精品解析：山东省德州市第九中学2024-2025学年九年级下学期寒假作业评估数学试题

2024-2025学年山东省德州九中九年级（下）开学数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分.） 1. 下列图案是中心对称图形的是（ ） A. 中国探火 B. 中国火箭 C. 中国行星探测 D. 航天神舟 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称的知识，熟练掌握中心对称的概念是解题的关键． 根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形得出结论即可． 【详解】解：选项A、C、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项B中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：B． 2. 掷一枚质地均匀的硬币5次，其中3次正面朝上，2次正面朝下，则再次掷出这枚硬币，正面朝下的概率是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用概率的意义分析得出答案． 【详解】解：∵掷质地均匀硬币的试验，每次正面向上和向下的概率相同， ∴再次掷出这枚硬币，正面朝上的概率是： 故选：D． 【点睛】此题主要考查了概率的意义，正确把握概率的意义是解题关键． 3. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 有无实数根，无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程，，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程无实数根．利用根的判别式，得出，进而可得出原方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：根据题意得，， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 4. 已知反比例函数的图像如图所示，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数图象在第一、三象限，可知，求解即可． 【详解】解：由题意知 ∴ 故选A． 【点睛】本题考查了反比函数的图象与性质．解题的关键在于明确反比例函数图象位于第一、三象限时；反比例函数图象位于第二、四象限时． 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是（　　） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据位似图形的性质进行解答即可． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，点A的坐标为， ∴点A的对应点A′的坐标为或，即或， 故选：D． 【点睛】本题考查了位似变换：位似图形与坐标，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 6. 已知，，是抛物线上的三个点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性，找出点A的对称点，再利用二次函数的增减性可判断y值的大小． 【详解】解：∵函数的解析式是， ∴对称轴是， ∴点A关于对称轴的点是， 那么点B在对称轴上，点C 、的对称点都在对称轴的右边， ∵， ∴抛物线开口向上，并且在对称轴的右边y随x的增大而增大， ∵ ∴ 故选D 7. 如图，中，弦与交于点，点为中点，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角定理，圆周角定理和圆内接四边形，连接，由三角形外角性质得出，然后由点为中点得到，再根据圆内接四边形的性质即可求解，熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形性质是解题的关键． 【详解】连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 8. 如图，在平行四边形中，点E在边上，，连接交于点F，则的面积与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了平行四边形的性质．先根据平行四边形的性质得到，，则，再证明，利用相似比得到，然后根据三角形面积公式求的面积与的面积之比． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ， ， 的面积与的面积之比． 故选：B． 9. 如图， 一张扇形纸片，，， 将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O重合，折痕为，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积公式、等边三角形的判定与性质、折叠的性质，连接、，由折叠可得，，，证明为等边三角形，得出，，求出，再根据得出，最后根据阴影部分的面积计算即可得解． 【详解】解：如图：连接、， ， 由折叠可得：，，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积， 故选：A． 10. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤a的取值范围为．其中正确结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、与轴的交点、对称轴可判断①；由抛物线与轴的交点及抛物线的对称性可判断②，对称轴为直线，即可判断③；由抛物线与轴有两个交点，且对称轴为直线，即可判断④．由抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．判断⑤；本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于． 【详解】解：∵二次函数的部分图象如图所示， ∴开口向下， ∵图象过点，对称轴为直线， ∴ ∴ ∵抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）． ∴ ∴ 故①错误； ∵ ∴ 故③正确； ∵如图： 则图象过点，抛物线开口向下 把代入 ∴ ∴ 故②错误； ∵则图象过点，对称轴为直线 ∴抛物线与轴的另一个交点为 ∵抛物线开口向下 ∴当时， 故④正确的； 把代入， 得 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故⑤正确的 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分.） 11. 如图，正五边形内接于，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正多边形内角公式求出，根据三角形内角和及等边对等角得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴，， ∴， ∴． 12. 若点和点在抛物线上，且，则的取值范围是______________． 【答案】或 【解析】 【分析】对于抛物线，可先将其化为顶点式来确定对称轴，根据二次函数的单调性，结合来确定的取值范围． 【详解】解：∵ ， ∴该抛物线的对称轴直线为，且二次项系数， ∴抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大， 设点关于对称轴直线的对称点为， ∴根据对称轴公式2，解得， ∵，抛物线开口向上： ∴当在对称轴右侧时，满足， ∴当在对称轴左侧时，满足， ∴m的取值范围是或． 13. 如图，⊙O与△ABC的边BC、AC、AB分别切于E、F、D三点，若⊙O的半径是1，∠C ＝60°，AB＝5，则△ABC的周长为_______． 【答案】10+ 【解析】 【详解】试题解析：连接OC，OE， ∵⊙O与△ABC的边BC、AC、AB分别切于E、F、D三点， ∴AD=AF，CE=CF，BD=BE， ∵OE=1，∠C=60°， ∴∠OCE=30°， ∴CE= ，OE=1， ∴CE+CF=2， ∴AD+BD=AF+BE=AB=5， ∴AB+BE+AF=10， ∴△ABC的周长为10+2． 14. 一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径为____________cm． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，由垂径定理求出的长，设，由勾股定理得到，求出x的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，，过圆心O，连接， ∴ ∵， ∴， ∴，， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴纸杯的直径为． 故答案为：5． 15. 如图，Rt△ABD中，∠D＝90°，AB＝8，BD＝4，在BD延长线上取一点C，使得DC＝BD，在直线AD左侧有一动点P满足∠PAD＝∠PDB，连接PC，则线段CP长的最大值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】如图，取AD的中点O，连接OP、OC，然后求出OP、OC的长，最后根据三角形的三边关系即可解答． 【详解】解：如图，取AD的中点O，连接OP、OC ∵∠PAD=∠PDB，∠PDB+∠ADP=90°， ∴∠PAD+∠ADP=90°，即∠APD=90°， ∵AO=OD， ∴PO=OA=AD， ∴ ∴OP=， ∵BD=CD=4，OD=， ∴ ∵PC≤OP+OC， ∴PC≤， ∴PC的最大值为． 故填：． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质、勾股定理等知识点，解题的关键在于正确添加常用辅助线，进而求得OP、OC的长． 三、解答题（本大题共6小题，满分60分.） 16. 解方程． （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程： （1）方程用直接开平方法求解即可； （2）方程用配方法求解即可． 【小问1详解】 解： 解得：； 【小问2详解】 解： ． 解得：． 17. 如图，中，，点在边上，且交于点． （1）求证：； （2）若，，是中点，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）的长为． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形，勾股定理的知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，进行解答，即可． （1）根据相似三角形的判定，即可； （2）根据勾股定理求出；根据相似三角形的判定和性质，则，求出． 【小问1详解】 解：证明，如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：在中，，， ∴， ∵是中点， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 18. 如图，Rt△AOB的顶点O在坐标原点，点B在x轴上，∠ABO=90°，反比例函数y=（x>0）的图象经过OA的中点C，交AB于点D，点C的坐标为(，1)， （1）求反比例函数的表达式； （2）连接CD，求四边形OCDB的面积． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）将点C的坐标代入，即可求得值． （2）过点C作CE⊥OB，利用C为中点，表示出OB长度，进而求得点D坐标，连接CD，将四边形CDBO的面积拆分为和梯形CEBD的面积之和． 【详解】解（1）将点C(，1)代入中得k=， 反比例函数的表达式 （2）如图，过点C作CE⊥OB，垂足为E， ∵点C为OA的中点，AB⊥OB， ∴E为OB的中点， ∴OB=2， ∴D点的横坐标为，代入中得 ， ∴D(2 ,) ∴BD= ，EB= ，CE=1， ∴ 【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数的解析式，，掌握待定系数法求解析式，及用和差法求不规则图形的面积是解题关键． 19. 如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D． （1）求证：CD为⊙O的切线； （2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度． 【答案】（1）证明见解析（2）6 【解析】 【分析】（1）连接OC，根据题意可证得∠CAD+∠DCA=90°，再根据角平分线的性质，得∠DCO=90°，则CD为 O的切线； （2）过O作OF⊥AB，则∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，得四边形OCDF为矩形，设AD=x，在Rt△AOF中，由勾股定理得（5-x） +（6-x） =25，从而求得x的值，由勾股定理得出AB的长． 【详解】(1)证明：连接OC， ∵OA=OC， ∴∠OCA=∠OAC， ∵AC平分∠PAE， ∴∠DAC=∠CAO， ∴∠DAC=∠OCA， ∴PBOC， ∵CD⊥PA， ∴CD⊥OC，CO为O半径， ∴CD为O的切线； (2)过O作OF⊥AB，垂足为F， ∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90∘， ∴四边形DCOF为矩形， ∴OC=FD，OF=CD. ∵DC+DA=6，设AD=x，则OF=CD=6−x， ∵O的直径为10， ∴DF=OC=5， ∴AF=5−x， 在Rt△AOF中,由勾股定理得AF +OF=OA. 即(5−x) +(6−x) =25，化简得x−11x+18=0， 解得 . ∵CD=6−x大于0，故x=9舍去， ∴x=2，从而AD=2，AF=5−2=3， ∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点， ∴AB=2AF=6． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握． 20. 某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当和确定时，有两种设计方案可供选择；①抛物线型；②圆弧型．已知这座桥的跨度米，拱高米． （1）如图1，若设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，求此函数表达式； （2）如图2，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径； （3）现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米．从以上两种方案中，任选一种方案，判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由． 【答案】（1） （2）12.5米 （3）①若设计成抛物线型时，货船不能顺利通过该桥；②若设计成圆弧型时，货船能顺利通过该桥；理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意设抛物线的解析式为，将点代入，求出的值，即可确定函数的解析式； （2）设圆心为，连接交于点，连接，在中，，解得，即可求该圆弧所在圆的半径12.5米； （3）①若设计成抛物线型时，当时，，由米米，可知货船不能顺利通过该桥； ②若设计成圆弧型时，设米，过点作交弧于点，过点作交于点，连接，在中，，求出米，可得米，再由2.5米米，即可判断货船能顺利通过该桥． 【小问1详解】 解： ， ，， ， ， 设抛物线的解析式为， ， 解得， 抛物线的解析式为， 即； 【小问2详解】 解：设圆心为，连接交于点，连接， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， 该圆弧所在圆的半径12.5米； 【小问3详解】 解：①若设计成抛物线型时，当时，， 米米， 货船不能顺利通过该桥； ②若设计成圆弧型时， 设米， 过点作交弧于点，过点作交于点，连接， 米， 在中，， ， 米， 米， 米， 米米， 货船能顺利通过该桥． 【点睛】本题考查二次函数的应用，垂径定理，勾股定理，熟练掌握二次函数的图象及性质，圆的性质，垂径定理，勾股定理是解题的关键． 21. （1）问题发现 如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空： ①的值为　 　； ②∠AMB的度数为　 　． （2）类比探究 如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由； （3）拓展延伸 在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，OB=，请直接写出当点C与点M重合时AC的长． 【答案】（1）①1；②40°；（2），90°；（3）AC的长为3或2． 【解析】 【分析】（1）①证明△COA≌△DOB（SAS），得AC=BD，比值为1； ②由△COA≌△DOB，得∠CAO=∠DBO，根据三角形的内角和定理得：∠AMB=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°-140°=40°； （2）根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD，则，由全等三角形的性质得∠AMB的度数； （3）正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：如图3和4，同理可得：△AOC∽△BOD，则∠AMB=90°，，可得AC的长． 【详解】（1）问题发现： ①如图1， ∵∠AOB=∠COD=40°， ∴∠COA=∠DOB， ∵OC=OD，OA=OB， ∴△COA≌△DOB（SAS）， ∴AC=BD， ∴ ②∵△COA≌△DOB， ∴∠CAO=∠DBO， ∵∠AOB=40°， ∴∠OAB+∠ABO=140°， 在△AMB中，∠AMB=180°-（∠CAO+∠OAB+∠ABD）=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°-140°=40°， （2）类比探究： 如图2，，∠AMB=90°，理由是： Rt△COD中，∠DCO=30°，∠DOC=90°， ∴， 同理得：， ∴， ∵∠AOB=∠COD=90°， ∴∠AOC=∠BOD， ∴△AOC∽△BOD， ∴ ，∠CAO=∠DBO， 在△AMB中，∠AMB=180°-（∠MAB+∠ABM）=180°-（∠OAB+∠ABM+∠DBO）=90°； （3）拓展延伸： ①点C与点M重合时，如图3， 同理得：△AOC∽△BOD， ∴∠AMB=90°，， 设BD=x，则AC=x， Rt△COD中，∠OCD=30°，OD=1， ∴CD=2，BC=x-2， Rt△AOB中，∠OAB=30°，OB=， ∴AB=2OB=2， 在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2， (x)2+(x−2)2＝(2)2， x2-x-6=0， （x-3）（x+2）=0， x1=3，x2=-2， ∴AC=3； ②点C与点M重合时，如图4， 同理得：∠AMB=90°，， 设BD=x，则AC=x， 在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2， (x)2+（x+2）2=(2)2. x2+x-6=0， （x+3）（x-2）=0， x1=-3，x2=2， ∴AC=2；. 综上所述，AC的长为3或2． 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，几何变换问题，解题的关键是能得出：△AOC∽△BOD，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题，本题是一道比较好的题目． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年山东省德州九中九年级（下）开学数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分.） 1. 下列图案是中心对称图形的是（ ） A. 中国探火 B. 中国火箭 C. 中国行星探测 D. 航天神舟 2. 掷一枚质地均匀的硬币5次，其中3次正面朝上，2次正面朝下，则再次掷出这枚硬币，正面朝下的概率是（ ） A. 1 B. C. D. 3. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 有无实数根，无法判断 4. 已知反比例函数的图像如图所示，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是（　　） A. B. 或 C. D. 或 6. 已知，，是抛物线上的三个点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，弦与交于点，点为中点，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形中，点E在边上，，连接交于点F，则的面积与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 9. 如图， 一张扇形纸片，，， 将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O重合，折痕为，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤a的取值范围为．其中正确结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分.） 11. 如图，正五边形内接于，则的度数为________． 12. 若点和点在抛物线上，且，则的取值范围是______________． 13. 如图，⊙O与△ABC的边BC、AC、AB分别切于E、F、D三点，若⊙O的半径是1，∠C ＝60°，AB＝5，则△ABC的周长为_______． 14. 一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径为____________cm． 15. 如图，Rt△ABD中，∠D＝90°，AB＝8，BD＝4，在BD延长线上取一点C，使得DC＝BD，在直线AD左侧有一动点P满足∠PAD＝∠PDB，连接PC，则线段CP长的最大值为________． 三、解答题（本大题共6小题，满分60分.） 16. 解方程． （1）． （2）． 17. 如图，中，，点在边上，且交于点． （1）求证：； （2）若，，是中点，求的长． 18. 如图，Rt△AOB的顶点O在坐标原点，点B在x轴上，∠ABO=90°，反比例函数y=（x>0）的图象经过OA的中点C，交AB于点D，点C的坐标为(，1)， （1）求反比例函数的表达式； （2）连接CD，求四边形OCDB的面积． 19. 如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D． （1）求证：CD为⊙O的切线； （2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度． 20. 某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当和确定时，有两种设计方案可供选择；①抛物线型；②圆弧型．已知这座桥的跨度米，拱高米． （1）如图1，若设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，求此函数表达式； （2）如图2，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径； （3）现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米．从以上两种方案中，任选一种方案，判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由． 21. （1）问题发现 如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空： ①的值为　 　； ②∠AMB的度数为　 　． （2）类比探究 如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由； （3）拓展延伸 在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，OB=，请直接写出当点C与点M重合时AC的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $