微专题03 平行线与动点问题（专项训练）数学新教材鲁教版五四制七年级下册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题03平行线与运动问题 动点与角度关系推号 平行线与运动问题 动线段与角度计算 运动问题综合 德点型戒 题型1动点与角度关系推导 妹方法 题型描述：给定两条平行线，动点P在平行线之间或外侧运动，连接动点与平行线上的点，形成多个角， 要求推导这些角之间的数量关系（如和、差、倍数）。 核心依据：平行线的性质（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）、三角形内角和定理、角平分线性质 1.(24-25七年级下·广东东莞期末)【问题背景】 如图I,己知AB∥CD,直线EF与AB,CD分别交于点E,F,EM交直线CD于点M,且 ∠FEM=∠FME. E —B B F 图1 图2 E一B M 一D 备用图 (1)求证：EM平分∠BEF: 【拓展迁移】 (2)点G是射线MC上的一个动点（不与点M,F重合），EH平分∠FEG交直线CD于点H,过点H作 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 HN∥EM交直线AB于点N.设∠EHN=a,∠EGF=B. (1)如图2，当点G在点F的左侧，且a=63°时，求B的值； (2)当点G在运动过程中，直接写出和B之间的数量关系. 2.(24-25七年级下·黑龙江七台河·期末)【发现问题】数学学习需要多动手勤动脑，“勤奋小组”在数学学习 过程中充分利用三角板这一学习工具，发现这一副三角板中有“大学问”.将一副三角板中的两块直角三 角板的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A=60°，∠D=30°，∠E=∠B=45°），当 ∠ACE<180°且点E在直线AC的上方时，将三角形ACD固定不动，改变三角形BCE的位置，但始终 保持两个三角板的顶点C重合. 【提出问题】在这个变化过程中，是否存在其中一个三角形的一条边与另一个三角形的一条边平行呢？ 若存在，求出∠ACE的度数；若不存在，请说明理由 D 3.(24-25七年级下·重庆期中)如图，己知AB∥CD,直线MN交AB于点M,交CD于点N.点E是线 段MN上一点，P,Q分别在射线MA,NC上，连接PE,QE. 图1 图2 备用图 (1)如图1，若∠MPE=40°，∠EQN=40°，求∠PEQ的度数； (2)如图2，∠MPE的角平分线与∠CQE的角平分线相交于点F. ①直接写出LPEQ与∠PFQ之间的数量关系为 ； ②若∠PEM=30°，∠MND=110°，将直线MN绕点N以每秒5°的速度顺时针旋转，同时射线PF绕点 P以每秒10°的速度逆时针旋转，当直线MN首次落到CD上时，整个运动停止.在运动过程中，经过t 秒后直线MN恰好平行于PF,请直接写出所有满足条件的t的值 4.(24-25七年级上·广东茂名·月考)如图1，大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之 美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 片进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为A、B两点，两脚脚跟位置分别为C、D两 点，定义A、B、C、D平面内O为定点，将手脚运动看作绕点O进行旋转 图1 图2 图3 图4 图5 (1)如图2，A、O、B三点共线，点C、D重合，∠A0C=∠B0C,则∠A0C=」 (2)如图3，A、O、B三点共线，且LA0C:∠B0C=3:2,D0平分∠B0C,求∠A0D大小： (3)第三节腿部运动中，如图4，洋洋发现，虽然A、O、B三点共线，却不在水平方向上，且 ∠A0D:∠B0C=3:2,他经过计算发现，∠A0C-2∠BOD的值为定值，请写出这个定值为 3 (④)第四节体侧运动中，如图5，乐乐发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线OE平分∠C0D,且 ∠C0D=30°，开始运动前A、O、B三点在同一水平线上，OA、OB绕点O顺时针旋转，OA旋转速度 为每秒50°，OB旋转速度为每秒25°，当OB旋转到与0D重合时运动停止(OE是竖直方向的一条射线). 请帮助乐乐求出运动过程中∠AOC与∠BOE的数量关系， 5.(25-26八年级上广东深圳期末)如图1，AB∥CD,∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数. B D B D 图1 图2 备用图 小明的思路是：过P作PE∥CD,通过平行线性质来求∠APC. (1)按小明的思路，求∠APC的度数； (问题迁移) (2)如图2，AB∥CD,点P在射线OM上运动，记LPAB=a,LPCD=B,当点P在B,D两点之间运 动时，问∠APC与，B之间有何数量关系？请说明理由； (问题应用) (3)在(2)的条件下，如果点P在B,D两点外侧运动时（点P与点O,B,D三点不重合)，请直接写出 ∠APC与，B之间的数量关系（并画出相应的图形）. 6.(24-25七年级下山西晋中·期中)综合与探究 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【问题情境两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，与平行线有关的角都 存在着这个“基本图形”，当发现题目的图形“不完整”时，要适当添加平行线将其补充完整.把“非基本图 形”转化为基本图形”，这体现了数学中的转化思想。 【提出问题】有这样一个问题：如图①，已知直线a∥b,直线c分别与直线a,b相交于点E,F,点A, B分别在直线a,b上，且在直线C的左侧，点P是直线c上的一个动点（不与点E,F重合），设 ∠PAE=∠1，∠APB=∠2，∠PBF=∠3，当点P在线段EF上运动时，试探索∠⊥，∠2，∠3之间的数量关系. B 3 N 4 D ④ 【解决问题】 (1)张睿的解题思路是：“过点P作PM∥a...”请你用直尺和铅笔在图①中作出这条辅助线，并帮助 张睿完成推理过程. 【类比探究】 当点P在线段EF外运动时，(1)中得到的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进 行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系 (2)如图②，当动点P在线段EF之外且在直线Q的上方运动（不与点E重合）时，∠L,∠2，∠3之间满足 怎样的数量关系？并说明理由； (3)请用直尺、铅笔在图③中画出动点P在线段EF之外且在直线b的下方运动（不与点F重合）时的 图形，并仿照图①，图②，标出图③中的∠L,∠2，∠3，此时∠1,42，∠3之间满足怎样的数量关系？请直接 写出结论： 【应用拓展】 (4)如图④所示，AB∥CD,请直接写出图中∠1，∠2，∠3，∠4之间满足的数量关系： 题型2动线段与角度计算 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 啸方法 题型描述：在平行线结构中，线段AB沿某条线段运动或绕某个点旋转，速度为v,运动时间为t(单位：s), 要求计算动点运动过程中形成的线段长度或面积。 1.(2024宁夏.中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3cm,BC=2cm,点A在直线4上， 点B,C在直线马上，1∥12，动点P从点A出发沿直线以1cm/s的速度向右运动，设运动时间为s.下 列结论： P》 ①当t=2s时，四边形ABCP的周长是10cm; ②当t=4s时，点P到直线Z的距离等于5cm; ③在点P运动过程中，△PBC的面积随着t的增大而增大； ④若点D,E分别是线段PB,PC的中点，在点P运动过程中，线段DE的长度不变.其中正确的是() A.①④ B.②③ C.①③ D.②④ 2.(24-25七年级下·广东肇庆期末)如图在平面直角坐标系中，点D在线段OB上运动，CB∥x轴，作 DM⊥AD交BC于点M,交OA于点A,∠BMD的平分线MN与∠DAO的平分线AN相交于点N.则 在点D在运动过程中，∠N=() A.90° B.60° C.45° D.30° 3.(23-24七年级上重庆万州期末)如图1，己知两条直线AB,CD被直线MN所截，交点分别为M、N, MP交CD于点P,且AB∥CD,LPMN=LMPN. 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M-B D 一D 图1 图2 (I)判断MP是否平分∠AMN,并说明理由. (2)如图2，点E是射线PD上一动点（不与点P、N重合），MF平分∠EMN交CD于点F,过点F作 FQ∥MP交AB于点Q, ①当点E在线段PN上时，若∠MEN=80°，求∠MFQ的度数； ②当点E在运动过程中，设∠MEW=a,∠MFQ=b,a和b之间有怎样的数量关系？请直接写出结论. 4.(24-25七年级下·广东云浮·期末)如图1，在平面直角坐标系中，Aa,0)是x轴负半轴上一点，C是y轴 正半轴上的一点，CB上y轴交y轴正半轴于C(0,b),且a+4+(b-3)2=0,S影4ocB=9. 图1 图2 图3 (I)求点A、B、C的坐标： (2)如图2，点P从A出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动，点Q同时从0出发沿y轴正方 向以每秒1个单位长度的速度移动.在点P,Q运动的过程中，连接PB,QB,使△PAB的面积是三角形 QBC面积的4倍，求出点P的坐标； (3)如图3，当点M在线段OC上运动时，作MN⊥BM交OA于点N,LMBC、∠MN0的平分线交于R点， 则点M在运动过程中，∠R的大小是否会发生变化？若不变化，求出其值；若变化，请说明理由， 5.(23-24七年级上山东青岛期末)如图，∠A0B=120°，射线0C从OA开始绕点O逆时针旋转，速度为 每分钟旋转20°；同时，射线0D从OB开始绕点O逆时针旋转，速度为每分钟旋转5°；设运动时间为 tm)(0<t≤18)，解答下列问题： 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B B 0 备用图 (1)当t为何值时，∠A0D为平角？ (2)当t为何值时，0C平分∠A0B? (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使OB将∠DOC分成的两个角的度数之比为1：2？若存在，求出 t的值；若不存在，请说明理由， (4)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使0D10C？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由. 6.(25-26八年级上广西南宁开学考试)【综合与实践】 平移是一种重要的几何图形变换，在数学学习和实际应用中具有重要作用，它不仅帮助我们理解图形的 运动变化规律，还在建筑、工程、设计等领域有广泛的应用，某班数学兴趣小组在学习平移的课程中， 将直角三角形放在两条平行线间，运用平移的变化规律，计算角度的大小，如图，AB∥CD，,张华将一 个含45°角的直角三角尺PMW按如图1所示的方式放置，点M,N分别在直线AB,CD上， ∠MPN=90°，∠PMN=∠PNM=45°，∠PNC=a. M(G) M(G分 D N(E) 图1 图2 图3 备用图 (I)如图1，直接写出∠PMA+∠PNC= (2)如图1，若2∠PMA+∠MND=135°，求a的大小： (3)如图2所示，李明将一个含30°，60°角的直角三角形EFG的顶点G与点M重合，点E落在直线CD上， 顶点G固定不动，将点E在直线CD上向左平移，同时始终保持直角三角形EFG形状不变，即 30°，60°，90°保持不变，直角三角尺PMW固定不动且45°<Q<75°，当点E运动到点N重合时停止（如图 3所示)，问在运动过程中，三角形EFG的一边与三角尺PMN的一边平行时，请求出∠BGF的大小（用 含a的代数式表示). 题型3运动问题综合 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 啸方法 运动问题是初中数学的高阶题型，与平行线问题融合后，形成了角度关系推导、线段长度计算、图形 形状判定等多个知识点，要求在动态几何情境中，通过分析动点运动过程中的不变量（如平行关系、角度和） 和变量（如线段长度、角度大小），综合运用平行线的性质、判定及方程思想解决问题。 关键解题策略，核心是“化动为静”（将动点运动转化为静态线段/角度关系）和“模型识别”（利用平行线 基本模型简化问题)： 1. 化动为静：用参数表示动点位置 通常选择运动时间t作为参数，用含t的代数式表示动点运动的路程，进而表示相关线段的长度。 2. 模型识别：利用平行线基本模型简化问题 3. 分类讨论：考虑动点的不同位置 位置划分：动点可能在平行线之间、外侧，或在某条线段的左端、右端，需根据不同位置分析角线段 的关系。 4.数形结合：画图辅助分析 画图步骤： ①根据题意画出初始图形，标注已知条件： ②画出动点运动后的关键位置，标注相关线段/角度： ③用不同颜色标记动点的运动路径，区分静态与动态部分。 5.方程思想：建立方程求解参数 方程建立：根据题目中的等量关系，用含t的代数式表示相关量，建立方程求解。 1.(25-26七年级上·江苏扬州期末)【操作拼图】已知一副直角三角尺先按如图的方式拼接在一起，其中 0C与直线MN重合，∠A0M=∠C0D=30°，∠A0B=45°. D A◇ M 30 (1)在上述所拼图形中，∠BOD的度数为°. 【问题探究】 (2)在上述所拼图形基础上，让三角板COD固定不动，将三角板AOB绕着点O以每秒5°的速度顺时 针方向旋转，且两块三角板均在直线MN的上方.设三角板AOB的旋转时间为t秒，在旋转过程中，请 求出当LB0C=2LBOD时，旋转时间t的值； 【拓展延伸】 (3)在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角尺A0B绕着点O以每秒5°的速度按顺时针方向旋转的 同时，三角尺COD也绕着点O以每秒1°的速度按逆时针方向旋转.在旋转过程中，两块三角尺均在直 线MN的上方，且当三角尺AOB停止旋转时，三角尺COD也停止旋转.设三角尺AOB的旋转时间为s. 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 在旋转过程中，当AB与三角尺COD的某一边平行时，请直接写出t的值. 2.(24-25七年级下·贵州遵义期末)如图①是某校艺术节搭建的舞台.从上面看，舞台上面有三根铁架， 且三根铁架在同一平面内.如图②AB,CD是两根互相平行的铁架，且铁架AC与两边的铁架AB, CD互相垂直，在两个铁架的M,N处分别设置了一盏可以沿着水平面不断匀速旋转的射灯，灯光打开时， M处光线MP射向点A,N处光线NQ与NC的夹角为30°，两灯同时开始旋转，光线MP绕射灯M顺时 针旋转.光线NQ绕射灯N逆时针旋转.当两灯射出的光线与铁架AB,CD重合时立即反向旋转.旋转中 常常出现交叉照射.若点M处射出的光线每秒旋转4°，点N处射出的光线每秒旋转1°，设旋转时间为t 秒. A(P) P(O)C A 309 M 图① 图② 图③ 备用图 (1)当旋转时间为20秒时，求∠CNQ的度数； (2)如图③，若两灯射出的光线MP,NQ第一次与边AC相交于一点时，此时∠MPN=90°，请求出旋转 时间t的值： (3)当旋转时间0≤t≤90秒时，直接写出MP∥NQ时t的值. 3.(24-25七年级下·福建龙岩期中)如图，某水域的两岸是互相平行的直线，在两岸的M,N处分别设置 了一盏可以不断匀速旋转的探照灯.设两岸AB∥CD,MN垂直于河岸，点M处探照灯射出的光线自 MB开始顺时针旋转，点N处探照灯射出的光线自NC开始顺时针旋转，当两灯射出的光线旋转至各自岸 边时立即反向旋转，旋转中常常出现交叉照射，若点M处射出的光线每秒旋转2°，点N处射出的光线 每秒旋转4°，设点M处探照灯旋转的时间记为t(0≤1≤180)，单位： M B M B W D N D 图1 备用图 (1)如图1，若点M处探照灯先旋转20(s后，点N处探照灯才开始旋转. ①填空：当t=35时，∠PMN=_°，∠QWC=°. ②探究：能否出现两盏探照灯射出的光线互相平行的情形？若能，求出所有满足条件的值；若不能， 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 请说明理由. (②)设两灯同时开始旋转，当两盏探照灯射出的光线在河面上的点F处互相垂直时，请你直接写出符合题 意的t值（温馨提醒：本小题可不必书写解题过程！） 4.(24-25七年级下辽宁盘锦期中)如图，在平面直角坐标系中，点A-4,0),B(-2,2),C(0,2),点P从 点A出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，点Q从点0出发沿y轴正方向以每秒1个 单位长度的速度匀速移动，且点P,点Q同时出发，设运动时间为t秒 B (1)A0和BC位置关系是 AP= ；(用含t的式子表示) (2)在点P,点Q运动过程中，连接PB,QB,若SAP4B=4SA0BC,求出点P的坐标： (3)在点P,点Q运动过程中，当∠CBQ=25°时，请直接写出∠OPQ和∠PQB的数量关系. 5.(24-25七年级下·河南周口期末)(1)如图①，已知AB∥DC,点M为平面内一点，BM⊥CM.小颖 说：“过点M作MP∥AB,很容易就能找到∠ABM和∠DCM的数量关系.则∠ABM和∠DCM的数量关 系是 (2)如图②，点E,A,D在一条直线上，点E,B,C在一条直线上，且AB∥DC,点M在射线 ED上运动，当点M运动到点A与点D之间时，试判断∠BMC与∠ABM,∠DCM之间的数量关系，并 说明理由. (3)在(2)的条件下，当点M在射线ED上的其他地方运动时（点M与E,A,D三点不重合）请 直接写出∠BMC与∠ABM,∠DCM之间的数量关系 B 4 M◇ A\M D 图① 图② 备用图1 备用图2 6.(24-25七年级下·全国单元测试)【问题情境】(1)如图1，AB∥CD,∠PAB=130°，∠PCD=120°，求 ∠APC度数 小明的思路：过P作PE∥AB,通过平行线性质来求∠APC, 微专题03 平行线与运动问题 题型1 动点与角度关系推导 题型描述：给定两条平行线，动点P在平行线之间或外侧运动，连接动点与平行线上的点，形成多个角，要求推导这些角之间的数量关系（如和、差、倍数）。 核心依据：平行线的性质（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）、三角形内角和定理、角平分线性质 1．（24-25七年级下·广东东莞·期末）【问题背景】 如图1，已知，直线与，分别交于点E，F，交直线于点，且． （1）求证：平分； 【拓展迁移】 （2）点是射线上的一个动点（不与点重合），平分交直线于点，过点作交直线于点．设． （1）如图2，当点在点的左侧，且时，求的值； （2）当点在运动过程中，直接写出和之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）①；②或． 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及动态几何中角的数量关系探究，解题的关键是熟练运用平行线的性质（两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）和角平分线的定义，结合动点位置进行分类讨论． （1）利用得到，结合，通过等量代换证明平分； （2）①根据角平分线定义表示出，结合平行线得到，代入的值求出； ②分点在左侧和右侧两种情况，分别和平行线性质和角平分线定义推导和的数量关系． 【详解】（1）证明：如图1，， ， 又， ， 平分； （2）①如图2，平分， ， 又平分， ， 又， 又∵， ， ， 又， ， 又， 即， ， 当时，； ②或， 当点在点的左侧时，由①知：； 当点在点的右侧时，如图3， ， 又， ， 平分， ， 又平分， ， 又 ． 综上所述，和之间的数量关系或． 2．（24-25七年级下·黑龙江七台河·期末）【发现问题】数学学习需要多动手勤动脑，“勤奋小组”在数学学习过程中充分利用三角板这一学习工具，发现这一副三角板中有“大学问”．将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，，，），当且点E在直线的上方时，将三角形固定不动，改变三角形的位置，但始终保持两个三角板的顶点C重合． 【提出问题】在这个变化过程中，是否存在其中一个三角形的一条边与另一个三角形的一条边平行呢？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】或或或或 【分析】本题主要考查了平行线的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键，分类讨论画出图形求解即可． 【详解】解：存在． ①当时，如图1， ， ； ②当时，如图2， ， ， ； ③当时，如图3，过点作， ，， ， ，， ， ； ④当时，如图4， ， ， ； ⑤当时，如图5， ， ， ； 综上分析可知，的度数可能是或或或或． 3．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，已知，直线交于点M，交于点N．点E是线段上一点，P，Q分别在射线，上，连接，．    (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，的角平分线与的角平分线相交于点F． ①直接写出与之间的数量关系为________； ②若，，将直线绕点N以每秒的速度顺时针旋转，同时射线绕点P以每秒的速度逆时针旋转，当直线首次落到上时，整个运动停止．在运动过程中，经过t秒后直线恰好平行于，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据平行线的性质和判定求解即可； （2）①延长交于点G，设、交于点H，设，则，根据可表示出，进而根据三角形内角和推论表示出，进而表示出，然后结合和内角和得出关系式，进一步得出结果； ②根据题意分两种情况讨论，然后分别表示出各角，然后利用平行线的性质列方程求解即可． 此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的概念等知识，解题的关键是掌握以上知识点，注意进行分类讨论． 【详解】（1）解：如图，过点E作，      ∵，， ∴， ∴； （2）解：①如图，延长交于点G，设、交于点H，    设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴，即， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴， ∵， ∴ ∵平分 ∴； 如图，当时，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直线绕点N以每秒的速度顺时针旋转，射线绕点P以每秒的速度逆时针旋转， ∴（秒），，， ∴，， ∵， 即， ∴； 如图，当时，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 综上所述，或． 4．（24-25七年级上·广东茂名·月考）如图1，大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为A、B两点，两脚脚跟位置分别为C、D两点，定义A、B、C、D平面内O为定点，将手脚运动看作绕点O进行旋转．    (1)如图2，A、O、B三点共线，点C、D重合，，则________； (2)如图3，A、O、B三点共线，且，平分，求大小； (3)第三节腿部运动中，如图4，洋洋发现，虽然A、O、B三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请写出这个定值为________； (4)第四节体侧运动中，如图5，乐乐发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线平分，且，开始运动前A、O、B三点在同一水平线上，绕点O顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止（是竖直方向的一条射线）．请帮助乐乐求出运动过程中与的数量关系． 【答案】(1)90 (2) (3) (4)当时，；当时， 【分析】本题考查了角的和差运算，一元一次方程的应用； （1）由A，O，B三点共线，可得出，再由，即可求出； （2）由，设，根据A、O、B三点共线，则，得出，再根据，即可求解； （3）由，设，则，分别求出，，再代入即可求解； （4）算出运动停止时间，点，，A三点共线的时间，需要分类讨论，在点C，O，A三点共线前和点C，O，A三点共线后，分别求解即可； 【详解】（1）解：∵A，O，B三点共线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：90； （2）解：∵， 设，， ∵平分， ∴， ∵A，O，B三点共线， ∴， ∴， 解得：， ∴ （3）解：这个定值是，理由： ∵， 设，则， ∴，， ∴， ∴小田的发现是正确的，这个定值是； 故答案为： ； （4）解：∵，平分， ∴，， 设运动时间为， 则， ∴， 当点，，A三点共线时，； ∴当时，，， ∴； 当时，，， ∴， 综上，当时，；当时，． 5．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图1，，，，求的度数． 小明的思路是：过作，通过平行线性质来求． （1）按小明的思路，求的度数； （问题迁移） （2）如图2，，点在射线上运动，记，，当点在两点之间运动时，问与之间有何数量关系？请说明理由； （问题应用） （3）在（2）的条件下，如果点在两点外侧运动时（点与点三点不重合），请直接写出与之间的数量关系（并画出相应的图形）． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或者，画图见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用． （1）利用平行线的性质，同旁内角互补，求出，度数，利用，进行求解即可； （2）过点作，得，得到，，进而得到； （3）分点在的延长线上和在线段上两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； （2）， 理由如下：如图2，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）如图3所示，当在线段的延长线时，由（2）可知，， ， 如图4所示，当在线段上时，由（2）可知，， ． 6．（24-25七年级下·山西晋中·期中）综合与探究 【问题情境】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”，当发现题目的图形“不完整”时，要适当添加平行线将其补充完整．把“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了数学中的转化思想． 【提出问题】有这样一个问题：如图①，已知直线，直线分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线的左侧，点是直线上的一个动点（不与点E，F重合），设．当点在线段上运动时，试探索之间的数量关系． 【解决问题】 （1）张睿的解题思路是：“过点作……”请你用直尺和铅笔在图①中作出这条辅助线，并帮助张睿完成推理过程． 【类比探究】 当点在线段外运动时，（1）中得到的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系． （2）如图②，当动点在线段之外且在直线的上方运动（不与点重合）时，之间满足怎样的数量关系？并说明理由； （3）请用直尺、铅笔在图③中画出动点在线段之外且在直线的下方运动（不与点重合）时的图形，并仿照图①，图②，标出图③中的，此时，之间满足怎样的数量关系？请直接写出结论：______． 【应用拓展】 （4）如图④所示，，请直接写出图中之间满足的数量关系：______． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析；（4），理由见解析． 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质即可得出结论； （2）过点作，根据平行线的性质即可得出结论； （3）过点作，根据平行线的性质即可得出结论； （4）过点作，过点作，根据平行线的性质即可得出结论； 【详解】解：（1）如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， （2），理由如下： 如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， （4）如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型2 动线段与角度计算 题型描述：在平行线结构中，线段AB沿某条线段运动或绕某个点旋转，速度为v，运动时间为t（单位：s），要求计算动点运动过程中形成的线段长度或面积。 1．（2024·宁夏·中考真题）如图，在中，，，，点在直线上，点，在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为．下列结论： ①当时，四边形的周长是； ②当时，点到直线的距离等于； ③在点运动过程中，的面积随着的增大而增大； ④若点，分别是线段，的中点，在点运动过程中，线段的长度不变．其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中位线定理，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．①当时，得到四边形是矩形，即可求解；②根据“平行线间的距离处处相等”，即可判断；③根据②中的发现即可判断；④利用三角形的中位线定理即可判断． 【详解】解：①当时，， ， ，， 四边形是矩形， ， ，四边形的周长是，故①正确； ②，，， 直线与直线之间的距离是， 当时，点到直线的距离等于，故②错误； ③由②可知点到的距离为定值，即的边上的高为， 又， 的面积为定值，故③错误； ④点，分别是线段，的中点， 是的中位线， ， 即线段的长度不变，故④正确； 故选：A． 2．（24-25七年级下·广东肇庆·期末）如图在平面直角坐标系中，点在线段上运动，轴，作交于点，交于点，的平分线与的平分线相交于点．则在点在运动过程中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定与性质，作，，则，根据平行线的性质可得，，结合角平分线的定义，可得． 【详解】解：如图，作，，则， ， ， ， ，， ， 同理可证， 的平分线与的平分线相交于点， ，， ， 即在点在运动过程中，， 故选：C． 3．（23-24七年级上·重庆万州·期末）如图1，已知两条直线被直线所截，交点分别为M、N，交于点P，且． (1)判断是否平分，并说明理由． (2)如图2，点E是射线上一动点（不与点P、N重合），平分交于点F，过点F作交于点Q， ①当点E在线段上时，若，求的度数； ②当点E在运动过程中，设，a和b之间有怎样的数量关系？请直接写出结论． 【答案】(1)平分，详见解析 (2)①，或 【分析】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）利用平行线的性质可得，然后利用等量代换可得，从而利用角平分线的定义即可解答； （2）①设，先利用角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系可得，进而可得，然后再利用平行线的性质可得，从而可得，进而可得，最后进行计算即可．②分两种情况：当点E在线段上时；点E在线段的延长线上时；然后分别进行计算即可解答． 【详解】（1）解：平分，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴，即平分． （2）解：①设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：x=40， ∴． 分两种情况：当点E在线段上时，；当点E在线段的延长线上时，； 理由：当点E在线段上时， 设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； 如图：当点E在线段的延长线上时， 设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：当点E在线段上时，；当点E在线段的延长线上时，． 4．（24-25七年级下·广东云浮·期末）如图1，在平面直角坐标系中，是轴负半轴上一点，C是轴正半轴上的一点，轴交轴正半轴于，且． (1)求点的坐标； (2)如图2，点从A出发沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动，点同时从出发沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．在点P，Q运动的过程中，连接，使的面积是三角形面积的4倍，求出点的坐标； (3)如图3，当点在线段上运动时，作交于点、的平分线交于R点，则点M在运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)不会发生变化， 【分析】（1）根据非负数的性质求得a、b的值即可确定A、C的坐标；易得，再根据梯形的面积公式求得，即可求得点B的坐标； （2）如图：过点作于点，设点移动的时间为秒，则，易得的面积是；然后分点在点下方和上方两种情况，分别根据“的面积是三角形面积的4倍”列方程求得，进而求得的长即可解答； （3）如图，过点作，过点作，则；根据平行线的判定与性质以及等量代换可得；再根据角平分线的定义、角的和差以及等量代换可得；再根据平行线的判定与性质以及等量代换即可解答． 【详解】（1）解：， ， ∴ ∴，， 又， ， ， ∴ ∴． （2）解：如图：过点作于点， 设点移动的时间为秒，则， 的面积是： ①如图，当点在点下方时， 的面积是：，即：，解得：． 点的坐标为； ②如图，当点在点上方时， 的面积是：，即：，解得：； ． 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． （3）解：如图，，大小不会发生变化，理由如下： 如图，过点作，过点作，则， ， ， ， ． 平分平分， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、三角形的面积、动点问题、平行线的判定与性质、一元一次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 5．（23-24七年级上·山东青岛·期末）如图，，射线从开始绕点O逆时针旋转，速度为每分钟旋转；同时，射线从开始绕点O逆时针旋转，速度为每分钟旋转；设运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，为平角？ (2)当t为何值时，平分？ (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使将分成的两个角的度数之比为？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或； (4)存在，或． 【分析】对于（1），根据列出方程，求出解即可； 对于（2），根据列出方程，求出解； 对于（3），分别表示出和，再分情况列出方程，求出解； 对于（4），分别表示出和，再分两种情况列出方程，并求出解． 【详解】（1）根据题意可知，. 当为平角时，， 即， 解得． 答：时为平角； （2）根据题意可知，. 当OC平分时，， 即， 解得． 答：时OC平分； （3）根据题意可知，. 第一种：，， 第二种：，． 答：存在，或时，OB将分成的两个角的度数之比为； （4）根据题意可知，，. 当时，， 解得； 当时，， 解得． 答：存在，或时，． 【点睛】本题主要考查了平角，角平分线，垂直，角的和差等，弄清各角之间的数量关系列出方程是解题的关键，注意分情况讨论，不能丢解． 6．（25-26八年级上·广西南宁·开学考试）【综合与实践】 平移是一种重要的几何图形变换，在数学学习和实际应用中具有重要作用，它不仅帮助我们理解图形的运动变化规律，还在建筑、工程、设计等领域有广泛的应用，某班数学兴趣小组在学习平移的课程中，将直角三角形放在两条平行线间，运用平移的变化规律，计算角度的大小，如图，，张华将一个含角的直角三角尺按如图1所示的方式放置，点分别在直线上，． (1)如图1，直接写出________． (2)如图1，若，求的大小； (3)如图2所示，李明将一个含角的直角三角形的顶点与点重合，点落在直线上，顶点固定不动，将点在直线上向左平移，同时始终保持直角三角形形状不变，即保持不变，直角三角尺固定不动且，当点运动到点重合时停止（如图3所示），问在运动过程中，三角形的一边与三角尺的一边平行时，请求出的大小（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）过点P作，根据平行线的性质求出，，根据，求出结果即可； （2）根据（1）可得：，根据，列出方程，解方程即可； （3）分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可； 【详解】（1）解：过点P作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）根据（1）可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； （3）解：当时，如图所示： 则， 根据解析（1）可知：， ∴； 当时，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据解析（1）可得：， ∴， ∴； 当时，如图所示： 则， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴； 综上分析可知：或或． 题型3 运动问题综合 运动问题是初中数学的高阶题型，与平行线问题融合后，形成了角度关系推导、线段长度计算、图形形状判定等多个知识点，要求在动态几何情境中，通过分析动点运动过程中的不变量（如平行关系、角度和）和变量（如线段长度、角度大小），综合运用平行线的性质、判定及方程思想解决问题。 关键解题策略，核心是“化动为静”（将动点运动转化为静态线段/角度关系）和“模型识别”（利用平行线基本模型简化问题）： 1. 化动为静：用参数表示动点位置 通常选择运动时间t作为参数，用含t的代数式表示动点运动的路程，进而表示相关线段的长度。 2. 模型识别：利用平行线基本模型简化问题 3. 分类讨论：考虑动点的不同位置​ 位置划分：动点可能在平行线之间、外侧，或在某条线段的左端、右端，需根据不同位置分析角/线段的关系。 4. 数形结合：画图辅助分析 画图步骤： ① 根据题意画出初始图形，标注已知条件； ② 画出动点运动后的关键位置，标注相关线段/角度； ③ 用不同颜色标记动点的运动路径，区分静态与动态部分。 5. 方程思想：建立方程求解参数​ 方程建立：根据题目中的等量关系，用含t的代数式表示相关量，建立方程求解t。 1．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）【操作拼图】已知一副直角三角尺先按如图的方式拼接在一起，其中与直线重合，，． （1）在上述所拼图形中，的度数为_°． 【问题探究】 （2）在上述所拼图形基础上，让三角板固定不动，将三角板绕着点O以每秒的速度顺时针方向旋转，且两块三角板均在直线的上方．设三角板的旋转时间为t秒，在旋转过程中，请求出当时，旋转时间t的值； 【拓展延伸】 （3）在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺也绕着点以每秒的速度按逆时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方，且当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为．在旋转过程中，当与三角尺的某一边平行时，请直接写出t的值． 【答案】【操作拼图】；【问题探究】或；【拓展延伸】，， 【分析】本题主要考查了平行线的性质，正确判断角的数量关系是本题解题的关键． （1）根据平角的定义求解即可； （2）根据，的位置分类讨论，列出等式求解即可； （3）根据与边平行的边不同分类讨论，根据平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：（1）∵与直线重合， ∴， ∵， ∴ 故答案为：75； （2）三角板以每秒的速度顺时针旋转t秒后， ，， ， ； ∵， ∴当时，， 解得； 当时，， 解得， 综上，t的值为9或17； （3）∵三角板顺时针旋转，三角板逆时针旋转， ∴，， 当时， ∵，， 又， ∴， 解得：； 当时，则， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当时，则， ∴， 解得， 综上，t的值为5，10或20． 2．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）如图①是某校艺术节搭建的舞台．从上面看，舞台上面有三根铁架，且三根铁架在同一平面内．如图②，是两根互相平行的铁架，且铁架与两边的铁架，互相垂直，在两个铁架的处分别设置了一盏可以沿着水平面不断匀速旋转的射灯，灯光打开时，处光线射向点处光线与的夹角为．两灯同时开始旋转，光线绕射灯顺时针旋转．光线绕射灯逆时针旋转．当两灯射出的光线与铁架重合时立即反向旋转．旋转中常常出现交叉照射．若点处射出的光线每秒旋转，点处射出的光线每秒旋转，设旋转时间为秒． (1)当旋转时间为秒时，求的度数； (2)如图③，若两灯射出的光线，第一次与边相交于一点时，此时，请求出旋转时间的值； (3)当旋转时间秒时，直接写出时的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）根据题意可得，即可求解； （2）根据题意得出，过点作，进而根据，建立方程，解方程，即可求解； （3）设射线交于点，分两种情况讨论，当时，顺时针旋转，当时，逆时针旋转，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：当时，； （2）解：∵， ∴． 如图，过点作， ∴． ∵, ∴． ∴． 又∵， ∴． 解得：, （3）解：如图，设射线交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 当时，顺时针旋转， ∴， ∴， 解得：． 当时，逆时针旋转， ∴， ∴， 解得：． 综上所述，或． 3．（24-25七年级下·福建龙岩·期中）如图，某水域的两岸是互相平行的直线，在两岸的，处分别设置了一盏可以不断匀速旋转的探照灯．设两岸，垂直于河岸，点处探照灯射出的光线自开始顺时针旋转，点处探照灯射出的光线自开始顺时针旋转，当两灯射出的光线旋转至各自岸边时立即反向旋转，旋转中常常出现交叉照射，若点处射出的光线每秒旋转，点处射出的光线每秒旋转，设点处探照灯旋转的时间记为，单位： (1)如图1，若点处探照灯先旋转后，点处探照灯才开始旋转． ①填空：当时，_，_． ②探究：能否出现两盏探照灯射出的光线互相平行的情形？若能，求出所有满足条件的值；若不能，请说明理由． (2)设两灯同时开始旋转，当两盏探照灯射出的光线在河面上的点处互相垂直时，请你直接写出符合题意的值（温馨提醒：本小题可不必书写解题过程！） 【答案】(1)①20，60；②会出现两盏探照灯射出的光线互相平行，或或； (2)的值为或． 【分析】本题考查了平行线的性质，角度的计算等知识，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）①由题意得到，当时，，即可求出，求出旋转的时间，即可求出； ②根据题意分情况讨论求解即可； （2）设两灯同时开始旋转，若两盏探照灯射出的光线在河面上点处互相垂直，分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：①当时，， ∵两岸，垂直于河岸， ∴， ∴， 由题意可得：旋转的时间为：， ∴， 故答案为：； ②会出现两盏探照灯射出的光线互相平行， ∵， ∴， ∴即从开始旋转到后又反向旋转回到了，即：旋转了， ∵， ∴即从开始旋转两次到后又反向旋转了，即：旋转了， 当时，如图①： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 当时，如图②： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 当时，如图③： 类同可得： ， ∴， 解得：(不合题意，舍去)， 当时，如图③： 类同可得：， ∴， 解得：， 当时，如图③： 类同可得：， ∴， 解得：(不合题意，舍去)， 当 时，如图④： 类同可得：， ∴， 解得：(不合题意，舍去)， 综上：或或； （2）解：设两灯同时开始旋转，若两盏探照灯射出的光线在河面上点处互相垂直， ①当时，如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 即， 解得：，此时，两光线交于点，不符合题意； 当时，如图，过点作， 两盏探照灯射出的光线在河面上点处互相直时， 由题意得：，， ∴， 解得：； 当时，如图，过点作， 两盏探照灯射出的光线在河面上点处互相直时， 由题意得：，， ∴， 解得：； 当时，如图，过点作， 两盏探照灯射出的光线在河面上点处互相直时， 由题意得：，， ∴， 解得：，此时，两光线交于点，不符合题意； 综上，的值为或． 4．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，点从点A出发沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，点从点出发沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，且点，点同时出发，设运动时间为秒． (1)和位置关系是____________；________；_______；（用含的式子表示） (2)在点，点运动过程中，连接，，若，求出点的坐标； (3)在点，点运动过程中，当时，请直接写出和的数量关系． 【答案】(1)，， (2) (3)或．理由见解析 【分析】本题主要考查了坐标与图形、平行线的判定与性质、三角形的面积、一元一次方程的应用等知识点，正确作出辅助线、构造平行线成为解题的关键． （1）根据、、即可得到得和位置关系；由两点间距离即可求出、即可； （2）设时间经过t秒，，则、，得到，由，，再根据列方程求得t的值，进而确定点P的坐标； （3）分情况讨论：当点在点C的下方时和当点在点C的上方时两种情况，分别运用平行线的判定与性质即可解答． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴与x轴重合，， ∴； 根据题意得：，． 故答案为：，，． （2）解：设时间经过t秒，，则、， ， ∴， ， ∴，， ∵ ∴，解得：， ∴， ∴， ∴点P的坐标为． （3）解：或，理由如下： ①当点Q在点C的下方时，如图：过Q点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即； ②当点Q在点C的上方时；如图：过Q点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即． ∴． 综上所述，或． 5．（24-25七年级下·河南周口·期末）（1）如图①，已知，点为平面内一点，．小颖说：“过点作，很容易就能找到和的数量关系．”则和的数量关系是___________． （2）如图②，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，且，点在射线上运动，当点运动到点与点之间时，试判断与，之间的数量关系，并说明理由． （3）在（2）的条件下，当点在射线上的其他地方运动时（点与，，三点不重合）请直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）当点在、两点之间时：；当点在的延长线上时，． 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质可得，再根据可得，进一步得到 ； （2）过点作，交于，根据平行线的性质可得，可得； （3）分两种情况：当点在、两点之间时；当点在的延长线上时；进行讨论可求与的数量关系． 【详解】解：（1）如图，过点作，则，    ， ， ， ， ， ； （2），理由如下： 如图，过点作，交于，则，    ， ， ， ， ； （3）过点作，交于， ①当点在、两点之间时，如图所示，    ∵ ∴， ，， ， ； ②当点在的延长线上时，如图所示，    同理可得， ，， ， ． 综上所述，当点在、两点之间时：；当点在的延长线上时，． 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）【问题情境】（1）如图1，，，求度数． 小明的思路：过P作，通过平行线性质来求． 按小明的思路，易求得的度数为_度． 【问题迁移】（2）如图2，，点P在射线上运动．记，． 当点P在 B、D两点之间运动时，问：与，之间有何数量关系？请说明理由； ②若点P在线段或射线上运动，（不与O、B、D三点重合），请直接写出与，之间的数量关系． 【拓展创新】（3）图3为北斗七星的位置图，将其抽象成图4，并将北斗七星分别标为A、B、C、D、E、F、G，顺次连接各点，天文小组发现线段恰好经过点G，且，，，请你根据这些信息求出的度数． 【答案】（1）110；（2） ①，理由见解析；② 或（3） 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，解题时注意分类思想的运用． （1）过P作，通过平行线性质求即可； （2）①过P作交于E，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； ②分两种情况：P在延长线上；P在延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出，，即可得出答案． （3）过点C作，根据平行线的性质，得出，进而得到，即可求出的度数． 【详解】解：（1）过点P作，如图1， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：110； （2）①， 理由：如图2，过P作交于E， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图3所示，当P在延长线上时，设与交于点， ∵ ∴ 又 ∴； 如图4所示，当P在延长线上时，同理可得． （3）如图5．过点C作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $