山东省菏泽一中2025-2026学年高二下学期周测数学试题3.28

高二数学错题重考 3.28 第I卷（选择题） 一、单选题 1．已知函数在处可导，若，则（    ） A．4 B．6 C． D． 2．已知函数，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 3．已知函数在处取得极小值，则（   ） A． B． C．-1或-3 D．3 4．已知函数，则的图象大致为（   ） A．B．C．D． 5．已知函数，若函数有4个不同的零点则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．关于x的方程有两个不同实根，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，则下列说法正确的有（   ） A．有且只有一个零点 B．点为曲线的对称中心 C．曲线在点处的切线方程为 D．， 10．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．的零点个数为3 C．的极值点个数为3 D．若方程有三个实数根，则的取值范围是 11．已知函数，其中，则（    ） A．若函数有且仅有1个零点，则 B．若函数有且仅有2个极值点，则a的取值范围是 C．不存在，使函数存在唯一的极值点 D．若对恒成立，则 第II卷（非选择题） 三、填空题 12．曲线在点处的切线方程为___________． 13．已知圆柱的表面积为，则圆柱体积的最大值为______． 14．已知函数，则的最小值为___________. 四、解答题 15．已知函数． (1)求的单调区间； (2)若，求的最大值与最小值． 16．已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 17．已知某企业生产一种产品的固定成本为400万元，每生产万件，需另投入成本万元，假设该企业年内共生产该产品万件，并且全部销售完，每1件的销售收入为100元，且 (1)求出年利润（万元）关于年生产零件（万件）的函数关系式（注：年利润年销售收入年总成本）； (2)将年产量定为多少万件时，企业所获年利润最大. 18．已知函数． (1)求的单调区间； (2)已知在上有且仅有两个零点，求a的取值范围. 19．已知函数. (1)证明：； (2)证明：存在唯一极值点； (3)记（2）中的极值点为，证明：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《高二数学错题重考》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A D B A B D B B AC BD ABD 12． 13． 14． 5． 6．设，则. 因为，所以，即，所以在上单调递减. 不等式等价于不等式，即. 因为，所以，所以. 因为在上单调递减，所以，解得. 7．由可得， 当时，；当时，； 所以在单调递减，在单调递增， 所以，，， 所以在上的值域为，记， ，的对称轴为，，， 所以函数的值域为， 又，且，在上单调递减， 要使方程有唯一解，则的取值集合为， 所以，记， 若对任意的，存在唯一的，使得， 则，所以，解得，所以实数的取值范围是． 8．方程，令函数， 而，则函数在R上单调递增，又方程等价于， 因此， 令函数，依题意，方程有两个不同实根， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 又，当时，恒有，则当且仅当时，方程有两个不同实根，所以实数a的取值范围为. 9．对D：因函数的定义域为， ， 当时，，当时，， 故在、上单调递增，在、上单调递减， 则当时，，当时，，故不存在，使得. 10．观察图象得当且仅当或时，函数的图象与直线有3个交点，因此的取值范围是，D正确. 11．对于A，显然0不是函数的零点，当时，令，变形为， 令，，则， 令得或，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，作出的图象，如下： 直线与其仅有一个公共点，则； 对于B，，令， 函数有且仅有2个极值点，故有2个变号零点， 令得，显然0不是函数的零点， 当时，变形为，令， 则，令得，令得或， 故在上单调递减，在上单调递增， ，作出的图象，如下： 直线与其交于两点，则，故，B正确； 对于C，结合B的分析，显然当时，有且仅有一个变号零点， 函数存在唯一的极值点，C错误； 对于D，，即，当时，满足要求， 当时，，变形为， 令，结合A的分析，当x＞0时，，故，D正确. 14．由，得， 因为，所以当时，0；当时，， 又满足，所以为的一个周期，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.因为，所以当时，的最小值为. 15．（1）因为．令，得或， 当变化时，的变化情况如表所示． 2 0 0 单调递增 28 单调递减 单调递增 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为． （2）由（1）知当时，取得极小值． 因为. 所以． 16．（1）当时，，，则， 又，∴曲线在点处的切线方程为． （2），， ，，由，得，由，得． 的单调递增区间为，单调递减区间为． 17．（1）由题意得，总售价固定为， 当产量不足60万箱时，. 当产量不小于60万箱时，. 则 （2）设， 当时，，令，得， 得在上单调递增，在上单调递减，则； 当时，由基本不等式有 当且仅当，即时取等号； 又因为，所以当时，所获利润最大，最大值为1300万元 18．（1）已知，其定义域为.求导​. 当时，因为，所以，即.所以在上单调递增. 当时，令，即，因为，所以，解得. 当​时，，则，所以在上单调递增； 当​时，，则，所以在上单调递减. 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由（1）可知，当时，在上单调递增，所以在上至多有一个零点，不符合题意. 所以，此时在上单调递增，在上单调递减. 要使在上有且仅有两个零点，当趋近于时，趋近于, 所以根据零点存在定理，则需满足，，解得.，化简得，解得.又因可得.综上，的取值范围是. 19．（1）易得，此时. 设函数，， 则时，，单调递减， 时，，单调递增. 于是，故原不等式成立. （2），定义域为R，显然当时，； 当时，. 当时，设，则， 因为，所以，故， 所以即在区间上单调递增，而， 所以存在使得， 所以当时，当时， 所以存在唯一极值点. （3）注意到， ， 又，故，故 在（1）中已证明，故，因此，故原不等式得证. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $