9.1 向量概念-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（苏教版）

　平面向量 9.1　向量概念[教学方式：基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，会用有向线段和字母表示向量. 2.理解向量的有关概念：零向量与单位向量、向量的模与夹角、两向量的关系(平行与垂直)等. 逐点清(一)　向量的概念与表示 [多维理解] 1.向量的定义与表示 定义 既有大小又有方向的量叫作向量 表示 方法 ①几何表示：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.以A为起点、B为终点的向量记为. ②字母表示：用小写字母a，b，c来表示 2.模、零向量、单位向量 长度(模) 向量的大小称为向量的长度(或称为模)，记作|| 零向量 长度为0的向量称为零向量，记作0，零向量的方向是任意的 单位向量 长度等于1个单位长度的向量，叫作单位向量 |微|点|助|解| (1)书写向量时带箭头. (2)向量强调长度和方向两个元素. (3)有向线段与向量不是同一概念，有向线段有起点、长度、方向三个要素. (4)零向量方向任意，不能认为零向量无方向. (5)向量不能比较大小，向量的模为非负实数，能比较大小. [微点练明] 1.(多选)已知向量a如图所示，下列说法正确的是 (　　) A.也可以用表示 B.方向是由M指向N C.起点是M D.终点是M 答案：ABC 2.下列命题正确的是 (　　) A.温度有零上和零下之分，所以温度是向量 B.向量的模是一个非负实数 C.有向线段由方向和长度两个要素确定 D.向量a是单位向量，向量b也是单位向量，则向量a与向量b是同一向量 解析：选B　温度虽有大小却无方向，故不是向量，A错误；易知B正确；有向线段由起点、方向、长度三要素组成，C错误；单位向量只要求长度等于1个单位长度，但方向未确定，D错误. 3.在同一平面内，把所有长度为1的向量的起点固定在同一点，那么这些向量的终点形成的图形是 (　　) A.单位圆 B.一段弧 C.线段 D.直线 解析：选A　由单位向量的定义知，这些向量终点都在单位圆上. 4.一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向行驶了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点. (1)作出向量； (2)求||. 解：(1)向量，如图所示. (2)由题意，可知AB∥CD，∵||=||， ∴在四边形ABCD中，AB∥CD且AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC，∴||=200. 　　　　　　 逐点清(二)　平行向量、相等向量及相反向量 [多维理解] 平行 向量 方向相同或相反的非零向量叫作平行向量，平行向量又称为共线向量. ①记法：向量a与向量b平行，记作a∥b. ②规定：零向量与任一向量平行 相同的 向量 所有长度相等且方向相同的向量都看作相同的向量.向量a与b是相同的向量，也称a与b相等，记作a=b 相反 向量 ①把与向量a长度相等，方向相反的向量叫作a的相反向量，记作-a，a与-a互为相反向量.对任意一个向量a，总有-(-a)=a. ②规定：零向量的相反向量仍是零向量 |微|点|助|解| (1)向量共线有三种情形：①共线且同向；②共线且反向；③有一个是零向量. (2)共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“平行”的含义不同于平面几何中“平行”的含义.要特别注意零向量与任意向量平行，忽视这一点容易出现错误. [微点练明] 1.已知向量a与b是两个不平行的向量，若a∥c且b∥c，则c等于 (　　) A.0 B.a C.b D.不存在这样的向量 解析：选A　零向量与任一向量是共线向量，故c=0满足条件.若c≠0，则a∥c且b∥c，得到a∥b，这与条件矛盾，排除.综上所述，c=0，故选A. 2.如图，在四边形ABCD中，若=，则图中相等的向量是 (　　) A.与 B.与 C.与 D.与 解析：选C　由=，可得四边形ABCD为平行四边形.与互为相反向量，A错误；与互为相反向量，B错误；与满足相等向量的定义，C正确；与方向不同不满足相等向量的定义，D错误.故选C. 3.(多选)如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，则在这6个向量中 (　　) A.向量的模相等 B.||= C.向量共线 D.||+||=10 解析：选BC　因为||==，||==2，所以||≠||，A错误.||==，B正确.因为∠CDG=∠CFH=45°，所以DG∥HF.所以向量共线，C正确.||+||=2+=5≠10，D错误. 4.如图，E，F，G依次是正三角形ABC的边AB，BC，AC的中点. (1)在以A，B，C，E，F，G为起点或终点的向量中，找出与向量共线的向量； (2)在以A，B，C为起点，E，F，G为终点的向量中，找出与向量的模相等的向量； (3)在以E，F，G为起点，A，B，C为终点的向量中，找出与向量相等的向量. 解：(1)因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，且EF=AC，所以与向量共线的向量为. (2)因为△ABC是正三角形，所以AB=AC=BC.因为E，F，G依次是正△ABC的边AB，BC，AC的中点，所以AE=EB=GF=EF=GC=AG=BF=FC=EG，所以在以A，B，C为起点，E，F，G为终点的向量中，与向量的模相等的向量为. (3)在以E，F，G为起点，A，B，C为终点的向量中，与向量相等的向量为. 逐点清(三)　向量的夹角与垂直 [多维理解] (1)定义：对于两个非零向量a和b，在平面内任取一点O，作=a，=b，∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角(如图所示). (2)范围：0°≤θ≤180°. (3)当θ=0°时，a与b同向；当θ=180°时，a与b反向； 当θ=90°时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b. |微|点|助|解| (1)两向量的夹角是对两个非零向量而言的，零向量与任一向量不存在夹角问题. (2)两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角. [微点练明] 1.在△ABC中，AB=，BC=1，AC=2，则向量与的夹角为 (　　) A. B. C. D. 解析：选D　∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC为直角三角形，且B=，∠BCA=.如图，延长AC至D，使AC=CD，则=， 所以∠BCD即为向量与的夹角，则∠BCD=π-=. 2.如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，A=60°，则下列说法正确的是 (　　) A.和的夹角为0° B.与的夹角为60° C.与的夹角为120° D.与的夹角为60° 解析：选D　根据向量夹角的定义，知和的夹角为180°，与的夹角为120°，与的夹角为60°，与的夹角为60°，故选D. 3.如图，已知以O为圆心，1为半径的圆上有8个等分点A，B，C，D，E，F，G，H，以图中标出的9个点为起点和终点作向量. (1)与的夹角是多少? (2)与垂直的向量有哪些? 解：(1)由题意，得弧DE所对的圆心角是45°，即有∠DOE=45°，所以与的夹角为45°. (2)由题易知BF是圆O的直径，OD⊥BF，CE∥BF∥AG，如图所示，所以与垂直的向量有. 学科网（北京）股份有限公司 $