专题06 全等三角形性质与判定的综合（六大压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制七年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06全等三角形性质与判定的综合 目录 典例讲解 类型一、全等三角形的性质 类型二、全等三角形的判定 类型三、构造辅助线，结合全等三角形进行求解 类型四、讨论线段存在的数量关系 类型五、折叠问题 类型六、动点问题 压轴专练 典例详解 类型一、全等三角形的性质 处理方式：①先在图形上标注己知的全等关系（如“△ABC≌△DEF”),明确对应顶点（按顺序对应，A 对应D、B对应E、C对应F); ②求未知边/角时，直接转化为对应边/角的长度/度数，无需重复证明全等； ③若已知全等，可利用性质快速推导线段相等、角相等，为后续解题铺垫。 【例1】如图，若ABC与△DEF全等，且∠E>∠F,则x= D 65 5cm 65% 5cm 【答案】60°160度 【详解】解：由图可得，∠B=55°，∠C=∠D=65°，AB=EF=5cm, ∠A=180°-∠B-∠C=180°-55°-65°=60°， 当△ABC≌△EFD时，则∠E=∠A=60°，∠F=∠B=55°， 1/54 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 此时∠E>∠F,符合题意， .x=60°； 当△ABC≌△FED时，则LE=∠B=55°，∠F=∠A=60°， 此时∠E<∠F,不符合题意，舍去； 综上，x=60°. 故答案为：60°. 【例2】如图，△ABC≌△ADE,BC的延长线分别交AD,DE于点F,G,且∠DAC=15°，∠B=30°， ∠EAB=125°，则∠DGB的度数是() D G A.70° B.550 C.65 D.75° 【答案】A 【详解】解：：△ABC≌△ADE, :∠B=∠D=30°，∠BAC=∠DAE ∠DAC=15°，∠EAB=125°， LBAC+LDAE=LEAB-∠DAC=1I0°， .∠BAC=∠DAE=55°， ∴LFAB=∠DAC+∠CAB=70°， :∠D+∠DFG+∠DGB=∠B+∠BFA+∠FAB=180°，∠B=∠D,∠DFG=∠BFA, .∠DGB=∠FAB=70°. 【变式1-1】如图，Rt△ABC≌Rt△EDC,且点B,C,E共线，若ABC的面积为7.5，BE=8,则AD= D 0 A.2√2 B.25 C.2 D.25-1 2/54 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】C 【分析】 【详解】解：设AC=b,BC=a且b>a, Rt△ABC≌Rt△EDC, .EC=AC=b,DC=BC=a, ∴.BE=EC+BC=b+a=8, :ABC的面积为7.5， 6=75. ∴ab=15, :(b-a2=(a+b)-4ab=82-4×15=4, :AD=AC-CD=b-a=4=2. 故选：C 【变式1-2】如图，己知△ABC≌△DEF,CD平分∠BCA,若∠A=30°，∠CGF=88°，则∠B的度数是 () E G B D A.30° B.34° C.44° D.50° 【答案】B 【分析】 【详解】解：：△ABC≌△DEF, ∴.∠D=∠A=30°，∠E=∠B, :∠CGF=∠D+∠BCD,∠CGF=88°， ∴.∠BCD=∠CGF-∠D=58°， :CD平分∠BCA, ∠BCA=2∠BCD=116°， 3/54 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠E=∠B =180°-∠A-∠BCA =34°. 故选：B 【变式1-3】一个三角形的三边长分别为3,5,7，另一个三角形的三边长分别为3,3a-2b,a+2b,若这两 个三角形全等，则a+b=() A.4 B.5 C.4或5 D.3或5 【答案】C 【分析】 【详解】解：“两个三角形全等，且第二个三角形有一边为3， :此边必与第一个三角形的边3对应， 情况一：3a-2b=5且a+2b=7, 相加得4a=12, a=3,代入a+2b=7得b=2, .a+b=5: 情况二：3a-2b=7且a+2b=5, 相加得4a=12, a=3,代入a+2b=5得b=1, .a+b=4; a+b=4或5. 故选：C. 类型二、全等三角形的判定 处理方式：①先梳理题干给出的条件（边相等、角相等），标注在图形上，明确已有几个条件： ②缺什么补什么：若己有两边，找夹角(SAS)或第三边(SSS)；若已有两角，找夹边(ASA)或其中一 角的对边(AAS);直角三角形优先用HL(斜边+直角边)： ③注意隐含条件：公共边、公共角、对顶角、垂直得到的直角、角平分线得到的两角相等，都是判定全 等的关键隐含条件，不要遗漏。 【例3】如图，AB=AD,BC=DE,∠ABC=∠ADE=9O°，BC与DE交于点F,连接CD、EB 4/54 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E ()请找出图中的全等三角形： (②)你认为线段CF与EF之间存在怎样的数量关系，请说明理由. 【答案】(I)△ABC≌△ADE;△ADC≌△ABE;△CDF≌△EBF (2)CF=EF,理由见解析 【分析】 【详解】(1)解：在ABC和ADE中， AB=AD ∠ABC=∠ADE=90°， BC=DE △ABC≌aADE(SAS: ∠CAB=∠EAD,AC=AE,∠ACB=∠AED, ∴.∠CAB-∠DAB=∠EAD-∠DAB, .LCAD=∠EAB, 在△ACD与△AEB中， AC=AE ∠CAD=∠EAB AD=AB ∴△ACD≌△AEB(SAS: CD=EB,∠ACD=∠AEB, ∴∠ACB-∠ACD=∠AED-∠AEB,即∠DCF=∠BEF, 在CDF与△EBF中， 5/54 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 I∠DCF=∠BEF CD=EB I∠CFD=∠EFB :ACDF≌△EBF(AAS; 综上，全等三角形有△ABC≌△ADE;△ACD≌△AEB;△CDF≌△EBF; (2)解：CF=EF 证明：由(1)知△CDF≌△EBF, .CF EF. 【例4】如图，在ABC中，AB=AC,LABC=LACB=50°.点O在ABC内，连接OB,OC,且∠BAC 的平分线交CO的延长线于点D,连接BD,L0BC=10°，∠0CB=30°，求证：OB=AC, B C 【答案】见解析 【详解】证明：由题意，得∠BAD=∠C4D=180°-2×50°-=40. 2 ∠0CB=30°，∠ACB=50°， LACD=20°. 在△ABD和△ACD中， AB=AC, ∠BAD=∠CAD AD=AD, △ABD≌△ACD(SAS), ∠ABD=∠ACD=20°， .∠0BD=∠ABC-∠ABD-∠0BC=20°， .∠ABD=∠OBD :∠B0D=∠0BC+∠0CB=10°+30°=40°， 6/54 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠BOD=∠BAD 在△BOD和ABAD中， ∠BOD=∠BAD, ∠OBD=∠ABD, BD=BD, △BOD≌△BAD(AAS, :.OB=AB, :OB=AC. 【点晴】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性 质等知识。 熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键， 【变式2-1】己知：AB=AC,BE=CD 图1 图2 (1)如图1，试说明：∠B=∠C; (2)如图2，连接A0,若∠EA0=∠DA0,不添加任何辅助线，直接写出图中所有的全等三角形， 【答案】(1)见解析 (2)△ABD≌△ACE,△AEO≌△ADO,△BEO≌ACDO,AABO≌AACO 【分析】 【详解】(1)证明：：AB=AC,BE=CD, AB-BE=AC-CD,即AE=AD, AD=AE 在△ABD和△ACE中， ∠A=∠A, AB=AC .△ABD≌△4CE(SAS, .∠B=LC. (2)解：图中的全等三角形有△ABD≌△ACE,△AEO≌△ADO,△BEO≌△CDO,△ABO≌△ACO,理由如下： 7/54 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由(1)知：△ABD≌△ACE, .∠B=∠C,AE=AD :在△AB0和△AC0中， ∠B=∠C ∠EAO=∠DAO, A0=AO △ABO≌△AC0AAS), :在△AE0O和△AD0中， AE=AD ∠EAO=∠DAO, AO=AO ∴.△AEO≌△ADO(SAS; :在△BEO和△CDO中， ∠EOB=∠DOC ∠B=∠C BE=CD △BEO≌△CDO(AAS. 【变式2-2】如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出ABC,固定住长木棍，转动短木棍， 得到△ABD,这个实验说明了什么？图中ABC与△ABD满足两边和其中一边的对角分别相等，即 AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,但ABC与△ABD不全等.这说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两 个三角形不一定全等.李乐通过对上述问题的再思考，提出：两边分别相等且这两边中较大边所对的角相 等的两个三角形全等，请你判断李乐的说法是否正确 B D 【答案】正确，理由见解析 【详解】解：李乐的说法正确。理由如下： 如图，当ABC和△DEF为钝角三角形时，过点A作AG垂直BC的延长线于点G,过点D作DH垂直EF的 延长线于点H. 8/54 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B H 在ABC和△DEF中，AB>AC,ED>DF,AB=DE,AC=DF∠ACB=∠DFE, :∠ACB=∠DFE, :180°-∠ACB=180°-∠DFE, ∠ACG=LDFH. ∠AGC=∠DHF=90° 在△ACG和△DFH中， ∠ACG=∠DFH AC=DF △ACG≌aDFH(AAS), :AG=DH. 在Rt△ABG和Rt△DEH中，AG=DH,AB=DE, RtAABG≌Rt△DEH(HL), .∠B=∠E. ∠B=∠E 在ABC和ADEF中， ∠ACB=∠DFE, AB=DE △ABC≌△DEF(AAS). 同理可证，当ABC和△DEF是锐角三角形和直角三角形时，李乐说法正确： 综上所述，李乐的说法正确。 【变式2-3】【知识再现】学完“全等三角形”后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全 等”是判定直角三角形全等的特有方法 D 【简单应用】(1)如图①，在ABC中， 图① 图② 9/54 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠BAC=90°，AB=AC,点D,E分别在边AC,AB上.若CE=BD,则线段AE和线段AD的数量关系是 【拓展延伸】(2)如图②所示，在ABC中，LBAC=a(90°<a<180),AB=AC=m,点D在边AC上.若 点E在边AB上，且CE=BD，,则线段AE与线段AD相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说 明理由 【答案】(1)AE=AD(2)AE=AD,证明见解析 【分析】 【详解】解：(1)在△ABC中， ∠BAC=90°，AB=AC ∠ABC=LACB 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠A=∠A BD=CE △ABD≌△ACE(SAS】 .AE=AD (2)AE=AD.证明：如图，过点C作CM⊥BA交BA的延长线于点M,过点B作BN⊥CA交CA的延长 线于点N. N M E D ∠M=∠N=90°，∠CAM=∠BAN,CA=BA, B aCAM≌△BAN(AAS), ∴.CM=BN,AM=AN, .·∠M=∠N=90°，CE=BD, ∴.RtACME≌Rt△BND(HL), :EM DN .·AM=AN,.AE=AD 10/54 专题06 全等三角形性质与判定的综合 目录 典例讲解 类型一、全等三角形的性质 类型二、全等三角形的判定 类型三、构造辅助线，结合全等三角形进行求解 类型四、讨论线段存在的数量关系 类型五、折叠问题 类型六、动点问题 压轴专练 类型一、全等三角形的性质 处理方式：① 先在图形上标注已知的全等关系（如“△ABC≌△DEF”），明确对应顶点（按顺序对应，A对应D、B对应E、C对应F）； ②求未知边/角时，直接转化为对应边/角的长度/度数，无需重复证明全等； ③若已知全等，可利用性质快速推导线段相等、角相等，为后续解题铺垫。 【例1】如图，若与全等，且，则___________． 【例2】如图，，的延长线分别交，于点F，G，且，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，，且点共线，若的面积为，则________． A． B． C．2 D． 【变式1-2】如图，已知，平分，若，，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【变式1-3】一个三角形的三边长分别为3，5，7，另一个三角形的三边长分别为，若这两个三角形全等，则（   ） A．4 B．5 C．4或5 D．3或5 类型二、全等三角形的判定 处理方式：①先梳理题干给出的条件（边相等、角相等），标注在图形上，明确已有几个条件； ②缺什么补什么：若已有两边，找夹角（SAS）或第三边（SSS）；若已有两角，找夹边（ASA）或其中一角的对边（AAS）；直角三角形优先用HL（斜边+直角边）； ③注意隐含条件：公共边、公共角、对顶角、垂直得到的直角、角平分线得到的两角相等，都是判定全等的关键隐含条件，不要遗漏。 【例3】如图，，，，与交于点F，连接、． (1)请找出图中的全等三角形； (2)你认为线段与之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 【例4】如图，在中，．点在内，连接，，且的平分线交的延长线于点，连接．求证：． 【变式2-1】已知：． (1)如图1，试说明：； (2)如图2，连接，若，不添加任何辅助线，直接写出图中所有的全等三角形． 【变式2-2】如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出，固定住长木棍，转动短木棍，得到，这个实验说明了什么？图中与满足两边和其中一边的对角分别相等，即，但与不全等．这说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．李乐通过对上述问题的再思考，提出：两边分别相等且这两边中较大边所对的角相等的两个三角形全等，请你判断李乐的说法是否正确． 【变式2-3】【知识再现】学完“全等三角形”后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”是判定直角三角形全等的特有方法． 【简单应用】（1）如图①，在中，，点D，E分别在边上．若，则线段和线段的数量关系是______________． 【拓展延伸】（2）如图②所示，在中，，，点D在边上．若点E在边上，且，则线段与线段相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由． 类型三、构造辅助线，结合全等三角形进行求解 处理方式：常见辅助线构造方法：①作垂线：过一点作已知线段的垂线，构造直角三角形（可利用HL、AAS判定全等）； ②作角平分线：平分已知角，构造相等的角，结合SAS或ASA判定； ③延长线段：延长某条线段，构造等腰三角形或相等的线段，补全全等所需的边； ④连接线段：连接两个关键点（如中点、顶点），构造公共边，为全等提供条件。 【例5】是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以D为顶点作一个角，使其两边分别交于点M，交于点N，连接，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【例6】如图，在中，若，，求边上中线的取值范围通过分析、思考，小丽同学形成两种解题思路． 思路将绕着点旋转，使得和重合，得到 思路延长到，使得，连接，根据可证得． 根据上面任意一种解题思路，再结合三角形三边关系，求的取值范围． 【变式3-1】如图，在中，是的中线，，，则的取值范围是______． 【变式3-2】如图，四边形中，，则四边形的面积为（   ） A．6 B．7 C．12 D．20 【变式3-3】【基础巩固】 在中，，，点是平面内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，； （1）如图1，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，当A、D、E三点在同一条直线上时，求的大小； 【拓展提高】 （3）如图3，与交于点，点为的中点，交于点，连接，若，且为18，求的长． 类型四、讨论线段存在的数量关系 【例7】如图1、2、3，中，，，直线经过点，，垂足为，，垂足为E．探究图中线段、、之间的数量关系． (1)如图1，请写出线段、、之间的数量关系，并证明你的结论； (2)直接写出下列结论： ①如图2，线段、、之间的数量关系是______； ②如图3，线段、、之间的数量关系是______． 【例8】在中，，，点D为直线上的一个动点（点D不与点B、C重合），以为边作，，，连接． (1)发现问题：如图①，当点D在边上时， ①请判断和之间的数量关系为 ，位置关系为 ；并完成证明； ②请直接写出三者之间的数量关系 ； (2)尝试探究：如图②，当点D在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的数量关系，并说明理由． 【变式4-1】小明遇到这样一个问题：是等边三角形，点在射线上，且满足，交等边三角形外角平分线于点，试探究与的数量关系． (1)【初步探究】小明发现，当点为的中点时，如图①，过点作，交于点，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够得到线段与的数量关系，则线段与的数量关系是___________；构造的的形状是___________； (2)【类比探究】当点是线段上（不与点，重合）任意一点时，其他条件不变，如图②，试猜想与之间的数量关系，并证明你的结论； 【变式4-2】如图，在中，，，点D为边的中点，且，与边，分别交于点E，F．当绕着点D运动时，线段与的数量关系是否发生改变？ (1)探究一：首先观察点F的特殊位置： ①当点F与点C重合时，如图1所示，此时___________，线段与之间的数量关系：___________； ②当时，如图2所示，求此时的度数及线段与之间的数量关系并说明理由； (2)探究二：观察一般情况，当绕着点D运动时，与之间有什么数量关系并证明． 【变式4-3】已知为等边三角形（三条边都相等，三个内角都为），点D为直线上的一动点（点D不与B、C重合），以为边作等边（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接．    (1)如图1，当点D在边上时，线段、的数量关系是______，线段，，的数量关系是______； (2)如图2，当点D在边的延长线上且其他条件不变时，线段，，之间的数量关系是否仍然满足上面的结论？若不满足，请写出、、之间存在的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当点D在边BC的反向延长线上且其他条件不变时，直接写出、、之间存在的数量关系． 类型五、折叠问题 【例9】如图，在等腰三角形中，，为边上一点，将沿翻折，点的对应点为点，与交于且点是靠近点的三等分点，若，则___________． 【例10】如图1，在中，，为中点．将沿翻折，得到（如图2），为上一点，再将沿翻折，使得与重合（如图3），给出下列四个命题：①；②；③；④．其中真命题的是（   ） A．①④ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【变式5-1】如图，已知直角中，，，以为斜边作，将沿翻折得到，连接，已知，，则点到的距离为（   ） A． B． C． D．3 【变式5-2】如图，将沿所在的直线翻折得到，再将沿所在的直线翻折得到，若点在同一条直线上，．有下列结论： ①， ②， ③． 其中正确的说法是___________．（填序号即可） 【变式5-3】如图①，在中，延长到D，使，E是上方一点，且，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)如图②，若，将沿直线翻折得到，连接，与交于F，若，求证：F是的中点； (3)如图③，若，将沿直线翻折得到，连接交于F，交于G，连，求证：． 类型六、动点问题 处理方式：①先分析动点的移动方向、速度和范围，明确动点在不同位置时，图形的变化情况；②固定动点的一个特殊位置（如起点、终点、中点），构造全等三角形，推导相关边、角的关系；③分类讨论：当动点移动到不同位置时，可能出现不同的全等情况，需分情况分析，避免漏解；④牢记：动点移动过程中，全等的判定条件不变，仅图形位置变化，核心是找准对应关系。 【例11】如图，，垂足为点，厘米，厘米，射线，垂足为点，一动点从点出发以2厘米/秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点离开点后，运动秒时，与全等，的值可能为（   ） A．2 B．2或6 C．6或8 D．2或6或8 【例12】如图，在中，厘米，，厘米，点D为的中点．点M在线段上以3厘米/秒的速度由点B向点C运动，同时，点N在线段上由点C向点A运动．当点M运动到点C或点N运动到点A时，另一个点也停止运动．若点N的运动速度为a厘米/秒，则： （1）运动2秒时，______厘米（用含a的式子表示）； （2）当与全等时，a的值为______． 【变式6-1】如图，在中，，点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过和作于点于点，则点的运动时间等于_______秒时，与全等． A．2 B．6 C．2或6 D．2或6或16 【变式6-2】如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在射线上运动，当点运动结束时，点随之结束运动，当点运动到某处时有与全等，则的运动速度是___________． 【变式6-3】如图，与相交于点C，，，，点Q和点P同时出发．点P以的速度从点A出发，沿向B运动，到B位置后，立刻以相同的速度沿向A运动；点Q从点D出发，沿以的速度向E运动．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为．当P，Q，C三点在同一条直线上时，求t的值． 1．如图，已知，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在锐角中，，，为上一动点，将，分别沿，向外翻折，得到，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 3．如图，，，，如果点在线段上以秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动，若经过t秒后，与全等，则的值是______． 4．如图，中，，的角平分线、相交于点P，延长至F，沿着折叠与重合，交于点H，则下列结论：；；；，其中正确的有（　　） A． B． C． D． 5．如图，直线，平分，过点作交于点．动点，同时从点出发，其中动点以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点，的运动时间为．当动点在直线上运动时，若与全等，则的值为______． 6．如图，在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点E的对应点为，与边相交于D点，恰好是的角平分线，则_______，若，则的长为_______． 7．如图已知中，为边上的中线，平分交边于点，，，则_____． 8．如图，在中，为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，求的长度； (3)若，求的度数． 9．如图1，在四边形中，，，点，分别在四边形的边，上，，连接，试猜想，，之间的数量关系． (1)思路梳理 将绕点逆时针旋转至，使与重合，由，得，即点，，三点共线，易证，故，，之间的数量关系为 ； (2)类比引申 如图2，在图1的条件下，若点，由原来的位置分别变到四边形的边，延长线上，，连接，试猜想，，之间的数量关系，并给出证明． 10．在边长为的等边三角形中，点是上一点，点是上一动点，以每秒的速度从点向点移动，设运动时间为秒．      (1)如图1，若，，则的值为_____； (2)如图2，若点从点向点运动，同时点以每秒的速度从点经点向点运动，当为何值时，为等边三角形． (3)如图3，将“边长为的等边三角形”变换为“，为腰，为底的等腰三角形，且，”，点在从向运动过程中，点，同时分别在，上运动，点以每秒的速度从点向运动，同时点以每秒的速度从点向运动（各点均不再返回），当以、、三点构成的三角形与全等时，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $