精品解析：四川省成都市青羊区树德实验中学西区2021-2022学年九年级下学期3月考数学试卷

四川省成都市青羊区树德实验中学西区2021-2022学年九年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、选择题（本大题共8小题，共24分） 1. 有理数的倒数（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 根据倒数的定义解答即可． 【详解】解：有理数的倒数是． 故选：． 2. 下面几何体中，其主视图与俯视图相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A，圆柱主视图是矩形，俯视图是圆； 选项B，圆锥主视图是三角形，俯视图是圆； 选项C，正方体的主视图与俯视图都是正方形； 选项D，三棱柱的主视图是矩形与俯视图都是三角形； 故选：C． 【点睛】本题考查几何体的三视图． 3. 为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了的光刻机难题，其中，则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意易得，然后根据科学记数法可直接进行求解． 【详解】解：由题意得：， ∴用科学记数法表示为； 故选D． 【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键． 4. 如图，下列选项中不能判定△ACD∽△ABC的是（　　） A. ∠ACD＝∠B B. ∠ADC＝∠ACB C. AC2＝AD•AB D. BC2＝BD•AB 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A.∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B， ∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意； B.∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB， ∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意； C.∵AC2＝AD•AB， ∴， ∵∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意； D.∵BC2＝BD•AB， ∴， 添加∠A＝∠A，不能推出△ACD∽△ABC，故本选项符合题意． 故选：D 【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理的内容是解此题的关键． 5. 下列命题中，真命题是（　　） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形 D. 两条对角线互相平分且相等的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法对A进行判断；根据菱形的判定方法对B进行判断；根据三角形中位线性质和平行四边形的判定方法对C进行判断；根据正方形的判定方法对D进行判断． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误； B、对角线互相垂直的平行边形是菱形，所以B选项错误； C、顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形，所以C选项正确； D、两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以D选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 6. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为6，则阴影部分的面积为（　　） A. 12π B. 6π C. 9π D. 18π 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形分析可得求图中阴影部分面积实为求扇形部分面积，将原图阴影部分面积转化为扇形面积求解即可． 【详解】解：如图所示：连接BO，CO，OA， ∵正六边形ABCDEF内接于⊙O， ∴△OAB，△OBC都是等边三角形， ∴∠AOB=∠OBC=60°， ∴OA∥BC， ∴S△ABC=S△OBC， ∴S阴=S扇形OBC ∴图中阴影部分面积为：S扇形OBC==6π． 故选B． 7. 如图，在直角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，边在轴上，在轴上，如果矩形与矩形关于点位似，且矩形与矩形的相似比为，那么点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形与矩形关于点位似，矩形与矩形的位似比为，又由点的坐标为，即可求得答案． 【详解】解：矩形与矩形关于点位似，位似比为， 由图可得点的坐标为， 点的坐标是：或． 8. 有一种公益叫“光盘”．所谓“光盘”，就是吃光你盘子中的食物，杜绝“舌尖上的浪费”．某校九年级开展“光盘行动”宣传活动，根据各班级参加该活动的总人次折线统计图，下列说法正确的是（　　） A. 极差是40                         B. 中位数是58                         C. 平均数大于58                         D. 众数是5 【答案】C 【解析】 【分析】根据极差的定义，平均数、中位数、众数的定义，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A、极差是80-45=35，故本选项错误； B、按照从小到大的顺序排列如下：45、50、58、59、62、80， 第3、4两个数分别是58、59， 所以，中位数是58.5，故本选项错误； C、平均数=（50+80+59+45+58+62）=×354=59＞58，故本选项正确； D、6个数据均是出现一次，所以众数是45、50、58、59、62、80，故本选项错误． 故选C． 【点睛】本题考查折线统计图的运用，主要涉及极差、平均数、中位数、众数的定义，熟记概念并根据折线统计图准确获取数据是解题的关键． 二、填空题（本大题共10小题，共30分） 9. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 【详解】解：， ， ． 故答案为： 【点睛】本题考查的是提公因式与公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解本题的关键． 10. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和解一元一次不等式，二次根式有意义的条件是被开方数，根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：． 11. 如图，和是直立在地面上的两根立柱，米，某一时刻在阳光下的投影米，在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为6米，则的长为_____． 【答案】##10米 【解析】 【分析】根据同一时刻，物长和影长成比例求解即可． 【详解】解：因为米，某一时刻在阳光下的投影米，在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为6米，，根据同一时刻，物长和影长成比例得， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行投影，准确掌握同一时刻，物长和影长成比例是解题的关键． 12. 将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，可得到的抛物线是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象平移的性质求解． 【详解】解：根据题意得，函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位， ． 13. 如图，在的两边上分别截取，，使；分别以点A，B为圆长为半径作弧，两弧交于点C；连接，，，．若，四边形的面．则的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．菱形的面积等于对角线乘积的一半，判断出四边形是菱形，是解题的关键． 【详解】解：根据作图得：， ， ， 四边形是菱形， ，四边形的面积为， ， ， 故答案为：4． 14. 在平面直角坐标系中，已知点和关于x轴对称，则的值为 _________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据点和关于x轴对称，可得，求得a、b的值，再代入求解即可． 【详解】解：∵点和关于x轴对称， ∴， 解得， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查坐标轴上点的坐标的规律及幂的乘方，熟练掌握关于x轴对称的两个点的坐标横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题的关键． 15. 若，是方程的两个根，且，则m的值为 _____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据根与系数的关系结合 ，可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再根据方程有实数根即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，从而即可确定m的值，此题得解． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵方程有两个实数根， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，根据根与系数的关系结合，列出关于m的一元二次方程是解题的关键． 16. 有五张正面分别标有数-2，0，1，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为，则使关于的方程有正整数解的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先求解分式方程，因为分式方程的解为正整数，进而根据概率公式求解即可． 【详解】∵， ∵分式方程的解为正整数， ∴a+1>0， ∴a>-1， ∴a＝0，1，3 当a=3，x＝1（分式分母为0，不合题意，舍去）， ∴a＝0，1， ∴使关于x的分式方程有正整数解的概率为． 故答案为． 【点睛】本题考查了解含参的分式方程和求概率的问题，确定分式方程有正整数解时的a的值是解题关键． 17. 如图，点在反比例函数图象上，以为直径的圆交该双曲线于点，交轴于点，若，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接并延长，与的延长线交于点，作，连接，设则，由为直径可证得，由可得则，可证，所以，由垂径定理得，由中位线定理可得，最后由，用表示面积，可得的关系式，代入，可得得值． 【详解】解：如图：连接并延长交点为，作，连接， 设则， 是直径， ， ， ， 是圆的内接四边形， ， ， ， ，且， ≌， ， ， ，且， ， ， ， ， ， ， ， ． 18. 如图，在矩形中，将矩形绕点按逆时针方向旋转一定角度后，、、的对应点分别为、、，交边于点，连接、，若，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先连接，，，构造直角三角形以及相似三角形，根据，可得到，设，则中，根据勾股定理可得方程，求得的长以及的长，即可得到所求的比值． 【详解】解：如图，连接，，， 由旋转可得，，，， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 设，则， 中，， ， 解得，（舍去， ， 中，， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19. 计算、解不等式组 （1）计算：． （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算负整数指数幂、零指数幂，代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，由此可确定不等式组的解集． 【详解】 解：（1） ； （2）不等式组为， 解①，得， 解②，得， 则不等式组的解集为． 20. 某中学在艺术节期间向全校学生征集书画作品，美术王老师从全校随机抽取了四个班级记作A、B、C、D，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图． （1）王老师抽查的四个班级共征集到作品多少件？ （2）请把图2的条形统计图补充完整； （3）若全校参展作品中有四名同学获得一等奖，其中有二名男生、二名女生．现在要在其中抽两名同学去参加学校总结表彰座谈会，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一名男生一名女生的概率． 【答案】（1）12件；（2）作图见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据扇形统计图算出C班作品数量占整体的份数，然后再计算整体件数即可； （2）由第一问知道作品总件数，算出B班件数，画图即可； （3）画出表格或树状图，然后计算概率即可 【详解】解：（1）（件） （2）12-2-5-2=3，补充作图如下： （3）列表如下： 由列表知，共有12种等可能结果，其中抽到一男一女的情况有8种，所以恰好抽到一男生一女生的概率为 【点睛】本题考查数据的收集处理，用列表和树状图计算概率等知识点，牢记相关内容是解题关键， 21. 成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游打卡的网红地．如图，为测量电视塔观景台处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼顶处测得塔处的仰角为45°，塔底部处的俯角为22°．已知建筑物的高约为61米，请计算观景台的高的值． （结果精确到1米；参考数据：，，） 【答案】观景台的高约为214米． 【解析】 【分析】过点D作DM⊥AB于点M，由题意可得四边形DCBM是矩形，由矩形的性质可得BM=CD=61米；在Rt△BDM中，∠BDM=22°，BM=61米，由此可得tan22°=，即可求得DM=152.5米；再证明△ADM为等腰直角三角形，可得DM=AM=152.5米，由此即可求得观景台的高的长． 【详解】过点D作DM⊥AB于点M，由题意可得四边形DCBM是矩形， ∴BM=CD=61米， 在Rt△BDM中，∠BDM=22°，BM=61米， tan∠BDM=， ∴tan22°=， 解得，DM=152.5米； ∵∠ADM=45°，DM⊥AB， ∴△ADM为等腰直角三角形， ∴DM=AM=152.5米， ∴AB=BM+AM=61+152.5=213.5≈214（米）． 答：观景台的高约为214米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线，构建直角三角形是解决问题的关键． 22. 如图，是的直径，的直角边切于点，交边于点，，连接、． （1）求证：； （2）若，，求和的值． 【答案】（1）见解析 （2）； 【解析】 【分析】（1）作直径，连接，根据切线的性质得到，根据同角的余角相等得到，根据圆内接四边形的性质得到，等量代换证明结论； （2）连接，根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，利用平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【小问1详解】 证明：作直径，连接，如图 则， ， 是的切线，切点为F， ， ， ， 四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ， ； 【小问2详解】 解：连接， 在中，， 则， ， ， ∴， ，即， 解得：， 为的直径， ， ， ， ，即， 解得． 23. 如图，函数的图象过点和两点． （1）求和的值； （2）将直线沿轴向左平移得直线，交轴于点，交双曲线于点，交轴于点． 若，求直线解析式； 若点、点关于原点对称，点是平面内一点，是否存在点、，使得点、、、为顶点四边形为矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①直线解析式为；②存在，或 【解析】 【分析】（1）函数的图象过点和两点．可得方程组，解方程即可得出答案； （2）①设，过点作轴与交于点，则，，根据，求出点的坐标，可得答案； ②设，当时，过点作轴，于于，利用，求出点的坐标，再根据矩形的性质可得的坐标；当时，则，根据题意知，从而解决问题． 【小问1详解】 解：函数的图象过点和两点， 可得：， 解得：， 【小问2详解】 解：由（1）可知，点的坐标是， 设直线的解析式为， 可得：， ， 直线的解析式为， 由知反比例函数的解析式为， 设点的坐标为， 如下图所示，过点作轴与交于点， 则点的坐标为， ， ， ， 解得:舍去， 点的坐标为， 将直线沿轴向左平移得直线， 设直线的解析式为， 将代入， 可得：， ， 直线解析式为； 设点的坐标为， 当时， 如下图所示，过点作轴，于于， ，， ，， ， ， ， ， ， 解得或， ， 点的坐标为， 此时点的坐标为， 当时，则， ， 解得或负值舍去， ， 点的坐标为， 此时点的坐标为， 根据题意知， 综上：点的坐标为或． 24. 成都市某公司自主设计了一款可控温杯，每个生产成本为16元，投放市场进行了试销．经过调查得到每月销售量y（万个）与销售单价x（元/个）之间关系是一次函数的关系，部分数据如下： 销售单价x（元/个） … 20 25 30 35 … 每月销售量y（万个） … 60 50 40 30 … （1）求y与x之间的函数关系； （2）该公司既要获得一定利润，又要符合相关部门规定（一件产品的利润率不得高于50%）请你帮助分析，公司销售单价定为多少时可获利最大？并求出最大利润． 【答案】（1）y与x之间的函数关系为：y＝﹣2x+100；（2）公司销售单价定为24元时可获利最大，最大利润为每月416万元． 【解析】 【分析】（1）根据题意设每月销售量y（万个）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式为：y＝kx+b并由题意用待定系数法即可求出答案； （2）由题意根据利润=销售量×（销售单价-成本）列式得出二次函数解析式，再根据产品利润率不高于50%且成本为16元，得出销售单价的范围，结合二次函数得出最大值． 【详解】解：（1）设每月销售量y（万个）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式为：y＝kx+b． 把（20，60），（30，40）代入， 得，解得， ∴y与x之间的函数关系为：y＝﹣2x+100； （2）∵每个生产成本为16元，一件产品的利润率不得高于50%， ∴x≤（1+50%）×16＝24， 设该公司获得的利润为w万元， 则w＝y（x﹣16） ＝（﹣2x+100）（x﹣16） ＝﹣2x2+132x﹣1600 ＝﹣2（x﹣33）2+578， ∵图象开口向下，对称轴左侧w随x的增大而增大， ∴当x＝24时，w最大，最大值为416万元． 答：公司销售单价定为24元时可获利最大，最大利润为每月416万元． 【点睛】本题考查二次函数在实际问题中的应用，待定系数法求一次函数的解析式，解答本题的关键是得出月销售利润的表达式以及熟练掌握配方法求二次函数最值的应用． 25. 如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，已知． （1）求的值和直线对应的函数表达式； （2）点是抛物线上位于直线上方的一点，过点作的垂线垂足为点，求线段的最大值； （3）为抛物线上一点，若，请求出点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可求出抛物线解析式，得出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）如图1，过点作轴交于点，设，则，由轴，得出，利用三角函数得出，运用二次函数的性质即可求得答案； （3）如图2，在下方作，过点作，交射线于点，过点作轴于点，连接交抛物线于点，由，可得，求得，进而可得，利用待定系数法可得出，直线的解析式为，联立方程组即可求得点的坐标． 【小问1详解】 解：抛物线经过点， ， 解得：（舍去），或， 该抛物线的解析式为， 令，得， ， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， 的值为，直线对应的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：如图1，过点作轴交于点， 设，则， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， 当时，的最大值为； 【小问3详解】 解：如图2，在下方作，过点作，交射线于点， 过点作轴于点，连接交抛物线于点， 则， ， ， ， ， ， ， 在抛物线中，令，得， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， 联立方程组得， 解得：， 点的坐标为． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角函数定义，相似三角形的判定和性质，直线与抛物线的交点坐标等，在求解过程中，结合背景图形，作出正确的辅助线是解题的关键． 26. 在中，，，是边上一点，将沿折叠得到，连接． （1）特例发现：如图1，当，落在直线上时，求证：； （2）类比探究 如图2，当，与边相交时，在上取一点G，使，交于点H．探究的值（用含m的式子表示），并写出探究过程： （3）拓展运用 在（2）条件下，当，是的中点时，若．直接写出的长． 【答案】（1）见详解 （2），过程见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）延长交于F，由折叠知，，再由等角的余角相等，即可得出结论； （2）同（1）的方法，证明即可得出结论； （3）先判断是的中位线，即，则有，，，由（2）知，，可得，设，则，，即有，即有，在中，根据勾股定理得，，即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图1，延长交于F， 由折叠知，，， ∴， 即， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图2，延长交于F， 由（1）同理可证明， ∵， ∴， ∵， ∴， 【小问3详解】 （3）由折叠知，，， 即点F是的中点， ∵点D是的中点， ∴，， ∴是的中位线， ∴， ∴，，， 由（2）知，， ∴， ，即， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， 即． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了同角的余角相等，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，判断出是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省成都市青羊区树德实验中学西区2021-2022学年九年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、选择题（本大题共8小题，共24分） 1. 有理数的倒数（　　） A. B. C. D. 2. 下面几何体中，其主视图与俯视图相同的是（ ） A. B. C. D. 3. 为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了的光刻机难题，其中，则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，下列选项中不能判定△ACD∽△ABC的是（　　） A. ∠ACD＝∠B B. ∠ADC＝∠ACB C. AC2＝AD•AB D. BC2＝BD•AB 5. 下列命题中，真命题是（　　） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形 D. 两条对角线互相平分且相等的四边形是正方形 6. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为6，则阴影部分的面积为（　　） A. 12π B. 6π C. 9π D. 18π 7. 如图，在直角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，边在轴上，在轴上，如果矩形与矩形关于点位似，且矩形与矩形的相似比为，那么点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 有一种公益叫“光盘”．所谓“光盘”，就是吃光你盘子中的食物，杜绝“舌尖上的浪费”．某校九年级开展“光盘行动”宣传活动，根据各班级参加该活动的总人次折线统计图，下列说法正确的是（　　） A. 极差是40                         B. 中位数是58                         C. 平均数大于58                         D. 众数是5 二、填空题（本大题共10小题，共30分） 9. 分解因式：___________． 10. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________． 11. 如图，和是直立在地面上的两根立柱，米，某一时刻在阳光下的投影米，在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为6米，则的长为_____． 12. 将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，可得到的抛物线是______． 13. 如图，在的两边上分别截取，，使；分别以点A，B为圆长为半径作弧，两弧交于点C；连接，，，．若，四边形的面．则的长为______． 14. 在平面直角坐标系中，已知点和关于x轴对称，则的值为 _________． 15. 若，是方程的两个根，且，则m的值为 _____． 16. 有五张正面分别标有数-2，0，1，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为，则使关于的方程有正整数解的概率为_______． 17. 如图，点在反比例函数图象上，以为直径的圆交该双曲线于点，交轴于点，若，则点的坐标为______． 18. 如图，在矩形中，将矩形绕点按逆时针方向旋转一定角度后，、、的对应点分别为、、，交边于点，连接、，若，，，则______． 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19. 计算、解不等式组 （1）计算：． （2）解不等式组：． 20. 某中学在艺术节期间向全校学生征集书画作品，美术王老师从全校随机抽取了四个班级记作A、B、C、D，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图． （1）王老师抽查的四个班级共征集到作品多少件？ （2）请把图2的条形统计图补充完整； （3）若全校参展作品中有四名同学获得一等奖，其中有二名男生、二名女生．现在要在其中抽两名同学去参加学校总结表彰座谈会，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一名男生一名女生的概率． 21. 成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游打卡的网红地．如图，为测量电视塔观景台处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼顶处测得塔处的仰角为45°，塔底部处的俯角为22°．已知建筑物的高约为61米，请计算观景台的高的值． （结果精确到1米；参考数据：，，） 22. 如图，是的直径，的直角边切于点，交边于点，，连接、． （1）求证：； （2）若，，求和的值． 23. 如图，函数的图象过点和两点． （1）求和的值； （2）将直线沿轴向左平移得直线，交轴于点，交双曲线于点，交轴于点． 若，求直线解析式； 若点、点关于原点对称，点是平面内一点，是否存在点、，使得点、、、为顶点四边形为矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 成都市某公司自主设计了一款可控温杯，每个生产成本为16元，投放市场进行了试销．经过调查得到每月销售量y（万个）与销售单价x（元/个）之间关系是一次函数的关系，部分数据如下： 销售单价x（元/个） … 20 25 30 35 … 每月销售量y（万个） … 60 50 40 30 … （1）求y与x之间的函数关系； （2）该公司既要获得一定利润，又要符合相关部门规定（一件产品的利润率不得高于50%）请你帮助分析，公司销售单价定为多少时可获利最大？并求出最大利润． 25. 如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，已知． （1）求的值和直线对应的函数表达式； （2）点是抛物线上位于直线上方的一点，过点作的垂线垂足为点，求线段的最大值； （3）为抛物线上一点，若，请求出点的坐标． 26. 在中，，，是边上一点，将沿折叠得到，连接． （1）特例发现：如图1，当，落在直线上时，求证：； （2）类比探究 如图2，当，与边相交时，在上取一点G，使，交于点H．探究的值（用含m的式子表示），并写出探究过程： （3）拓展运用 在（2）条件下，当，是的中点时，若．直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $