6.3　一元一次方程的应用课件2025-2026学年 鲁教版（五四制）六年级数学下册

第4课时　一元一次方程的应用—— 盈余问题 知识点 盈余问题 知识解读 盈余问题主要涉及资源的分配与需求之间的关系，这类问题通常涉及两种情况：一种是资源充足的情况，即每人分到的资源超过需求，导致资源剩余，另外一种是资源不足的情况，即每人分到的资源不足以满足需求，导致资源短缺 解题方法 利用总数不变列方程 考点 盈余问题 典例 [2025·淮北三模]我国古代《孙子算经》记载了“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”其意思是“每3人共乘一辆车，恰好空余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，问人和车的数量各是多少？”求人和车的数量． 变式 [2025·武乡县期中]在这个美好的春日里，某校把课堂搬进鸟语花香的太原植物园，组织学生前去研学．某班在车上准备了5箱矿泉水，每箱的瓶数相同，到达目的地后，先从车上搬下2箱矿泉水，分发给班上每位学生1瓶矿泉水，有4位学生未领到；接着又从车上搬下3箱矿泉水，继续分发，最后班上每位学生都有2瓶矿泉水，还剩下16瓶矿泉水．每箱矿泉水有多少瓶？ 解：设每箱矿泉水有x瓶，根据先从车上搬下2箱矿泉水，分发给班上每位学生1瓶矿泉水，有4位学生未领到；接着又从车上搬下3箱矿泉水，继续分发，最后班上每位学生都有2瓶矿泉水，还剩下16瓶矿泉水则：5x－16＝2(2x＋4)，所以x＝24， 答：每箱矿泉水有24瓶. 解：设有x个人，则根据题意列方程得eq \f(x,3)＋2＝eq \f(x－9,2)， 解得x＝39.车的数量为15， 答：有39人，15辆车． $第2课时　一元一次方程的应用—— 形积变化问题 知识点 形积变化 1．长方体的体积＝长×宽×高． 2．圆柱体体积＝底面积×高． 3．长方形面积＝长×宽． 4．圆的面积＝πr2(r为圆的半径)． 5．形积变化常有以下几种情况： (1)周长不变 在周长一定的情况下，所围成的图形的形状不同，面积可能发 生变化，因此要抓住周长不变列方程解决问题． (2)面积不变 图形的形状发生变化，但是面积不改变，变化前后的面积相等 是列方程的关键． (3)体积不变 几何形状发生变化，但是体积不改变，可根据体积不变列方程． 【注意】 (1)列方程时结合题意找出变化过程中保持不变的量；(2)设未知数时多将图形的长、宽、半径等设为未知数；(3)列方程时要注意所有单位要统一． 考点 形积变化问题 典例 (1)将内半径为20 cm的圆柱形水桶里的水往另一小的圆 柱形水桶倒，直到倒满为止，已知小圆柱内半径为10 cm，高 是15 cm.当小水桶倒满时，大水桶的水面下降___cm. (2)一个长方形的周长是18 cm，若这个长方形的长减少1 cm， 宽增加2 cm，就可以成为一个正方形，则此正方形的边长 是( ) A．5 cm B．6 cm C．7 cm D．8 cm 变式1 某会议厅主席台上方有一个长12.16 m的长方形(矩形)会议横标框，铺红色衬底，开会前将会议名称用白色厚纸或不干胶纸刻出来贴于其上．但会议名称不同，字数一般每次都多少不等，为了制作及贴字时方便美观，会议厅工作人员对有关数据作了如下规定：边空∶字宽∶字距＝9∶6∶2，如图所示． 根据这个规定，若本次的会议名称为“浙江省金华市抗旱保苗春季大培训活动”时，边空、字宽、字距各是多少？ 解：设边空、字宽、字距分别为9x cm，6x cm，2x cm，9x×2＋6x×17＋2x×(17－1)＝1 216， 解得x＝8， 所以9x＝9×8＝72，6x＝6×8＝48，2x＝2×8＝16. 答：边空为72 cm，字宽为48 cm，字距为16 cm. 变式2 请根据图中给出的信息，求出大量筒中水的高度． 【规律总结】等体积变形一般可分为两种类型：一种是将铁块等进行锻造；一种是将水从一个容器倒入另一个容器． 常用的等量关系：(1)锻造前原料的体积＝锻造后物体的体积；(2)倒水前水的体积＝倒水后水的体积． eq \f(15,4) 解析：(1)设大水桶的水面下降了x cm，由题意得， π×202×x＝π×102×15， 解得x＝eq \f(15,4). (2)设正方形的边形为x cm，则长方形的长为(x＋1) cm， 长方形的宽为(x－2) cm， 根据题意，得2×[(x＋1)＋(x－2)]＝18， 解得x＝5. 解：设大量筒中水的高度为x cm， 由题意，得π×52x＝π×42(x＋6)，解得x＝eq \f(32,3). 故大量筒中水的高度为eq \f(32,3) cm. $ 第5课时　一元一次方程的应用—— 行程问题 知识点1 有关行程问题的关系式 路程问题：路程＝_____×_____． 速度 时间 【拓展】 1.航行问题： (1)顺水(风)问题：顺水(风)速度＝静水(风)速度＋水流(风)速度； (2)逆水(风)问题：逆水(风)速度＝静水(风)速度－水流(风)速度． 2．火车过桥(隧道)问题： (1)桥长＋火车长＝完全通过时间×速度； (2)桥长－火车长＝火车完全在桥上时间×速度． 知识点2 相遇问题 1．直线相遇问题：甲走的路程＋乙走的路程＝_____________ _____． 例如：如图1，甲、乙从相距100千米的两地同时出发、相向而 行，甲的速度为15千米/小时，乙的速度为20千米/小时，求相 遇时间． 解：设甲、乙相遇时所用时间为x小时． 由题意，得15x＋20x＝100. 甲、乙之间总 路程 2．环形跑道相遇问题：同起点、同时间、背向出发，首次相遇 时等量关系：二者速度和×时间＝环形周长． 例如：如图2，已知环形跑道长400 m，甲、乙两人从同一地点 同时出发、背向而行，甲每秒行走2米，乙每秒行走1.5米，问 多长时间首次相遇？ 解：设甲、乙x秒首次相遇．由题意，得 2x＋1.5x＝400. 【注意】 环形相遇：同起点、同时间、背向出发第n次相遇时，总路程为n圈． 知识点3 追及问题 1．直线追及：(1)同地、不同时、同向出发，快者走的路程－ 慢者走的路程＝_______________； (2)同时、不同地、同向出发，快者走的路程－慢者走的路程＝ _____________________． 慢者先走的路程 开始时两者相距的路程 2．环形跑道追及：同起点，同时间，同向出发，首次相遇时快 者比慢者多走了一圈，快者走的路程－慢者走的路程＝_______ _________． 环形跑 道的长度 【注意】 环形追及：第n次相遇时快者比慢者多走了n圈． 考点 行程问题 典例 A，B两地相距480千米．一辆快车从A地出发，每小时行驶 80千米，一辆慢车从B地出发，每小时行驶60千米． (1)两车同时出发，相向而行，x小时相遇，可列方程：______ _________； (2)两车同时出发，相背而行，x小时后两车相距620千米，可列 方程：___________________； 60x＋ 80x＝480 60x＋80x＋480＝620 (3)若快车从A地比慢车早出发5小时去追赶慢车，两车同向而 行，慢车出发多长时间后能被快车追上？ 思路导析 (1)直接利用行驶总路程＝480，即可得出等式； (2)直接利用两车距离＝620，即可得出等式；(3)直接利用快车追上慢车时两车距离为0得出等式． 解：(1)60x＋80x＝480； (2)60x＋80x＋480＝620； (3)设慢车出发y小时后被快车追上， 依题意，得80y＋80×5－(60y＋480)＝0， 解得y＝4， 答：慢车出发4小时后被快车追上． $第3课时　一元一次方程的应用—— 总量与分量问题 知识点 总量与分量问题 题目特征 通常含有两个等量关系 解题思路 设问题中的两个未知量中的一个为x，先利用一个等量关系用含x的代数式表示出另一个未知量，然后利用另外一个等量关系列方程求解 考点 总量与分量问题 典例 [2024·神木市期末]甲、乙两公司计划组织全体员工去某电影院观影．甲、乙两公司共100人，且甲公司人数比乙公司人数多．该电影院的票价如下：若一次性购买票数不超过50张，则单张票价为40元/张；若一次性购买票数多于50张，则每张票价打九折．已知两公司分别单独购买电影票时，共应付3 780元．甲、乙两公司各有多少名员工？ 解：设甲公司有x名员工，则乙公司有(100－x)名员工， 根据题意，得40×0.9x＋40(100－x)＝3 780， 解得x＝55， 所以100－x＝100－55＝45(人)． 答：甲公司有55名员工，乙公司有45名员工． 变式 [2025·南郑区一模]某校组织学生在红色文化教育实践基地开展植树活动，本次栽种了松树、杨树和柳树共56棵，其中杨树是松树的2倍，柳树比杨树的4倍少10棵，求杨树、柳树各栽种了多少棵？ 解：设松树栽种了x棵，则杨树栽种了2x棵，柳树栽种了(4×2x－10)棵， 根据题意，得x＋2x＋(4×2x－10)＝56， 解得x＝6，所以2x＝2×6＝12(棵)， 4×2x－10＝4×2×6－10＝38(棵)． 答：杨树栽种了12棵，柳树栽种了38棵． $3　一元一次方程的应用 第1课时　一元一次方程的应用——年龄及 和差倍分问题 知识点1 列方程解应用题的步骤 1．审：弄清已知是什么，求什么及其数量关系． 2．找：找出能表示题目全部含义的一个_________． 3．设：设未知数，可根据已知和所求选择_____设或_____设， 原则是尽量使列出的方程简单． 等量关系 直接 间接 4．列：根据_________列出方程． 5．解：解方程． 6．检：检验求得的解是否正确及其是否符合_____意义． 7．答：写出答案． 等量关系 实际 【注意】 等量关系的找法：(1)逐步列式法；(2)列表分析法；(3)画图分析法． 知识点2 年龄问题 类型 变化规律 等量关系 年龄差 年龄差始终不变，一直为初始年龄差 年龄差相等 年龄增 随着时间的推移，两人的年龄都增长相等的量 增长量相等 知识点3 和差倍分问题 类型 关键词 关系式 和差 关系 通过“共”“多”“少” “和”“差”“不足” “剩余”等关键词体现 各分量之和＝总量大数＝ 小数＋差 倍分 关系 通过“是几倍”“增加几 倍”“增加到几倍”“是 几分之几”等关键词体现 几倍后的量＝基础量×倍数 分量＝总量× 考点1 年龄问题 典例1 爷爷现在的年龄是孙子的5倍，12年后，爷爷的年龄是 孙子的3倍，假设现在孙子的年龄是x岁，则可列出一元一次方 程为_________________． 5x＋12＝3(x＋12) 解析：因为爷爷现在的年龄是孙子的5倍，且设现在孙子的年龄是x岁， 所以现在爷爷的年龄是5x岁，12年后，爷爷的年龄是(5x＋12)岁，孙子的年龄是(x＋12)岁． 根据题意，得5x＋12＝3(x＋12)． 变式 某同学出生时父亲26岁，现在父亲的年龄是该同学年龄的3倍，则现在父亲的年龄是( ) A．30岁 B．36岁 C．39岁 D．48岁 解析：设该同学现在的年龄是a岁，由现在父亲的年龄是该同学年龄的3倍可得3a＝26＋a， 解得a＝13，3a＝3×13＝39， 所以现在父亲的年龄是39岁． 考点2 和、差、倍、分问题 典例2 [2025·灵丘县三模]为贯彻落实省纪委监委开展群众身边不正之风和腐败问题集中整治的部署安排，结合近年来部分群众对出租汽车运营乱象反映强烈的实际情况，吕梁市交通运输局加强整治出租汽车拒载、宰客等运营不规范及驾驶员仪容仪表不整洁、服务不文明等行为，并通过“红、黑榜”形式，激励优秀者，教育落后者，以此推动全市出租汽车行业专项整治取得实效．已知3月份进入红、黑榜的司机共有15人，进入红榜的司机比进入黑榜的司机的2倍还多3人，求进入红、黑榜的司机各有多少人． 解：设进入黑榜的司机有x人， 由题意得x＋(2x＋3)＝15，解得x＝4. 所以2×4＋3＝8＋3＝11(人)． 答：进入红榜的司机有11人，进入黑榜的司机有4人. eq \f(分量的份数,总量的份数) $