6.3 平面向量基本定理及坐标表示（第二课时） 同步练习题- 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册

6.3 平面向量基本定理及坐标表示（第二课时） 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 训练内容： 【1】平面向量的正交分解及坐标表示 【2】平面向量加、减运算的坐标表示 【学习目标】 1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.(重点) 2.掌握两个向量加、减运算的坐标表示.(重点) 【例题精练】 【例1】如图，取与轴，轴同向的两个单位向量，作为基底，分别用，表示，，，并求出它们的坐标． 【答案】答案见解析 【分析】应用基底表示向量再结合向量的坐标表示得出向量的坐标即可. 【详解】由图形可知，，，， 它们的坐标表示为，，. 【例2】已知，B点坐标为，，，且，求点A的坐标. 【答案】 【分析】根据向量减法的坐标表示、向量相等及点与向量的关系即可求解. 【详解】∵，， ∴， 因为，所以. 又，设A点坐标为， 则 ∴,解得 即A点坐标为. 【例3】如图，平面上，，三点的坐标分别为,,. (1)写出向量，，的坐标； (2)如果四边形是平行四边形，求的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的坐标运算即可求解； （2）根据向量相等，即可利用坐标相等求解. 【详解】（1） （2）设，由可得，所以 ，故 【例4】已知点O(0，0)，A(1，2). （1）若点B(3t，3t)，＝，则t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？ （2）若B(4，5)，P(1＋3t，2＋3t)，则四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求t值；若不能，说明理由. 【答案】（1）答案见解析；（2）不能，理由见解析. 【分析】（1）首先求出的坐标，再根据的位置，得到方程或不等式组，解得即可； （2）表示出，,若四边形为平行四边形，则，得到方程组，即可判断； 【详解】解：（1）， 若点P在x轴上，则，∴. 若点P在y轴上，则，∴. 若点P在第二象限，则，∴. （2）因为，. 若四边形为平行四边形，则， ∴该方程组无解. 故四边形不能成为平行四边形. 【A组基础达标】 一、单选题 1．已知，记的相反向量为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的坐标表示和相反向量的概念进行求解即可. 【详解】因为，所以， 所以它的相反向量. 故选：A. 2．已知向量与的夹角为，且，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设可知，继而得到，由此即可解出点坐标. 【详解】由题意知与的长度相等，方向相反， 所以， 又因为， 设，则， 所以，解得，即， 故选：A 3．在平行四边形中，为一条对角线，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在平行四边形中，由，，利用减法得到，然后利用加法求. 【详解】在平行四边形中， ，， 所以， 所以. 故选：B 【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4．如果用分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据向量的坐标表示求出，再根据正交分解即可得解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C. 5．如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量作为基底，若，，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基底法分解向量，再表示成坐标即可. 【详解】由题意得，. 故选：A 6．已知向量，将向量绕原点O沿逆时针方向旋转到的位置，则点的横坐标为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】先确定向量与轴正方向的夹角，再利用旋转的角度可求答案. 【详解】因为，所以向量与轴正方向的夹角为， 向量绕原点O沿逆时针方向旋转到的位置，则与轴正方向的夹角为， 此时点在轴上，点的横坐标为0. 故选：C. 二、多选题 7．下列各式不正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】ACD 【分析】向量加、减法的坐标运算逐项排除可得答案． 【详解】对于A，若，，则，A错误； 对于B，若，，则，B正确； 对于C，若，，则，C错误； 对于D，若，，则，D错误. 故选：ACD 8．已知中，点，，分别为，，的中点，则（    ） A． B． C．点A的坐标为 D．的面积为4 【答案】ACD 【分析】根据，两点的坐标求出向量的坐标，即可判断A，利用，再由的坐标求出的坐标，即可判断B；设，，，根据中点坐标公式列出方程组，求出三点坐标，即可判断C，分别求出，即可求出的面积，即可判断D. 【详解】    因为，，所以，故A正确； 因为分别为，的中点， 所以，故B错误； 设，，， 则有，，， 解得，故C正确； 由C可知， 所以的面积为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 9．已知，则________,________. 【答案】 【解析】①根据，即可得解； ②即可得解. 【详解】①根据， ； ②. 故答案为：①；② 【点睛】此题考查向量线性运算的坐标表示，根据向量的和差关系求出所求向量. 10．已知点，则满足的的坐标为___________. 【答案】 【分析】根据平面向量坐标表示公式，结合平面向量加法的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】设的坐标为，且，， 因为，可得， 可得， 所以的坐标为. 故答案为： 四、解答题 11．设A，B，C，D为平面内的四点，已知，，且． (1)若C点坐标为，求D点坐标； (2)原点为O，，求P点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】应用已知坐标表示出，再设、，结合题设写出、的坐标，最后根据向量相等求参数值，即可写出D、P坐标； 【详解】（1）由题设，，若，则， ∴，即，可得， ∴. （2）若，则，又， ∴，即， ∴ 【B组能力提升】 1．在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量，作为基底，设（其中），则向量对应的坐标位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】写出向量对应的坐标，通过判断坐标的正负得出答案. 【详解】向量对应的坐标为， ，， 所以向量对应的坐标位于第二象限. 故选：B. 2．设，，规定两向量之间的一个运算“”为，若已知，，则等于(　　) A．(－2,1) B．(2,1) C．(2,－1) D．(－2,－1) 【答案】A 【分析】设,由题设中运算法则列出的方程组求解即可. 【详解】设,由题设中运算法则,得， 即解得故. 故选：A． 3．（多选）已知点，，，若A，B，C，D四个点能构成平行四边形，则点D的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意分平行四边形为，和三种情况讨论，结合向量相等的坐标表示求解即可. 【详解】设点坐标为， 当平行四边形为时，，则，解得， 当平行四边形为时，，则，解得， 当平行四边形为时，，则，解得， 综上点D的坐标可以是，，， 故选：ACD 4．如图，在平面直角坐标系中，，，，，，，四边形为平行四边形. （1）求向量、的坐标； （2）求向量的坐标； （3）求点的坐标. 【答案】（1），；（2）；（3）. 【解析】（1）计算出的值，利用三角函数的定义可求得向量、的坐标； （2）由题意得出可得出结果； （3）由可求得向量的坐标，即可得出点的坐标. 【详解】（1），所以，， 由于四边形为平行四边形，，， ，； （2）由题意可得； （3）由向量加法的三角形法则得. 所以，点的坐标为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3 平面向量基本定理及坐标表示（第二课时） 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 训练内容： 【1】平面向量的正交分解及坐标表示 【2】平面向量加、减运算的坐标表示 【学习目标】 1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.(重点) 2.掌握两个向量加、减运算的坐标表示.(重点) 【例题精练】 【例1】如图，取与轴，轴同向的两个单位向量，作为基底，分别用，表示，，，并求出它们的坐标． 【例2】已知，B点坐标为，，，且，求点A的坐标. 【例3】如图，平面上，，三点的坐标分别为,,. (1)写出向量，，的坐标； (2)如果四边形是平行四边形，求的坐标. 【例4】已知点O(0，0)，A(1，2). （1）若点B(3t，3t)，＝，则t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？ （2）若B(4，5)，P(1＋3t，2＋3t)，则四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求t值；若不能，说明理由. 【A组基础达标】 一、单选题 1．已知，记的相反向量为，则（   ） A． B． C． D． 2．已知向量与的夹角为，且，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．在平行四边形中，为一条对角线，若，，则（    ） A． B． C． D． 4．如果用分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 5．如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量作为基底，若，， 则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．已知向量，将向量绕原点O沿逆时针方向旋转到的位置，则点的横坐标为（    ） A． B． C．0 D．1 二、多选题 7．下列各式不正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 8．已知中，点，，分别为，，的中点，则（    ） A． B． C．点A的坐标为 D．的面积为4 三、填空题 9．已知，则________,________. 10．已知点，则满足的的坐标为___________. 四、解答题 11．设A，B，C，D为平面内的四点，已知，，且． (1)若C点坐标为，求D点坐标； (2)原点为O，，求P点坐标． 【B组能力提升】 1．在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量，作为基底，设（其中），则向量对应的坐标位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．设，，规定两向量之间的一个运算“”为，若已知，，则等于(　　) A．(－2,1) B．(2,1) C．(2,－1) D．(－2,－1) 3．（多选）已知点，，，若A，B，C，D四个点能构成平行四边形，则点D的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，，，，，，，四边形为平行四边形. （1）求向量、的坐标； （2）求向量的坐标； （3）求点的坐标. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $