1.2.2完全平方公式 同步练习 2025-2026学年湘教版七年级数学下册

1.2.2完全平方公式 同步练习 2025-2026学年湘教版七年级数学下册 一、选择题 1．下列计算正确的是（　　） A．a2•a3=a6 B．（-a2）3=a6 C．-a6÷a3=-a3 D．（a-b）2=a2-b2 2．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．若是一个完全平方式，则的值是（　　） A．100 B．25 C．20 D．10 4． 若a=10-b， ab=16， 则 （　　) A．36 B．68 C．84 D．100 5．若（x＋3y)2＝（x－3y)2＋M，则M为（　　) A．6xy B．12xy C．－6xy D．－12xy 6．已知，，则（　　） A．13 B．19 C．26 D．31 7．已知，，则的值是 A．33 B．41 C．57 D．65 8．已知实数，满足，．若，则（　　） A． B． C． D． 9．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 10．若，，则的值为（ ） A． B．24 C．25 D．50 11．若a，b的值使得成立，则的值为（　　） A． B．5 C． D．1 二、多选题 12． 已知实数 满足 ，则 的值可以为(　　) A．-2 B．0 C． D． 三、填空题 13．若是一个完全平方式，则a的值为　 　． 14．若a2＋b2＝30，ab＝11，则（a－b)2＝　 　. 15．我们定义：一个整式能表示成（a、b是整式）的形式，则称这个整式为“完美式”，例如：因为（x、y是整式），所以M为“完美式”．若（x，y是整式，k为常数）为“完美式”，则k的值为　 　． 16．　 　． 17．若(5a＋3b)2＝(5a－3b)2＋A，则A＝　 　. 四、解答题 18．计算： （1）(3x+1)2； （2）(2x-3y)2； （3）(-4-a)2； （4） 19．已知，求： （1）的值； （2）的值． 20．化简：． 21．数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用一张A种纸片、一张B种纸片和两张C种纸片可拼成如图2所示的大正方形． （1）请用两种不同的方法表示图2中大正方形的面积． 方法1： ； 方法2： （2）观察图2，请你写出代数式之间的等量关系： （3）根据（2）中的等量关系，解决下列问题： ①已知，求的值； ②已知，求的值． 22．完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题.例如： 若，求的值. 解：， . 即. . 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： （1）若，则的值为　 　；的值为　 　； （2）如图，是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向两边作正方形，若，两正方形面积的和为25，设，求的面积； 23．所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称A是完全平方式，例如：，． （1）下列各式中是完全平方式的编号有______； ①；②；③；④；⑤． （2）若，请利用完全平方式求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：A：a2•a3=a5，错误，不符合题意； B：（-a2）3=-a6，错误，不符合题意； C：-a6÷a3=-a3，正确，符合题意； D：（a-b）2=a2-2ab+b2，错误，不符合题意； 故答案为：C 【分析】根据同底数幂的乘法，除法，幂的乘方，积的乘方，完全平方公式逐项进行判断即可求出答案. 2．【答案】C 【解析】【解答】解：A.与不能合并，故该选项不正确，不符合题意； B.，故该选项不正确，不符合题意； C.，故该选项正确，符合题意； D.，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【分析】根据合并同类项，积的乘方，单项式乘以单项式以及完全平方公式的运算法则逐项判断解答即可． 3．【答案】B 【解析】【解答】解：∵是完全平方式， 则， ∴， 故答案为：B． 【分析】本题根据完全平方公式，将原式变形，即，此时对应a=x、b=5，因此k=b2=52=25，从而得出答案。 4．【答案】B 【解析】【解答】解：∵ a=10-b， ∴a+b=10， ∴（a+b）2=a2+2ab+b2=100， ∵ab=16， ∴100-2ab=100-2×16=68. 故答案为：B. 【分析】根据完全平方公式可得出（a+b）2=a2+2ab+b2，进而得出100-2ab=100-2×16=68. 5．【答案】B 【解析】【解答】解： =12xy. 故答案为：B. 【分析】根据完全平方公式计算即可. 6．【答案】A 7．【答案】D 【解析】【解答】解： ∵，， ∴=(a-b)2+2ab =72+2×8=65. 故答案为：D. 【分析】将原式化为=(a-b)2+2ab ，再整体代入计算即可. 8．【答案】D 【解析】【解答】解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：D． 【分析】将等式a+b=4两边同时平方，展开后结合a2+b2=10可求出ab=3，然后根据完全平方公式将(a-b)2展开后整体代入计算可得答案. 9．【答案】B 【解析】【解答】解：， 故答案为：B． 【分析】利用完全平方公式的定义及计算方法（两个数的和或差的平方等于这两个数的平方和与这两个数积的2倍的和或差）分析求解即可. 10．【答案】C 【解析】【解答】解：∵，， ∴，， 两式相加得：， 解得， 故答案为：C． 【分析】根据完全平方公式结合题意展开得到，，进而根据整式的加减运算将两式相加即可求解。 11．【答案】D 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：D 【分析】本题需通过完全平方公式展开与同类项系数对应求解。首先将左边的按完全平方公式展开，得到。由于等式两边的多项式相等，对应的同类项系数必须相等，因此将展开式与右边的对比，可得关于的一次项系数满足，常数项满足。先求解的值，再代入求出，最后计算的值。 12．【答案】B,C 13．【答案】1或 【解析】【解答】解：∵是完全平方式，且常数项为16， ∴一次项系数应满足，即， 当时，解得， 当时，解得； 故a的值为1或； 故答案为1或． 【分析】根据完全平方式的结构特征，一次项系数应等于±2×二次项系数的算术平方根×常数项的算术平方根。由此列出方程−4(a+1)=±8，分别求解后得到a=1或a=−3。 14．【答案】8 【解析】【解答】解： ， 故答案为：8. 【分析】已知两等式利用完全平方公式展开即可求值. 15．【答案】34 【解析】【解答】解： ， S为“完全式”， ， ， 故答案为：34． 【分析】根据配方法化简，结合题意建立方程，解方程即可求出答案. 16．【答案】16 【解析】【解答】解：； 故答案为：16 【分析】根据完全平方公式即可求出答案. 17．【答案】60ab 【解析】【解答】解：∵（5a+3b）2=（5a-3b）2+A， ∴25a2+9b2+30ab=25a2+9b2-30ab+A， ∴A=60ab． 故答案为：60ab． 【分析】 本题考查完全平方公式，熟知完全平方公式的基本形式是解题关键． 根据完全平方公式将等式两边展开，然后通过移项计算出A的表达式，进而得出A的值，由此可得出答案. 18．【答案】（1）解：原式=（3x)2+2×3x×1+12 =9x2+6x+1 （2）解：原式= = （3）解：原式= =16+8a+a2 （4）解：原式= = = 【解析】【分析】（1）根据“（a+b）2=a2+2ab+b2”计算； （2）根据“（a-b）2=a2-2ab+b2”计算； （3）根据“（a-b）2=a2-2ab+b2”计算； （4）根据“（a+b）2=a2+2ab+b2”计算； 19．【答案】（1） （2） 20．【答案】 21．【答案】（1）； （2） （3）解：①∵， ∴， ∵， ∴； ②令，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ​​​​​​ 【解析】【解答】（1）解：方法1：大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为：， 方法2：大正方形的面积=各个部分面积之和=两个小正方形和两个小矩形的面积， ∴大正方形的面积为：； 故答案为：方法1：；方法2：； （2）解：观察图2，代数式之间的等量关系为； 故答案为：； 【分析】（1）用整体法表示大正方形面积为 ，用部分和表示为 ， （2）由面积相等得到完全平方公式 。 （3）① 利用变形公式 ，代入已知条件求出 。 ② 通过换元法，将 和 看作整体，利用同样的变形公式求出乘积。 （1）解：方法1：大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为：， 方法2：大正方形的面积=各个部分面积之和=两个小正方形和两个小矩形的面积， ∴大正方形的面积为：； 故答案为：方法1：；方法2：； （2）解：观察图2，代数式之间的等量关系为； 故答案为：； （3）解：①∵， ∴， ∵， ∴； ②令，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22．【答案】（1）13；17 （2）解：设AC=a，BC=CF=b， 根据题意可知a+b=9，a2+b2=25， ∴(a+b)2=81， ∴a2+b+2ab=81， ∴2ab=81-25=56， ∴ab=28， ∴. 【解析】【解答】解：(1)∵a+b=3，ab=-2， ∴(a+b)2=9，2ab=-4，4ab=-8， ∴a2+b2=(a+b)2-2ab=13， (a-b)2=(a+b)2-4ab=17， 故答案为：13；17. 【分析】(1)根据题意，a2+b2=(a+b)2-2ab，(a-b)2=(a+b)2-4ab，代入计算即可解答； (2)根据题意可知a+b=9，a2+b2=25，求出ab=28，即可解答. 23．【答案】（1）①②④⑤ （2）解：， ∵ ∴ ​​​​​​​ 【解析】【解答】 （1） 解：①，是； ②，是； ③，不是； ④，是； ⑤，是； 故答案为：①②④⑤ 【分析】 （1）根据完全平方公式的结构特征即可求解； （2）根据完全平方公式“a2+2ab+b2=（a+b）2”变形可得，把代入变形后的代数式计算即可求解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $