1.2乘法公式灵活运用培优试卷练习2025-2026学年 湘教版七年级数学下册

参考答案： 1.31或-29/-29或31 【分析】由9x2-(k-1)xy+25y2是关于x的完全平方式，得出 9x2-（k-1)xy+25y2=(3x±5y)2,进而得出-(k-1)=±30，即可求出k的值. 【详解】解：：9x2-(k-1)y+25y2是关于x的完全平方式， ∴9x2-(k-1)xy+25y2=(3x±5y)2, -(k-1)=30, 解得：k=31或-29， 故答案为：31或-29 【点晴】本题考查了完全平方式，掌握完全平方式的特点，考虑两种情况是解决问题的关键， 2.±4x,4x,-1,-4x2 【分析】根据题意可知本题是考查完全平方式，设这个单项式为Q,①如果这里首末两项 是2x和1这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和1积的2倍，故Q=±4x,② 如果如果这里首末两项是Q和1，则乘积项是4x2=2×2x2,所以Q=4x4. 【详解】解：4x2+1±4x=(2灶1)2 4x2+1+4x=(2x2+1)2; 加上的单项式可以是±4x,4x,-1,4x2中任意一个， 故答案为：±4x,4x,-1,4x2 【点晴】本题主要考查完全公式的有关知识，根据已知两个项分类讨论求出第三项是解题的 关键。 3.-1,4x,-4x,-4x2,4x 【详解】试题分析：这个单项式为Q,如果这里首末两项是2x和1这两个数的平方，那么 中间一项为加上或减去2x和1积的2倍，故Q=±4x; 如果这里首末两项是Q和1，则乘积项是4x2=2.2x2,所以Q=4x4: 如果该式只有4x2项或1，它也是完全平方式，所以Q=-1或-4x2. 4x2+1±4x=(2x±1)2： 4x2+1+4x4=(2x2+1)2: 4x2+1-1=(2x)2: 4x2+1-4x2=(±1)2. 加上的单项式可以是-1,4x,4x,-4x2,4x4中任意一个. 考点：完全平方式 点评：本题比较复杂，需要我们全面考虑问题，首先考虑三个项分别充当中间项的情况，就 有三种情况，还有就是第四种情况加上一个数，得到一个单独的单项式，也是可以成为一个 完全平方式，这种情况比较容易忽略，要注意。 4.①②③ 【分析】本题主要考查了代数式的恒等变形及整体代入法求代数式的值，熟练掌握整体代入 法是解题的关键.将x-3x+1=0两边同时除以x可得x-3+=0,由此可得①正确：将① 式两边平方再化简可得@正确：(：-》-(+》-4，将@代入其中可得®正确：给0 式两边同乘以2x得2x3-6x2+2x=0,再将①式变形得x2=3x-1,然后代入上式即可判断 ④错误。 【详解】由x2-3x+1=0,得 x-3+1=0, ǎx4-3, 故①正确： x+=3, - 4+2+=9， 故②正确： -气+-4， 9-4, 故③正确； 由x2-3x+1=0,得， 两边同乘以2x,得2x3-6x2+2x=0, 又由x2-3x+1=0,得x2=3x-1, 2x3-6(3x-1)+2x=0, .2x3-18x+6+2x=0, .2x3-16x+6=0, .2x3-16x+3=-3, 故④错误。 综上，正确的有①②③， 故答案为：①②③， 5.-2 【分析】本题考查多项式乘多项式，完全平方公式，非负数的性质，代数式求值.将等式 (a2+4)(b2+1)=8ab进行恰当的变形，从而求出a和b的关系是解题关键.根据多项式乘多 项式法则，结合完全平方公式可将等式(a2+4)(b2+1)=8ab变形为(a-2b)}+(ab-2)}2=0, 再根据平方的非负性即得出a-2b=0,ab-2=0,从而可得出a=2b,ab=2,最后将所 求式子变形为号-3ab,再代入求值即可。 【详解】解：(a2+4)b+1=8ab, (ab)2+a2+4b2+4=8ab, s(a2-4ab+462)+[（ab2-4ab+4]=0, (a-2b)2+(ab-2)2=0 (a-2b)2≥0，(ab-2)≥0， a-2b=0,ab-2=0, a=2b,ab=2, ）=29-3ab=2x2 -3×2=4-6=-2, b 故答案为：-2. 6 n+1/1+n 2 【分析】本题通过阅读理解寻找规律，观察可得(a+b)n(n为非负整数)展开式的各项系 数的规律：首尾两项系数都是1，中间各项系数等于（a+b)n相邻两项的系数和.因此根 据项数以及各项系数的和的变化规律，得出(a+b)n的项数以及各项系数的和即可. 【详解】根据规律可得，(a+b)n共有(+1)项， :1=20 1+1=2 1+2+1=22 1+3+3+1=23 :(a+b)n各项系数的和等于2n 故答案为+1,2n 【点睛】本题主要考查了完全平方式的应用，能根据杨辉三角得出规律是解此题的关键.在 应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a,b可是单项式，也可以是多项式；②对形如 两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式， 7,.M=-1或M=-9%或M=46c或M=斜 【分析】先分完全平方式是单项式还是多项式，再分9x2是平方项与乘积二倍项分情况讨论， 根据完全平方公式解答即可， 【详解】解：①当这个完全平方式是一个单项式的平方时， 则9x2+1+M是一个单项式，所以M=一1或M=-9x2. ②当这个完全平方式是一个二项式的平方时， a. 当这个完全平方式形如M+9x2+1时，即9x2为两数乘积为2倍，因为9x2=2, 221, 所以M= G)- b.当这个完全平方式形如9x2+M+1时，即M为两数乘积的2倍，因为9x2=(3x)2,所 以M=±2-3x1=±6x, c.当这个完全平方式形如9x2+1+M时，即1为两数乘积的2倍，此时M不是一个整式， 所以这种情况不存在. 综上所述，M=一1或M=一92或M=6x或M=8x 【点睛】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成 了一个完全平方式.此题解题的关键是要分情况讨论求解， 8.(1)(a-b)2 (2)(a+b)2=(a-b)}2+4ab (3)±2W万 号 【分析】(1)阴影部分的正方形边长等于小长方形的长减去小长方形的宽，平方即得， (2)图2中大正方形的面积(a+b)等于阴影部分的正方形的面积(a-b)加四个小长方形 的面积4ab. (3)由(2)中结果得(x+y2=(x-y2+4y,先求出(x+y的值，再开平方即得。 (4)设正方形AMWC和BCFE的边长分别为m和n,根据题意，得m+n=5, m2+n2=19,根据(m+n)2=m2+2mn+n2公式变形即得. 本题主要考查了完全平方公式的几何意义.熟练掌握完全平方公式的结构特征以及图形中面 积之间的关系，是解决问题的前提。 【详解】(1)解：阴影部分正方形的边长为(a-b), 阴影部分的正方形面积为(a-b), 故答案为：(a-b)2. (2)解：S影=(a-b)2=(a+b)2-4ab, s(a+b)2=(a-b)2+4ab, 故答案为：(a+b)=(a-b)2+4ab, (3)解：由(2)知，(x+y)2=(x-y)2+4y, x-y=4,y=3, (x+y2=42+4×3=28, x+y=±28=2W7. (4)解：设正方形AMWC和BCFE的边长分别为m和n, 则m+n=5,m2+n2=19, 将m+n=5等号的两边同时平方，得m2+2mn+n2=25, 19+2mn=25, mn=3, 1 1 8S4Bc=mmE2X3三3 2 故答案为：2 9.(1)(a+b)2=(a-b)2+4ab (2)①12：②2016： (3)52 【分析】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的 结构特征是解决问题的关键： (1)根据图3是一个边长为a+)的大正方形，是由4个长为a,宽为b的长方形和一个边长 为(a-b)的小正方形构成，由此根据图形的面积可得出(a+b)与(a-b)之间的关系： (2)①先由完全平方公式得2y=(x+y)2-(x2+y2),再将x+y=8,x2+y2=40整体代入 计算即可得出y的值：②先设x-300=a,200-x=b,则a+b=-100,a-b=2x-500, ab=1996,然后根据(1)的结论得(a-b)2=(a+b)2-4ab=2016,据此可得(2x-500)的值： (3)设AC=a,BC=b,则a+b=10,ab=24,S+S2=a+b2,再由完全平方公式得 a2+b2=(a+b)2-2ab=52,据此可得S+S2的值. 【详解】(I)解：如图3所示：大正方形的边长为+1，小正方形的边长为(a-b), ∴.大正方形的面积为(a+b)2,小正方形的面积为(a-b)2, 另一方面：大正方形是由4个长为a,宽为b的长方形和一个边长为(a-b)的小正方形构成， ∴.(a+b)2=(a-b)2+4ab, 故答案为：(a+b)2=(a-b)2+4ab. (2)解：①(x+y)2=x2+2y+y2, 2y=(x+y)2-(x2+y2), x+y=8,x2+y2=40, .2y=82-40=24, .y=12, 故答案为：12： ②设x-300=a,200-x=b, a+b=x-300+200-x=-100,a-b=x-300-(200-x)=2x-500, ":(x-300)(200-x)=1996, ab=1996, 由(1)可知：(a+b)2=(a-b)2+4ab, (a-b)2=(a+b)2-4ab=(-100)2-4×1996=2016, .