第9章 第4节 解圆锥曲线计算题的1般方法-【高考零起点】2026年新高考数学总复习教用课件（艺考）

该高中数学高考复习课件聚焦圆锥曲线计算题专题，覆盖直线与圆锥曲线位置关系、弦长计算、中点弦问题、定点定值证明等核心考点，对接高考评价体系，通过近5年真题分析明确“韦达定理应用”“点差法”“弦长公式”等高频考点权重，归纳四大常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题驱动+技巧拆解+素养提升”，如以2023新高考Ⅱ卷双曲线定值问题为例，详解联立方程、判别式分析、韦达定理应用的解题流程，培养学生数学思维与运算能力。包含7道2023-2025年高考真题精析及易错点警示，教师可直接用于专题教学，帮助学生掌握解题通法，高效突破圆锥曲线计算难点。

第九章　圆锥曲线 第四节　解圆锥曲线计算题的一般方法 生物 1 目 录 ONTENTS C [典例精析] [知识梳理] [巩固练习] 生物 2 知 识 梳 理 生物 3 1. 将直线y＝kx＋b代入圆锥曲线f(x，y)＝0，经整理可得一个一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，则此直线与圆锥曲线有两个交点的充要条件是Δ＞0，有一个交点的充要条件是Δ＝0，没有交点的充要条件是Δ＜0. 2. 当直线与圆锥曲线有两个交点时，设x1，x2是上面一元二次方程的解，则由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1x2＝，这一点被大量用在有关圆锥曲线的计算题中. 返回 第四节　解圆锥曲线计算题的一般方法 4 3. 如果一条斜率为k的直线被一圆锥曲线所截线段为AB，且设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，则·. 返回 第四节　解圆锥曲线计算题的一般方法 5 4.点差法：利用交点在曲线上，交点坐标满足方程，将交点坐标分别代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系. 以椭圆为例： 返回 第四节　解圆锥曲线计算题的一般方法 6 设直线l(不平行于y轴且斜率存在)过椭圆＝1(a＞b＞0)上A，B两点，其中AB中点为点P(x0，y0)，则有kAB·＝－. 证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 返回 第四节　解圆锥曲线计算题的一般方法 7 上式减下式得＝0，∴＝－， ∴···＝－， ∴kAB·＝－ . 它揭示了直线斜率和该直线被椭圆所截弦中点坐标之间的关系，在双曲线和抛物线中，它们之间的关系可以用同样的方法得到. 返回 第四节　解圆锥曲线计算题的一般方法 典 例 精 析 生物 9 例1　已知椭圆x2＋2y2＝2，直线l：y＝k(x－2)，在下列情况下分别求k的取值范围. (1)直线l与椭圆有两个公共点； 答案 将直线方程与椭圆方程联立得 将该直线方程代入椭圆方程并整理得(2k2＋1)x2－8k2x＋8k2－2＝0. 于是Δ＝－4(2k2＋1)(8k2－2)＝－16k2＋8. ∵l与椭圆有两个公共点，∴－16k2＋8＞0. 解得－＜k＜. 返回 第四节　解圆锥曲线计算题的一般方法 10 (2)直线l与椭圆有且只有一个公共点； (3)直线l与椭圆没有公共点. 答案 (2) 当l与该椭圆有且只有一个公共点时，Δ＝0，于是k＝±. (3) 当l与该椭圆没有公共点时，Δ＜0，于是k∈∪. 返回 第四节　解圆锥曲线计算题的一般方法 11 例2　已知一直线与椭圆4x2＋9y2＝36相交于A，B两点，弦AB的中点为点M(1，1)，求直线AB 的方程.  答案 设直线方程为l：y＝kx＋b，A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，将该直线方程代入椭圆方程得4x2＋9(kx＋b)2＝36. 整理得(9k2＋4)x2＋18kbx＋9b2－36＝0. 所以x1＋x2＝－.……① 又A，B两点均在直线l上，所以y1＝kx1＋b，y2＝kx2＋b. 返回 第四节　解圆锥曲线计算题的一般方法 12 故y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2b＝k＋2b ＝ .　 ……② ∵AB的中点为点M(1，1)，由中点坐标公式并结合①②得 解得k＝－，b＝. ∴所求直线方程为y＝－x＋，整理得4x＋9y－13＝0. 答案 返回 第四节　解圆锥曲线计算题的一般方法 13 例3　过椭圆 ＋y2＝1的左焦点且倾斜角为60°的直线与椭圆相交于A，B两点，求AB的弦长. 答案 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由题意易知椭圆的左焦点为点(－1，0)，直线斜率为，则由点斜式可知，该直线方程可表示为y＝x＋，将该直线方程代入椭圆方程并整理得7x2＋12x＋4＝0. 返回 第四节　解圆锥曲线计算题的一般方法 14 整理得x1＋x2＝－，……① 　　x1x2＝.……② 将①②代入知识梳理3中的弦长公式 ·， 得·. 答案 返回 第四节　解圆锥曲线计算题的一般方法 15 例4　已知椭圆C： ＋ ＝1(a＞0，b＞0)过A(2，0)，B(0，1)两点. (1)求椭圆C的方程及离心率； 由题意得a＝2，b＝1. 得椭圆C的方程为＋y2＝1. 又∵c＝，∴离心率e＝. 答案 返回 第四节　解圆锥曲线计算题的一般方法 (2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴相交于M，直线PB与x轴相交于N，求证：四边形ABNM的面积为定值. 答案 设点P(x0，y0)(x0＜0，y0＜0)，则＋4＝4. 又点A(2，0)，点B(0，1)，∴直线PA的方程为 y＝(x－2). 令x＝0，得yM＝－，从而BM＝1－yM＝1＋ . 返回 第四节　解圆锥曲线计算题的一般方法 直线PB的方程为y＝x＋1. 令y＝0，得xN＝－，从而AN＝2－xN＝2＋ . ∴四边形ABNM的面积为 S＝ AN·BM ＝＝2. ∴四边形ABNM的面积为定值. 答案 返回 第四节　解圆锥曲线计算题的一般方法 18 巩 固 练 习 生物 19 1. 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C： ＋ ＝1. 试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个不重合的公共点； 将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组 将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0. ……③ 方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解. 这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点. 答案 返回 第四节　解圆锥曲线计算题的一般方法 20 (2)有且只有一个公共点. 答案 当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解. 这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点. 返回 第四节　解圆锥曲线计算题的一般方法 21 2.(2023新高考Ⅱ卷)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为点，离心率为. (1)求双曲线C的方程； 答案 如图，设双曲线C方程为＝ 1，由焦点坐标可知 c＝2， 则由e＝可得a＝2，b＝ ＝4， 双曲线C的方程为＝1. 返回 第四节　解圆锥曲线计算题的一般方法 22 (2)记双曲线C的左、右顶点分别为A1，A2，过点的直线与双曲线C的左支相交交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与直线NA2交于P.证明：P在定直线上. 答案 由(1)可得点A1，点A2，设点M，点N， 显然直线MN的斜率不为0，∴设直线MN的方程为x＝my－4，且－＜m＜， 返回 第四节　解圆锥曲线计算题的一般方法 23 与＝1联立可得y2－32my＋48＝0，且Δ＝64(4m2＋3)＞0， 则y1＋y2＝， y1y2＝， 直线MA1的方程为y＝，直线NA2的方程为y＝， 答案 返回 第四节　解圆锥曲线计算题的一般方法 24 联立直线MA1与直线NA2的方程可得 ＝ ＝ ＝＝－， 由＝－可得x＝－1，即xP＝－1， 据此可得P在定直线x＝－1上运动. 答案 返回 第四节　解圆锥曲线计算题的一般方法 25 3. (2024新高考Ⅰ卷)已知点A(0，3)和点P为椭圆C：＝1(a＞b＞0)上两点. (1)求椭圆C的离心率； 答案 由题意得　解得 ∴e＝. 返回 第四节　解圆锥曲线计算题的一般方法 26 (2)若过P的直线l相交椭圆C于B，且△ABP的面积为9，求直线l的方程. 答案 方法一：kAP＝＝－，则直线AP的方程为y＝－x＋3，即x＋2y－6＝0，，由(1)知椭圆C：＝1，设B到直线AP的距离为d，则d＝ 返回 第四节　解圆锥曲线计算题的一般方法 27 ，则将直线AP沿着与直线AP垂直的方向平移个单位即可，此时该平行线与椭圆C的交点即为B，设该平行线的方程为x＋2y＋c＝0，则，解得c＝6或c＝－18，当c＝6时，联立解得或即点 答案 返回 第四节　解圆锥曲线计算题的一般方法 28 B或点B，当点B时，此时kl＝，直线l的方程为y＝x－3，即3x－2y－6＝0，当点B时，此时kl＝，直线l的方程为y＝x，即x－2y＝0，当c＝ －18时，联立得2y2－27y＋117＝0，Δ＝272－4×2×117＝－207＜0，此时该直线l与椭圆C无交点.综上直线l的方程为3x－2y－6＝0或x－2y＝0. 答案 返回 第四节　解圆锥曲线计算题的一般方法 29 方法二：同法一得到直线AP的方程为x＋2y－6＝0，B到直线AP的距离d＝，设点B，则解得或即点B或点 B，以下同法一. 答案 返回 第四节　解圆锥曲线计算题的一般方法 30 4. (2025全国Ⅱ卷)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，长轴长为4. (1)求C的方程； 解析 答案 ＝1 【解析】∵椭圆的长轴长为4，故a＝2，∵离心率为，故c＝，故b＝，故椭圆方程为＝1； 返回 第四节　解圆锥曲线计算题的一般方法 31 (2)过点(0，－2)的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点. 若△OAB的面积为，求. 答案 返回 第四节　解圆锥曲线计算题的一般方法 32 【解析】由题设知直线AB的斜 率不为0，故设直线l：x＝ t，A，B， 由可得y2＋ 4t2y＋4t2－4＝0，故Δ＝16t4－ 4＝4＞0，即－＜t＜，且y1＋ 解析 返回 第四节　解圆锥曲线计算题的一般方法 33 y2＝－，y1y2＝，故S△OAB＝×× ，解得t＝±，故××. 解析 返回 第四节　解圆锥曲线计算题的一般方法 34 5.(2023全国乙卷理)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率是，点A在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； 答案 由题意可得解得 所以椭圆C的方程为＝1. 返回 第四节　解圆锥曲线计算题的一般方法 35 (2)过点的直线相交交椭圆C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点.  答案 由题意可知直线PQ的斜率存在， 设PQ：y＝k＋3，点P，点Q， 联立方程消去y得x2＋8kx＋16＝0， 返回 第四节　解圆锥曲线计算题的一般方法 36 则Δ＝64k2(2k＋3)2－ 64 ＝－1 728k＞0，解得k＜0， 可得x1＋x2＝－，x1x2＝. ∵点A(－2，0)，∴直线AP：y＝(x＋2)， 令x＝0，解得y＝，即点M， 答案 返回 第四节　解圆锥曲线计算题的一般方法 37 同理可得点N， ∴ ＝ ＝ 答案 返回 第四节　解圆锥曲线计算题的一般方法 38 ＝ ＝ ＝＝3， ∴线段MN的中点是定点. 答案 返回 第四节　解圆锥曲线计算题的一般方法 39 6.设抛物线C：y2＝2x，点A(2，0)，点B(－2，0)，过A的直线l与抛物线C相交于M，N两点. (1)当直线l与x轴垂直时，求直线BM的方程； 答案 当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x＝2，可得M的坐标为点(2，2)或点(2，－2). ∴直线BM的方程为y＝(x＋2)或y＝－(x＋2). 即x－2y＋2＝0或x＋2y＋2＝0. 返回 第四节　解圆锥曲线计算题的一般方法 40 (2)证明：∠ABM＝∠ABN. 答案 当直线l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM＝∠ABN. 当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，点M(x1，y1)，点N(x2，y2)，则x1＞0，x2＞0. 由得ky2－2y－4k＝0，∴y1＋y2＝，y1y2＝－4. 返回 第四节　解圆锥曲线计算题的一般方法 41 直线BM，直线BN的斜率之和为 kBM＋kBN＝.……① 将x1＝＋2，x2＝＋2及y1＋y2，y1y2的表达式代入①式的分子中，可得x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝＝0. ∴kBM＋kBN＝0，可知直线BM，直线BN的倾斜角互补，∴∠ABM＝∠ABN. 综上，∠ABM＝∠ABN成立. 答案 返回 第四节　解圆锥曲线计算题的一般方法 42 7. (2024全国甲卷理)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，点M在椭圆C上，且MF⊥x轴. (1)求椭圆C的方程； 答案 设点F，由题设有c＝1且，故，故a＝2，故b＝，故椭圆C的方程为＝1. 返回 第四节　解圆锥曲线计算题的一般方法 43 (2)过点P的直线相交交椭圆C于A，B两点，N为线段FP的中点，直线NB相交直线MF于Q，证明：AQ⊥y轴. 答案 直线AB的斜率必定存在，设AB：y＝k(x－4)，点A，点B， 返回 第四节　解圆锥曲线计算题的一般方法 44 由可得x2－32k2x＋64k2－12＝0， 故Δ＝1 024k4－4＞0，故－＜k＜， 又x1＋x2＝，x1x2＝， 而点N，故直线BN：y＝， 答案 返回 第四节　解圆锥曲线计算题的一般方法 45 故yQ＝， ∴y1－yQ＝y1＋ ＝ ＝k 答案 返回 第四节　解圆锥曲线计算题的一般方法 46 ＝k ＝k ＝0， 故y1＝yQ，即AQ⊥y轴. 答案 返回 第四节　解圆锥曲线计算题的一般方法 47 感谢聆听 48 $