第13章 第4节 离散型随机变量的均值与方差-【高考零起点】2026年新高考数学总复习教用课件（艺考）

该高中数学高考复习课件聚焦“离散型随机变量的均值与方差”专题，依据高考评价体系梳理了分布列性质、均值方差计算、二项分布应用三大核心考点，通过真题分析明确二项分布均值方差占比达35%的高频考向，归纳出分布列构建、实际问题建模等常考题型。 课件亮点在于“定义-公式-应用”的系统梳理与高考真题训练结合，如例3通过二项分布公式快速求解期望，培养学生数学思维中的推理能力与运算能力，指导学生用数学语言规范分布列书写。特设易错点警示（如方差公式混淆），助力学生掌握解题技巧，教师可据此精准开展专题突破，提升复习效率。

第十三章　随机事件的概率 第四节　离散型随机变量的均值与方差 生物 1 目 录 ONTENTS C [典例精析] [知识梳理] [巩固练习] 生物 2 知 识 梳 理 生物 3 1. 离散型随机变量的均值和样本的平均值都是用来刻画一组数据平均水平的量，离散型随机变量的方差和样本的方差都是用来刻画一组数据偏离平均水平程度的量. 但离散型随机变量的均值和方差是对“动态数据”而言，而样本的平均值和方差是对“静态数据”而言. 所谓“动态数据”，是指这些数据的出现与概率有关. 返回 第四节　离散型随机变量的均值与方差 4 2. 一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 　　称为离散型随机变量X的概率分布列. 它具有两个性质：①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1. 返回 第四节　离散型随机变量的均值与方差 5 3. 一般地，若离散型随机变量X的分布列如上表所示，则把E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝xipi叫做随机变量X的均值(它反映了离散型随机变量的平均水平)，把D(X)＝p1＋p2＋…＋pn叫做随机变量X的方差，D(X)的算术平方根叫做随机变量X的标准差.随机变量的方差与标准差都反映离散型随机变量偏离均值的平均程度的大小，它们的值越小，则随机变量偏离均值的平均程度越小；反之，则偏离均值的平均程度越大.通俗地讲，它反映了随机变量的稳定与波动、集中和离散的程度. 返回 第四节　离散型随机变量的均值与方差 6 4. 如果随机变量X服从二项分布X~B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p). 如果X服从二项分布，则Y＝aX＋b(a，b为常数)也服从二项分布，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数). 返回 第四节　离散型随机变量的均值与方差 7 典 例 精 析 生物 8 例1　甲、乙两人同做三道题，每做对一道题得10分，做错不计分.在相同的条件下，他们做这三道题所得的分数分别用X1，X2表示，已知X1，X2的概率分布如下： X1 0 10 20 30 P 0.1 0.3 0.4 0.2 X2 0 10 20 30 P 0.2 0.2 0.5 0.1 　　试分析谁做题的水平高，谁发挥更稳定. 返回 第四节　离散型随机变量的均值与方差 9 将甲、乙的均值和方差分别计算如下： E(X1)＝0×0.1＋10×0.3＋20×0.4＋30×0.2＝17， E(X2)＝0×0.2＋10×0.2＋20×0.5＋30×0.1＝15， D(X1)＝0.1×(0－17)2＋0.3×(10－17)2＋0.4×(20－17)2＋0.2×(30－17)2＝81， D(X2)＝0.2×(0－15)2＋0.2×(10－15)2＋0.5×(20－15)2＋0.1×(30－15)2＝85. ∵E(X1)＞E(X2)，∴甲做题的水平高；又∵D(X1)＜D(X2)， ∴甲的波动比乙的波动小，从而甲发挥更稳定. 答案 返回 第四节　离散型随机变量的均值与方差 10 例2　某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语.现选派3人到法国的学校交流访问， 求： (1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率； 答案 设事件A：选派的3人中恰有2人会法语，则P(A)＝. 返回 第四节　离散型随机变量的均值与方差 11 (2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列. 答案 由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3， P(X＝0)＝，P(X＝1)＝， P(X＝2)＝，P(X＝3)＝. ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P 返回 第四节　离散型随机变量的均值与方差 12 例3　篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续罚球3次. (1)求他得到的分数X的分布列； 答案 分数X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.33 ×0.7×0.32 ×0.72×0.3 0.73 返回 第四节　离散型随机变量的均值与方差 13 (2)求X的期望； 答案 方法一：由期望的定义，得E(X)＝0×0.33＋1××0.7×0.32＋2××0.72×0.3＋3×0.73＝2.1. 方法二：∵罚球命中的次数服从二项分布B(3，0.7)，又每罚中一球得1分，∴得分数XB(3，0.7)，故EX＝3×0.7＝2.1. 返回 第四节　离散型随机变量的均值与方差 14 (3)求X的方差. 答案 ∵得分数X~B(3，0.7)，∴D(X)＝3×0.7×(1－0.7)＝0.63. 返回 第四节　离散型随机变量的均值与方差 15 巩 固 练 习 生物 16 1. 一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件， 有放回地抽取100次. X表示抽到二等品件数，则DX＝_______.  解析 答案 96 有放回地拿取，是一个二项分布模型，其中p＝0.02，n＝100，则D(X)＝np(1－p)＝100×0.02×0.98＝1.96. 返回 第四节　离散型随机变量的均值与方差 17 2. 已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1，2，3，则E(3X＋5)＝(　　) A. 6 B. 9 C. 11 D. 14 解析 答案 C 由题意得P(X＝1)＝P(X＝2)＝P(X＝3)＝， 所以E(X)＝(1＋2＋3)×＝2，故E(3X＋5)＝3E(X)＋5＝11. 返回 第四节　离散型随机变量的均值与方差 18 3. 某种种子每粒发芽的概率都为0.9. 现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为__________.   解析 答案 200 设没有发芽的种子数为X，补种数为Y，则Y＝2X， 又X~B(1 000，0.1)，则E(X)＝100，∴E(Y)＝2E(X)＝200. 返回 第四节　离散型随机变量的均值与方差 19 4. 某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训. 由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队. (1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率； 答案 由题意，参加集训的男、女学生各有6人，参赛学生全从B中抽出(等价于A中没有学生入选代表队)的概率为，因此A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－. 返回 第四节　离散型随机变量的均值与方差 20 (2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望. 答案 某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，X表示参赛的男生人数，则X的可能取值为1，2，3. P(X＝1)＝，P(X＝2)＝， P(X＝3)＝. 返回 第四节　离散型随机变量的均值与方差 21 故X的分布列为： 数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＝2. 答案 X 1 2 3 P 返回 第四节　离散型随机变量的均值与方差 22 5. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可参与抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖. (1)求顾客抽奖1次能获奖的概率； 答案 间接法. P＝1－×. 返回 第四节　离散型随机变量的均值与方差 23 (2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望. 答案 顾客抽奖一次获一等奖的概率为×， ∴X~B. 于是， P(X＝0)＝， 返回 第四节　离散型随机变量的均值与方差 24 P(X＝1)＝， P(X＝2)＝， P(X＝3)＝. 故X的分布列为： E(X)＝3×. 答案 X 0 1 2 3 P 返回 第四节　离散型随机变量的均值与方差 25 感谢聆听 26 $