(2x-500)2=2016: (3)解：设AC=a,BC=b, AB=10, .a+b=10, :图中阴影部分面积为24， ab=24, ,四边形ACDE和BCFG均为正方形， S+S2=a2+b2, ~(a+b)2=a2+2ab+b2, a2+b2=(a+b)2-2ab=102-2×24=52, S+S2=52 10.(1)6 ®7 【分析】 本题主要考查完全平方公式的运用. (1)先将(2a+1)1-2a)-(（3-2a)2+9a2=14a-7整理得a2-2a-1=0,再仿照阅读内容求 出a-昌的值，最后再根据完全平方公式求出+行的值即可： (2)先求出， a 5a4+a2+5 的倒数得54+g+5=5+亭+1，再将(1)中所求得的日2+日 a2 的值整体代入即可. 熟练掌握完全平方公式，会根据完全平方公式进行变形是解题的关键。 【详解】(1)（2a+1)1-2a-(3-2a2+9a2=14a-7 1-4a2-(9-12a+4a2)+9a2-14a+7=0, 整理得：a2-2a-1=0, a-1=2, a a+-气a-+2=4+2=6 (2) a2 5a+a2+5 的倒数为5a+a2+5 3 ,5a+a+5=5d+ a2 ++1=(2+)1=5x6+1=3, 1 5a+a2+5-3i1 11.(1)a2+b2=(a+b)2-2ab (2)7 (3)19 (4)8 (5)20 【分析】(1)方法一是直接将两个正方形的面积相加，方法二是用大的正方形面积减去两个 长方形的面积，即可得到等式： (2)根据（1)中得到的关系式直接代入即可得到结果； (3)根据（2)中的方法可得到结果： (4)根据得到的大长方形的面积展开，可以得到一个关系式，由关系式中可知道用的纸张 分别是多少，计算其和即可； (5)先根据阴影部分构造出来等式，然后根据两次完全平方公式得到结果。 【详解】(1)解：方法一：阴影部分是两个正方形的面积和，即a2+b2: 方法二：阴影部分也可以看作边长为(a+b)的面积减去两个长为a,宽为b的长方形面积， 即(a+b)2-2ab, 两种方法可得出：a2+b2=(a+b)2-2ab: (2)解：由(1)可得a2+b2=(a+b)2-2ab, xab=1,a+b=-3, a2+b2=(a+b)2-2ab=(-3)2-2×1=7: (3)解：设(x-10)=a,(5-x)=b, x满足(x-10)5-x)=3, ab=3, a+b=x-10+5-x=-5, a2+b2=(a+b)2-2ab=(-5)2-2×3=19, (x-10)2+(5-x)2的值为19： (4)解：（3a+b)(a+b)=3a2+3ab+ab+b2=3a2+4ab+b2, A纸片的面积为a2,B纸片面积为b2,C纸片面积为ab, 根据3a2+4ab+b2可知要拼出一个面积为(3a+b)(a+b)的大长方形，需要3张A纸片，1 张B纸片，4张C纸片， 则x+y+z=3+1+4=8: (5)解：由图知ED=x-1,DF=x-3, ÷S刷形=(x-1)2-(x-3)2, ,长方形EMFD的面积是24， (x-1)(x-3)=24, 设x-1=a,x-3=b, 则a-b=2,ab=24, 由(a+b)2=(a-b)2+4ab,得(a+b)2=22+4×24=100, ÷a+b=10, ÷a2-b2=(a+b)(a-b)=10×2=20, 即(x-1)2-(x-3)2=20, ÷阴影部分的面积为20. 【点睛】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用、多项式乘多项式、完全平方公式的 变形适用，熟练掌握完全平方公式以及能够用换元法解题是解题的关键. 12.(1)y=2:(2)①7：②3；(3)30. 【分析】(1)根据完全平方公式的变形可得答案； (2)①设x=m,3-x=n,则mn=1,m+n=3,由x2+(x-3)2=m2+m2=(m+n)2-2mn进行 计算即可： ②设x-3=a,x-4=b,则ab=(x-3)(x-4)=1,a-b=1,由 (x-3)2+(x-4)2=a2+b2=(a-b)2+2ab进行计算即可； (3)设A0=p,D0=9,由题意可得，p+9=16,p2+g2=136,由2pg=(p+g)2-(p2+g2) 求出P9的值即可. 【详解】解：（1)x+y=3, (x+y2=9, x2+2y+y2=9, x2+y2=5, w922, 答：y=2; (2)①设x=m,3-x=n,则n=1,m+n=3, x2+(x-3)2=m2+n2 =(m+n}-2mn =9-2 七下乘法公式灵活运用 1. 若 是关于x的完全平方式，则k= . 2.若多项式 是完全平方式，请你写出所有满足条件的单项式Q是 . 3. 把 加上一个单项式，使其成为一个完全平方式.请你写出所有符合条件的单项式 . 7.如果多项式9x²+1加上一个单项式M后能成为一个完全平方式，求这个单项式M. 4.已知 下列结论：①x+ =3; ②x²+ =7;③(x-1y²=5;④2x³-16x+3=-2,其中正确的有 .(请填写序号) 5.已知 则 的值为 . 6.我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”(如图)，此图揭示了( (n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律. 例如： 它只有一项，系数为 1；系数和为1； 它有两项，系数分别为1，1，系数和为2； 它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4； 它有四项，系数分别为 1，3，3，1，系数和为8； 则(a+b)”的展开式共有 项，系数和为 . 学科网（北京）股份有限公司 8.图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形. (1)图2中阴影部分的正方形面积为 (用含a，b的式子表示). (2)观察图2，下列三个代数式( ab之间的等量关系是 . (3)根据(2)中得到的等量关系，若x，y为任意实数，且.x-y=4,xy=3,求x+y的值. (4)如图3，点C是线段AF上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AF=5,，两正方形的面积和 则图中阴影部分面积 . 9.通过第14章的学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式：如图1可以得到 如图2可以得到： 现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)【探索发现】根据图中条件，猜想并验证( 与 之间的关系(用含a、b的代数式表示出来)；图3表示: ; (2)【解决问题】①若 则 xy= ; ②当(x-300)(200-x)=1996时,求( 的值. 学科网（北京）股份有限公司 (3)【拓展提升】如图4，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形ACDE和BCFG，延长GB和ED交于点H，那么四边形DCBH为长方形，设AB=10,，图中阴影部分面积为42，求两个正方形的面积和 10.阅读下列解答过程：已知：x≠0,且满足 求： 的值。 解： 即 请通过阅读以上内容，解答下列问题： 已知a≠0,且满足 求： 的值； 的值. 学科网（北京）股份有限公司 11.结合图形我们可以通过两种不同的方法计算面积，从而可以得到一个数学等式. (1)如图1，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到的数学等式是 ； (2)我们可以利用(1)中的关系进行求值，例如，若x满足((2-x)(x-5)=1,可设2-x=a, x-5=b,则ab=1, a+b=-3.则 (3)若x满足(x-10)(5-x)=3,则 的值为 ； (4)小玲想利用图2中x张A纸片，y张B纸片，z张C纸片拼出一个面积为(3a+b)(a+b)的大长方形，则x+y+z= ; (5)如图3,已知正方形ABCD的边长为x, E, F分别是AD、DC上的点,且AE=1, CF=3,长方形EMFD的面积是24，分别以MF、DF为边作正方形，求阴影部分的面积。 12.【知识生成】 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式.例如图1可以得到 基于此，请解答下列问题： 【直接应用】(1)若 求 xy的值; 【类比应用】(2)填空: ①若x(3-x)=1,则. ②若(x-3)(x-4)=1,则 学科网（北京）股份有限公司 【知识迁移】(3)两块全等的特制直角三角板( )如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上, 连接AC, BD. 若 求一块直角三角板的面积. 13.数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形. (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和. 方法1: ; 方法2: . (2)请你直接写出三个代数式： ab之间的等量关系. 根据(2)题中的等量关系，解决如下问题： (3)已知 求 (4)已知 求 的值. 学科网（北京）股份有限公司 $