2) 数乘 向量 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 若a=(x，y)，λ∈R，则λa=(λx，λy) 向量 的 坐标 一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标 若A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则=(x2-x1，y2-y1) |微|点|助|解| (1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关.当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变. (2)当且仅当向量的起点为坐标原点时，向量终点的坐标等于向量本身的坐标. (3)由向量坐标的定义知，相同的向量的坐标一定相同，但是相同的向量的起点、终点的坐标可以不同.也就是说，两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同，即若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a=b⇔ [微点练明] 1.已知平面向量a=(1，1)，b=(1，-1)，则向量a-b= (　　) A.(2，1) B.(-2，1) C.(1，2) D.(-1，2) 解析：选D　a-b=(1，1)-(1，-1)=(-1，2). 2.已知a=(5，-2)，b=(-4，-3)，若a-2b+3c=0，则c= (　　) A. B. C. D. 解析：选A　由a-2b+3c=0，可得c=-a+b=-(5，-2)+(-4，-3)=. 3.在平面直角坐标系中，已知P1(-1，1)，P2(1，3)，点P满足=-3，则点P的坐标为　　　　.  解析：设点P的坐标为(x，y)， 因为P1(-1，1)，P2(1，3)， 所以=(x+1，y-1)，=(1-x，3-y). 因为=-3， 所以解得 所以点P的坐标为(2，4). 答案：(2，4) 4.已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4)，设=a，=b，=c，且=3c，=-2b. (1)求满足a=mb+nc的实数m，n; (2)求M，N的坐标及向量的坐标. 解：(1)由题意得 a=(5，-5)，b=(-6，-3)，c=(1，8)，所以mb+nc=(-6m+n，-3m+8n). 因为a=mb+nc， 所以解得 (2)设O为坐标原点，因为=-=3c， 所以=3c+=(3，24)+(-3，-4)=(0，20). 所以点M的坐标为(0，20). 因为=-=-2b， 所以=-2b+=(12，6)+(-3，-4)=(9，2). 所以点N的坐标为(9，2). 故=(9，-18). 逐点清(三)　向量坐标运算的综合应用 [典例]　已知O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及=+t(t∈R). (1)t为何值时，P在x轴上?t为何值时，P在y轴上? (2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能，求出t的值;若不能，请说明理由. 解：(1)由题意得=(1，2)，=(3，3)， 则=+t=(1+3t，2+3t). 若P在x轴上，则2+3t=0，∴t=-; 若P在y轴上，则1+3t=0，∴t=-. (2)不能.理由如下： 由题意知=(1，2)，=-=(3-3t，3-3t).若四边形OABP为平行四边形，则=， ∵无解， ∴四边形OABP不能成为平行四边形. |思|维|建|模| (1)待定系数法是最基本的数学方法之一.先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用. (2)坐标形式下向量相等的条件：相同的向量的对应坐标相等，对应坐标相等的向量是相同的向量.由此可建立相等关系求某些参数的值. [针对训练] 已知O(0，0)，向量=(2，1)，=(3，-2). (1)如图，若四边形OACB为平行四边形，求点C的坐标; (2)若点P为线段AB靠近点B的三等分点，求点P的坐标. 解：(1)设点C的坐标为(x，y)， 由题意，得A(2，1)，B(3，-2)， 则=(x-3，y+2)，若四边形OACB为平行四边形，可得=，则解得故点C的坐标为(5，-1). (2)设点P的坐标为(a，b)，由(1)可知A(2，1)，B(3，-2)，则=(a-2，b-1)，=(1，-3).若点P为线段AB靠近点B的三等分点，则=， 即解得故点P的坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $