山东省德州市第五中学2023-2024学年九年级下学期开学检测数学试题

2023-2024学年山东省德州五中九年级（下）开学数学试卷 一、选择题（每题4分，共48分） 1．（4分）生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（4分）下列计算正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B．（﹣a3b）2＝﹣a6b2 C．a6÷a3＝a2 D．（a2）3＝a6 3．（4分）2022年我国粮食总产量再创新高，达686530000吨．将数字686530000用科学记数法表示为（　　） A．0.68653×108 B．6.8653×108 C．6.8653×107 D．68.653×107 4．（4分）如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果∠1＝70°，那么∠2的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．45° 5．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD经过圆心O．若∠BAC＝40°，则∠DBC的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 6．（4分）若反比例函数的图象经过点（﹣1，﹣2），则该反比例函数的图象分别位于（　　） A．第一、第二象限 B．第一、第三象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 7．（4分）将分式方程＝去分母后得到的整式方程，正确的是（　　） A．x﹣2＝2x B．x2﹣2x＝2x C．x﹣2＝x D．x＝2x﹣4 8．（4分）如图，在同一平面直角坐标系中，关于x的二次函数y＝bx2﹣ax+c与一次函数y＝ax+b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 9．（4分）“敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德．小刚、小强计划利用暑期从A，B，C三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动（　　） A． B． C． D． 10．（4分）如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，AD：AB＝3：1，则点C的坐标是（　　） A．（2，7） B．（3，7） C．（3，8） D．（4，8） 11．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有下列5个代数式：①ac；②a+b+c；④2a+b；⑤a+b．其中（　　） A．①②③⑤ B．①③④ C．②③④ D．①②⑤ 12．（4分）定义：在平面直角坐标系中，对于点P（x1，y1），当点Q（x2，y2）满足2（x1+x2）＝y1+y2时，称点Q（x2，y2）是点P（x1，y1）的“倍增点”．已知点P1（1，0），有下列结论： ①点Q1（3，8），Q2（﹣2，﹣2）都是点P1的“倍增点”； ②若直线y＝x+2上的点A是点P1的“倍增点”，则点A的坐标为（2，4）； ③抛物线y＝x2﹣2x﹣3上存在两个点是点P1的“倍增点”； ④若点B是点P1的“倍增点”，则P1B的最小值是； 其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（每题4分，共24分） 13．（4分）因式分解：x2﹣16＝　 　． 14．（4分）小颖参加“歌唱祖国”歌咏比赛，六位评委对小颖的打分（单位：分）如下：7，8，7，9，8　 　分． 15．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+2a＝0有实数根，则a的值可以是 　 　（写出一个即可）． 16．（4分）已知A（﹣1，y1），B（2，y2）都在抛物线y＝（x﹣1）2+2上，则y1与y2之间的大小关系是：y1　 　y2． 17．（4分）如图，△ABC中，∠CAB＝70°，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得C′C∥AB　 　． 18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A（x＞0）的图象上．点A的坐标为（m，2）．连接OA，AB．若OA＝AB，∠OAB＝90°　 　． 三、解答题（共78分） 19．（8分）先化简：（+1）÷+，然后从﹣2≤x≤2的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值． 20．（10分）2023年，国内文化和旅游行业复苏势头强劲．某社团对30个地区“五一”假期的出游人数进行了调查，获得了它们“五一”假期出游人数（出游人数用m表示，单位：百万），并对数据进行统计整理．数据分成5组：A组：1≤m＜12；B组：12≤m＜23；D组：34≤m＜45；E组：45≤m＜56．下面给出了部分信息： a．B组的数据：12，13，15，17，17，20． b．不完整的“五一”假期出游人数的频数分布直方图和扇形统计图如图： 请根据以上信息完成下列问题： （1）统计图中E组对应扇形的圆心角为 　 　度； （2）请补全频数分布直方图； （3）这30个地区“五一”假期出游人数的中位数是 　 　百万； （4）各组“五一”假期的平均出游人数如表： 组别 A 1≤m＜12 B 12≤m＜23 C 23≤m＜34 D 34≤m＜45 E 45≤m＜56 平均出游人数（百万） 5.5 16 32.5 42 50 求这30个地区“五一”假期的平均出游人数． 21．（10分）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元 （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 22．（12分）2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单（2022﹣2025年）》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选，需要砌筑各种驳岸（也叫护坡）．某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算BC和AB的长度（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73，≈1.41 ）． 课题 母亲河驳岸的调研与计算 调查方式 资料查阅、水利部门走访、实地查看了解 调查内容 功能 驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物 材料 所需材料为石料、混凝土等 驳岸时剖面图 相关数据及说明：图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，岸墙AB⊥AE于点A，∠BCD＝135°，ED＝6m，AE＝1.5m 计算结果 … 交通展示 … 23．（12分）如图，已知AB为⊙O直径，AC是⊙O的切线，取弧BF的中点D，连接AD交BC于点E （1）求证：△HBE∽△ABC； （2）若CF＝8，BF＝10，求AC和EH的长． 24．（12分）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，将射线AE绕点A逆时针旋转90°，交CD延长线于点G，AG为邻边作矩形AEFG． （1）如图1，连接BD，求∠BDC的度数和； （2）如图2，当点F在射线BD上时，求线段BE的长； （3）如图3，当EA＝EC时，在平面内有一动点P，连接PA，PC 25．（14分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）． （1）若a＝1，c＝﹣1，且该二次函数的图象过点（2，0）； （2）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜0＜x2，点D在⊙O上且在第二象限内，点E在x轴正半轴上，连接DE，． ①求证：． ②当点E在线段OB上，且BE＝1．⊙O的半径长为线段OA的长度的2倍，若4ac＝﹣a2﹣b2，求2a+b的值． 2023-2024学年山东省德州五中九年级（下）开学数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D D B A B B A D B A D 题号 12 答案 C 一、选择题（每题4分，共48分） 1．（4分）生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A、是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了学生对中心对称图形和轴对称图形的性质认识． 2．（4分）下列计算正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B．（﹣a3b）2＝﹣a6b2 C．a6÷a3＝a2 D．（a2）3＝a6 【分析】选项A根据同底数幂的乘法法则判断即可；选项B根据积的乘方运算法则判断即可；选项C根据同底数幂的除法法则判断即可；选项D根据幂的乘方运算法则判断即可． 【解答】解：A．a2•a3＝a8，故选项不符合题意； B．（﹣a3b）2＝a3b2，故选项不符合题意； C．a6÷a7＝a3，故选项不符合题意； D．（a2）4＝a6，故选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 3．（4分）2022年我国粮食总产量再创新高，达686530000吨．将数字686530000用科学记数法表示为（　　） A．0.68653×108 B．6.8653×108 C．6.8653×107 D．68.653×107 【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案． 【解答】解：686530000＝6.8653×108． 故选：B． 【点评】本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 4．（4分）如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果∠1＝70°，那么∠2的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．45° 【分析】利用平行线的性质可得∠3的度数，再利用平角定义可得∠2的度数． 【解答】解：如图， ∵a∥b， ∴∠1＝∠3＝70°， ∴∠6＝180°﹣90°﹣70°＝20°， 故选：A． 【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等． 5．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD经过圆心O．若∠BAC＝40°，则∠DBC的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【分析】由圆周角定理可得∠BCD＝90°，∠BDC＝∠BAC＝40°，再利用直角三角形的性质可求解． 【解答】解：∵BD经过圆心O， ∴∠BCD＝90°， ∵∠BDC＝∠BAC＝40°， ∴∠DBC＝90°﹣∠BDC＝50°， 故选：B． 【点评】本题主要考查圆周角定理，直角三角形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键． 6．（4分）若反比例函数的图象经过点（﹣1，﹣2），则该反比例函数的图象分别位于（　　） A．第一、第二象限 B．第一、第三象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 【分析】根据反比例函数的性质，可得答案． 【解答】解：∵反比例函数的图象经过点（﹣1， ∴k＝﹣1×（﹣5）＝2， ∵k＝2＞3， ∴该反比例函数图象在第 一、三象限， 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比函数的性质是解题关键． 7．（4分）将分式方程＝去分母后得到的整式方程，正确的是（　　） A．x﹣2＝2x B．x2﹣2x＝2x C．x﹣2＝x D．x＝2x﹣4 【分析】分式方程两边乘以最简公分母x（x﹣2）即可得到结果． 【解答】解：去分母得：x﹣2＝2x， 故选：A． 【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 8．（4分）如图，在同一平面直角坐标系中，关于x的二次函数y＝bx2﹣ax+c与一次函数y＝ax+b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】可先由二次函数y＝bx2﹣ax+c图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝ax+b图象相比较看是否一致． 【解答】解：A、由抛物线y＝bx2﹣ax+c，可知图象开口向下，可知b＜0，由直线y＝ax+b可知，三，四象限a＞3，故此选项不符合题意； B、由抛物线y＝bx2﹣ax+c，可知图象开口向下，可知b＜0，由直线y＝ax+b可知，二，四象限，b＞4； C、由抛物线y＝bx2﹣ax+c，可知图象开口向下，可知b＜0，由直线y＝ax+b可知，三，四象限，b＜6； D、由抛物线y＝bx2﹣ax+c，可知图象开口向下，可知b＜0，由直线y＝ax+b可知，三，四象限，b＜7； 故选：D． 【点评】考查了二次函数的图象和一次函数的图象，解题的关键是掌握二次函数的性质，一次函数的性质． 9．（4分）“敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德．小刚、小强计划利用暑期从A，B，C三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动（　　） A． B． C． D． 【分析】画出树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好到一处的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：画树状图如图： 共有9种等可能的结果数，其中两人恰好到一处的结果数为3， ∴明明和亮亮两人恰好到一处的概率＝＝， 故选：B． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 10．（4分）如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，AD：AB＝3：1，则点C的坐标是（　　） A．（2，7） B．（3，7） C．（3，8） D．（4，8） 【分析】过C作CE⊥y轴于E，根据矩形的性质得到CD＝AB，∠ADC＝90°，根据余角的性质得到∠DCE＝∠ADO，根据相似三角形的性质得到CE＝OD＝2，DE＝OA＝1，于是得到结论． 【解答】解：过C作CE⊥y轴于E， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB，∠ADC＝90°， ∴∠ADO+∠CDE＝∠CDE+∠DCE＝90°， ∴∠DCE＝∠ADO， ∴△CDE∽△ADO， ∴， ∵OD＝2OA＝6，AD：AB＝5：1， ∴OA＝3，CD：AD＝， ∴CE＝OD＝2OA＝1， ∴OE＝7， ∴C（8，7）， 故选：A． 【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 11．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有下列5个代数式：①ac；②a+b+c；④2a+b；⑤a+b．其中（　　） A．①②③⑤ B．①③④ C．②③④ D．①②⑤ 【分析】根据抛物线与x轴（y轴）的交点，开口方向，对称轴及特殊点的函数值，逐一判断符号． 【解答】解：①∵抛物线开口向下，与y轴交于负半轴， ∴a＜0，c＜0， ∴ac＞5， ②由图象可知，当x＝1时， ③由图象可知，当x＝﹣2时， ④由对称轴＜1，得2a+b＜2， ⑤由②可知a+b+c＞0，且c＜0， ∴a+b＞2， ∴①②⑤的式子的值大于0． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．关键是根据图象与坐标轴的交点，开口方向，对称轴，顶点坐标，特殊点的函数值进行判断． 12．（4分）定义：在平面直角坐标系中，对于点P（x1，y1），当点Q（x2，y2）满足2（x1+x2）＝y1+y2时，称点Q（x2，y2）是点P（x1，y1）的“倍增点”．已知点P1（1，0），有下列结论： ①点Q1（3，8），Q2（﹣2，﹣2）都是点P1的“倍增点”； ②若直线y＝x+2上的点A是点P1的“倍增点”，则点A的坐标为（2，4）； ③抛物线y＝x2﹣2x﹣3上存在两个点是点P1的“倍增点”； ④若点B是点P1的“倍增点”，则P1B的最小值是； 其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】依据题意，由“倍增点”的意义进行计算进而判断①；设满足题意得“倍增点”A为（x，x+2），从而可以求得A（0，2），进而可以判断②；设抛物线上的“倍增点”为（x，x2﹣2x﹣3），从而建立方程求得解，可以判断③；设B（x，y），再由倍增点的意义得出y＝2（x+1），再利用两点间的距离公式表示出P1B，然后利用配方可以判断④，从而可以得解． 【解答】解：依据题意，由“倍增点”的意义， ∵2（1+7）＝8+0，3（1﹣2）＝﹣4+0， ∴点Q1（7，8），Q2（﹣6，﹣2）都是点P1的“倍增点”． ∴①正确． 对于②，由题意，x+2）， ∴2（x+1）＝x+3+0． ∴x＝0． ∴A（6，2）． ∴②错误． 对于③，可设抛物线上的“倍增点”为（x，x2﹣2x﹣3）， ∴2（x+3）＝x2﹣2x﹣5． ∴x＝5或﹣1． ∴此时满足题意的“倍增点”有（3，12），0）两个． ∴③正确． 对于④，设B（x， ∴2（x+6）＝y+0． ∴y＝2（x+4）． ∴P1B＝＝＝． ∴当x＝﹣时，P1B有最小值为． ∴④正确． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上的点的坐标、一次函数图象上的点的坐标，解题时要熟练掌握并理解． 二、填空题（每题4分，共24分） 13．（4分）因式分解：x2﹣16＝　（x+4）（x﹣4）　． 【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案． 【解答】解：x2﹣16＝（x+4）（x﹣4）． 故答案为：（x+4）（x﹣4）． 【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键． 14．（4分）小颖参加“歌唱祖国”歌咏比赛，六位评委对小颖的打分（单位：分）如下：7，8，7，9，8　3　分． 【分析】根据极差的概念计算即可． 【解答】解：∵这组数据的最大值是10，最小值是7， ∴这六个分数的极差是：10﹣7＝4（分）， 故答案为：3． 【点评】本题考查的是极差的概念，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差． 15．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+2a＝0有实数根，则a的值可以是 　1　（写出一个即可）． 【分析】根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于0求出a的范围，写出一个即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+4a＝0有实数根， ∴Δ＝16﹣8a≥4， 解得：a≤2， 则a的值可以是1． 故答案为：4． 【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键． 16．（4分）已知A（﹣1，y1），B（2，y2）都在抛物线y＝（x﹣1）2+2上，则y1与y2之间的大小关系是：y1　＞　y2． 【分析】先求解y1，y2，再比较大小即可． 【解答】解：∵A（﹣1，y1），B（4，y2）都在抛物线y＝（x﹣1）3+2上， ∴，， ∴y1＞y7， 故答案为：＞． 【点评】本题考查的是二次函图象上点的坐标特征，比较二次函数值的大小，选择合适的方法比较函数值的大小是解本题的关键． 17．（4分）如图，△ABC中，∠CAB＝70°，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得C′C∥AB　40°　． 【分析】旋转中心为点A，B与B′，C与C′分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角∠BAB′＝∠CAC′，AC＝AC′，再利用平行线的性质得∠C′CA＝∠CAB，把问题转化到等腰△ACC′中，根据内角和定理求∠CAC′． 【解答】解：∵CC′∥AB，∠CAB＝70°， ∴∠C′CA＝∠CAB＝70°， 又∵C、C′为对应点， ∴AC＝AC′，即△ACC′为等腰三角形， ∴∠BAB′＝∠CAC′＝180°﹣2∠C′CA＝40°． 故答案为：40° 【点评】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质． 18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A（x＞0）的图象上．点A的坐标为（m，2）．连接OA，AB．若OA＝AB，∠OAB＝90°　2﹣2　． 【分析】构造全等三角形推出点B的含有m的坐标，利用同一反比例函数上点的坐标之积相等列出关于m的方程，解出m即可求出A的坐标， 【解答】解：过点A作x轴的平行线交y轴于点M，过点B作y轴的平行线交MA的延长线于点N． ∵∠MOA+∠MAO＝90°，∠NAB+∠MAO＝90°， ∴∠MOA＝∠NAB， ∵∠AMO＝∠ANB＝90°，AO＝AB． ∴△AMO≌△BNA（AAS）， ∴AM＝NB＝m，MO＝AN＝2． ∴A（m，2），6﹣m）， ∵点A、B都在反比例函数上， ∴2m＝（m+2）（5﹣m）， 解得：m1＝﹣1+，m2＝﹣1﹣（舍去）， ∴点A的坐标为（﹣1+，7）， ∴k＝xy＝2（﹣6）＝2． 【点评】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，构造一线三垂直出现全等三角形是本题的突破口． 三、解答题（共78分） 19．（8分）先化简：（+1）÷+，然后从﹣2≤x≤2的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值． 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时根据除法法则变形，约分得到最简结果，将x＝0代入计算即可求出值． 【解答】解：（+3）÷+ ＝ ＝ ＝ 满足﹣2≤x≤8的整数有：﹣2、﹣1、2、1、2 但x＝﹣8、0、1时， ∴x＝﹣8或2 ∴当x＝2时，原式＝5． 【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20．（10分）2023年，国内文化和旅游行业复苏势头强劲．某社团对30个地区“五一”假期的出游人数进行了调查，获得了它们“五一”假期出游人数（出游人数用m表示，单位：百万），并对数据进行统计整理．数据分成5组：A组：1≤m＜12；B组：12≤m＜23；D组：34≤m＜45；E组：45≤m＜56．下面给出了部分信息： a．B组的数据：12，13，15，17，17，20． b．不完整的“五一”假期出游人数的频数分布直方图和扇形统计图如图： 请根据以上信息完成下列问题： （1）统计图中E组对应扇形的圆心角为 　36　度； （2）请补全频数分布直方图； （3）这30个地区“五一”假期出游人数的中位数是 　15.5　百万； （4）各组“五一”假期的平均出游人数如表： 组别 A 1≤m＜12 B 12≤m＜23 C 23≤m＜34 D 34≤m＜45 E 45≤m＜56 平均出游人数（百万） 5.5 16 32.5 42 50 求这30个地区“五一”假期的平均出游人数． 【分析】（1）用360°乘以E组地区个数占总个数的比例即可； （2）先求出D组地区个数，再求得C组地区个数，从而补全图形； （3）根据中位数的定义求解即可； （4）根据加权平均数的定义求解即可． 【解答】解：（1）统计图中E组对应扇形的圆心角为360°×＝36°， 故答案为：36； （2）D组个数为30×10%＝3（个）， 所以C组地区个数为30﹣（12+4+3+3）＝7（个）， 补全图形如下： （3）这30个地区“五一”假期出游人数的中位数是＝15.5（百万）， 故答案为：15.7； （4） （百万）， 答：这30个地区“五一”假期的平均出游人数是20百万． 【点评】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、求扇形某部分的圆心角等知识，掌握相关知识，利用数形结合思想是解题关键． 21．（10分）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元 （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【分析】（1）根据“用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同”列方程求解； （2）先根据“购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍”求出取值范围，再根据一次函数的性质求解． 【解答】解：（1）设A型编程机器人模型单价是x元，B型编程机器人模型单价是 （x﹣200）元． 根据题意：， 解这个方程，得：x＝500， 经检验，x＝500是原方程的根， ∴x﹣200＝300， 答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元； （2）设购买A型编程机器人模型m台，购买B型编程机器人模型 （40﹣m）台， 购买A型和B型编程机器人模型共花费w元， 由题意得：40﹣m≤3m， 解得：m≥10， w＝500×0.7•m+300×0.8（40﹣m）， 即：w＝160m+9600， ∵160＞5 ∴w随m的减小而减小． 当m＝10时，w取得最小值11200， ∴40﹣m＝30 答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元． 【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用及一次函数的应用，找到相等关系是解题的关键． 22．（12分）2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单（2022﹣2025年）》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选，需要砌筑各种驳岸（也叫护坡）．某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算BC和AB的长度（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73，≈1.41 ）． 课题 母亲河驳岸的调研与计算 调查方式 资料查阅、水利部门走访、实地查看了解 调查内容 功能 驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物 材料 所需材料为石料、混凝土等 驳岸时剖面图 相关数据及说明：图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，岸墙AB⊥AE于点A，∠BCD＝135°，ED＝6m，AE＝1.5m 计算结果 … 交通展示 … 【分析】过E作EF⊥CD于F，延长AB，CD交于H，得到∠EFD＝90°，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：过E作EF⊥CD于F，延长AB， ∴∠EFD＝90°， 由题意得，在Rt△EFD中，， ∴（m）， ∴FD＝ED•cos∠EDF＝6×cos60°＝3×＝2（m）， 由题意得，∠H＝90°， ∴，HF＝AE＝8.5m， ∵CF＝CD﹣FD＝3.2﹣3＝0.2（m）， ∴CH＝HF﹣CF＝1.5﹣8.5＝1（m）， 在Rt△BCH中，∠H＝90°， ∵， ∴1.7（m）， ∴BH＝CH•tan∠BCH＝1×tan45°＝1（m）， ∴AB＝AH﹣BH＝5． 答：BC的长度约为1.7m，AB的长度约为4.2m． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 23．（12分）如图，已知AB为⊙O直径，AC是⊙O的切线，取弧BF的中点D，连接AD交BC于点E （1）求证：△HBE∽△ABC； （2）若CF＝8，BF＝10，求AC和EH的长． 【分析】（1）利用切线的性质得AB⊥AC，则可判断EH∥AC，然后根据相似三角形的判定方法得到结论； （2）连接AF，如图，利用圆周角定理得到∠AFB＝90°，则可判定△CAF∽△CBA，利用相似比可计算出CA＝12，再利用D点为弧BF的中点得到∠BAD＝∠FAD，根据角平分线的性质定理得到EF＝EH，设EH＝x，则EF＝x，BE＝10﹣x，由于△HBE∽△ABC，则利用相似比求出x即可． 【解答】（1）证明：∵AB为⊙O直径，AC是⊙O的切线， ∴AB⊥AC， ∵EH⊥AB， ∴EH∥AC， ∴△HBE∽△ABC； （2）解：连接AF，如图， ∵AB为⊙O直径， ∴∠AFB＝90°， 而∠ACF＝∠BCA， ∴△CAF∽△CBA， ∴＝，即＝， ∴AC＝12， ∵D点为弧BF的中点， ∴∠BAD＝∠FAD， ∵EF⊥AF，EH⊥AB， ∴EF＝EH， 设EH＝x，则EF＝x， ∵△HBE∽△ABC， ∴＝，即＝，解得x＝5， 即EH＝4． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；利用相似比计算线段的长是几何计算常用的方法．也考查了圆周角定理和切线的性质． 24．（12分）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，将射线AE绕点A逆时针旋转90°，交CD延长线于点G，AG为邻边作矩形AEFG． （1）如图1，连接BD，求∠BDC的度数和； （2）如图2，当点F在射线BD上时，求线段BE的长； （3）如图3，当EA＝EC时，在平面内有一动点P，连接PA，PC 【分析】（1）由锐角三角函数可求∠BDC＝60°，通过证明△ADG∽△ABE，可得； （2）由“AAS”可证△ABE≌△GMF，可得BE＝MF，AB＝GM＝2，由锐角三角函数可求MF＝BE＝x，DG＝2+x，利用（1）的结论可求解； （3）通过证明△AGC 是等边三角形，可得PE＝EF＝AG＝4，由旋转的性质可得PA＝P'C，∠PEP'＝120°，EP＝EP'＝4，则当点P，C，P′三点共线时，PA+PC 的值最小，即可求解． 【解答】解：（1）∵矩形ABCD中，AB＝2，， ∴∠C＝90°，CD＝AB＝2，， ∴， ∴∠BDC＝60°， ∵∠ABE＝∠BAD＝∠EAG＝∠ADG＝90°， ∴∠EAG﹣∠EAD＝∠BAD﹣∠EAD， 即∠DAG＝∠BAE， ∴△ADG∽△ABE， ∴； （2）如图7，过点F作FM⊥CG于点M， ∵∠ABE＝∠AGF＝∠ADG＝90°，AE＝GF， ∴∠BAE＝∠DAG＝∠CGF，∠ABE＝∠GMF＝90°， ∴△ABE≌△GMF（AAS）， ∴BE＝MF，AB＝GM＝2， ∴∠MDF＝∠BDC＝60°，FM⊥CG， ∴， ∴， 设 DM＝x，则 ， ∴DG＝GM+MD＝2+x， 由（1）可知：， ∴， 解得 x＝1， ∴； （3）如图3，连接AC，EA与EC重合，连接PP'， 矩形ABCD中，AD＝BC＝， ∴tan∠ACB＝＝， ∴∠ACB＝30°， ∴AC＝3AB＝4， ∵EA＝EC， ∴∠EAC＝∠ACE＝30°，∠AEC＝120°， ∴∠ACG＝∠GAC＝90°﹣30°＝60°， ∴△AGC 是等边三角形，AG＝AC＝4， ∴PE＝EF＝AG＝2， ∵将△AEP绕点E顺时针旋转 120°，EA与EC重合， ∴PA＝P'C，∠PEP'＝120°， ∴， ∴当点P，C，P′三点共线时， 此时为 ． 【点评】本题是相似综合题，考查了矩形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 25．（14分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）． （1）若a＝1，c＝﹣1，且该二次函数的图象过点（2，0）； （2）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜0＜x2，点D在⊙O上且在第二象限内，点E在x轴正半轴上，连接DE，． ①求证：． ②当点E在线段OB上，且BE＝1．⊙O的半径长为线段OA的长度的2倍，若4ac＝﹣a2﹣b2，求2a+b的值． 【分析】（1）依题意得出二次函数解析式为y＝x2+bx﹣1，该二次函数的图象过点（2，0），代入即可求解； （2）①证明△DOF∽△DEO，根据相似三角形的性质即可求解； ②根据题意可得OE＝x2﹣1，OD＝﹣2x1，由①可得，进而得出x2＝1﹣3x1，由已知可得，根据一元二次方程根与系数的关系，可得，将x2＝1﹣3x1代入，解关于x1的方程，进而得出x2，可得对称轴为直线，即可求解． 【解答】（1）解：∵a＝1，c＝﹣1， ∴二次函数解析式为y＝x5+bx﹣1， ∵该二次函数的图象过点（2，5）， ∴4+2b﹣2＝0， 解得：b＝﹣； （2）①证明：∵∠DOF＝∠DEO，∠ODF＝∠EDO， ∴△DOF∽△DEO， ∴， ∴＝， ∵， ∴； ②解∵该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，5），B（x2，0），且x5＜0＜x2， ∴OA＝﹣x4，OB＝x2， ∵BE＝1． ∴OE＝x3﹣1， ∵⊙O的半径长为线段OA的长度的2倍， ∴OD＝﹣6x1， ∵， ∴， ∴3x1+x2﹣1＝0， 即x2＝1﹣3x5①， ∵该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x4，0）， ∴x1，x6是方程ax2+bx+c＝0的两个根， ∴， ∵4ac＝﹣a2﹣b2，a≠0， ∴， 即4（x1x2）+1+（x1+x3）2＝0② ①代入②，即， 即， 整理得﹣5（x1）2＝﹣4， ∴， 解得：（正值舍去）， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴b＝﹣2a， ∴2a+b＝0． 【点评】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，一元二次方程根与系数的关系，相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/2/19 18:37:16；用户：王立研；邮箱：orFmNt_U77fScWxT8l0DTCmjLXRs@weixin.jyeoo.com；学号：25840186 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$