精品解析：重庆市长寿实验中学2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年重庆市长寿实验中学八年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题 1. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段首尾顺次相接能组成三角形是( ) A. 1，2，3 B. 2，4，7 C. 3，4，8 D. 2，3，4 3. 下列多边形中，内角和与外角和相等的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 2022年2月8日上午，谷爱凌在女子滑雪大跳台决赛中，获得了北京冬奥会雪上项目的首金．如图所示，大跳台的∠B=35°，∠C=y°，∠BAD=x°，请找出y与x的关系式（　　） A. y＝145-x B. y＝x-35 C. y＝x+55 D. y＝x+35 6. 如图，，下列条件不能判定△ACD与△BCD全等的是（ ） A. B. C. D. 点O是AB的中点 7. 如图，平分，在上取一点P，作，已知，的面积为，点E是射线上一动点．则长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 9. 如图， BD 是△ABC 的角平分线， AE⊥ BD ，垂足为 F ，若∠ABC＝35°，∠ C＝50°，则∠CDE 的度数为（ ） A. 35° B. 40° C. 45° D. 50° 10. 如图，在Rt△ABC中，AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连接DE，EF．下列结论：①AB=2BD；②图中有4对全等三角形；③BD=BF； ④若将△DEF沿EF折叠，则点D不一定落在AC上；⑤S四边形DFOE=S△AOF，上述结论中正确的个数是（　 　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题 11. 计算： _________． 12. 计算：__________． 13. 若多项式是一个完全平方式，则的值是___________． 14. 如图， 于点D，D为的中点，连接的平分线交于点O，连接，若，则_______________ 15. 如图，是等腰直角三角形，直角顶点在轴上，点在轴上，，则点的坐标为__________． 16. 若关于x的不等式组有且只有3个整数解，且关于y的一元一次方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为_____． 17. 下列说法： ①已知，，满足，则； ②已知，，是正整数，，且，则，，； ③实数，，满足，，则代数式的值可以是6；其中正确的是______（请在横线上填写序号）． 三、解答题： 18. 计算： （1）； （2）． 19. 因式分解： （1）； （2）． 20. 如图，点在线段上，，，． （1）求作的平分线，并交于点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）问的条件下试证明：．请将以下推导过程补充完整． 证明：， ， 在和中， ， （ ）， ________， 平分， ， 在和中， ， ， ． 21. 先化简，再求值：，其中，． 22. 为深入学习贯彻党的二十大精神，引领广大职工准确把握党的二十大报告的丰富内涵、精神实质、实践要求，江北区教育工会开展了学习二十大知识竞赛活动，根据竞赛活动的成绩划分了四个等级：：合格，：良好，：优秀，：非常优秀．现随机抽查部分竞赛成绩的数据进行了整理、绘制成部分统计图： 请根据图中信息，解答下列问题： （1）填空：______，“优秀”对应扇形的圆心角度数为______； （2）请你补全条形统计图； （3）若我区有8000名教职工，请你估计其中“优秀”和“非常优秀”的教职工共有多少人？ 23. 如图，点E在上，与交于点F，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 24. 为改善校园环境，提升办学品质，重庆市鲁能巴蜀中学计划拆除网球场，新建综合大楼．已知2辆甲型除渣车和3辆乙型除渣车每天可以除渣170吨，3辆甲型除渣车和2辆乙型除渣车每天可以除渣180吨． （1）求甲、乙两种型号的除渣车每辆每天分别可以除渣多少吨？ （2）施工期间，学校决定租甲、乙两种型号的除渣车共20辆，已知每辆甲型除渣车租赁价格为15万元，每辆乙型除渣车租赁价格为12万元，要想使租赁除渣车的总费用不超过261万元，且每天除渣总量又不低于650吨，请你求出所有的租赁方案． 25. 数学活动课中，老师给出以下问题： （1）如图1，在中，D是边的中点，若，则中线长度的取值范围 ． （2）如图2，在中，为锐角，D是边的中点，过D点的射线交边于E，再作交边于点F，连接，请探索由三条线段构成的三角形的形状，并说明理由． （3）已知：如图3，，且，F是线段的中点．求证：． 26. 现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式： 图1表示：_______________________________； 图2表示：_______________________________； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （2）若，，求的值； （3）请直接写出下列问题答案： ①若，，则________； ②若，则________． （4）如图3，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年重庆市长寿实验中学八年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题 1. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解的概念，掌握其概念是解题的关键． 根据因式分解的定义“将多项式化为几个整式的积的形式”，由此即可求解． 【详解】A．不是因式分解，不符合题意； B．不是因式分解，不符合题意； C．等号右边不是整式，不是因式分解，不符合题意； D．是因式分解，符合题意； 故选∶D． 2. 下列长度的三条线段首尾顺次相接能组成三角形是( ) A. 1，2，3 B. 2，4，7 C. 3，4，8 D. 2，3，4 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形三边关系依次判断四个选项即可． 