8.2 整式的乘法 课件 2025-2026学年鲁教版（五四制）六年级数学下册

2　整式的乘法 第1课时　单项式乘单项式 知识点 单项式乘单项式的运算法则 单项式与单项式相乘，把它们的_____、相同字母的___分别相 乘，其余字母连同它的_____不变，作为积的因式． 系数 幂 指数 【注意】 单项式与单项式相乘一般分三部分： (1)系数相乘——作积的系数； (2)同底数幂相乘——作积的一个因式； (3)只在一个因式里含有的字母，直接作为积的因式． 考点1 单项式乘单项式的计算 典例1 计算： (1)(xy2n)2·(xy4)n； (2)－3x2·x4－[(2x)2]3. 解：(1)(xy2n)2·(xy4)n＝x2y4n·xny4n＝x2＋ny8n； (2)原式＝－3x6－(4x2)3＝－3x6－64x6＝－67x6. 考点2 单项式乘单项式的应用 典例2 [2025·南京期中]若x2n＝3，求x3n＋2÷xn＋2＋(2xn)· (－5x5n)的值． 解：因为x2n＝3， 所以x3n＋2÷xn＋2＋(2xn)·(－5x5n)＝x3n＋2－n－2－10x6n ＝x2n－10x6n＝x2n－10(x2n)3＝3－10×33＝－267. 变式 已知－2x3m＋1y2n与4x－3y4的积与－4x4y2是同类项． (1)求m，n的值； (2)先化简，再求值：5m3n·(－3n)2＋(6mn)2·(－mn)－mn3· (－4m)2. 解：(1)－2x3m＋1y2n·4x－3y4＝－8x3m＋1－3y2n＋4， 因为－2x3m＋1y2n与4x－3y4的积与－4x4y2是同类项， 所以－8x3m＋1－3y2n＋4与－4x4y2是同类项， 所以3m＋1－3＝4，2n＋4＝2， 所以m＝2，n＝－1； (2)5m3n·(－3n)2＋(6mn)2·(－mn)－mn3·(－4m)2＝5m3n·9n2＋36m2n2·(－mn)－mn3·16m2 ＝45m3n3－36m3n3－16m3n3＝－7m3n3， 当m＝2，n＝－1时， 原式＝－7×23×(－1)3＝56. $第4课时　整式乘法的应用 知识点 较复杂的多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项 式的每一项，再把所得的积相加． 考点 较复杂的多项式与多项式相乘 典例 化简： (1)(2x－1)(－3x)－(1－3x)(1＋2x)； (2)3x(x2＋2x＋7)－(x2＋7)(3x－5)； (3)(x－1)(2x2－3x＋2)－x(x＋1)(x－2)； (4) x(4－2x)－2(3－2x)(4x＋1)． 解：(1)原式＝－6x2＋3x－(1－x－6x2)＝－6x2＋3x－1＋x＋6x2＝4x－1； (2)原式＝3x3＋6x2＋21x－3x3＋5x2－21x＋35＝11x2＋35； (3)原式＝2x3－3x2＋2x－2x2＋3x－2－x3＋x2＋2x＝x3－4x2＋7x－2； 变式1 解方程：2x(3x－5)－(2x－3)(3x＋4)＝3(x＋4)． 解：6x2－10x－(6x2－x－12)＝3x＋12， 6x2－10x－6x2＋x＋12＝3x＋12， 6x2－10x－6x2＋x－3x＝12－12， －12x＝0， x＝0. 变式2 [阅读创新题][2025·高州市期中]【知识回顾】我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式ax－y＋6＋3x－5y－1的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x，y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0. 具体解题过程是：原式＝(a＋3)x－6y＋5， 因为代数式的值与x的取值无关， 所以a＋3＝0，解得a＝－3. 【理解应用】 (1)若关于x的代数式mx－4x＋3的值与x的取值无关，则m值为__； (2)已知A＝(2x＋1)(x－2)，B＝x(m－x)，且A＋2B的值与x的取 值无关，求m的值； 4 【能力提升】 (3)7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1－S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 解：(1)mx－4x＋3＝(m－4)x＋3， 因为关于x的代数式mx－4x＋3的值与x的取值无关， 所以m－4＝0， 解得m＝4， 故答案为：4； (2)因为A＝(2x＋1)(x－2) ＝2x2－4x＋x－2 ＝2x2－3x－2， 2B＝2x(m－x) ＝2mx－2x2， 所以A＋2B＝2x2－3x－2＋2mx－2x2 ＝2x2－2x2＋2mx－3x－2 ＝2mx－3x－2 ＝(2m－3)x－2， 因为A＋2B的值与x无关， 所以2m－3＝0，解得m＝ ； (3)设AB＝x，由图可知S1＝a(x－3b)，S2＝2b(x－2a)， 所以S1－S2＝a(x－3b)－2b(x－2a) ＝ax－3ab－2bx＋4ab ＝(a－2b)x＋ab， 因为当AB的长变化时，S1－S2的值始终保持不变， 所以S1－S2取值与x无关， 所以a－2b＝0， 所以a＝2b. 变式3 观察以下等式： (x＋1)(x2－x＋1)＝x3＋1； (x＋3)(x2－3x＋9)＝x3＋33； (x＋6)(x2－6x＋36)＝x3＋63 …… (1)按以上等式的规律，填空： ①(x＋10)(x2－10x＋100)＝_______； ②(a＋b)(a2－ab＋b2)＝______； (2)利用(1)中的公式化简： (x＋y)(x2－xy＋y2)－(x＋3y)(x2－3xy＋9y2)． x3＋103 a3＋b3 解：(1)①(x＋10)(x2－10x＋100)＝x3＋103， ②(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3， 故答案为：x3＋103；a3＋b3； (2)原式＝x3＋y3－[x3＋(3y)3] ＝x3＋y3－(x3＋27y3) ＝x3＋y3－x3－27y3 ＝－26y3. eq \f(1,2) (4)原式＝eq \f(1,2)x·4－eq \f(1,2)x·2x－2(3·4x＋3·1－2x·4x－2x·1) ＝2x－x2－2(12x＋3－8x2－2x) ＝2x－x2－24x－6＋16x2＋4x ＝15x2－18x－6. eq \f(3,2) $第2课时　单项式乘多项式 知识点 单项式乘多项式的运算法则 单项式与多项式相乘，就是根据_______用单项式去乘多项式的 _______，再把所得的___相加．用字母表示为m(a＋b＋c)＝___ _________(m，a，b，c都是单项式)． 分配律 每一项 积 ma ＋mb＋mc 【规律总结】 (1)多项式中的每一项都包含它前面的符号，同时还要注意单项式的符号； (2)积的项数等于多项式的项数，不要漏项． 变式1 计算： (1)(－a2b)3＋a2b(a4b2＋a)； (2)(a2b＋ab2－3b3)·(4ab2)－(－2ab2)2. 解：(1)(－a2b)3＋a2b(a4b2＋a) ＝－a6b3＋a6b3＋a3b ＝a3b； (2)原式＝a2b·(4ab2)＋ab2·(4ab2)－3b3·(4ab2)－4a2b4 ＝4a3b3＋4a2b4－12ab5－4a2b4 ＝4a3b3－12ab5. 考点2 单项式乘多项式的应用 典例2 [2025·长沙期中]明德学校在进行“雷小锋”校园文化墙装饰时，师傅对原装饰区域做了改动，在原长方形基础上挖去四个边长相同的正方形，如图所示． (1)根据平面图数据，用含a、b、c的代数式表示图中阴影部分新装饰区面积S. (2)已知a＝6 m，b＝1 m，c＝4 m，且装饰板块一所用布料单价为5元/m2，装饰板块二所用布料单价为7元/m2，完成新装饰区域全部铺设，总费用为多少？ 解：(1)由图形可知： S＝ac－4b2； (2)由图可知： 装饰板块一的面积为 2b(c－2b)＝2bc－4b2， 装饰板块二的面积为 c(a－2b)＝ac－2bc， ∵a＝6 m，b＝1 m，c＝4 m， ∴装饰板块一的面积为 2bc－4b2＝2×1×4－4×12＝4 m2， 装饰板块二的面积为 ac－2bc＝6×4－2×1×4＝16 m2， ∴总费用为 5×4＋7×16＝132(元)； 答：完成新装饰区域全部铺设，总费用为132元． 变式 [2025·鄄城县期中]阅读下列文字，并解决问题． 已知x2y＝3，求2xy(x5y2－3x3y－4x)的值． 分析：考虑到满足x2y＝3的x，y的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将x2y＝3整体代入． 解：2xy(x5y2－3x3y－4x) ＝2x6y3－6x4y2－8x2y ＝2(x2y)3－6(x2y)2－8x2y ＝2×33－6×32－8×3 ＝－24. 请你用上述方法解决问题：已知ab＝3，求(2a3b2－3a2b＋4a)· (－2b)的值． 解：(2a3b2－3a2b＋4a)·(－2b) ＝－4a3b3＋6a2b2－8ab ＝－4×(ab)3＋6(ab)2－8ab ＝－4×33＋6×32－8×3 ＝－108＋54－24 ＝－78. 考点1单项式乘多项式的计算 典例1 [2024·东坡区期中]计算： (1)6xy2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2y－\f(2,3)xy4))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)xy3))eq \s\up16(2)； (2)－3x2(2x－4y)＋2x(x2－xy)． 解：(1)6xy2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2y－\f(2,3)xy4))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)xy3))eq \s\up16(2) ＝12xy3－4x2y6＋eq \f(1,4)x2y6 ＝12xy3－eq \f(15,4)x2y6； (2)－3x2(2x－4y)＋2x(x2－xy) ＝－6x3＋12x2y＋2x3－2x2y ＝－4x3＋10x2y. 变式2 计算： (1)(3xy－4xy2＋1)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)xy2))eq \s\up16(2)； (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)x2y－\f(3,5)xy2))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)xy))eq \s\up16(2). 解：(1)(3xy－4xy2＋1)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)xy2))eq \s\up16(2) ＝(3xy－4xy2＋1)·eq \f(1,4)x2y4 ＝eq \f(3,4)x3y5－x3y6＋eq \f(1,4)x2y4； (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)x2y－\f(3,5)xy2))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)xy))eq \s\up16(2) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)x2y－\f(3,5)xy2))·eq \f(4,9)x2y2 ＝－eq \f(1,3)x4y3－eq \f(4,15)x3y4. $第3课时多项式乘多项式 。 列清单·划重点 知识点多项式乘多项式的运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项 式的每一项，再把所得的积相加 【注意】 (1)不漏乘多项式的每一项； (2)注意各项乘积的符号. 明考点·织方法 考点1多项式乘多项式的计算 典例1计算：(x-3y)(x+6y)-(3x+y)(x-y). 解：(x-3y)(x+6y)-(3x+y)(x-y) =x2+6xy-3xy-18y2-(3x2-3xy+xy-y2) =x2+6xy-3xy-18y2-3x2+3xy-xy+y2 =-2x2+5xy-17y2 变式1计算： (1)(x2-x+1)(x2+x+1); 2ai+3-+ (3)(x-2)(3x+1)-3(x+1)(2x-5); (4)(x2+x+1)(x-x2+1). 解：(1)(x-x+1)(x+x+1)=x+x+x2-x2-x2-x+X+x+1 =x+x+1; 22+-子+ -2x-+2凉3+-+3 =+-+n (3)(x一2)(3x+1)一3(x+1)(2x一5) =3x2+x-6x-2-3(2x2-5x+2x-5) =3x2-5x-2-6x2+9x+15 =-3x2+4x+13; (4)(x2n+xn+1)(x3n-x2n+1) =x5n-x4n+x2n-+x4n-x3n+xn+x3n-x2n+1 =x5n+xn+1. 变式2[2025·丹阳市期中]回答下列问题： (1)计算： ①(x+2)(x+3)x2+5x+6; ②(x+2)(x-3)=x2-x-6: ③(x-2)(x十3)=x2+x-6 (2)总结公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)_x+ab: (3)已知a,b,m均为整数，且(x十a)(x+b)=x2+mx+7 求m的所有可能值. 解：(1)①(x+2)(x+3)=x2+2x+3x+6=x2+5x+6; ②(x十2)(x-3)=x2-3x+2x-6=x2-x-6; ③(x-2)(x+3)=x2+3x一2x-6=x2+x一6. 故答案为：①x2+5x+6;②x2-x一6；③x2+x一6； (2)原式=x2+ax+bx+ab=x2+(a+b)x+ab. 故答案为：(a十b); (3)因为(x+a)(x+b)=x+(a+b)x+ab=x+mx+7, 所以m=a+b,ab=7, 因为a,b都是整数，7=1×7=-1×（-7)， 87旧1日-日1 所以m=a+b=1+7=8或m=a+b=一1一7=一8.