精品解析：上海市浦东模范中学2025-2026学年八年级下学期数学小练习1

浦东模范中学2025学年第二学期八年级数学小练习1 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 不能判定四边形为平行四边形的条件是（ ） A. ， B. C. D. 2. 如图，，，，则点C到的距离为（ ） A. 2 B. 8 C. 10 D. 12 3. 如果矩形的一边与对角线的夹角是50°，则两条对角线相交所成的锐角的度数为（ ） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 4. 已知平行四边形的一条边长为14，下列各组数中，能分别作它的两条对角线长的是（ ） A. 10与16 B. 12与16 C. 20与22 D. 10与18 5. 在学习了《平行四边形》这一章节后，小侯针对几种特殊的平行四边形的关系画出了如图草图，他让同桌小润在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写正确的是（ ） A. ：中心对称 B. ：对边相等 C. ：有一组邻边相等 D. ：对角线互相平分 6. 如图，点P为平行四边形内任意一点，连接，如果将．、、的面积分别记为、、、，那么以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每空3分，共51分） 7. 一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是________． 8. 探究课上，小明画出，利用尺规作图找一点，判定四边形为平行四边形的依据是___________． 9. 完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．展示了数学与艺术的完美结合，它不仅是数学领域中的一个重要发现，还在建筑设计、艺术创作等领域中具有重要的美学价值．如图，五边形是人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中，则等于___________． 10. 若平行四边形的周长为，相邻两边的差为，则较短边的长为_______． 11. 如图（1），___________；如图（2），____________． 12. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠ABE的度数为___________． 13. 如图，边长为5的菱形的对角线、交于点，是的中点，则的长为_____________． 14. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，于点，，则的大小是___________． 15. 如图，在中，对角线AC，BD交于点O．若，，，则BC的长为________．     16. 如图是故宫博物院太和殿窗棂的三交六椀菱花图案，从中可以提取出一个菱形．若，则菱形的面积为_____． 17. 如图，已知正方形的边长为1，连接、，平分交于点E，则_____． 18. 如图，梯形中，，，，，则______． 19. 如图所示，在菱形中，对角线与相交于点，分别是的中点，为上的一个动点，若菱形的周长为，则的最小值为__________． 20. 正方形面积为16，正方形内一点P到的距离与到点A、B的距离都是d，则___________ 21. 如图，矩形中，，，点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是1cm/s，设运动时间为（），若四边形是菱形，则的值为___________． 22. 如图，在矩形中，，点是边上一动点，连接，将沿着翻折后得到，若与边分别交于点，且，则的长为____． 三、解答题（7+8+8+8，共31分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）将向右平移3个单位长度，画出平移后的； （2）画出以原点O为对称中心与成中心对称的； （3）在轴上方有一点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标为_____． 24. 如图，在平行四边形中，已知对角线与相交于点O，． （1）求的长； （2）求的面积． 25. 如图，在四边形中，，点在边上，点在边的延长线上，四边形的对角线分别交、于点、，且，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，，求证：四边形为矩形． 26. 根据下列各图求值： （1）如图1，求； （2）如图2，求； （3）如图3，求； （4）如图4，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浦东模范中学2025学年第二学期八年级数学小练习1 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 不能判定四边形为平行四边形的条件是（ ） A. ， B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故不能判定四边形为平行四边形，符合题意； B、两组对边分别相等的四边形为平行四边形，故能判定四边形为平行四边形，不符合题意； C、一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，故能判定四边形为平行四边形，不符合题意； D、∵，， ∴， ∴， 故能判定四边形为平行四边形，不符合题意； 故选A． 2. 如图，，，，则点C到的距离为（ ） A. 2 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，运用平行线之间三角形面积相等是解题的关键． 首先利用平行线之间三角形面积相等，得到的面积，再根据面积公式求解点C到的距离即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点C到的距离为， 故选：A． 3. 如果矩形的一边与对角线的夹角是50°，则两条对角线相交所成的锐角的度数为（ ） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的性质和等边对等角，进行求解即可． 【详解】解：如图，矩形， 则：，， ∴， ∴， ∴两条对角线相交所成的锐角的度数为80°； 故选D． 【点睛】本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握矩形的对角线相等且平分，是解题的关键． 4. 已知平行四边形的一条边长为14，下列各组数中，能分别作它的两条对角线长的是（ ） A. 10与16 B. 12与16 C. 20与22 D. 10与18 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，构成三角形的条件，在平行四边形中，对角线交于点O，，则，令对角线的长等于对应选项中的值，进而得到的长，再判断能否构成三角形即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在平行四边形中，对角线交于点O，，则， A、当时，则， ∴，即此时不能构成三角形，故此选项不符合题意； B、当时，则， ∴，即此时不能构成三角形，故此选项不符合题意； C、当时，则， ∴，即此时能构成三角形，故此选项符合题意； D、当时，则， ∴，即此时不能构成三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 5. 在学习了《平行四边形》这一章节后，小侯针对几种特殊的平行四边形的关系画出了如图草图，他让同桌小润在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写正确的是（ ） A. ：中心对称 B. ：对边相等 C. ：有一组邻边相等 D. ：对角线互相平分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定方法，菱形的判定方法，正方形的判定方法． 根据矩形的判定方法，菱形的判定方法，正方形的判定方法逐一分析即可． 【详解】解：A．：中心对称是平行四边形的固有性质，无法判断其为矩形； B．：对边相等是矩形的固有性质，无法判断其为正方形； C．：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，填写正确； D．：对角线互相平分是菱形的固有性质，无法判断其为正方形； 故选：C． 6. 如图，点P为平行四边形内任意一点，连接，如果将．、、的面积分别记为、、、，那么以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的对边相等可得，设点P到的距离分别为，平行四边形边，边上的高分别为，然后利用三角形的面积公式列式整理即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 设点P到的距离分别为，平行四边形边，边上的高分别为， 则， ∴ ∵， ∴ 同理可得，， ∵， ∴． 二、填空题（每空3分，共51分） 7. 一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据多边形内角和定理，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为，根据多边形内角和定理可得：， 解得 ，即这个多边形的边数是6． 8. 探究课上，小明画出，利用尺规作图找一点，判定四边形为平行四边形的依据是___________． 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【解析】 【详解】解：根据尺规作图可知，， ∴四边形为平行四边形， 其依据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 9. 完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．展示了数学与艺术的完美结合，它不仅是数学领域中的一个重要发现，还在建筑设计、艺术创作等领域中具有重要的美学价值．如图，五边形是人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中，则等于___________． 【答案】##240度 【解析】 【分析】直接利用多边形的外角和为即可得出答案． 【详解】解：多边形的外角和为， ∴， ∵， ∴． 10. 若平行四边形的周长为，相邻两边的差为，则较短边的长为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质和二元一次方程组的应用，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形周长求出相邻两边之和，再根据差列出方程组求解． 【详解】解：设较长边为，较短边为， 由平行四边形性质，相邻两边之和为周长的一半， 即， 又相邻两边差为，即， 得方程组， 解得， 故较短边长为， 故答案为：． 11. 如图（1），___________；如图（2），____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】解：（1） ； （2） 解得： 12. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠ABE的度数为___________． 【答案】15°##15度 【解析】 【分析】先求出∠BAE的度数，然后在等腰三角形ABE中已知顶角可求出底角的度数． 【详解】∵四边形ABCD是正方形 ∴AB=AD，∠BAD=90° ∵△ADE是等边三角形 ∴AD=AE，∠DAE=60° ∴AB= AE，∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150° ∴∠ABE= 故答案为15° 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、等边三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 13. 如图，边长为5的菱形的对角线、交于点，是的中点，则的长为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得，，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，且边长， ，， ， ∵是的中点， ． 14. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，于点，，则的大小是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到，则由等边对等角和三角形外角的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余可得答案． 【详解】解：∵在矩形中，对角线，相交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 15. 如图，在中，对角线AC，BD交于点O．若，，，则BC的长为________．     【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质定理，勾股定理，勾股逆定理，熟练掌握相关定理是解题的关键； 利用平行四边形的性质求得、的长，再根据勾股逆定理判断形状并求边长即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． 在中， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且． 在中， ． 故答案为：． 16. 如图是故宫博物院太和殿窗棂的三交六椀菱花图案，从中可以提取出一个菱形．若，则菱形的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，含角的直角三角形，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 连接，交于点O，求出，，得到，，，则，继而求出，即可解答． 【详解】解：连接，交于点O，如图 ∵四边形是菱形，， ∴， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 17. 如图，已知正方形的边长为1，连接、，平分交于点E，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及角平分线的性质，熟练掌握相关知识，证明是解题的关键．过点E作于点F，根据正方形的性质可得，再根据角平分线的性质可得，证明，可得，利用勾股定理求得，可得，，即可求解． 【详解】解：过点E作于点F，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵正方形的边长为1， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 18. 如图，梯形中，，，，，则______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形性质，解题的关键在于作辅助线构造平行四边形． 作交于点E，证明四边形是平行四边形，结合平行四边形性质推出，，进而得到，再根据求解，即可解题． 【详解】解：作交于点E，则， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：11． 19. 如图所示，在菱形中，对角线与相交于点，分别是的中点，为上的一个动点，若菱形的周长为，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形的性质可知，，作点关于的对称点，由菱形的轴对称的性质，可知在上，可证得四边形是平行四边形，则，可知，当点在上时取等号，即可求解． 【详解】解：∵菱形的周长为， ∴，， 作点关于的对称点，由菱形的轴对称的性质，可知在上， ∵分别是的中点， ∴，， 由轴对称可知，， 则， ∴四边形是平行四边形，则， ∴，当点在上时取等号， 故的最小值为． 20. 正方形面积为16，正方形内一点P到的距离与到点A、B的距离都是d，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，勾股定理、正方形的性质等知识，根据正方形的性质求出正方形的边长，在中，根据勾股定理构建关于d的方程求解即可． 【详解】解∶如图所示， ∵正方形面积为16， ∴正方形的边长为4，， ∵点P到的距离与到点A、B的距离都是d， ∴， ∴点P在的垂直平分线上， ∴，， 又， ∴， ∴， 又， ∴，即， 解得． 故答案为∶． 21. 如图，矩形中，，，点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是1cm/s，设运动时间为（），若四边形是菱形，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先得到四边形是平行四边形，则当时，四边形是菱形，然后表示出，再对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：由题意得，，则， ∵四边形是矩形 ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∵ ∴， 解得 ∴四边形是菱形，则的值为． 22. 如图，在矩形中，，点是边上一动点，连接，将沿着翻折后得到，若与边分别交于点，且，则的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，由矩形的性质可得，由折叠的性质可得，证明得到， 则可证明， 设，则，，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 设，则， ∴，， 在中， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 三、解答题（7+8+8+8，共31分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）将向右平移3个单位长度，画出平移后的； （2）画出以原点O为对称中心与成中心对称的； （3）在轴上方有一点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标为_____． 【答案】（1） 作图如图 （2） 作图如图 （3）或 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中平移与中心对称，平行四边形的判定，正确作出图形是解题的关键． （1）根据平移的性质，作图即可； （2）根据中心对称，作图即可； （3）先在平面直角坐标系确定四边形为平行四边形时，点D的位置，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，在轴上方有一点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，点的坐标为或． 故答案为：或． 24. 如图，在平行四边形中，已知对角线与相交于点O，． （1）求的长； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质是关键． （1）根据平行四边形的性质和勾股定理得到，即可得到的长； （2）根据平行四边形的性质得到，利用三角形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴的面积为 25. 如图，在四边形中，，点在边上，点在边的延长线上，四边形的对角线分别交、于点、，且，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，，求证：四边形为矩形． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 证明：∵四边形是菱形； ∴， ∵， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形； ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）证明得出，即可得出四边形是平行四边形，根据角平分线的定义，以及平行线的性质得出，进而可得，即可得证； （2）根据（1）的结论得出，结合已知条件得出，则四边形是平行四边形，根据菱形的性质得出，即，根据已知，等量代换得出，即，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 根据下列各图求值： （1）如图1，求； （2）如图2，求； （3）如图3，求； （4）如图4，求． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和、三角形外角的性质，多边形的内角和的计算方法，适当的转化是解决问题的关键． （1）连接，利用三角形内角和定理即可解答； （2）根据三角形外角的性质表示出，再根据三角形外角和为即可解答； （3）根据三角形外角的性质表示出，再根据四边形外角和为即可解答； （4）连接，由三角形内角和定理得到，即可得到为五边形的内角和，利用多边形内角和公式即可解答． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵，， ∴； 【小问2详解】 解：如图， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：如图， ∵， ∴； 【小问4详解】 解：如图，连接， ∵，， ∴ ∴ ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $