提分小卷限时练01（解答ABC三组，综合训练）（深圳专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

提分小卷：解答题 限时训练01（A组+B组+C组） （考试时间：70分钟 试卷满分：61分） 解答题（本大题共7小题，满分61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1．（6分）计算：． 2．（7分）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得：_____， (2)解不等式②，得：_____． (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为_____ 3．（8分）深圳市落实中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时，某校开展阳光体育运动，举行了跳绳比赛，各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀． 数据整理：小明将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成统计图． 数据分析：小明对这两个小组的成绩进行了如表分析： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率 甲组 7.625 7 4.48 37.5% 乙组 7.625 7 0.73 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)从方差的角度看，________组的成绩比较稳定．（填甲或乙） (3)小惠认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小明认为小惠的观点比较片面，请结合表中的信息帮小明说明理由． 4．（8分）某超市销售两款保温杯，已知款保温杯的销售单价比款保温杯多10元，用1200元购买款保温杯的数量与用960元购买款保温杯的数量相同． (1)、两款保温杯销售单价各是多少元？ (2)由于需求量大，、两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且款保温杯的数量不少于款保温杯数量的一半，款保温杯的进价为每个30元，款保温杯的进价为每个35元，若两款保温杯的销售单价不变，应如何进货才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？ 5．（10分）如图，以的边为直径作分别交，于点D，E，过点E作，垂足为F，与的延长线交于点G． (1)以下条件： ①E是劣弧的中点： ②； ③． 请从中选择一个能证明是的切线的条件，并写出证明过程： (2)若是是的切线，且，求的长． 6．（10分）城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径，如图1是2025年深圳地铁线路图，小方了解到列车从后海站开往南山站时，在距离停车线256米处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下来，以及最后两秒滑行的距离．为了解决这个问题，小方通过建立函数模型来描述列车离停车线的距离（米）与滑行时间（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应的问题． (1)建立模型 ①收集数据 （秒） 0 4 8 12 16 20 24 （米） 256 196 144 100 64 36 16 ②建立平面直角坐标系 为了观察（米）与（秒）的关系，建立如图2所示的平面直角坐标系． ③描点连线 请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接． ④选择函数模型 观察这条曲线的形状，它可能是________函数的图象． ⑤求函数解析式 解：设，因为时，，所以，则． 请根据表格中的数据，求的值． 验证：把的值代入中，并将其余几对值代入求出的解析式，发现它们都满足该函数解析式． (2)应用模型列车从减速开始经过_______秒，列车停止；最后两秒钟，列车滑行的距离为________米． 7．（12分）如图①，半圆的直径，和是它的两条切线，与半圆相切于点，并与，分别相交于，两点． (1)请直接写出的度数； (2)求的值； (3)如图②，连接并延长交于点，连接，试判断能否与 相似？若能相似，请求的值；若不能相似，请说明理由． （考试时间：70分钟 试卷满分：61分） 解答题（本大题共7小题，满分61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1．（6分）计算：． 2．（7分）阅读小明解不等式的过程： 解：不等号左右两边同乘以，得：    第一步 去括号，得：        第二步 移项，得：        第三步 合并同类项，得：        第四步 系数化为1，得：            第五步 请判断小明的解答过程是否正确．若不正确，请指出在哪一步首先出错，错误原因是什么？并写出正确的解答过程． 3．（8分）随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为．该汽车租赁公司有，，三种型号纯电动汽车，每天的租金分别为元/辆，元/辆，元/辆．为了选择合适的型号，小明对三种型号的汽车满电续航里程进行了调查分析，过程如下： 【整理数据】 (1)小明共调查了_________辆型纯电动汽车，并补全上述的条形统计图； (2)在型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为_________； (3)【分析数据】 型号 平均里程（） 中位数（） 众数（） 由上表填空：_________，_________； (4)【判断决策】 结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由． 4．（8分）【综合与实践】生活中的函数． (1)基础知识考察：在反比例函数 ，当时，的取值范围是 ；当时，的取值范围是 ． (2)一夜银装裹，飞雪满京城．北京位于华北平原地区，冬季时燕山山脉与太行山脉让来自西伯利亚与蒙古的季风爬过大坡才能抵达北京，极易丢失水汽．1951年至2019年，北京平均每年大雪以上天数仅有天．2023年12月13日这场大雪可谓是个稀罕事． 北京特色茉莉香茶成本为元/袋．受大雪影响，其销售单价（元）与降雪量（毫米）之间的关系如下表： 降雪量(毫米） 销售单价（元） 47 45 44 日销售量（袋）与降雪量（毫米）之间的函数关系式为． 请你根据以上材料，回答以下问题： ①已知与之间的变化量规律符合一次函数关系，请求出其关系式． ②仅看下雪天的情况，其中的取值范围如图所示．问降雪量多大时，销售利润最大？最大利润是多少？ ③在②的条件下，为了提高销售量，店铺在大雪时（降雪量为毫米）进行“买三送一”活动，并调整了售价．小敏阿姨此时趁机入手20袋，回到家才发现这比不做活动时买还贵了20元．你知道此时店铺的一袋茉莉香茶多少钱吗？ 5．（10分）综合探究 如图1，在矩形中,，E是边上一点，以为直径作． (1)连接，当E为的中点时，求证：； (2)如图2，若与 相切于点M，求 的半径； (3)如图3，若与 相交于点 H，I，求的长． 6．（10分）如图（1）是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，杯底，点是的中点，且，杯子的高度（即之间的距离）为．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示）． (1)求杯体所在抛物线的解析式； (2)将杯子向右平移并倒满饮料，杯体与轴交于点，如图（2），过、两点放一根吸管，求吸管所在直线的解析式； (3)将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，液面恰好到达点处（），如图（3）．请你以的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，并求出与轴的交点坐标． 7．（12分）【问题情境】 折纸是一种许多人熟悉的活动，在数学活动课上，老师让同学们以“图形的翻折”为主题开展数学活动． 活动一：矩形可折叠 矩形纸片中，在边上取一点沿翻折，使点落在矩形内部处；再次翻折矩形，使与所在直线重合，点落在直线上的点处，折痕为．翻折后的纸片如图1所示． 活动二：折叠可得矩形 如图2，将 纸片沿中位线折叠，使点的对称点落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰 的底边上的高线，折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形．类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为“叠合矩形”，如图3和图4． 【提出问题】 （1）如图1，的度数为 　　； （2）如图1，若，，求的最大值； （3）纸片还可以按图4的方式折叠成一个叠合矩形，若，，直接写出的长　　； 【解决问题】 （4）如图5，一张矩形纸片通过活动一中的翻折方式得到四边形，其中的一边与矩形纸片的一边重合，，，，，求该矩形纸片较长边的长度． 解答题（本大题共7小题，满分61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1．（6分）计算： 2．（7分）观察下面习题的解答过程． 题目：先化简，再求值：，其中解：原式 ． (1)解答过程中开始出现错误的步骤是______填序号，这一步错误的原因是______，请写出正确的化简过程； (2)若代入求值后的计算结果为，求题目中被墨水遮住的的值． 3．（8分）在某校科技节活动期间，学校组织了科普知识竞赛现从七、八年级各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行统计、分析，过程如下： 【收集数据】 七年级名同学的竞赛成绩统计（单位：分）：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 八年级名同学的竞赛成绩统计（单位：分）：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 【整理、描述数据】 将抽取的两个年级的成绩分别进行整理，分成，，，四组，用表示成绩，组：，组：，组：，组：绘制出了如下统计图． 【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)______，______； (2)补全频数分布统计图； (3)七年级有人参加测试，八年级有人参加测试，若测试成绩不低于分的为优秀，估计七、八年级测试成绩优秀的共有______人； (4)从平均数、中位数、众数、方差中，任选一个统计量，对七、八年级测试成绩进行评价． 4．（8分）根据以下素材，探索完成任务1和任务2： 主题：奶茶销售方案制定问题 年轻人喜欢喝奶茶，入夏之际奈雪奶茶店推出两款爆款水果茶“芝士杨梅”和“满杯杨梅”．两款奶茶都含有“茉莉清茶”． 素材1 芝士杨梅配料 满杯杨梅配料 茉莉清茶/杯 茉莉清茶/杯 芝士/杯 杨梅肉 杨梅肉 橙子 多肉 多肉 素材2 9月2日当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”共获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”和每杯“满杯杨梅”的利润比为，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯． 素材3 由于芝士保质期将至，为了去库存，第二天9月3日决定对“芝士杨梅”降价销售，每杯比昨天降价4元促销；“满杯杨梅”价格不变，并要求当天芝士消耗量不少于，配制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”． 问题解决：拟定最优方案确定奶茶的利润 任务1 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的利润各是多少？（单位：元/杯） 任务2 为了使9月3日这两种奶茶获利最大，需制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”各多少杯？请填空并补全下面的求解过程： 解：设需制作“芝士杨梅”杯，则：需制作“满杯杨梅” 杯（用含的代数式表示） ……． 5．（10分）如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点． (1)尺规作图：过点D作的垂线，交半圆于点E，交直径于点F（保留作图痕迹，不写作法）； (2)点P是弧上一点，连接，，，． ①求的值； ②若为的角平分线，求的长． 6．（10分）综合与探究 【定义】如图1，点把线段分成两条线段和，如果，那么称点为线段的分割点． (1)【理解】如图2，在等腰中，，，点是的分割点，求的长； (2)【应用】如图3，在等腰中，，，点是的分割点，点在的上方，，与相交于点，与相交于点，求证：； (3)【拓展】如图4，在等腰中，，，点，同时从点出发，分别以个单位秒和个单位秒的速度沿，方向运动，以为边向右作，直线与，分别交于点，，当点运动至的分割点时，直接写出的值． 7．（12分）综合运用 如图1，四边形是矩形，是线段延长线上的点，是射线上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，设，的面积为． 【初步感知】 （1）当点由点运动到点的过程中，发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，抛物线经过原点且顶点为，请根据图象，回答下列问题： ①的长为　　　； ②求关于的函数表达式． （2）在（1）的条件下，如图3，当点 在线段的延长线上运动时，求关于的函数表达式． 【延伸探究】 （3）若在射线上从左至右依次存在不同位置的两个点，，对应的的面积与的面积相等，当时，求的面积 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 提分小卷：解答题 限时训练01（A组+B组+C组） （考试时间：70分钟 试卷满分：61分） 解答题（本大题共7小题，满分61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1．（6分）计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式化简、特殊角的三角函数值、绝对值化简和整数乘方的计算，分别计算出每一项的值，再合并得到最终结果． 【详解】解：原式 ． 2．（7分）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得：_____， (2)解不等式②，得：_____． (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为_____ 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的步骤． （1）先去括号，再移项、合并同类项，最后系数化为1求解即可； （2）先去分母，再移项、合并同类项，最后系数化为1求解即可； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）取两个不等式解集的公共部分即可求解． 【详解】（1）解： ， 解得， 故答案为：； （2）解： ， 解得， 故答案为：； （3）解：不等式解集在数轴上表示如下： （4）解：由（3）可得不等式组的解集为． 3．（8分）深圳市落实中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时，某校开展阳光体育运动，举行了跳绳比赛，各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀． 数据整理：小明将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成统计图． 数据分析：小明对这两个小组的成绩进行了如表分析： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率 甲组 7.625 7 4.48 37.5% 乙组 7.625 7 0.73 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)从方差的角度看，________组的成绩比较稳定．（填甲或乙） (3)小惠认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小明认为小惠的观点比较片面，请结合表中的信息帮小明说明理由． 【答案】(1) (2)乙 (3)见解析 【分析】本题考查的是方差，平均数，中位数和众数等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）根据甲乙两组的统计图及中位数、众数与百分比的意义与计算方法求解即可； （2）比较两组的方差，在平均数相同时，根据方差越小，数据的波动程度越小即可求解； （3）平均数相等，从两组的中位数、优秀率方面说明即可． 【详解】（1）解：甲组的分数按从低到高排列为：3，7，7，7，8，9，10，10，中间两个数为7与8，则其中位数为：； 乙组中分数7出现的次数最多，则；乙组的优秀率； 故答案为：； （2）解：两组的平均数均为7.625，但乙组的方差0.73小于甲组的方差4.48，则乙组的成绩比较稳定； 故答案为：乙； （3）解：平均数相等，但甲组的中位数大于乙组的中位数，优秀率高于乙组的优秀率，故甲组成绩比乙组成绩好． 4．（8分）某超市销售两款保温杯，已知款保温杯的销售单价比款保温杯多10元，用1200元购买款保温杯的数量与用960元购买款保温杯的数量相同． (1)、两款保温杯销售单价各是多少元？ (2)由于需求量大，、两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且款保温杯的数量不少于款保温杯数量的一半，款保温杯的进价为每个30元，款保温杯的进价为每个35元，若两款保温杯的销售单价不变，应如何进货才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)款保温杯销售单价是40元，款保温杯销售单价是50元； (2)购进款保温杯40个，款保温杯80个，最大利润是1600元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设款保温杯销售单价是元，则款保温杯销售单价是元，根据用1200元购买款保温杯的数量与用960元购买款保温杯的数量相同，进行列式计算，即可作答． （2）先理解款保温杯的数量不少于款保温杯数量的一半，得出，解得，因为款保温杯的进价为每个30元，款保温杯的进价为每个35元，进行列式化简得，结合一次函数的性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：设款保温杯销售单价是元，则款保温杯销售单价是元， 依题意，得 解得， 经检验，是原方程的解， ∴（元） 答：款保温杯销售单价是40元，款保温杯销售单价是50元； （2）解：设这批保温杯的销售利润是元，购进款保温杯个，则购进款保温杯个， 款保温杯的数量不少于款保温杯数量的一半， ． 解得， 依题意，得． ， 随的增大而减小． 时，取最大值，最大值是（元）． 此时， 答：购进款保温杯40个，款保温杯80个，才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是1600元． 5．（10分）如图，以的边为直径作分别交，于点D，E，过点E作，垂足为F，与的延长线交于点G． (1)以下条件： ①E是劣弧的中点： ②； ③． 请从中选择一个能证明是的切线的条件，并写出证明过程： (2)若是是的切线，且，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）选择：①连接，根据圆周角定理求得，再根据垂径定理得，即可证明． （2）先证明，再根据相似三角形的性质得到，即可解答． 【详解】（1）我选择的条件是第①个； 证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线． 或（1）我选择的条件是第②个； 方法1：证明：连接BD，OE， 是直径， ，即， ， ， ∴， 又， 是的中位线， ， ， 是的切线． 方法2：证明：连接， ， 垂直平分线段， ， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ， ， ， 是的切线． （2）由（1）可知， ， ， ， ， ，即． 解得：． 【点睛】本题考查了圆的性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质． 6．（10分）城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径，如图1是2025年深圳地铁线路图，小方了解到列车从后海站开往南山站时，在距离停车线256米处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下来，以及最后两秒滑行的距离．为了解决这个问题，小方通过建立函数模型来描述列车离停车线的距离（米）与滑行时间（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应的问题． (1)建立模型 ①收集数据 （秒） 0 4 8 12 16 20 24 （米） 256 196 144 100 64 36 16 ②建立平面直角坐标系 为了观察（米）与（秒）的关系，建立如图2所示的平面直角坐标系． ③描点连线 请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接． ④选择函数模型 观察这条曲线的形状，它可能是________函数的图象． ⑤求函数解析式 解：设，因为时，，所以，则． 请根据表格中的数据，求的值． 验证：把的值代入中，并将其余几对值代入求出的解析式，发现它们都满足该函数解析式． (2)应用模型列车从减速开始经过_______秒，列车停止；最后两秒钟，列车滑行的距离为________米． 【答案】(1)③见解析；④二次；⑤，； (2)32，1． 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，画二次函数图象，求二次函数值， 对于（1），先根据表格描点，并连线，可得图象，再判断其为二次函数，然后将两个点的坐标代入关系式，求出解即可； 对于（2），将代入关系式求出答案，再令时求出s，可得解． 【详解】（1）解：③根据题意连线如下： ④二次； ⑤解：把和代入． 可得， ∴， ∴函数解析式为； （2）解：32，1. 由题意，当时，， ∴． ∴最后2秒钟，即当时，；又当时，， ∴（米）． 故答案为：32，1． 7．（12分）如图①，半圆的直径，和是它的两条切线，与半圆相切于点，并与，分别相交于，两点． (1)请直接写出的度数； (2)求的值； (3)如图②，连接并延长交于点，连接，试判断能否与 相似？若能相似，请求的值；若不能相似，请说明理由． 【答案】(1)． (2) (3)当或时，与相似 【分析】（1）如图所示，连接，由切线长定理得到，，进而求解即可； （2）证明出，得到，求出，代入求解即可； （3）证明出，得到，同理可证，然后分两种情况讨论：①当时，②当时，然后分别根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵和是它的两条切线，与半圆相切于点， ∴， ∴是的角平分线 ∴ 同理可得， ∴； （2）解：∵是直径，，是切线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∴； （3）解：能与相似． 如图所示， ∵，是切线， ∴，， 在与中， ∴， ∴， ∵，是切线， 同理可证． ①当时，． ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 在， 中，分别求得，． ∴； ②当时，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，即， ∴． 综上，当或时，与相似． 【点睛】此题考查了切线长定理，相似三角形的性质和判定，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （考试时间：70分钟 试卷满分：61分） 解答题（本大题共7小题，满分61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1．（6分）计算：． 【答案】4 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先计算零指数幂，负整数指数幂，化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，最后再进行加减运算即可． 【详解】解： 2．（7分）阅读小明解不等式的过程： 解：不等号左右两边同乘以，得：    第一步 去括号，得：        第二步 移项，得：        第三步 合并同类项，得：        第四步 系数化为1，得：            第五步 请判断小明的解答过程是否正确．若不正确，请指出在哪一步首先出错，错误原因是什么？并写出正确的解答过程． 【答案】小明的解答过程不正确，第一步首先出错，错误原因和正确解答过程见详解 【分析】先根据不等式的基本性质和去括号法则，逐步检查小明的解题过程找出错误，再按照解一元一次不等式的正确步骤，求出原不等式的解集． 【详解】解：小明的解答过程不正确，第一步首先出错， 错误原因：不等式两边同乘负数时，不等号方向未发生改变， 正确解答过程：不等号左右两边同乘以，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 3．（8分）随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为．该汽车租赁公司有，，三种型号纯电动汽车，每天的租金分别为元/辆，元/辆，元/辆．为了选择合适的型号，小明对三种型号的汽车满电续航里程进行了调查分析，过程如下： 【整理数据】 (1)小明共调查了_________辆型纯电动汽车，并补全上述的条形统计图； (2)在型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为_________； (3)【分析数据】 型号 平均里程（） 中位数（） 众数（） 由上表填空：_________，_________； (4)【判断决策】 结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由． 【答案】(1)，补图见解析 (2) (3)， (4)选择型号的纯电动汽车 【分析】（1）用“”的数量除以其占比可得A型纯电动汽车的样本容量，再用样本容量分别减去其它续航里程的数量可得“”的数量，再补全条形统计图即可； （2）用乘续航里程为的占比即可； （3）分别根据中位数和众数的定义解答即可； （4）结合平均里程、中位数、众数以及每天的租金解答即可． 【详解】（1）解： 辆， （辆）， 补全条形统计图为： （2）解： （3）解：由题意得，． （4）解：小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为，故A型号的平均数、中位数和众数均低于，不符合要求； B、C型号符合要求，但B型号的租金比C型号的租金优惠，所以选择B型号的纯电动汽车较为合适． 4．（8分）【综合与实践】生活中的函数． (1)基础知识考察：在反比例函数 ，当时，的取值范围是 ；当时，的取值范围是 ． (2)一夜银装裹，飞雪满京城．北京位于华北平原地区，冬季时燕山山脉与太行山脉让来自西伯利亚与蒙古的季风爬过大坡才能抵达北京，极易丢失水汽．1951年至2019年，北京平均每年大雪以上天数仅有天．2023年12月13日这场大雪可谓是个稀罕事． 北京特色茉莉香茶成本为元/袋．受大雪影响，其销售单价（元）与降雪量（毫米）之间的关系如下表： 降雪量(毫米） 销售单价（元） 47 45 44 日销售量（袋）与降雪量（毫米）之间的函数关系式为． 请你根据以上材料，回答以下问题： ①已知与之间的变化量规律符合一次函数关系，请求出其关系式． ②仅看下雪天的情况，其中的取值范围如图所示．问降雪量多大时，销售利润最大？最大利润是多少？ ③在②的条件下，为了提高销售量，店铺在大雪时（降雪量为毫米）进行“买三送一”活动，并调整了售价．小敏阿姨此时趁机入手20袋，回到家才发现这比不做活动时买还贵了20元．你知道此时店铺的一袋茉莉香茶多少钱吗？ 【答案】(1)；或； (2)①；②降雪量为1毫米时，销售利润最大，最大利润是15000元；③60元 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，反比例函数的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握反比例函数的性质，读懂题意得到等量关系是解题的关键． （1）根据反比例函数的性质即可解答； （2）①经观察可以发现，销售单价与降雪量成一次函数关系，然后利用待定系数法即可求解； ②设销售利润为，根据利润（销售单价成本）日销售量，结合y与k关系和p与k的关系，得到w与k的关系式，然后根据反比例函数的性质即可求解； ③设此时店铺的一袋茉莉香茶为元，则依题意得，解方程即可． 【详解】（1）解：反比例函数 ，， 函数图象在第一、三象限，且在每一象限内y随着x的增大而减小， 当时，， 当时，y的取值范围是； 当时，， 当时，x的取值范围是或； 故答案为：；或； （2）解：①设 将，代入， 得， 解得， ∴； ②设销售利润为，则 依题意得，， ∵， ∴在时，随着的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为元， 答：降雪量为1毫米时，销售利润最大，最大利润是15000元． ③∵降雪量为毫米， ∴原售价为44元， ∵进行“买三送一”活动，小敏阿姨此时趁机入手20袋， ∴小敏阿姨购买了15袋，赠送了5袋； 设此时店铺的一袋茉莉香茶为元，则 依题意得，， 解得， 答：此时店铺的一袋茉莉香茶为60元． 5．（10分）综合探究 如图1，在矩形中,，E是边上一点，以为直径作． (1)连接，当E为的中点时，求证：； (2)如图2，若与 相切于点M，求 的半径； (3)如图3，若与 相交于点 H，I，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的半径为 (3)的长为 【分析】本题考查矩形性质、切线性质、圆周角定理、直角三角形正切定义及勾股定理，解题的关键是依托几何定理构建等量关系，通过线段和差、勾股定理列方程求解． （1）用矩形性质得边与直角，结合E为中点证，得，再由等腰三角形性质证角相等； （2）连接，作，证矩形得，用O为中点得与半径关系，在中列勾股定理求半径； （3）由直径得，可证；设，用的正切值相等得，从而可表示出与的表达式；利用得出线段相关的比例式可求x，然后确定x值的取值，最后求出． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，． ∵是中点， ∴． 在和中，， ∴． ∴， ∴． （2）解：设半径为，则，连接，作于． ∵切于， ∴（切线性质）． ∵，， ∴四边形是矩形， ∴． ∵是中点，， ∴是中点， 设，则． 由，得，即． 在中，， 展开化简：， 解得． 答：的半径为． （3）解：设，连接． ∵，在中，； 在中，． 由（等角的正切值相等），得： 结合矩形边长，得：（线段和差关系），（线段和差关系）． ∵是的直径， ∴， ∴． 又∵在中，， ∴． 在和中：，， ∴． ∴， 即． ∴ 展开并整理为一元二次方程： 两边同除以3简化： 用求根公式（其中，，）： 判别式：， 求根：． ∵，且（在上）， ∴． 当时，，（超出范围，舍去）； 当时，（符合范围，保留）． 故． ∴的长为． 6．（10分）如图（1）是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，杯底，点是的中点，且，杯子的高度（即之间的距离）为．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示）． (1)求杯体所在抛物线的解析式； (2)将杯子向右平移并倒满饮料，杯体与轴交于点，如图（2），过、两点放一根吸管，求吸管所在直线的解析式； (3)将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，液面恰好到达点处（），如图（3）．请你以的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，并求出与轴的交点坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2) (3)建立平面直角坐标系如图， 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解直角三角形，旋转的性质等，熟练掌握待定系数法，正切函数是解题的关键． （1）根据题意，得到，，设抛物线的解析式为，代入计算即可； （2）先确定平移后的解析式为，求出坐标，再由待定系数法求直线的解析式； （3）根据题意，画出符合题意的坐标系即可，设与轴的交点为，计算的长即可得到坐标． 【详解】（1）解：，杯子的高度（即，之间的距离）为． ，， 设抛物线的解析式为， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的解析式为， 平移后的解析式为， 当时，， ， ， 平移后， 设直线的解析式为，   ， 解得 ； （3）解：根据题意，建立直角坐标系如下，设与轴的交点为，直线与轴的交点为， ，杯子的高度（即，之间的距离）为． ，， 水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转， ，， ∵，   ， ， ， ． 7．（12分）【问题情境】 折纸是一种许多人熟悉的活动，在数学活动课上，老师让同学们以“图形的翻折”为主题开展数学活动． 活动一：矩形可折叠 矩形纸片中，在边上取一点沿翻折，使点落在矩形内部处；再次翻折矩形，使与所在直线重合，点落在直线上的点处，折痕为．翻折后的纸片如图1所示． 活动二：折叠可得矩形 如图2，将 纸片沿中位线折叠，使点的对称点落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰 的底边上的高线，折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形．类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为“叠合矩形”，如图3和图4． 【提出问题】 （1）如图1，的度数为 　　； （2）如图1，若，，求的最大值； （3）纸片还可以按图4的方式折叠成一个叠合矩形，若，，直接写出的长　　； 【解决问题】 （4）如图5，一张矩形纸片通过活动一中的翻折方式得到四边形，其中的一边与矩形纸片的一边重合，，，，，求该矩形纸片较长边的长度． 【答案】（1）；（2）的最大值为；（3）15；（4）矩形纸片较长边的长度为或 【分析】（1）由折叠的性质得出，，根据，即得； （2）设，，则，证明，，得，得，得，根据二次函数的性质，即得的最大值为； （3）设点B的对应点为M，点D的对应点为N，如图4，由矩形性质和勾股定理，得 ,证明，得，由， ，即得； （4）分和为矩形的边和角，和为矩形的边和角，两种情况计算矩形的边，比较得出矩形的较长边． 【详解】解：（1）如图1， 由题意得：，， ， ， ， ； （2）如图1， 设，，则， 由（1）知， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，有最大值为， 的最大值为； （3）解：设点B的对应点为M，点D的对应点为N，如图4， ∵矩形中，， ∴, ∵， ∴， 由折叠的性质得：， ∵中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （4）作出原矩形，连接，如图5①， ，，， ， ， 四边形为矩形， ，． 设，则，设，则． ， ． ， ． ， ， ． ， ， ， ， ， 矩形纸片较长边的长度为； 当为矩形的一边时，作出原矩形，如图5②， 设，则，设， 四边形为矩形， ，，， ， ． ， ． ， ， ． ， ， ， ． ， 矩形纸片较长边的长度为； 综上所述，矩形纸片较长边的长度为或． 【点睛】本题考查折叠的性质，平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理；本题属于四边形综合题目，主要考查了折叠的性质、正方形的性质、矩形的性质、平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、梯形面积的计算、解方程等知识的综合运用；折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 解答题（本大题共7小题，满分61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1．（6分）计算： 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方，算术平方根，特殊角的三角函数值，绝对值，负整数指数幂． 按照运算法则计算即可． 【详解】解： ． 2．（7分）观察下面习题的解答过程． 题目：先化简，再求值：，其中解：原式 ． (1)解答过程中开始出现错误的步骤是______填序号，这一步错误的原因是______，请写出正确的化简过程； (2)若代入求值后的计算结果为，求题目中被墨水遮住的的值． 【答案】(1)①，加括号时，括号内的第二项没有变号；正确的解答过程见解析； (2) 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据题目中的解答过程可知，开始出现错误的步骤是，这一步错误的原因是加括号时，括号内的第二项没有变号，然后再写出正确的解答过程即可； （2）令（1）中化简后的结果为，求出相应的的值即可． 【详解】（1）解：由题目中的解答过程可知，开始出现错误的步骤是，这一步错误的原因是加括号时，括号内的第二项没有变号， 故答案为：，加括号时，括号内的第二项没有变号； 正确的解答过程如下所示： ； （2）解：当时， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 即若代入求值后的计算结果为，题目中被墨水遮住的的值为． 3．（8分）在某校科技节活动期间，学校组织了科普知识竞赛现从七、八年级各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行统计、分析，过程如下： 【收集数据】 七年级名同学的竞赛成绩统计（单位：分）：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 八年级名同学的竞赛成绩统计（单位：分）：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 【整理、描述数据】 将抽取的两个年级的成绩分别进行整理，分成，，，四组，用表示成绩，组：，组：，组：，组：绘制出了如下统计图． 【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)______，______； (2)补全频数分布统计图； (3)七年级有人参加测试，八年级有人参加测试，若测试成绩不低于分的为优秀，估计七、八年级测试成绩优秀的共有______人； (4)从平均数、中位数、众数、方差中，任选一个统计量，对七、八年级测试成绩进行评价． 【答案】(1)；； (2)见解答． (3)． (4)见解答． 【分析】本题考查频数率分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体、平均数、中位数、众数、方差，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体、平均数、中位数、众数、方差的意义是解答本题的关键． （1）根据众数和中位数的概念即可求解． （2）先求出八年级的人数，进而补全统计图即可． （3）用七、八年级的人数乘以样本中七、八年级测试成绩为优秀的人数占比即可得到答案． （4）根据平均数、中位数、众数、方差的意义求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，七年级名同学的竞赛成绩按照从小到大的顺序排列，排在第名和第名的学生成绩分别为和， ， 八年级名同学的竞赛成绩的最多，有个， ， 故答案为：；； （2）解：八年级组人数为人， 补全频数分布统计图如图所示． （3）解：（人）， 估计七、八年级测试成绩优秀的共有人． 故答案为：； （4）解：平均数表示两个年级抽取的名学生的平均成绩，从平均数看，，八年级测试成绩较好； 众数表示两个年级抽取的名学生中得分在某个分数的人数最多，从众数看，，八年级测试成绩较好； 中位数表示两个年级抽取的名学生中，将成绩从小到大排列后，位于中间位置的成绩，从中位数看，，八年级测试成绩较好； 方差表示两个年级抽取的名学生的成绩的稳定性，从方差看，，八年级测试成绩较稳定． 4．（8分）根据以下素材，探索完成任务1和任务2： 主题：奶茶销售方案制定问题 年轻人喜欢喝奶茶，入夏之际奈雪奶茶店推出两款爆款水果茶“芝士杨梅”和“满杯杨梅”．两款奶茶都含有“茉莉清茶”． 素材1 芝士杨梅配料 满杯杨梅配料 茉莉清茶/杯 茉莉清茶/杯 芝士/杯 杨梅肉 杨梅肉 橙子 多肉 多肉 素材2 9月2日当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”共获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”和每杯“满杯杨梅”的利润比为，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯． 素材3 由于芝士保质期将至，为了去库存，第二天9月3日决定对“芝士杨梅”降价销售，每杯比昨天降价4元促销；“满杯杨梅”价格不变，并要求当天芝士消耗量不少于，配制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”． 问题解决：拟定最优方案确定奶茶的利润 任务1 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的利润各是多少？（单位：元/杯） 任务2 为了使9月3日这两种奶茶获利最大，需制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”各多少杯？请填空并补全下面的求解过程： 解：设需制作“芝士杨梅”杯，则：需制作“满杯杨梅” 杯（用含的代数式表示） ……． 【答案】任务1：每杯“满杯杨梅”的利润是8元，每杯“芝士杨梅”的利润是10元；任务2：，制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”分别为杯，杯． 【分析】本题考查分式方程的应用，二元一次方程的应用，一次函数最大利润问题． 任务1：设每杯“满杯杨梅”的利润是元，可得得：，解方程并检验，从而可求得每杯“满杯杨梅”的利润是8元，每杯“芝士杨梅”的利润是10元； 任务2：设制作“芝士杨梅”杯，“满杯杨梅”杯，两种奶茶获利为元；根据配制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”，可得，而芝士消耗量不少于，有，，而，再利用一次函数的性质即可求出答案． 【详解】解：任务1：设每杯“满杯杨梅”的利润是元，则每杯“芝士杨梅”的利润是元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， （元）， 答：每杯“满杯杨梅”的利润是8元，每杯“芝士杨梅”的利润是10元； 任务2：设制作“芝士杨梅” 杯，“满杯杨梅” 杯，两种奶茶获利为元； 配制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”， ， ， 芝士消耗量不少于， ， 解得， 根据题意得：， ， 随的增大而减小， 当时，取最大值，最大值为（元）， 此时， 制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”分别为杯，杯． 故答案为：． 5．（10分）如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点． (1)尺规作图：过点D作的垂线，交半圆于点E，交直径于点F（保留作图痕迹，不写作法）； (2)点P是弧上一点，连接，，，． ①求的值； ②若为的角平分线，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理及推论，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键． （1）在半圆上取点E，使，、，根据垂径定理的推论可知，由此即可完成作图； （2）①连接，证明，设的半径为r，利用相似三角形的性质得，，由勾股定理求得，得到； ②过点B作交于点G，证明，解直角三角形得到，由得到，由即可求解． 【详解】（1）解：如图，在半圆上取点E，使，连接交于F， ∴， （2）解：①连接， ∵D是的中点 ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设的半径为r，则， 解得， 经检验，是方程的解， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图，过点B作交于点G， ∴， ∵，是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 6．（10分）综合与探究 【定义】如图1，点把线段分成两条线段和，如果，那么称点为线段的分割点． (1)【理解】如图2，在等腰中，，，点是的分割点，求的长； (2)【应用】如图3，在等腰中，，，点是的分割点，点在的上方，，与相交于点，与相交于点，求证：； (3)【拓展】如图4，在等腰中，，，点，同时从点出发，分别以个单位秒和个单位秒的速度沿，方向运动，以为边向右作，直线与，分别交于点，，当点运动至的分割点时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）勾股定理求得，根据点是的分割点，即可求解； （2）根据得出，即可得出，进而证明，结合公共角，即可得证； （3）分两种情况讨论，当时，证明得出，进而证明，根据得出，勾股定理求得，进而求得；当时，证明，即可求解． 【详解】（1）解：∵在等腰中，，， ∴， ∵点是的分割点， ∴； （2）证明：∵点是的分割点， ∴， ∵在等腰中，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， 又∵， ∴； （3）解：如图， 设， ∵当点运动至的分割点时， ∴， ∴， ∵点，同时从点出发，分别以个单位秒和个单位秒的速度沿，方向运动， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ， ∵， ∴， 又∵，， ∴， 在中，， ∴． 当时，如图5， 同理，可得， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 7．（12分）综合运用 如图1，四边形是矩形，是线段延长线上的点，是射线上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，设，的面积为． 【初步感知】 （1）当点由点运动到点的过程中，发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，抛物线经过原点且顶点为，请根据图象，回答下列问题： ①的长为　　　； ②求关于的函数表达式． （2）在（1）的条件下，如图3，当点 在线段的延长线上运动时，求关于的函数表达式． 【延伸探究】 （3）若在射线上从左至右依次存在不同位置的两个点，，对应的的面积与的面积相等，当时，求的面积． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）或 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及动点问题的函数图象，结合图形分析题意及分类讨论思想的应用是解题关键． （1）①根据函数图象的性质求解即可； ②根据函数图像过原点，顶点为求解析式即可； （2）在（1）的条件下，，则，过作交延长线于，证明，得到，最后根据计算即可； （3）当时，随增大而增大，则点，不可能都在点右边，得到点，都在线段上，或者点在线段上，点在点右边；据此分情况讨论，设，则由可得，然后根据不同情况下得到和的值，再代入对应的解析式求出的面积与的面积，最后根据的面积与的面积相等求解即可． 【详解】解：（1）①∵当点由点运动到点的过程中，发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，抛物线经过原点且顶点为， ∴抛物线对称轴为直线，且过原点， ∴抛物线与轴另一个交点为， ∴当时，，此时点在点，， 故答案为：； ②∵抛物线经过原点且顶点为， ∴设抛物线解析式为， 把代入得，解得， ∴抛物线解析式为； （2）在（1）的条件下，，则， 过作交延长线于，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵将线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵当时，随增大而增大， ∴点，不可能都在点右边， ∴点，都在线段上，或者点在线段上，点在点右边； 设，则由可得， 当点，都在线段上，，， ∴，， ∵的面积与的面积相等， ∴， 解得； 此时； 当点在线段上，点在点右边时，，， ∴，， ∵的面积与的面积相等， ∴， 解得， ∴ 此时； 综上所述，的面积为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $