6.2　一元一次方程的解法 课件 2025-2026学年鲁教版（五四制）六年级数学下册

2　一元一次方程的解法 第1课时　等式的基本性质 2．[2025·大方县模拟]观察图1，若天平保持平衡，在图2天 平的右盘中需放入多少个 才能使其平衡( ) A．5 B．6 C．7 D．8 4．[2024·株洲期末]如图，天平的两个盘内分别盛有102 g和 96 g的糖，应从盘A中拿出__g糖放到盘B中，才能使两者所盛糖 的质量相等． 3 5．已知2y－3x＝5，用含x的代数式表示y，则y＝______． 问题： (1)求2＋22＋23＋24＋…＋22 024的值； (2)求4＋12＋36＋…＋4×32 024的值． 解：(1)令S＝2＋22＋23＋24＋…＋22 024①， 将等式两边同时乘2，得2S＝22＋23＋24＋…＋22 025②，②－①得 S＝22 025－2； (2)因为4＋12＋36＋…＋4×32 024＝4×(1＋3＋32＋33＋…＋32 024)， 令S＝4×(1＋3＋32＋33＋…＋32 024)①， 将等式两边同时乘3得到3S＝4×(3＋32＋33＋…＋32 025)②，②－① 得2S＝4×(32 025－1)， 所以S＝2×(32 025－1)． 7．阅读与探究 . . . 初步探究： (1)根据上述推理过程，0.8. ___(填“是”或“不是”)有理 数； 类比迁移： (2)请根据材料中的方法，判断0.23. 是否为有理数，并说明理 由． . .. 是 1．[2025·沙市区三模]已知a＝b，则下列等式关系不正确的是( ) A．a－1＝b－1 B．2a＝2b C．a＋b＝0 D．eq \f(a,2)＝eq \f(b,2) 3．[2024·李沧区期末]等式就像平衡的天平，下列选项能刻画如图事实的是( ) A．若a＝b，则a＋c＝b＋c B．若a＝b，则ac＝bc C．若a＝b，则eq \f(a,c)＝eq \f(b,c)(c≠0) D．若a＝b，则a2＝b2 eq \f(3x＋5,2) 6.[培素养][2024·祁阳市期中]阅读下面文字，回答后面的问题． 求5＋52＋53＋…＋5100的值． 解：令S＝5＋52＋53＋…＋5100(1) 将等式两边同时乘5，得 5S＝52＋53＋54＋…＋5101(2) (2)－(1)，得4S＝5101－5， 所以S＝eq \f(5101－5,4). 我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“rational number”，“rational”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，但其实“rational”这个词的词根“ratio”源于古希腊，是“比率”的意思，所以“rational number”这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数．比如：整数4可以写成eq \f(4,1)，分数eq \f(11,3)就是整数11和整数3的比. 思考：0.8. 是不是有理数呢？ 小亮的思路如下： 设0.8. ＝x，则x＝0.888 8…，所以10x＝8.888 8…， 所以10x－x＝8.888 8…－0.888 8…＝8. 化简，得9x＝8，解得x＝eq \f(8,9)，所以0.8. ＝eq \f(8,9). … 解：(1)0.eq \o(8,\s\up6(.))是有理数，故答案为：是； (2)0.eq \o(2,\s\up6(.)) eq \o(3,\s\up6(.))是有理数． 理由：设0.eq \o(2,\s\up6(.)) eq \o(3,\s\up6(.))＝x，则x＝0.232 3…， 所以100x＝23.232 3…，所以100x－x＝23， 解得x＝eq \f(23,99)，所以0.eq \o(2,\s\up6(.)) eq \o(3,\s\up6(.))＝eq \f(23,99)， 所以0.eq \o(2,\s\up6(.)) eq \o(3,\s\up6(.))是有理数. $第5课时解较复杂的一元一次方程 夯基础 1、[2024·崇明区期末灯在解力程03 0.23-0.2x-1时，对该方程 0.07 化简正确的是() A. 100x23-20x-100 0x23-20x=1 30 7 3 7 0.23-0.2x 307 1 D. 10x23-20x=10 3 2.已知方程1 -35-x 0.2-0.3 把分母化成整数，得() A.10-(x-3)=5-x 8.10352 3 2 C.0.6-0.3(x-3)=0.2(5-x) V-56-)-95- 8方0252 X =1.2的解为( ) 19 A. 13 4 8 13 19 C. 8 D. 4 4、力程，产=8.1可变形成为 0x20x 0.1 7 6.+音+是12023X2242023,则x-2024 X X 解析：原方程整理得 X 12+23++22322 =223, 可t2+公，++222nlk-2a 西支2+23+223x224 -1-+23-+2222+262g224 1 12023 2023 =1-20242024 即2924X=2023. 解得X=2024. 6.若关于x的方程x十2(：一k)=3x的解是方程。一3之x的解的 2倍，则k=一3」 7若丁x的方吉1-22， 的解为整数，则符合条件的所有 整数m的值之和为 24 8.观察下列方程： 第1个：=1的解是x-2 第2个：名+22-1的解是×=3 第3个：名+23-1的解是x一4 第4个：合1之1的解是x=5: ●●●●●。 (1)按照规律，第5个方程的解是x=6; X LX2025 (2)解是x=2026的方程是4052 2 解：(1)因为第1个：×+X1 4 2 =1的解是x=2; 第2个合+2-1的解是X=3: 第3个合+2 =1的解是x=4; 第4个0+ =1的解是x=5; 所以第5个方程的解是x=6, 故答案为：6；第3课时　去括号解一元一次方程 1．[2025·泰山区期中]对于非零的两个数a，b，规定a b＝ b－2a，若(x－2) 3＝5，则x的值为( ) A．2 B．1 C．0 D．－1 2．[2024·西湖区期末]方程2－3(x－2)＝x去括号正确的 是( ) A．2－3x＋2＝x B．2－3x－6＝x C．2－3x＋6＝x D．3－3x－2＝x 3．[2025·阳谷县二模]按如图所示的程序运算，若开始输入的x为正数，最后输出的结果为31，则满足条件的x的值为( ) A．0 B．1 C．6 D．1或6 5．定义：若A－B＝m，则称A与B是关于m的关联数．例如：若A－B＝2，则称A与B是关于2的关联数．若2x－1与3x－5是关于4的关联数，则x的值是( ) A．0 B．1 C．8 D．2 6．[2025·清原县模拟]方程4x－2＝2(5－x)的解为_____． 7．[2025·浙江模拟]若式子3x＋2与式子2(x－2)－3的值相等， 则x的值为____． 8．[2025·海阳市期中]定义新运算：对于任意有理数a，b都有 a b＝a(a－b)＋1，如：2 5＝2×(2－5)＋1＝－5.若4 x ＝13，则x的值为__． x＝2 －9 1 9．已知点A在数轴上表示3x＋1，点B在数轴上表示8x－10，若 点A、点B到原点的距离相等，则x的值是________． 10．解方程： (1)5(x＋2)＝2(4x－1)； (2)3x－2(4x－1)＝5； (3)3－2(2x－1)＝5(2－x)； (4)7－6(x＋4)＝3－28x. 11．[2024·白云区期末]解方程：2(3－4x)＝1－3(2x－1)． 解：去括号，得6－4x＝1－6x－1，(第一步) 移项及合并同类项，得2x＝－6，(第二步) 系数化为1，得x＝－3.(第三步) 以上解方程的步骤正确吗？若不正确，请指出错误的步骤，并给出正确的解答过程． 解：不正确，错在第一步．正确的解答过程如下： 去括号，得6－8x＝1－6x＋3， 移项及合并同类项，得－2x＝－2， 系数化为1，得x＝1. 12.[培素养]若关于x的方程3(x－k)＝2(x＋1)与x－3(x－1)＝2－(x＋1)的解互为相反数，求k2－(6k－2)的值． 13.[培素养]已知x＝1是方程6－(a－x)＝6x的解，求关于y的方程a(y－5)－2＝a(2y－3)的解． 解：把x＝1代入方程，得6－(a－1)＝6， 解得a＝1， 代入方程a(y－5)－2＝a(2y－3)，得(y－5)－2＝2y－3，解得y＝－4. 14．当k为何值时，关于x的方程(k－5)x－7＝x－1的解是－2? 解：把x＝－2代入方程，得－2(k－5)－7＝－2－1， 去括号，得－2k＋10－7＝－3， 移项，合并同类项，得－2k＝－6， 解得k＝3. 15．已知关于x的方程3(x－2)＝2x＋a的解比x＋a＝2x－a的解小2，求a的值． 解：3(x－2)＝2x＋a， 去括号，得3x－6＝2x＋a， 移项，合并同类项，得x＝a＋6； x＋a＝2x－a， 移项，合并同类项，得－x＝－2a， 解得x＝2a， 根据题意得a＋6＋2＝2a，解得a＝8， 则a的值为8. 16.[培素养 新定义][2024·开江县期末]定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x＝8和x＋1＝0的解分别为2和－1，2＋(－1)＝1，故方程4x＝8和x＋1＝0为“美好方程”． (1)若关于x的方程3x＋m＝0与方程4x－2＝x＋10是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个方程的解的差为8，且其中一个解为n，求n的值； eq \o\ac(○,×) eq \o\ac(○,×) 4．若式子2(3x－5)与式子6－(1－x)的值相等，则这个值是( ) A．8 B．3 C．2 D．eq \f(15,7) eq \o\ac(○,×) eq \o\ac(○,×) eq \o\ac(○,×) eq \f(9,11)或eq \f(11,5) 解：(1)5(x＋2)＝2(4x－1)，去括号，得5x＋10＝8x－2， 移项，得5x－8x＝－2－10， 合并同类项，得－3x＝－12， 系数化为1，得x＝4； (2)3x－2(4x－1)＝5， 去括号，得3x－8x＋2＝5， 移项、合并同类项，得－5x＝3， 系数化为1，得x＝－eq \f(3,5)； (3)3－2(2x－1)＝5(2－x)，去括号，得3－4x＋2＝10－5x， 移项，得5x－4x＝10－2－3， 合并同类项，得x＝5； (4)7－6(x＋4)＝3－28x， 去括号，得7－6x－24＝3－28x， 移项、合并同类项，得22x＝20， 系数化为1，得x＝eq \f(10,11). 解：方程x－3(x－1)＝2－(x＋1)去括号， 得x－3x＋3＝2－x－1，解得x＝2. 依题意，得方程3(x－k)＝2(x＋1)的解为x＝－2， 所以3(－2－k)＝2(－2＋1)， 即－6－3k＝－2，解得k＝－eq \f(4,3)， 所以k2－(6k－2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))eq \s\up12(2)－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(6×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))－2))＝eq \f(106,9). (3)若关于x的一元一次方程eq \f(1,2 024)x＋3＝2x＋k和eq \f(1,2 024)x＋1＝0是“美好方程”，求关于y的一元一次方程eq \f(1,2 024)y＋eq \f(1,2 024)＝2y＋k－1的解． 解：(1)3x＋m＝0，解方程得x＝－eq \f(m,3)； 解方程4x－2＝x＋10得x＝4， 因为关于x的方程3x＋m＝0与方程4x－2＝x＋10是“美好方程”， 所以4－eq \f(m,3)＝1，解得m＝9， 所以m的值为9； (2)由条件可知另一个方程的解为1－n， 因为“美好方程”的两个解的差为8， 所以n－(1－n)＝8或1－n－n＝8， 所以n＝eq \f(9,2)或n＝－eq \f(7,2)； (3)因为eq \f(1,2 024)x＋1＝0， 所以x＝－2 024， 因为关于x的一元一次方程eq \f(1,2 024)x＋3＝2x＋k和eq \f(1,2 024)x＋1＝0是“美好方程”， 所以eq \f(1,2 024)x＋3＝2x＋k的解为x＝1－(－2 024)＝2 025， 因为关于y的一元一次方程eq \f(1,2 024)y＋eq \f(1,2 024)＝2y＋k－1可化为eq \f(1,2 024)(y＋1)＋3＝2(y＋1)＋k， 所以y＋1＝2 025，所以y＝2 024. $第4课时去分母解一元一次方程 夯基础 。 。 5或一7 x=17 -9 。 。 2 。第2课时　移项解一元一次方程 1．[2025·隆昌市期末]如果单项式－xyb＋2与 xa＋2y3是同类项， 那么关于x的方程ax＋b＝2 024的解为( ) A．x＝2 022 B．x＝－2 023 C．x＝－2 022 D．x＝2 023 2．[2024·单县期末]若a，b表示非零常数，整式ax＋b的值随x取值的变化而发生变化，如下表，则关于x的一元一次方程－ax－b＝－3的解为( ) A．x＝－3 B．x＝－1 C．x＝0 D．x＝3 x －3 －1 0 1 3 … ax＋b －3 1 3 5 9 … 4．[2024·锡山区期末]方程4x－6＝2x＋4的解是( ) A．x＝－1 B．x＝1 C．x＝5 D．x＝－5 5．[2024·襄都区期末]解方程3x＝x时，嘉嘉和淇淇有不同的解法，如表所示： 嘉嘉的解法 解：方程两边都除以x，得3＝1. 因为3≠1， 所以3＝1不成立， 所以原方程无解． 淇淇的解法 解：移项，得3x＋x＝0. 合并同类项，得4x＝0. 系数化为1，得x＝0， 所以原方程的解为x＝0. 以下说法正确的是( ) A．嘉嘉的解法正确，淇淇的解法错误 B．嘉嘉的解法错误，淇淇的解法正确 C．嘉嘉和淇淇的解法都正确 D．嘉嘉和淇淇的解法都错误 6．[2025·沙市区三模]一元一次方程3x－1＝2x＋1的解为_____． 7．[2025·武乡县期中]当x＝___时，代数式3x－2与4x－3的值 互为相反数． 8．关于x的方程kx＋1＝0(k≠0)的解是_______． x＝2 9．[2024·平泉市期末]如图所示的框图表示淇淇解方程3－5x ＝4－2x的流程． 出现错误的步骤是___(用流程中的序号表示)． ④ 10．[2024·通州区期末]当a取任何一个有理数时，(2k－4)a ＋2 025的值总是2 025，则k的值为__． 11．[2025·肇源县二模]若有a，b两个数满足关系式：a＋b＝ ab－1，则称a，b为“共生数对”，记作(a，b)．例如：2，3 满足2＋3＝2×3－1，则(2，3)是“共生数对”．若(－x，4) 是“共生数对”，则x＝____． 2 12．[2025·安溪县期中]解方程： (1)4x－3＝－x＋7； (2)3x－1＝5x－7； (3)5x－8＝3x－6； (4)3x－5＝－x－1. 解：(1)移项，得4x＋x＝7＋3， 合并同类项，得5x＝10， 系数化为1，得x＝2； (2)移项，得3x－5x＝－7＋1， 合并同类项，得－2x＝－6， 系数化为1，得x＝3； (3)移项，得5x－3x＝8－6， 合并同类项，得2x＝2， 系数化为1，得x＝1； (4)移项，得3x＋x＝－1＋5， 合并同类项，得4x＝4， 系数化为1，得x＝1. 13．[2024·金沙县期末]a※b是新规定的一种运算法则：a※b＝a2＋2ab，例如3※(－2)＝32＋2×3×(－2)＝－3. (1)求(－2)※3的值； (2)若(－2)※x＝－2＋x，求x的值． 14．[2025·武乡县期中]阅读与思考． 阅读下面的内容，并完成相应任务. 美好方程 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1， 那么我们就称这两个方程互为“美好方程”． 例如：方程5x＝10的解为x＝2， 方程x＋1＝0的解为x＝－1， 因为2＋(－1)＝1， 所以方程5x＝10与x＋1＝0互为“美好方程”. 任务： (1)请判断方程4x－5＝1＋x与－2x－1＝3是否互为“美好方程”，并说明理由． (2)若关于x的方程2x＋m＝0与4x＋2－5x＋8＝6互为“美好方程”，求m的值． 解：(1)方程4x－5＝1＋x与－2x－1＝3不互为“美好方程”，理由如下： 4x－5＝1＋x，解得x＝2， －2x－1＝3，解得x＝－2， 因为2＋(－2)＝0≠1，所以方程4x－5＝1＋x与－2x－1＝3不互为“美好方程”； 15．[2024·武安市期末]我们规定若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b－a，则称该方程是“差解方程”，例如：3x＝4.5的解为x＝1.5＝4.5－3，则方程3x＝4.5是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 (1)判断：方程2x＝4___(填“是”或“不是”)差解方程； (2)若关于x的一元一次方程4x＝m是“差解方程”，求m的值； 【知识应用】 (3)已知关于x的一元一次方程4x＝ab＋a是“差解方程”，则 3(ab＋a)＝___； (4)已知关于x的一元一次方程4x＝mn＋m和－2x＝mn＋n都是 “差解方程”，求代数式3(mn＋m)－9(mn＋n)2的值． 是 16 eq \f(1,2) 3．[2024·新县期末]已知y＝－2x＋1，若y＝－2，则x的值为( ) A．5 B．eq \f(3,2) C．eq \f(2,3) D．eq \f(1,2) eq \f(5,7) x＝－eq \f(1,k) －eq \f(5,3) 解：(1)(－2)※3＝(－2)2＋2×(－2)×3＝4－12＝－8； (2)根据题意，得(－2)2＋2×(－2)x＝－2＋x， 即4－4x＝－2＋x，解得x＝eq \f(6,5). (2)2x＋m＝0，解得x＝－eq \f(m,2)， 4x＋2－5x＋8＝6，解得x＝4， 因为关于x的方程 2x＋m＝0与4x＋2－5x＋8＝6互为“美好方程”， 所以－eq \f(m,2)＋4＝1，解得m＝6. 解：(1)因为方程2x＝4的解为x＝2＝4－2， 所以方程2x＝4是差解方程．故答案为：是； (2)由题意可知x＝m－4，解一元一次方程可得x＝eq \f(m,4)， 所以m－4＝eq \f(m,4)，解得m＝eq \f(16,3)； (3)因为方程4x＝ab＋a是“差解方程”， 所以x＝ab＋a－4，解方程4x＝ab＋a， 得x＝eq \f(ab＋a,4)，所以ab＋a－4＝eq \f(ab＋a,4)， 所以3ab＋3a＝16，即3(ab＋a)＝16. 故答案为：16； (4)因为一元一次方程4x＝mn＋m是“差解方程”， 所以x＝mn＋m－4， 解一元一次方程4x＝mn＋m得x＝eq \f(mn＋m,4). 所以mn＋m－4＝eq \f(mn＋m,4)，整理得3(mn＋m)＝16， 因为一元一次方程－2x＝mn＋n是“差解方程”， 所以x＝mn＋n＋2， 解一元一次方程－2x＝mn＋n得x＝－eq \f(mn＋n,2)， 所以mn＋n＋2＝－eq \f(mn＋n,2)， 整理得9(mn＋n)2＝16， 所以3(mn＋m)－9(mm＋n)2＝16－16＝0. $