【详解】解：A，1+2=3，不能组成三角形，故A不符合题意； B，2+4<7，不能组成三角形，故B不符合题意； C，3+4<8，不能组成三角形，故C不符合题意； D，2+3>4，能组成三角形，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形三边关系，熟练掌握该知识点是解题关键． 3. 下列多边形中，内角和与外角和相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式和多边形的外角和等于求解即可； 【详解】解：多边形的外角和等于不变； A、三角形的内角和为： ，不符合题意； B、四边形的内角和为：，符合题意； C、五边形的内角和为： ，不符合题意； D、六边形的内角和为： ，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的内角和、多边形的外角和；熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 4. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式，掌握相应的运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法和幂的乘方的运算法则，完全平方公式逐项判断即可． 【详解】解：A、，选项计算错误，故不符合题意； B、与不是同类项，无法合并，选项计算错误，故不符合题意； C、，选项计算错误，故不符合题意； D、，选项计算正确，故符合题意； 故选：D． 5. 2022年2月8日上午，谷爱凌在女子滑雪大跳台决赛中，获得了北京冬奥会雪上项目的首金．如图所示，大跳台的∠B=35°，∠C=y°，∠BAD=x°，请找出y与x的关系式（　　） A. y＝145-x B. y＝x-35 C. y＝x+55 D. y＝x+35 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵∠BAD是△ABC的外角，∠B=35°，∠C=y°，∠BAD=x°， ∴∠BAD=∠B+∠C， 即x=35+y， ∴y=x-35． 故选：B． 【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角性质：三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和． 6. 如图，，下列条件不能判定△ACD与△BCD全等的是（ ） A. B. C. D. 点O是AB的中点 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵，CD=CD， ∴A、可以利用边边边判定△ACD与△BCD全等，故本选项不符合题意； B、可以利用边角边判定△ACD与△BCD全等，故本选项不符合题意； C、不能判定△ACD与△BCD全等，故本选项符合题意； D、因为点O是AB的中点，所以，可以利用边角边判定△ACD与△BCD全等，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质是解题的关键． 7. 如图，平分，在上取一点P，作，已知，的面积为，点E是射线上一动点．则长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求解，过P点作于H，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解． 【详解】解：∵，的面积为，， ∴， ∴， 过P点作于H，如图： ∵平分，，， ∴， ∵点E是射线上的动点， ∴的最小值为． 8. 已知，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】将两边平方得，整体代入解答即可． 【详解】解：将两边平方得， ∴a2+＝16﹣2＝14， 故选：B． 【点睛】此题考查完全平方公式问题，关键是把原式两边完全平方后整体代入解答． 9. 如图， BD 是△ABC 的角平分线， AE⊥ BD ，垂足为 F ，若∠ABC＝35°，∠ C＝50°，则∠CDE 的度数为（ ） A. 35° B. 40° C. 45° D. 50° 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD=∠EBD=∠ABC=，∠AFB=∠EFB=90°，推出AB=BE，根据等腰三角形的性质得到AF=EF，求得AD=ED，得到∠DAF=∠DEF，根据三角形的外角的性质即可得到结论． 【详解】解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD， ∴∠ABD=∠EBD=∠ABC=，∠AFB=∠EFB=90°， ∴∠BAF=∠BEF， ∴AB=BE，AE⊥BD， ∴BD是AE的垂直平分线， ∴AD=ED， ∴∠DAF=∠DEF， ∵∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°， ∴∠BED=∠BAD=95°， ∴∠CDE=95°-50°=45°， 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的内角和，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 10. 如图，在Rt△ABC中，AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连接DE，EF．下列结论：①AB=2BD；②图中有4对全等三角形；③BD=BF； ④若将△DEF沿EF折叠，则点D不一定落在AC上；⑤S四边形DFOE=S△AOF，上述结论中正确的个数是（　 　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由等腰直角三角形的性质可得，，由折叠的性质可得，，，利用全等三角形的判定和性质依次判断可求解． 【详解】解：，，， ，， 把折叠，使落在上，点与上的点重合， ， ，，， ∵， ， ， ， ，故①错误， 在和中， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ∴BF=EF， 在和中， ， ， 图中共有4对全等三角形，故②正确； ，， ， ，故③正确； ， ， ， =45°， 将沿折叠，则点一定落在上，故④错误； 连接， ， ， ， ， ， ， ，故⑤正确， 故选：C 【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键． 二、填空题 11. 计算： _________． 【答案】 【解析】 【分析】根据积的乘方法则先计算乘方，再根据单项式乘单项式法则和同底数幂的乘法法则计算，即可得到结果． 【详解】解： ． 12. 计算：__________． 【答案】9800 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，利用平方差公式将 转化为 进行计算即可求解． 【详解】解：． 故答案为：9800 13. 若多项式是一个完全平方式，则的值是___________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】根据完全平方式的特点得出，再求出即可． 【详解】解：是一个完全平方式， ， ， 或7， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，注意：完全平方式有和两个． 14. 如图， 于点D，D为的中点，连接的平分线交于点O，连接，若，则_______________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质以及垂直平分线的判定与性质，等边对等角，以及角平分线的定义，先由三角形的外角性质得，因为，D为的中点，所以是的垂直平分线，则，因为是的角平分线，则是的角平分线，即可作答． 【详解】解：，， ∴， ∵，D为的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故答案为：． 15. 如图，是等腰直角三角形，直角顶点在轴上，点在轴上，，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】作轴于H，易得根据等腰直角三角形的性质结合证明，得到，，即可得出点B坐标． 【详解】解：作轴于H，如图， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，点的坐标，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 16. 若关于x的不等式组有且只有3个整数解，且关于y的一元一次方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为_____． 【答案】18 【解析】 【分析】根据不等式组有且只有3个整数解，得到关于a的不等式组，求出a的取值范围，再根据的解是正整数，确定a的值，求和即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵该不等式组有且只有3个整数解， ∴该不等式组的三个整数解为3，2，1， ∴， 解得， 由可得， ∵关于y的一元一次方程的解是正整数， ∴或10， ∴所有满足条件的整数a的值之和为， 故答案为：18． 【点睛】本题考查解一元一次方程，根据一元一次不等式组解集的情况求参数，解题的关键是掌握一元一次不等式组的解法． 17. 下列说法： ①已知，，满足，则； ②已知，，是正整数，，且，则，，； ③实数，，满足，，则代数式的值可以是6；其中正确的是______（请在横线上填写序号）． 【答案】①②##②① 【解析】 【分析】①利用完全平方公式及平方的非负性判定即可，②利用平方差公式转化成方程组，判定方程组的整数解即可，③两方程相减得，根据x，y得取值判断即可． 【详解】解：①， ， ， ， ， ， 故①正确， ② ， ，，是正整数， ，都是整数， ， ， ， 而5只能分解成1和5的乘积， ， 解得：，，， 或， ，， ， ，不符合题意舍去， 故②正确， ③实数，，满足，， 两方程相减得：， 当x，y均大于或等于0时， 即， ， 则，故不成立， 当x，y有一个大于0有一个小于0时， ，故不成立， 当x，y都小于0时，，不符合题意， 故③错误． 故答案为：①②． 【点睛】本题考查了完全平方公式及平方的非负性，方程组的整数解，熟练掌握相关知识是解题关键． 三、解答题： 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据单项式乘多项式法则计算即可； （2）根据平方差公式计算即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式． 19. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依据题意，运用提公因式法即可分解因式得解； （2）依据题意，根据提公因式法进行分解可以得解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，点在线段上，，，． （1）求作的平分线，并交于点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）问的条件下试证明：．请将以下推导过程补充完整． 证明：， ， 在和中， ， （ ）， ________， 平分， ， 在和中， ， ， ． 【答案】（1） 如图所示，即为所求线段， （2），，， 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作角平分线，全等三角形的判定和性质的运用， （1）以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接交于点，即可求解； （2）根据题意证明，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：， ， 在和中， ， ， ， 平分， 在和中 ， ． 故答案为：，，，． 21. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式的混合运算法则，根据整式的加减运算法则以及整式的乘除法则进行化简，然后将a与b的值代入原式即可求出答案． 【详解】解：原式 ， ，， 原式． 22. 为深入学习贯彻党的二十大精神，引领广大职工准确把握党的二十大报告的丰富内涵、精神实质、实践要求，江北区教育工会开展了学习二十大知识竞赛活动，根据竞赛活动的成绩划分了四个等级：：合格，：良好，：优秀，：非常优秀．现随机抽查部分竞赛成绩的数据进行了整理、绘制成部分统计图： 请根据图中信息，解答下列问题： （1）填空：______，“优秀”对应扇形的圆心角度数为______； （2）请你补全条形统计图； （3）若我区有8000名教职工，请你估计其中“优秀”和“非常优秀”的教职工共有多少人？ 【答案】（1）， （2） 补全统计图如图所示： （3）其中“优秀”和“非常优秀”的教职工共5200人 【解析】 【分析】(1)根据“良好”的人数除以占比得出总人数，用“合格”的人数除以总人数得出a，根据“优秀”的占比乘以得出“优秀”对应扇形的圆心角度数； (2)根据“优秀”的占比乘以总人数得出“优秀”的人数，进而补全统计图； (3)用8000乘以“优秀”和“非常优秀”的占比即可求解． 【小问1详解】 解：总人数为：人， ， “优秀”对应扇形的圆心角度数为； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：“优秀”的人数：人 【小问3详解】 解：其中“优秀”和“非常优秀”的教职工共有： (人)， 答：其中“优秀”和“非常优秀”的教职工共5200人． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 23. 如图，点E在上，与交于点F，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵． ∴，即， 在和中， ， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据等式的性质得，再利用SAS即可证明结论成立； （2）由可得，由可求得，最后根据平角定义即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24. 为改善校园环境，提升办学品质，重庆市鲁能巴蜀中学计划拆除网球场，新建综合大楼．已知2辆甲型除渣车和3辆乙型除渣车每天可以除渣170吨，3辆甲型除渣车和2辆乙型除渣车每天可以除渣180吨． （1）求甲、乙两种型号的除渣车每辆每天分别可以除渣多少吨？ （2）施工期间，学校决定租甲、乙两种型号的除渣车共20辆，已知每辆甲型除渣车租赁价格为15万元，每辆乙型除渣车租赁价格为12万元，要想使租赁除渣车的总费用不超过261万元，且每天除渣总量又不低于650吨，请你求出所有的租赁方案． 【答案】（1）甲型号的除渣车每辆每天可以除渣40吨，乙型号的除渣车每辆每天可以除渣30吨． （2）有3种租赁方案：①租甲除渣车5辆，乙除渣车15辆；②租甲除渣车6辆，乙除渣车14辆；③租甲除渣车7辆，乙除渣车13辆． 【解析】 【分析】（1）设甲型号的除渣车每辆每天可以除渣x吨，乙型号的除渣车每辆每天可以除渣y吨，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设租甲型号的除渣车m辆，则租乙型号的除渣车辆，根据题意列一元一次不等式组求解即可． 【小问1详解】 设甲型号的除渣车每辆每天可以除渣x吨，乙型号的除渣车每辆每天可以除渣y吨， 根据题意可得， 解得 ∴甲型号的除渣车每辆每天可以除渣40吨，乙型号的除渣车每辆每天可以除渣30吨． 【小问2详解】 设租甲型号的除渣车m辆，则租乙型号的除渣车辆， 根据题意可得， 解得 ∴当时，； 当时，； 当时，； ∴有3种租赁方案：①租甲除渣车5辆，乙除渣车15辆；②租甲除渣车6辆，乙除渣车14辆；③租甲除渣车7辆，乙除渣车13辆． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用和一次不等式在方案选择中的实际应用，利用不等式的性质进行方案选择是解题关键． 25. 数学活动课中，老师给出以下问题： （1）如图1，在中，D是边的中点，若，则中线长度的取值范围 ． （2）如图2，在中，为锐角，D是边的中点，过D点的射线交边于E，再作交边于点F，连接，请探索由三条线段构成的三角形的形状，并说明理由． （3）已知：如图3，，且，F是线段的中点．求证：． 【答案】（1） （2） 线段构成的三角形是钝角三角形，理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴线段构成的三角形为， ∴， ∴当为锐角时，为钝角三角形，即由三条线段BE、EF、CF构成的三角形为钝角三角形； （3） 证明：如图3，延长至G，使，连接， 同理（2），， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）如图1，延长到E，使，连接，证明，则，由,可得，即，计算求解即可； （2）如图2，延长到点G，使，连接，证明，则，线段构成的三角形为，由，可判断三角形的形状； （3）如图3，延长至G，使，连接，同理（2），，则，由，，可得，证明，则，进而结论得证． 【小问1详解】 解：如图1，延长到E，使，连接， ∵， ∴， ∴， 在中，, ∴，即， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 略． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用，三角形内角和定理等知识．熟练掌握倍长中线构造全等三角形是解题的关键． 26. 现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式： 图1表示：_______________________________； 图2表示：_______________________________； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （2）若，，求的值； （3）请直接写出下列问题答案： ①若，，则________； ②若，则________． （4）如图3，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】（1）； （2）12 （3）①；②13 （4） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景及完全平方公式的应用，解题的关键熟练掌握完全平方公式，并进行灵活运用． （1）由图1可知，大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积可得；由图2可知，大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积可得； （2）把两边平方后，再代入，即可求出的值； （3）①根据将原式变形求解即可； ②根据将原式变形求解即可； （4）设，，得，把变形为，再代入求值即可 【小问1详解】 图1表示为：； 图2表示为：； 【小问2详解】 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴； 【小问3详解】 ①由图2知， 则 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； ②∵，即 设， ∵， ∴， ∴； 【小问4详解】 设， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $