9.2.3向量的数量积(1)学案-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

“三学三思”课堂范式导学案数学（高一下） s9.2.3向量的数量积(1》 班级」 学号 姓名 使用时间： ★学习目标 1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功 2.掌握向量数量积的定义及投影向量， 3.会计算平面向量的数量积 4.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式，会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明 ★课堂流程 【自学导思】预习课文P20~25内容。 【共学激思】 活动一：向量的数量积 1.向量的数量积（针对实数） (1)定义：a0和b0夹角是0 allblcos&一向量a和b的数量积， (点积，内积，点乘) 记作ab,即ab=lallblcose0. b (2)规定：零向量与任一向量的数量积为0. 2.常见性质 (1)夹角公式 两个非零向量a和b的夹角0，可以由cos0=abab求得 注意点： ①范围：0 ②方法：平移法（注意：共起点） (2)0·a=0(零向量与任一向量的数量积为0.) (3)平行：当alb时(a0和b0) ①ab=|alb,a与b同向，-albl,a与b反向.) 特别地：aa=la2或al=aa. ②b=a (4)a⊥b=ab=0.(a0和b0) (5)向不等式：问-风s±s+5共线取等) (6)a"a=|a||a|cos0=|a|2=a2(求值用平方) 例1：（链接教材P22例1）设a与b的夹角为0，la=1,b=2,分别根据下列所给的值求ab: (1)0=60°；(2)0=135°；(3)0=90°；(4)0=180° 训练1：分别根据下列条件，求· 1 “三学三思”课堂范式导学案数学（高一下） (I)如图①，在正三角形ABC中，AB=1: (2)如图②，在正方形ABCD中，AB=1; (3)如图③，在菱形ABCD中，AB=1,∠BAD=60°. ② 活动二：数量积的运算 1.平面向量数量积的运算律：对于向量a,b,c和实数2，有 (1)ab=ba(交换律) (2)(a)b=4(b=2(ab=ab(数乘结合律). (3)(a十b)c=ac十bc(分配律) 2.类比多项式的乘法公式，可得出下表中的平面向量数量积的运算性质. 多项式乘法 向量数量积 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca (a+b+e)2=a2+b2+c2+2ab+2b:c+2ca 温馨提示(1)(ab)ca(bc.(注意方向不一样) ()ac-bePa=b. (3)(ab)2+a2.b2.(ab)2+a2b2cos02) 米例2：已知1a|=2,|b|=3,且a与b的夹角为120° 求：(1)ab(2)a2-b2(3)(2a-b)·(a+3b)(4)1a+b|(5)|3a-2b1 训练2：(1)（链接教材P24例2）已知向量e1与e2是两个单位向量，且e1与e2的夹角为60°，若a=e1 +2e2,b=-e1十e2,则ab=() -2 “三学三思”课堂范式导学案数学（高一下） A.2)2 B.-2)2 C.12 D.-12 (2)已知向量a,b的夹角为3π4，lad=2,b1=1,则3a一b=() A.4 B.5 C.42 D.52 活动三：求向量的模和向量的夹角 一 般步骤： 计算a·b及1al,lb1 计算cos0=8流 借助0∈[0，π]求出6的值 例3：已知非零向量a,b满足1a=1,且(a-b)(a十b)=34 (1)求b1;(2)当ab=-14时，求向量a与a+2b的夹角0的值 变式3：※(1)己知a0和b0,且4|a|=|b1,a⊥(2a+b),a与b的夹角为」 米(2)己知a,b为非零向量，且(a+3b)1(7a-5b),(a-4b)⊥(7a-2b)则a与b的夹角为 (3)己知a,b满足1a=3,bl=2,1a+b1=4,则2a-b1=() A.19 B.37 C.34 D.10 米(4)己知|a|=2,|b|=2,且(a-b)⊥a,则1a+b|= 米(5)已知a,b为单位向量，b-0,若c满足1c-b-a|=1,则|c|的取值范围为 活动四：投影向量 1.定义：设a,b是两个非零向量，如图(1)2)，表示向量a,表示向量b,过点A作所在直线 的垂线，垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为 向量a在向量b上的投影向量 A.6 (1) (2) a.6 b b 2两种表示： 例4：已知lal=5,bl=4,a与b的夹角0=120°.求： (1)ab;(2)a在b上的投影向量；(3)b在a上的投影向量 3 “三学三思”课堂范式导学案数学（高一下） 变式4：(1)已知向量a与b的夹角为30°，且ld=3,b1=1,设m=a十b,n=a-b,则向量m在n 上的投影向量为() A.2n B.n C.3n D.3)3n (2)已知向量a,b满足1a=2,b=3,ab=-3,则b在a上的投影向量为( A.-34a B.-32a C.-13a D.-23a (3)己知@=2，b是非零向量，e是与向量b方向相同的单位向量，向量a在向量b上的投影向量 为-e,则a与b的夹角为() A.45° B.60° C.120° D.135 活动五：各小组讨论本节课知识结构，画出思维导图并展示。 【检学反思】 一、当堂检测 1如图，在平行四边形ABCD中，已知=12，一=12，=2，广=23，则一=(） P)P)2 P)a Py P:Pu P. P P PP. P D E A P P. 一B 第1题图 第2题图 第3题图 A.-9 B.-6 C.6 D.9 2.如图，在△4BC中，已知∠B4C=120°，AC=3MB=3,=2,在线段BD上取点E,使得= 3,则cOS∠AEB=() A.21)3 B.14)7 C.-21)7 D.21)7 ※3.如图，9个边长为1的小正方形排成一个大正方形，AB是大正方形的一条边，P,=1,2,, 14是小正方形的其余各个顶点，则.=1,2，，14)的不同值的个数为」 二、课后作业 1已知在四边形ABCD中，一=0，一=一，则四边形ABCD是() A直角梯形 B.菱形 C矩形D.正方形 2.已知b=3,a在b上的投影向量为12b,则ab的值为() A.3 B.92 C.2 D.12 -4 “三学三思”课堂范式导学案数学（高一下） 3.已知向量a,b的夹角为45°，且a=4,avs4alco1f12)a十b)(2a-3b)=12,则b在a上的投影 向量为( ) A.14a B.2b C.2a D.22b 4.己知非零向量m,n满足4m=3n,m与n夹角的余弦值为13，若n1(m十n),则实数t的值为() A.4 B.-4 C.94 D.-94 米5如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连 接正方形，如此继续，设初始正方形ABCD的边长为2，则·=() A.2 B.4 C.6 D.8 6.定义：la×b=albsin0,其中0为向量a与b的夹角，若ad=2,bl=5,ab=一6，则a×bl等于() A.8 B.-8 C.8或-8 D.6 7.已知平面上三点A,B,C满足=3，广=4，广=5，则一+一+一的值等于() A.-7 B.7 C.25 D.-25 8.(多选)设a,b,c是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是() A.若a十b=a一b,则a⊥b B.若la=b,则(a+b)L(a一b) C若ac=bc,则a一b不与c垂直 D.(bc)a-(ac)b不与c垂直 9.(多选)己知两个单位向量e1,e2的夹角为0，则下列说法正确的是() A.cos 00ere20 B.若elle2,则1e2=1 C.若elle2,则e1e2=-1 D.lere2<1 10.(多选)已知正△4BC的边长为2，设=2a,=b,则下列结论正确的是() A.a+b1=1 B.a⊥b C.(4a+b)1b D.ab=-1 11.设k为实数，己知向量a与b不共线，la=3,bl=4,当向量a十b与a一b垂直时，k的值 为 12.已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b(a一b)=0,则b的取值范围是 13.如图所示，己知点G是ABC的重心，过点G作直线分别与边AB、AC交于M、N两点（点 M、N与点B、C不重合)，设AB=xAM,AC=yAN. (1)求x+y的值」 12 十 (2)求x-1y-1的最小值 14.如图，AB是圆C的弦，设=a,=b,则向量在向量上的投影向量为 (用a或 -5 “三学三思”课堂范式导学案数学（高一下） b表示) 15.已知两个不共线的向量ā，万的夹角为0，且a=3,=1,x为正实数 (1)若a+2b与a-4b垂直，求cos6; 0=*xa-6 (2)若6，求 的最小值，并证明此时a与xa-b垂直. 16.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=2,AD=5,∠BAD=60°，点M为BD的中点，点N为 AD边上的动点，AM,BN相交于点P,设AD=a,AB=b. (I)若点N为AD边上的中点， (i)用a,b表示AM,BN: (i)求AM.BN,AM,BN,及∠MPN的余弦值； (2)求BN·NA的取值范围 17.(链接教材P25习题9.2(3)T9后面做题用证明：a十b12+la一b2=2(a2+|b2).如何构造一个图形 解释这个公式的几何意义？ -6 §9.2.3 向量的数量积（1） 参考答案 【共学激思】 例1 解　(1)a·b＝|a||b|cos θ＝1×2×cos 60°＝1. (2)a·b＝|a||b|cos θ＝1×2×cos 135°＝－1×2×cos 45°＝－. (3)a·b＝|a||b|cos θ＝1×2×cos 90°＝0. (4)a·b＝|a||b|cos θ＝1×2×cos 180°＝－2. 训练1 解　(1)·＝||||·cos∠CAB＝1×1×cos 60°＝. (2)·＝||||cos∠CAB＝1××cos 45°＝1. (3)·＝||||cos∠CAB＝1××cos 30°＝. 例2 解　(1) (2) (3) (4) (5) 训练2 (1)C (2)B 例3 解　(1)因为(a－b)·(a＋b)＝， 即a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝， 所以|b|2＝|a|2－＝1－＝， 故|b|＝. (2)因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋|2b|2＝1－1＋1＝1，故|a＋2b|＝1. 又因为a·(a＋2b)＝|a|2＋2a·b ＝1－＝， 所以cos θ＝＝， 又θ∈[0，π]，故θ＝. 训练3 (1)120° (2)60° (3)C (4)√10 (5) 例4 解　(1)a·b＝|a||b|cos θ ＝5×4×＝－10. (2)a在b上的投影向量为(|a|cos θ)＝5×cos 120°×b＝－b. (3)b在a上的投影向量为 (|b|cos θ)＝4cos 120°×a＝－a. 训练4 (1)A (2)A (3)D 【检学反思】 一、当堂检测 1.A 2.D 3.4 二、课后作业 1.C 2.B 3.A 4.B 5.B 6.A 7.D 8.AB 9.AD 10.CD 11. 12.[0,1] 13.(1)3 (2)3+2√2 14. 15.【解析】（1）由与垂直， 得， 解得，所以. （2）当时，， ， 当且仅当时取等号，此时，即与垂直， 所以当时，取得最小值，且与垂直. 16.【解析】（1）（i）由点为的中点，点为的中点， 可得，； （ii）由，，， 则，， 可得 ； 由， 可得； 由， 可得； ； （2）， 设，由题意可知，， 由此得到， 由，，可得， 即的取值范围为. 17.证明　|a＋b|2＋|a－b|2＝a2＋2a·b＋b2＋a2－2a·b＋b2＝2a2＋2b2＝2(|a|2＋|b|2)，故原等式成立. 这个公式的几何意义：任意平行四边形中，两对角线的平方和等于两邻边平方和的二倍. 学科网（北京）股份有限公司 $