8.3平行线的证明同步练习2025-2026学年鲁教版 （五四制）七年级数学下册

第八章·证明 3 平行线的证明 第 1 课时平行线的判定定理 列清单·划重点 知识点① 平行线的判定公理 1.公理：同位角相等，两直线平行. 2.符号语言： ∵ , ∴ . 知识点② 平行线的判定定理 1.同旁内角互补，两直线平行. 符号语言： ∵ , ∴ . 2.内错角相等，两直线平行.符号语言： ∵ , ∴ . 明考点 识方法 考点① 同位角相等，两直线平行 典例1如图,木条a,b与木条c 钉在一起,∠1=70°,转动木条a,当∠2= °时,木条a 与b 平行. 思路导析 根据对顶角相等和同位角相等两直线平行求解即可， 变式 如图所示，已知BE⊥MN,垂足为 B,DF⊥MN,垂足为D,∠1=∠2,证明直线 AB 与CD 平行. 解:∵BE⊥MN,DF⊥MN(已知), ∴∠ =90°,∠ =90°( ), 即∠ABM+∠1=90°,∠CDM+∠2=90°, 又∵∠1=∠2( ), ∴∠ =∠ ( ), ∴AB∥CD ( ). 考点② 内错角相等，两直线平行 典例2如图,点 E 在BC 的延长线上，下列选项中，能判断AD∥BC的是 ( ) A.∠1=∠4 B.∠2=∠5 C.∠4=∠B D.∠1=∠3 思路导析 结合图形根据平行线的判定定理逐一分析即可. 变式 如图,AB⊥BC,BC⊥CD,BF 和CE是射线,并且∠1=∠2,试说明BF∥CE. 考点③ 同旁内角互补，两直线平行 典例3如图，一个由 4 条射线构成的“鱼”形图案,其中∠1=50°,∠2=50°,∠3=130°,找出图中的平行线，并说明理由. 思路导析根据同位角相等两直线平行证明OB∥AC；根据同旁内角互补两直线平行证明OA∥BC. 变式 如图，台球运动中母球 P 击中桌边上的点A，经桌边反弹后击中相邻桌边上的点B,再次反弹后击中球C.(提示:∠1=∠2,∠3=∠4) (1)若∠1=32°,求∠PAB 的度数; (2)已知∠2+∠3=90°,母球 P 经过的路线BC 与 PA 一定平行吗?请说明理由. 第2课时 平行线的性质定理 列清单·划重点 知识点● 平行线的性质定理 1.两直线平行，同位角相等. 符号语言： ∵ , ∴ 2.两直线平行，内错角相等.符号语言： ∵ , ∴ . 3.两直线平行，同旁内角互补.符号语言： ∵ , ∴ ， 4.性质定理的推论：平行于同一条直线的两条直线 . 注意凡是条件中有两直线平行，就应注意可推出结论：同位角相等、内错角相等或同旁内角互补. 明考点·识方法 考点① 两直线平行，同位角相等 典例1光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射.如图，水面 AB与水杯下沿 CD 平行，光线 EF 从水中射向空气时发生折射，光线变成 FH，点 G 在射线 EF 上,已知∠HFB=20°,∠FED=45°,则∠GFH 的度数为 . 思路导析根据平行线的性质得∠GFB =∠FED=45°,结合图形求得∠GFH 的度数. 变式 如图,在△ABC 中,DE∥BC,∠EDF=∠C. (1)求证:∠BDF=∠A; (2)若∠A=45°,DF 平分∠BDE,请直接写出△ABC 的形状. 考点② 两直线平行，内错角相等 典例2 将一个三角尺(∠A=30°)按如图所示的位置摆放，直线a∥b，若∠ABD=20°,则∠α的度数是 . 思路导析根据题意求出∠ABC=60°,∠ACB= ，根据平行线的性质即可求解. 变式如图,已知点 C 在 AE上,AB∥CD,∠1=∠2.求证:AE∥DF. 考点③ 两直线平行，同旁内角互补 典例3完成下面的证明： 已知:如图,AB⊥BF,CD⊥BF,∠1=∠2. 求证:∠E+∠ECD=180°. 证明:∵AB⊥BF,CD⊥BF(已知), ∴∠ABF=∠CDF=90°( ), ∴AB∥ (同位角相等，两直线平行). ∵∠1=∠2(已知), ∴AB∥ ( ), ∴CD∥EF( ), ∴∠E+∠ECD=180°( ). 思路导析根据正文提示逐一填空即可. 变式完成下面的证明，并在括号中填写推理理由. 如图,已知∠A =∠F,∠C=∠D,求证:BD∥CE. 证明:∵∠A=∠F, ∴AC∥DF( ), ∴∠C+∠ =180°( ). ∵∠C=∠D, ∴∠D+∠ =180°( ), ∴BD∥CF( ). 考点④ 平行于同一条直线的两条直线平行 典例4 如图，张萌的手中有一张正方形纸片ABCD(AD∥BC),点 E,F 分别在AB和CD 上,且 EF∥AD,此时张萌判断出EF∥BC，则张萌判断出该结论的理由是 变式如图,已知直线a∥b,b∥c,若∠1=50°,则∠3的度数是 . 第1课时 平行线的判定定理 【列清单·划重点】 知识点1 2.∠1=∠2a∥b 知识点2 1.∠1+∠2=180°a∥b 2.∠1=∠2a∥b 【明考点·识方法】 典例1 70 变式 EBM FDM 垂直的定义 已知 ABM CDM 等角的余角相等 同位角相等，两直线平行 典例2 D 变式 证明:∵AB⊥BC(已知), ∴∠ABC=90°(垂直定义). ∵BC⊥CD(已知), ∴∠BCD=90°(垂直定义), ∴∠ABC=∠DCB. ∵∠1=∠2(已知), ∴∠ABC-∠2=∠DCB-∠1,即∠FBC=∠ECB, ∴BF∥CE(内错角相等，两直线平行). 典例3 解:OA∥BC,OB∥AC. 理由:∵∠1=50°,∠2=50°,∴∠1=∠2, ∴OB∥AC. ∵∠2=50°,∠3=130°, ∴∠2+∠3=180°, ∴OA∥BC. 变式 解:(1)∵∠1=∠2=32°,∠1+∠PAB+∠2=180°, (2)PA∥BC,理由: ∵∠1=∠2,∠3=∠4,∠2+∠3=90°, 而∠1 +∠2 +∠PAB = 180°= ∠3 +∠4+∠ABC, ∴∠1 +∠2 +∠PAB +∠3 +∠4 + ∴PA∥BC. 第2课时 平行线的性质定理 【列清单·划重点】 知识点 1.a∥b ∠1=∠2 2.a∥b ∠1=∠2 3.a∥b ∠1+∠2=180° 4.平行 【明考点·识方法】 典例1 25° 变式 解:(1)证明:∵DE∥BC, ∴∠C=∠AED. ∵∠EDE=∠C, ∴∠AED=∠EDF. ∴DF∥AC,∴∠BDF=∠A; (2)∵∠A=45°, ∴∠BDF=45°. ∵DF 平分∠BDE, ∴∠BDE=2∠BDF=90°. ∵DE∥BC,∴∠B=90°, ∴△ABC 是等腰直角三角形. 典例2 50° 变式 证明:∵AB∥CD, ∴∠ACD=∠1. ∵∠1=∠2, ∴∠ACD=∠2, ∴AE∥DF. 典例3 垂直定义 CD EF 内错角相等，两直线平行 平行于同一直线的两直线平行 两直线平行，同旁内角互补 变式 证明:∵∠A=∠F, ∴AC∥DF(内错角相等，两直线平行)， ∴∠C+∠CED=180°(两直线平行,同旁内角互补) ∵∠C=∠D, ∴∠D+∠CED=180°(等量代换), ∴BD∥CE(同旁内角互补，两直线平行) 故答案为：内错角相等，两直线平行 CED 两直线平行，同旁内角互补 CED 等量代换 同旁内角互补，两直线平行. 典例4 平行于同一条直线的两条直线平行变式 50° 学科网（北京）股份有限公司 $