10.4一元一次不等式与一次函数（题型专练）数学新教材鲁教版五四制七年级下册

10.4一元一次不等式与一次函数 题型一 由y的取值范围求x的取值范围 1．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）已知一次函数的图象经过点和点． (1)求该一次函数的表达式； (2)在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)根据图象直接写出时，的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了一次函数图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用数形结合的思想进行求解． （1）利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）根据直线经过，，画出函数图象即可； （3）根据函数图象求解即可． 【详解】（1）解：设该一次函数的表达式为 将，代入得， 解得 ∴该一次函数的表达式为； （2）解：如图所示， （3）解：由图象可得，一次函数经过点 ∴当时，． 2．（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）已知一次函数当时，当时． (1)求这个一次函数的解析式； (2)作出它的图象，并求出图象与两条坐标轴围成的三角形面积； (3)时，自变量的取值范围是______． 【答案】(1) (2)见解析， (3) 【分析】本题考查了一次函数的性质． （1）设一次函数的解析式为，根据“当时，当时”计算即可； （2）画出图象，求出当时，进而计算即可； （3）由函数图象可知，y随x的增大而增大，当时，，当时，，即可作答． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， ∵当时，当时， ∴， 解得：， 即； （2）解：如图： 当时， ∴图象与两条坐标轴围成的三角形面积为； （3）解：由函数图象可知，y随x的增大而增大， 当时，， 当时，， 即时，自变量的取值范围是． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）在平面直角坐标系中，已知一次函数，完成下列问题： (1)画出一次函数的图象； x … … y … … (2)当时，x的范围是______； (3)将直线沿y轴向下平移3个单位长度，平移后的函数表达式为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，一次函数与不等式，一次函数的平移，熟练掌握以上知识点是解答此题的关键． （1）分别求出直线与轴、轴的交点，画出函数图象即可； （2）根据函数图象与坐标轴的交点可直接得出结论； （3）根据平移的规律求得即可． 【详解】（1）解：当时，；当时，， x … 0 2 … y … 4 0 … 画图如下图，即为所求： （2）解：根据图象，可知时，直线的图象在轴上方，那么当时，x的范围是； 故答案为：； （3）解：将直线沿y轴向下平移3个单位长度，平移后的函数表达式为． 故答案为：． 题型二 由x的取值范围求y的取值范围 1．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）已知一次函数的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．随的增大而减小 B．图象经过第一、二、四象限 C．图象可由直线向上平移4个单位长度得到 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查求一次函数的解析式，一次函数的图象与性质，一次函数与不等式的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．先通过代入已知点坐标求出一次函数的解析式，再根据解析式逐一分析每个选项． 【详解】解：∵ 的图象经过点 ，代入得： 解得： ∴一次函数的解析式为 ， ∵ ， ∴ 随 的增大而增大，并非减小，故选项A错误； 在一次函数 中，，， 函数图象经过第一、二、三象限，并非第一、二、四象限，故选项B错误； 直线 向上平移4个单位长度，得到的函数解析式应为 ，与求出的 不一致，故选项C错误； 令 ，即 ， 解得： ∴当 时，，故选项D正确。 故选：D． 2．（25-26八年级上·江苏南京·月考）已知一次函数的图像经过点、． (1)求k、b的值； (2)画出这个函数的图像； (3)原点O到直线的距离为______． (4)当时，y的取值范围是______． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，关键是正确得出函数解析式． （1）将点的坐标代入，运用待定系数法求解； （2）两点法即可确定函数的图象． （3）利用A、B点坐标，然后根据面积公式求解即可； （4）先求出当时，，再结合图象即可判断得解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点、． ∴， ∴； （2）解：由题意，结合（1）可得，可以作图如下： （3）解：由题意，设直线与x轴交于点C， 令，则，解得， ∴． 作于点H， 又∵， ∴． ∴原点O到直线的距离为． 故答案为：； （4）解：由图象可知，∵当时，， ∴当时，y的取值范围是． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，直线经过，两点．在同一坐标系中画出函数的图象，根据图象回答下列问题： (1)当时，写出与的大小关系； (2)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．把解不等式的问题转化为比较函数值的大小，从而可以利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围． （1）过，，画直线得到函数的图象，然后结合函数图象当时直线在直线的下方，从而得到； （2）写出直线在直线的下方且的函数值不小于所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）解：如图，当时，一次函数的图象在正比例函数的图象的下方， ∴当时，； （2）解：如图，求的解集即求一次函数的图象在正比例函数的图象的下方，且的函数值不小于时所对应的自变量的取值范围， ∴不等式的解集为． 4．（25-26八年级上·广东深圳·期中）已知一次函数的图象经过点，． (1)①求，的值； ②在上图的平面直角坐标系中画出该一次函数图象； (2)当时，直接写出的取值范围： ； (3)将一次函数的图象向上平移个单位后恰好经过，则的值为 ． 【答案】(1)①；②见解析； (2)； (3) 【分析】本题考查了一次函数的性质． （1）①将，代入计算即可； ②描点连线即可； （2）分别求出当和时y的值，进而作答即可； （3）求出平移后的函数解析式，再将代入计算即可． 【详解】（1）①解：将，代入得： ， 解得：； ②解：如图，标出点，，进而连线即可； （2）解：由（1）可知 当时， 当时，， ∴当时，， 故答案为：； （3）解：将一次函数的图象向上平移个单位得到， ∵经过， ∴， 解得：， 故答案为：． 题型一 由直线与坐标轴的交点求不等式解集 1．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，那么不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，核心是将不等式的求解转化为一次函数图像中对应的的取值范围，体现了数形结合的思想． 法1：结合函数图像，不等式的解集就是直线在轴上方部分对应的横坐标的取值范围； 法2：将点，点代入，可求得，将代入不等式，然后解一元一次不等式即可求解． 【详解】解：法1：直线与x轴交于点， 当时，函数图像在轴上方，此时， 不等式的解集是． 法2：将点，点代入， 得，解得， 将，代入，得， ， ， 即． 故选：． 2．（25-26八年级上·浙江·期末）如图，若函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 直接根据函数图象写出不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可得：当时函数的函数值小于2，故不等式的解集为． 故选：A． 3．（25-26八年级上·江苏淮安·月考）一次函数的图象如图所示，当时，x的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确一次函数的性质，利用数形结合的思想解答．依据题意，由函数的图象，可以得到该函数时x的值和该函数的增减性，从而可以得到当时，x的取值范围． 【详解】解：根据函数图象可知：当时，， 故选：B． 4．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，直线（k，b为常数，且）经过和两点，则关于x的不等式组的解集为 ．    【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式．写出一次函数图象在x轴的上方且在的左侧所对应的自变量的值即可． 【详解】解：∵直线经过和两点， ∴当时，， ∴关于x的不等式的解集是， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·上海·期中）如果直线过第二、三、四象限， 与x轴的交点为， 那么关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是掌握根据函数图象解不等式的方法．由直线过第二、三、四象限可知，然后画出草图，根据一次函数和一元一次不等式的关系，结合函数图象求不等式的解集． 【详解】解：∵直线过第二、三、四象限， ∴， 又直线与x轴的交点为， ∴草图如下： 不等式表示一次函数图象在x轴下方的部分， 根据图象，当，函数图象在x轴下方， 故不等式的解集是． 故答案是：． 6．（24-25八年级上·江苏苏州·月考）如图，直线经过和两点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，正确理解一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键．可以从函数图象的角度去分析，就是确定的解集就是确定直线在直线上方且在直线下方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【详解】解：∵直线经过和两点， ∴不等式的解集为． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）（1）已知一次函数的图象经过两点，则当x 时，． （2）如图是一次函数的图象，则关于x的不等式的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质， （1）利用待定系数法把点代入，可得关于k、b的方程组，再解出方程组可得k、b的值，进而得到函数解析式，再解不等式即可； （2）根据当时，图象在x轴上方，此时，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵一次函数的图象经过两点， ∴， 解得：， 这个一次函数的表达式为． 解不等式， 解得． 故答案为：； （2）解：由题意可得：一次函数中，当时，图象在x轴上方，， 则关于x的不等式的解是， 故答案为：． 题型二 根据两条直线的交点求不等式解集 1．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）已知一次函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，理解题意是解决本题的关键． 根据图象可得，两直线交点的横坐标为1，即可得到当时，的取值范围． 【详解】解：由图象可得，两直线交点的横坐标为1， ∴当时，的取值范围为， 故选D． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）在平面直角坐标系中，一次函数和，无论x取何值，始终有，m的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；由于无论x取何值始终有，且和均为一次函数，故两直线必须平行，得到，再根据恒成立求m的取值范围即可． 【详解】解：∵，， 且无论x取何值始终有， ∴两直线平行，即， ∴， ∵恒成立， ∴，解得， 又∵， ∴且； 故选：D． 3．（25-26八年级上·四川成都·月考）如图，在平面直角坐标系中，函数过点，函数的图象过，两函数图象交点的横坐标为1，则满足的的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据两条直线的交点求不等式的解集，理解题意，结合函数过点，函数的图象过，两函数图象交点的横坐标为1，运用数形结合思想得出满足的的取值范围为，即可作答． 【详解】解：∵函数过点，函数的图象过，两函数图象交点的横坐标为1， ∴满足的的取值范围为， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·广东河源·月考）如图，函数为常数，与均为常数且都不为的图象相交于点，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由图可得过原点的直线是函数的图象，不等式表示直线在上方时的取值范围，通过交点可得当时满足条件；本题主要考查了一次函数和一元一次不等式的图象和性质，熟练运用数形结合的思想，掌握两个图象的交点是两个函数值大小关系的分界点是解题的关键． 【详解】解：由图得直线是函数的图象， 解不等式即求直线在上方时的取值范围， 又∵两直线相交于点， ∴当时满足条件， 故不等式的解集为． 故答案为：． 5．（14-15八年级上·江苏无锡·期末）一次函数与的图象如图所示，若，根据图象可得x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，表示在x轴的上方，且的图象在的图象的上边部分自变量的取值范围，根据图象即可直接求解． 【详解】解：根据图象可得，，则x的取值范围是：． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）如图，函数，的图象交于点，则关于x的不等式 的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据两直线的交点求不等式的解集，一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质，利用数形结合的思想方法是解题的关键． 先根据点P的坐标求得m的值，进而求得的解集，然后根据函数图象得到直线在直线上方时的x的取值范围，即可解答． 【详解】解：∵点在函数的图象上， 把代入，得， 解得， ∴， 则， 解得， ∴的解集为， 由图象可知，当时，直线的图象在直线的图象的上方， ∴的解集为， 综上，的解集为． 故答案为：． 题型三 与不等式有关的新定义题 1．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）对于三个数a、b、c，表示a、b、c这三个数中最小的数，如：，若，则y的最大值是 ． 【答案】2 【分析】此题考查了一次函数的交点问题，一次函数的图象和性质，设，，，首先分别联立求出三个函数的交点，然后结合图象求解即可． 【详解】解：如图所示， 设，，， 当时，， 解得，此时 ∴， 当时，， 解得，此时 ∴， 当时，， 解得，此时 ∴， ∴由图象可得，当时，，且； 当时，，且， ∴y的最大值为2． 故答案为：2． 2．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）定义运算：当时 ，； 当时 ，．如： ，，．根据该定义运算完成下列问题： (1)__________，当时，__________； (2)若，求的取值范围； (3)如图，已知直线与相交于点，若 ，结合图象，直接写出的取值范围是__________． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式，一次函数的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据新定义即可求解； （）由题意得， 然后解不等式即可； （）由，得，再通过一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，，当时，， 故答案为：，； （2）解：由题意得：， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， 由图象得，当时，， ∴的取值范围是． 故答案为：． 题型四 一元一次不等式与一次函数的综合运用 1．（25-26八年级下·全国·周测）如下图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与直线：交于点，直线分别与轴、轴交于点，，连接． (1)根据图象直接写出关于的不等式的解集． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两个直线的交点横坐标，结合图象中直线在上方的区域，直接得出不等式的解集； （2）先将点代入​求出其坐标，再代入求出得到的解析式，找到相关点的坐标后，将的面积拆分为两个三角形的面积和进行计算． 【详解】（1）解：直线与交于点，且不等式表示的函数值大于​的函数值． 则关于的不等式的解集为． （2）解：把代入，得， ． 把代入，得，解得， 直线的函数解析式为． 如图，设直线与轴交于点． 对于，令，则， ． 对于，令，则， ； 令，则，解得， ， ． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式的关系、一次函数解析式的求解及三角形面积的计算，掌握利用函数图象解不等式，及通过拆分图形求复杂三角形面积是解题的关键． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与x轴、y轴交于点， B，直线 分别与x轴、y轴交于点C，D，点C在点A的左边，且 ，直线与直线交于点． (1)求直线与 的函数表达式． (2)求的面积． (3)根据图像写出关于x的不等式 的解集． (4)在直线 上是否存在一点 P，使得 ？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线函数表达式为；直线函数表达式为； (2) (3) (4)点坐标为或 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数点的坐标特征、坐标与图形性质等内容，分类讨论是解题的关键． （1）由点和点坐标可求出直线函数表达式，再求出点坐标，根据点和点坐标可求出直线函数表达式； （2）分别求出点和点坐标，进而根据面积公式求解即可； （3）根据图象即可解答； （4）分类讨论，点在点上方和下方，然后表示出的面积，再根据面积公式求解即可． 【详解】（1）解：将点代入得，， 解得：， ∴直线函数表达式为； 由题可知， ， 将代入得，， 解得：， ∴直线函数表达式为； （2）解：令，得， ∴， 令，得， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴当时，， ∴关于x的不等式 的解集是． （4）解：当点在点上方时，如图， 此时， ， 解得：（负值已舍去）， 此时， ； 当点在点下方时，如图， 此时， ， 解得：（正值舍去）， 此时， ； 综上，满足题意的点坐标为或． 3．（25-26八年级上·陕西西安·月考）在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A，点B． 直线与交于点E．若点E坐标为． (1)直接写出E的坐标和m的值：______； (2)当时，x的取值范围是：______； (3)在x轴上是否存在点P，使直线把分成面积之比为的两部分？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，或． 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质，是解题的关键． （1）将代入求出E的坐标，再代入求m的值即可； （2）直接根据函数图象作答即可； （3）求出、坐标，根据三角形高相等，面积比等于底的比作答即可． 【详解】（1）解：将代入得，即， 将代入得， 解得：； 故答案为：，； （2）解：由函数图象可知，当时，； 故答案为：； （3）解：当时，，即； 当时，，即； 设， 当直线把分成面积之比为的两部分时，或， 当时，，解得：，； 当时，，解得：，． 4．（25-26八年级上·江苏南京·月考）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点． (1)画出这个一次函数的图象，并根据图象回答：当______时，； (2)若该一次函数的图象、函数(为常数，)的图象和轴所围成的三角形的面积大于，直接写出的取值范围． 【答案】(1)图象见解析，． (2)且． 【分析】 本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一元一次不等式的应用、一次函数图象上点的坐标特征； （1）先画出一次函数图象，再根据函数图象写出不等式解集即可； （2）先求出一次函数的解析式，然后根据当函数经过点或时，两直线与轴所围成的三角形的面积为，结合图形，即可求解． 【详解】（1）解：（1）一次函数的图象如下： 由图象可知，当时，， 故答案为：． （2）解：设一次函数解析式为 ， 一次函数的图象经过点， ， 解得 一次函数解析式为； ∴一次函数与x轴的交点坐标为， 函数为常数，的图象和轴的交点坐标为， 该函数与轴交点坐标为， ∵两直线与轴所围成的三角形的面积为， ∴当函数为常数，的图象与轴交点坐标距离有4个单位， 当函数经过点或时，两直线与轴所围成的三角形的面积为 即或 解得：或， 该一次函数的图象、函数为常数，的图象和轴所围成的三角形的面积大于， ∴且． 5．（24-25八年级上·江苏苏州·月考）如图，直线与直线交于点，与轴交于点． (1) ；不等式的解集为 ， (2)若点在线段上，点在直线上，则的最小值 ． (3)直线上是否存在一点P，使得的面积为6，若不存在请说明理由，若存在请求出P的坐标． 【答案】(1)1， (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】本题是两条直线相交问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，正确计算是解题关键． （1）将代入即可得出的值，再求出一次函数与轴交点为，最后数形结合求解即可； （2）利用一次函数图象上点的坐标特征得到，根据题意以及一次函数的性质当时，的值最小，代入求得即可． （3）先求得．设点在直线上，其坐标为，再由三角形面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：直线与直线交于点， 解得， 一次函数解析式为， 令得，解得， 一次函数与轴交点为， 不等式的解集为， 故答案为：1，； （2）解：由（1）知：点在线段上，点在直线上， ，， ， ， 的最小值为， 故答案为：． （3）解：存在， 直线，令得， ． 设点在直线上，其坐标为， 其面积等于6，则有：， 即或． 解得或， 所以坐标为或． 题型一 不等式与函数的综合问题 1．（21-22八年级下·江苏南通·期末）在练习“一次函数”复习题时，我们发现了一种新的函数：“绝对值函数”：，请类比探究函数． (1)当时，______，当时，______用含的代数式表示； (2)过轴上的动点，其中，作平行于轴的直线，分别与函数的图像相交于、两点点在点的左侧，若，求的值； (3)若一次函数图像与函数的图像相交于、两点，，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)1或 (3) 【分析】（1）根据绝对值的意义即可得到结论； （2）表示出、的坐标，由，得到，即可或； （3）联立两个函数解析式，求得、的坐标，利用两点间距离公式表示出，由，得到，两边平方得到，进而求得，由一次函数图像与函数的图像相交于、两点，把点代入求得的值，利用图像可得答案． 【详解】（1）当时，， ， ； 当时，， ； 故答案为：；； （2）过轴上的动点，其中，作平行于轴的直线， ，， ， ， 解得或； （3）画出函数的图像如图， 一次函数图像与函数的图像相交于、两点， ，， 解得，， 设，， ， ，， ， ， ， 把点代入得，， 一次函数图像与函数的图像相交于、两点， ， ． 【点睛】本题是两条直线相交或平行问题，考查了绝对值的意义，一次函数图像上点的坐标特征，两点间的距离，表示出、、、的坐标是解题的关键． 2．（20-21八年级下·辽宁大连·期末）已知函数，其中m为常数，该函数的图象记为G． （1）当时，若点在图象G上，求n的值； （2）当时，若函数最大值与最小值的差为，求m的值； （3）已知点，，，当图象G与有两个公共点时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）-5；（2）；（3）， 【分析】（1）将代入解析式求解即可； （2）根据一次函数的图像的性质，分类讨论①当时，②当时，③当时，根据一次函数的定义分别求得最大和最小值，再求其差为，从而求得m的值； （3）设,，分类讨论①当经过点时，求得的最小值， ②当经过点时，③当与线段有交点时，④当经过点的时，⑤如图，当经过点时，分别判断图象G与的交点个数，得出符合题意的m的取值范围． 【详解】解：（1）当时，函数 ∵点在图像G上 ∴当时，． （2）①当时，即时，对于函数，随着x的增大y也增大． ∴当时，函数有最小值． 当时，函数有最大值． ∴． ∴当时，不存在m值使最大值与最小值的差为． ②当时，即时，对于函数，随着x的增大，y反而减小． ∴当时，函数有最小值． 当时，函数有最大值． ∴，故当时，不存在m值使最大值与最小值的差为． ③当时，即时，图象G从左到右先上升，再下降，即随着x的增大y值先增大，再减小，当时有最大值． 当时，，当时，． ⅰ当时，． ⅱ当时，． ∴时，当时，函数最大值与最小值的差为． 综上述：． （3）设, ①如图，当经过点时， 图象G与有一个公共点， 将代入，得： 解得 ②当经过点时，将点代入 解得 当时，当图象G与有两个公共点 如图，当时，即，也经过点 此时，当图象G与有两个公共点 ③当与线段有交点时， 将点代入，得 此时与交于点 当继续增大时，图象G与有四个公共点， 分别与线段各有一个交点，与线段各有一个交点； ④如图，当经过点的时，将代入 解得： 此时分别与各有一个交点，此时图象G与有三个公共点 当继续增大时，图象G与有两个公共点 ⑤如图，当经过点时，图象G与有一个公共点，此时可以求得的最大值 将代入，得： 解得： 综上所述，当图象G与有两个公共点时，或． 【点睛】本题考查了一次函数的定义，一次函数图像与性质等知识点，分类讨论，数形结合是解题的关键． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.4一元一次不等式与一次函数 题型一 由y的取值范围求x的取值范围 1．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）已知一次函数的图象经过点和点． (1)求该一次函数的表达式； (2)在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)根据图象直接写出时，的取值范围． 2．（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）已知一次函数当时，当时． (1)求这个一次函数的解析式； (2)作出它的图象，并求出图象与两条坐标轴围成的三角形面积； (3)时，自变量的取值范围是______． 3．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）在平面直角坐标系中，已知一次函数，完成下列问题： (1)画出一次函数的图象； x … … y … … (2)当时，x的范围是______； (3)将直线沿y轴向下平移3个单位长度，平移后的函数表达式为______． 题型二 由x的取值范围求y的取值范围 1．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）已知一次函数的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．随的增大而减小 B．图象经过第一、二、四象限 C．图象可由直线向上平移4个单位长度得到 D．当时， 2．（25-26八年级上·江苏南京·月考）已知一次函数的图像经过点、． (1)求k、b的值； (2)画出这个函数的图像； (3)原点O到直线的距离为______． (4)当时，y的取值范围是______． 3．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，直线经过，两点．在同一坐标系中画出函数的图象，根据图象回答下列问题： (1)当时，写出与的大小关系； (2)直接写出不等式的解集． 4．（25-26八年级上·广东深圳·期中）已知一次函数的图象经过点，． (1)①求，的值； ②在上图的平面直角坐标系中画出该一次函数图象； (2)当时，直接写出的取值范围： ； (3)将一次函数的图象向上平移个单位后恰好经过，则的值为 ． 题型一 由直线与坐标轴的交点求不等式解集 1．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，那么不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江·期末）如图，若函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为（   ）． A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏淮安·月考）一次函数的图象如图所示，当时，x的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，直线（k，b为常数，且）经过和两点，则关于x的不等式组的解集为 ．    5．（25-26八年级上·上海·期中）如果直线过第二、三、四象限， 与x轴的交点为， 那么关于x的不等式的解集是 ． 6．（24-25八年级上·江苏苏州·月考）如图，直线经过和两点，则不等式的解集为 ． 7．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）（1）已知一次函数的图象经过两点，则当x 时，． （2）如图是一次函数的图象，则关于x的不等式的解为 ． 题型二 根据两条直线的交点求不等式解集 1．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）已知一次函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）在平面直角坐标系中，一次函数和，无论x取何值，始终有，m的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 3．（25-26八年级上·四川成都·月考）如图，在平面直角坐标系中，函数过点，函数的图象过，两函数图象交点的横坐标为1，则满足的的取值范围为 ． 4．（25-26八年级上·广东河源·月考）如图，函数为常数，与均为常数且都不为的图象相交于点，则关于的不等式的解集为 ． 5．（14-15八年级上·江苏无锡·期末）一次函数与的图象如图所示，若，根据图象可得x的取值范围为 ． 6．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）如图，函数，的图象交于点，则关于x的不等式 的解集为 ． 题型三 与不等式有关的新定义题 1．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）对于三个数a、b、c，表示a、b、c这三个数中最小的数，如：，若，则y的最大值是 ． 2．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）定义运算：当时 ，； 当时 ，．如： ，，．根据该定义运算完成下列问题： (1)__________，当时，__________； (2)若，求的取值范围； (3)如图，已知直线与相交于点，若 ，结合图象，直接写出的取值范围是__________． 题型四 一元一次不等式与一次函数的综合运用 1．（25-26八年级下·全国·周测）如下图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与直线：交于点，直线分别与轴、轴交于点，，连接． (1)根据图象直接写出关于的不等式的解集． (2)求的面积． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与x轴、y轴交于点， B，直线 分别与x轴、y轴交于点C，D，点C在点A的左边，且 ，直线与直线交于点． (1)求直线与 的函数表达式． (2)求的面积． (3)根据图像写出关于x的不等式 的解集． (4)在直线 上是否存在一点 P，使得 ？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（25-26八年级上·陕西西安·月考）在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A，点B． 直线与交于点E．若点E坐标为． (1)直接写出E的坐标和m的值：______； (2)当时，x的取值范围是：______； (3)在x轴上是否存在点P，使直线把分成面积之比为的两部分？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（25-26八年级上·江苏南京·月考）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点． (1)画出这个一次函数的图象，并根据图象回答：当______时，； (2)若该一次函数的图象、函数(为常数，)的图象和轴所围成的三角形的面积大于，直接写出的取值范围． 5．（24-25八年级上·江苏苏州·月考）如图，直线与直线交于点，与轴交于点． (1) ；不等式的解集为 ， (2)若点在线段上，点在直线上，则的最小值 ． (3)直线上是否存在一点P，使得的面积为6，若不存在请说明理由，若存在请求出P的坐标． 题型一 不等式与函数的综合问题 1．（21-22八年级下·江苏南通·期末）在练习“一次函数”复习题时，我们发现了一种新的函数：“绝对值函数”：，请类比探究函数． (1)当时，______，当时，______用含的代数式表示； (2)过轴上的动点，其中，作平行于轴的直线，分别与函数的图像相交于、两点点在点的左侧，若，求的值； (3)若一次函数图像与函数的图像相交于、两点，，直接写出的取值范围． 2．（20-21八年级下·辽宁大连·期末）已知函数，其中m为常数，该函数的图象记为G． （1）当时，若点在图象G上，求n的值； （2）当时，若函数最大值与最小值的差为，求m的值； （3）已知点，，，当图象G与有两个公共点时，直接写出m的取值范围． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.4一元一次不等式与一次函数 题型一 由y的取值范围求x的取值范围 1． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了一次函数图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用数形结合的思想进行求解． （1）利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）根据直线经过，，画出函数图象即可； （3）根据函数图象求解即可． 【详解】（1）解：设该一次函数的表达式为 将，代入得， 解得 ∴该一次函数的表达式为； （2）解：如图所示， （3）解：由图象可得，一次函数经过点 ∴当时，． 2． 【答案】(1) (2)见解析， (3) 【分析】本题考查了一次函数的性质． （1）设一次函数的解析式为，根据“当时，当时”计算即可； （2）画出图象，求出当时，进而计算即可； （3）由函数图象可知，y随x的增大而增大，当时，，当时，，即可作答． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， ∵当时，当时， ∴， 解得：， 即； （2）解：如图： 当时， ∴图象与两条坐标轴围成的三角形面积为； （3）解：由函数图象可知，y随x的增大而增大， 当时，， 当时，， 即时，自变量的取值范围是． 故答案为：． 3． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，一次函数与不等式，一次函数的平移，熟练掌握以上知识点是解答此题的关键． （1）分别求出直线与轴、轴的交点，画出函数图象即可； （2）根据函数图象与坐标轴的交点可直接得出结论； （3）根据平移的规律求得即可． 【详解】（1）解：当时，；当时，， x … 0 2 … y … 4 0 … 画图如下图，即为所求： （2）解：根据图象，可知时，直线的图象在轴上方，那么当时，x的范围是； 故答案为：； （3）解：将直线沿y轴向下平移3个单位长度，平移后的函数表达式为． 故答案为：． 题型二 由x的取值范围求y的取值范围 1． 【答案】D 2． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，关键是正确得出函数解析式． （1）将点的坐标代入，运用待定系数法求解； （2）两点法即可确定函数的图象． （3）利用A、B点坐标，然后根据面积公式求解即可； （4）先求出当时，，再结合图象即可判断得解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点、． ∴， ∴； （2）解：由题意，结合（1）可得，可以作图如下： （3）解：由题意，设直线与x轴交于点C， 令，则，解得， ∴． 作于点H， 又∵， ∴． ∴原点O到直线的距离为． 故答案为：； （4）解：由图象可知，∵当时，， ∴当时，y的取值范围是． 故答案为：． 3． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．把解不等式的问题转化为比较函数值的大小，从而可以利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围． （1）过，，画直线得到函数的图象，然后结合函数图象当时直线在直线的下方，从而得到； （2）写出直线在直线的下方且的函数值不小于所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）解：如图，当时，一次函数的图象在正比例函数的图象的下方， ∴当时，； （2）解：如图，求的解集即求一次函数的图象在正比例函数的图象的下方，且的函数值不小于时所对应的自变量的取值范围， ∴不等式的解集为． 4． 【答案】(1)①；②见解析； (2)； (3) 【分析】本题考查了一次函数的性质． （1）①将，代入计算即可； ②描点连线即可； （2）分别求出当和时y的值，进而作答即可； （3）求出平移后的函数解析式，再将代入计算即可． 【详解】（1）①解：将，代入得： ， 解得：； ②解：如图，标出点，，进而连线即可； （2）解：由（1）可知 当时， 当时，， ∴当时，， 故答案为：； （3）解：将一次函数的图象向上平移个单位得到， ∵经过， ∴， 解得：， 故答案为：． 题型一 由直线与坐标轴的交点求不等式解集 1． 【答案】A 2． 【答案】A 3． 【答案】B 4． 【答案】 5． 【答案】 6． 【答案】 7． 【答案】 题型二 根据两条直线的交点求不等式解集 1． 【答案】D 2． 【答案】D 3． 【答案】 4． 【答案】 5． 【答案】 6． 【答案】 题型三 与不等式有关的新定义题 1． 【答案】2 2． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式，一次函数的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据新定义即可求解； （）由题意得， 然后解不等式即可； （）由，得，再通过一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，，当时，， 故答案为：，； （2）解：由题意得：， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， 由图象得，当时，， ∴的取值范围是． 故答案为：． 题型四 一元一次不等式与一次函数的综合运用 1． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两个直线的交点横坐标，结合图象中直线在上方的区域，直接得出不等式的解集； （2）先将点代入​求出其坐标，再代入求出得到的解析式，找到相关点的坐标后，将的面积拆分为两个三角形的面积和进行计算． 【详解】（1）解：直线与交于点，且不等式表示的函数值大于​的函数值． 则关于的不等式的解集为． （2）解：把代入，得， ． 把代入，得，解得， 直线的函数解析式为． 如图，设直线与轴交于点． 对于，令，则， ． 对于，令，则， ； 令，则，解得， ， ． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式的关系、一次函数解析式的求解及三角形面积的计算，掌握利用函数图象解不等式，及通过拆分图形求复杂三角形面积是解题的关键． 2． 【答案】(1)直线函数表达式为；直线函数表达式为； (2) (3) (4)点坐标为或 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数点的坐标特征、坐标与图形性质等内容，分类讨论是解题的关键． （1）由点和点坐标可求出直线函数表达式，再求出点坐标，根据点和点坐标可求出直线函数表达式； （2）分别求出点和点坐标，进而根据面积公式求解即可； （3）根据图象即可解答； （4）分类讨论，点在点上方和下方，然后表示出的面积，再根据面积公式求解即可． 【详解】（1）解：将点代入得，， 解得：， ∴直线函数表达式为； 由题可知， ， 将代入得，， 解得：， ∴直线函数表达式为； （2）解：令，得， ∴， 令，得， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴当时，， ∴关于x的不等式 的解集是． （4）解：当点在点上方时，如图， 此时， ， 解得：（负值已舍去）， 此时， ； 当点在点下方时，如图， 此时， ， 解得：（正值舍去）， 此时， ； 综上，满足题意的点坐标为或． 3． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，或． 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质，是解题的关键． （1）将代入求出E的坐标，再代入求m的值即可； （2）直接根据函数图象作答即可； （3）求出、坐标，根据三角形高相等，面积比等于底的比作答即可． 【详解】（1）解：将代入得，即， 将代入得， 解得：； 故答案为：，； （2）解：由函数图象可知，当时，； 故答案为：； （3）解：当时，，即； 当时，，即； 设， 当直线把分成面积之比为的两部分时，或， 当时，，解得：，； 当时，，解得：，． 4． 【答案】(1)图象见解析，． (2)且． 【分析】 本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一元一次不等式的应用、一次函数图象上点的坐标特征； （1）先画出一次函数图象，再根据函数图象写出不等式解集即可； （2）先求出一次函数的解析式，然后根据当函数经过点或时，两直线与轴所围成的三角形的面积为，结合图形，即可求解． 【详解】（1）解：（1）一次函数的图象如下： 由图象可知，当时，， 故答案为：． （2）解：设一次函数解析式为 ， 一次函数的图象经过点， ， 解得 一次函数解析式为； ∴一次函数与x轴的交点坐标为， 函数为常数，的图象和轴的交点坐标为， 该函数与轴交点坐标为， ∵两直线与轴所围成的三角形的面积为， ∴当函数为常数，的图象与轴交点坐标距离有4个单位， 当函数经过点或时，两直线与轴所围成的三角形的面积为 即或 解得：或， 该一次函数的图象、函数为常数，的图象和轴所围成的三角形的面积大于， ∴且． 5． 【答案】(1)1， (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】本题是两条直线相交问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，正确计算是解题关键． （1）将代入即可得出的值，再求出一次函数与轴交点为，最后数形结合求解即可； （2）利用一次函数图象上点的坐标特征得到，根据题意以及一次函数的性质当时，的值最小，代入求得即可． （3）先求得．设点在直线上，其坐标为，再由三角形面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：直线与直线交于点， 解得， 一次函数解析式为， 令得，解得， 一次函数与轴交点为， 不等式的解集为， 故答案为：1，； （2）解：由（1）知：点在线段上，点在直线上， ，， ， ， 的最小值为， 故答案为：． （3）解：存在， 直线，令得， ． 设点在直线上，其坐标为， 其面积等于6，则有：， 即或． 解得或， 所以坐标为或． 题型一 不等式与函数的综合问题 1． 【答案】(1) (2)1或 (3) 【分析】（1）根据绝对值的意义即可得到结论； （2）表示出、的坐标，由，得到，即可或； （3）联立两个函数解析式，求得、的坐标，利用两点间距离公式表示出，由，得到，两边平方得到，进而求得，由一次函数图像与函数的图像相交于、两点，把点代入求得的值，利用图像可得答案． 【详解】（1）当时，， ， ； 当时，， ； 故答案为：；； （2）过轴上的动点，其中，作平行于轴的直线， ，， ， ， 解得或； （3）画出函数的图像如图， 一次函数图像与函数的图像相交于、两点， ，， 解得，， 设，， ， ，， ， ， ， 把点代入得，， 一次函数图像与函数的图像相交于、两点， ， ． 【点睛】本题是两条直线相交或平行问题，考查了绝对值的意义，一次函数图像上点的坐标特征，两点间的距离，表示出、、、的坐标是解题的关键． 2． 【答案】（1）-5；（2）；（3）， 【分析】（1）将代入解析式求解即可； （2）根据一次函数的图像的性质，分类讨论①当时，②当时，③当时，根据一次函数的定义分别求得最大和最小值，再求其差为，从而求得m的值； （3）设,，分类讨论①当经过点时，求得的最小值， ②当经过点时，③当与线段有交点时，④当经过点的时，⑤如图，当经过点时，分别判断图象G与的交点个数，得出符合题意的m的取值范围． 【详解】解：（1）当时，函数 ∵点在图像G上 ∴当时，． （2）①当时，即时，对于函数，随着x的增大y也增大． ∴当时，函数有最小值． 当时，函数有最大值． ∴． ∴当时，不存在m值使最大值与最小值的差为． ②当时，即时，对于函数，随着x的增大，y反而减小． ∴当时，函数有最小值． 当时，函数有最大值． ∴，故当时，不存在m值使最大值与最小值的差为． ③当时，即时，图象G从左到右先上升，再下降，即随着x的增大y值先增大，再减小，当时有最大值． 当时，，当时，． ⅰ当时，． ⅱ当时，． ∴时，当时，函数最大值与最小值的差为． 综上述：． （3）设, ①如图，当经过点时， 图象G与有一个公共点， 将代入，得： 解得 ②当经过点时，将点代入 解得 当时，当图象G与有两个公共点 如图，当时，即，也经过点 此时，当图象G与有两个公共点 ③当与线段有交点时， 将点代入，得 此时与交于点 当继续增大时，图象G与有四个公共点， 分别与线段各有一个交点，与线段各有一个交点； ④如图，当经过点的时，将代入 解得： 此时分别与各有一个交点，此时图象G与有三个公共点 当继续增大时，图象G与有两个公共点 ⑤如图，当经过点时，图象G与有一个公共点，此时可以求得的最大值 将代入，得： 解得： 综上所述，当图象G与有两个公共点时，或． 【点睛】本题考查了一次函数的定义，一次函数图像与性质等知识点，分类讨论，数形结合是解题的关键． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $