8.3平行线的证明巩固训练 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学七年级下册

8.3平行线的证明巩固训练 一、单选题 1．将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．已知，，是同一平面内的三条直线，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．下列图形中，由，能得到的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，这是电子屏幕上显示的数字“”，其中，．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，为的延长线．①以点为圆心，小于的长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，为半径作弧，交于点；③以点为圆心，为半径作弧，交上一段弧于点；④过点作射线．则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，，两点分别与，对应，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．如图，和互补，．设，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，下列①；②；③；④；⑤．能判定的条件有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 9．如图，下列说法正确的是（    ） A．如果，则 B．与是同旁内角 C．如果，那么 D．与是内错角 10．把一块含角的直角三角板按如图方式放置在两条平行线之间，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图， ，，则_______． 12．如图，点、在线段上，点在线段上，连接、、，若，，，则__________度． 13．如图，一个长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在的位置，若，则___________． 14．如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为__________． 15．如图，将长方形纸条折叠，若，则的度数为______． 三、解答题 16．已知：如图，直线，．求证：． 17．如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 18．如图，，点F在上，点C，G在上，． (1)与平行吗？说明理由； (2)若，平分，求的度数． 19．如图，在三角形中，点D、F在边上，点E在边上，点G在边上，与的延长线交于点H，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 20．根据提示完成说理． 如图，已知，垂足为点，，， 求证：， 证明：（已知）， ___________（垂直的意义）， （已知）， ___________（等量代换）， ______________________（___________）， （___________）， （已知）， ______________________（同位角相等，两直线平行）， ______________________（___________）， （等量代换）． 21．如下图，在三角形ABC中，，点E在BC上，过点E作． (1)试探究CD与EF的位置关系，并说明理由． (2)若，且，求的度数． 22．解决问题 (1)如图①，与的角平分线相交于点P，求的大小； (2)如图②，与的平分线相交于点P，求的大小； (3)如图，，，，与的角平分线相交于点P，则 ；（用，，的代数式表示） (4)结合以上探索的经验，对这一模型进行一般化研究，画出示意图并写出对应的结论． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是利用平行线的性质找到角之间的等量关系，再结合三角形外角定理进行计算． 先根据平行线的性质得到内错角相等，再利用三角形外角等于不相邻两内角之和，计算出的度数． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∵， ∴， ∴； 故选：C． 2．D 【详解】解：由，，是同一平面内的三条直线， 、∵，， ∴，该选项错误，不符合题意； 、∵，， ∴，该选项错误，不符合题意； 、∵，， ∴，该选项错误，不符合题意； 、根据平行公理的推论，同一平面内平行于同一条直线的两条直线互相平行， ∵，， ∴，该选项正确，符合题意． 3．C 【分析】根据平行线的判定定理（同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行），分析各选项中与的位置关系及所涉及的直线即可． 【详解】解：A．∵， ∴，不能得到，不符合题意； B．由不能得到，不符合题意； C．如图， ∵，， ∴， ∴，符合题意； D．由不能得到，不符合题意． 4．D 【分析】根据平行直线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补求解即可． 【详解】解：， ， ， ．， ， ． 5．D 【分析】本题考查了平行线的判定、尺规作图作一个角等于已知角．由作图可得，利用平行线的判定得到，再利用平行线的性质得到，由题意无法证明，结合选项分析判断即可得出答案． 【详解】解：由尺规作图可得，， 故A选项正确； ， （同位角相等，两直线平行）， 故B选项正确； （两直线平行，内错角相等）， 故C选项正确； 由题意无法证明， 故D选项错误； 故选：D． 6．A 【分析】设，先根据平行线的性质可得，从而可得，，再根据折叠的性质可得，由此建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， 由折叠的性质得：， ， 解得， 即． 7．C 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，平行公理推论，掌握以上知识点是解题的关键． 先根据同旁内角互补，两直线平行得到，同位角相等两直线平行得到，再根据平行公理推论得到，最后根据平行线的性质即可得到、、之间的关系； 一题多解：延长至，由解法一可知，然后根据平行线的性质，结合邻补角的性质即可得到、、之间的关系． 【详解】解：和互补，即， ． ， ， ， ，， ． 一题多解如图，延长至点． 由解法一可知， ， ． 8．C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解决本题的关键是根据同位角相等、两直线平行，内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；逐项进行判断． 【详解】解：和是、被 所截形成的内错角， 当时， 根据同旁内角互补，两直线平行，可证， 故①能判定； 和是、被所截形成的内错角， 根据内错角相等，两直线平行，可证， 但是不能判定， 故②不能判定； 和是、被所截形成的内错角， 根据内错角相等，两直线平行，可证， 故③能判定； 和是、被所截形成的同位角， 根据同位角相等，两直线平行，可证， 故④能判定； 和是、被所截形成的内错角， 根据内错角相等，两直线平行，可证， 但是不能判定， 故⑤不能判定； 综上所述，能判定的条件有个． 故选：C． 9．B 【分析】根据平行线的性质与判定，同旁内角与内错角的定义分析，即可求解． 【详解】解：A. 如果，则，不能得到，故该选项不正确，不符合题意； B. 与是同旁内角，故该选项正确，符合题意； C. 如果，那么，不能得到，故该选项不正确，不符合题意；     D. 与是内错角，与不是内错角，故该选项不正确，不符合题意； 10．B 【分析】由题意直接利用两直线平行内错角相等求解即可． 【详解】解：由题意两条直线平行， ， 又， ． 11．/230度 【分析】过点作，利用平行线的性质进行求解． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】注意掌握“铅笔头”模型． 12．44 【分析】由，可得到，由，得，继而结合平行线的性质即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．/度 【分析】先由折叠可知，，再根据平行线的性质进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 由折叠可知，． ∵， ∴． 14．/度 【分析】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算． 过点作，因为，所以，再根据平行线的性质可以求出，，进而可求出，再根据平行线的性质即可求得． 【详解】如图，过点作， ， ， ，， ． ， ． ． ． 15． 【分析】由题意得：，，则，，然后通过角度和差即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴，， ∴， ∴， ∴的度数为． 16．见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟知“同位角相等与直线平行”的推理关系是解题的关键．由平行线的性质得．由平行线的判定得，两式相减即可证明． 【详解】证明：， ． ， ， ， ， 即． 17．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据同角的补角相等，得到，即可得证； （2）证明，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，结合可推得，再根据平行线的判定，即可得到结论； （2）先求出，再结合角平分线的定义，可求得，最后根据平行线的性质，即可求得答案． 【详解】（1）解：； 理由如下： ， ， ， ， ； （2）解： ，， ， 平分， ， ， ． 19．(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）首先根据得到，再根据进行角度转化计算即可得到，进而证明； （2）首先根据得到，进行角度转化得到进而得到，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴， ∵， ∴． 20．见解析 【分析】根据平行线的判定定理与性质定理完成填空，即可求解． 【详解】证明：（已知）， （垂直的意义）， （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， （已知）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， （等量代换）． 21．(1)．理由见解析 (2) 【分析】（1）根据垂直于同一条直线的两条直线互相平行进行解答即可； （2）先根据平行线的性质得出，根据，得出，证明，根据平行线的性质即可得出． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法． 22．(1) (2) (3) (4)见解析 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，列代数式， （1）利用平行线性质得，结合角平分线定义得，再由三角形内角和求出； （2）作辅助线构造平行线，利用内错角相等推导角的关系，结合已知，通过角平分线性质求出； （3）作辅助线转化折线角，利用平行线性质建立与α、β、γ的关系，再由角平分线定义得； （4）画出及多个折线角的示意图，总结规律：等于内部所有折点（点）中奇数项角的和减去所有偶数项角的和的一半． 【详解】（1）解：作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴； （2）解：如图所示，作，则， ∴，， ∴， 设， ∴ ，即， 整理得， ， ∴， ∴； （3）解：由平行线性质及角平分线定义，， 如图所示，作，则， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴； （4）解：一般化研究示意图：画两条平行线，在两线之间依次画多个折线角（如，，，），与的角平分线交于点P， 结论：，即内部所有折点（点）中所有奇数项的角和减去所有偶数项的角和的一半． 例如，若有3个折线角，则，与第（3）问一致． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $