湖北当阳市第二高级中学、宜都市第二中学、宜昌市夷陵区东湖高级中学2025-2026学年上学期高二期末考试数学试卷

2025年秋季学期高二年级期末考试数学试卷 参考答案 一、 1 2 3 4 5 6 7 8 A C D C B C B D 二、 9 10 11 ACD BC BCD 三、 12．. 13．. 14．， 四、 15.解：因为频率分布直方图所有矩形的面积之和为， 所以，解得．............2分 估计全校学生周平均课外阅读时间的平均数为 小时．............4分 估计全校学生周平均课外阅读时间的众数为小时．............6分 设全校学生周平均课外阅读时间的中位数为小时，则， 解得．............8分 由频率分布直方图可知，，三组数的频率的比为， 所以利用分层抽样的方法抽取人，这三组被抽取的人数分别为，，，...........10分 从这人中随机选出人，则样本空间共有个样本点， 设事件“选出的人在同一组”，则共有个样本点，所以， 即从这人中随机选出人，这人恰好在同一组的概率为．...........13分 16.解：到直线的距离为圆A半径r， 所以，............3分 则圆A方程为............6分 (2)过A做,由垂径定理可知，且， 在中由勾股定理知............8分 当动直线斜率不存在时，设直线的方程为， 经检验圆心到直线的距离为，且根据勾股定理可知， 显然合题意，.........10分 当动直线斜率存在时，过点，设方程为：， 由到距离知得............14分 代入解之可得，所以或为所求方程．............15分 17解：解法一：因为直三棱柱中，， 所以四边形为正方形，， 又，，且，AB、平面， 所以平面， 又平面，所以， 又，，且、平面， 所以平面............5分 解法二：设，由及勾股定理得， 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，得，， ，，，， 则，， 所以，因此. 又，所以， 又，且、平面， 所以平面.............5分 (2)设平面的法向量，而，， 所以可得，解得，令，得，故，.........7分 设平面的法向量，而，， 所以可得， 解得，令，得，，............9分 设平面与平面BCE的夹角为， 则二面角余弦值.............12分 因为平面的法向量为，， 所以点到平面的距离为.............15分 18.解:(1)设等差数列的公差为，则， 解得，，..........4分 (2)由（1）， 所以①. ②. ①②得 .............11分 (3)因为， 所以数列的前项和. ...........17分 19解：（1）当点为椭圆短轴顶点时，的面积取最大值， 且最大值为， 由题意可得，解得， 椭圆的标准方程为．............4分 （2） ①证明：设点，、，， 若直线的斜率为零，则点、关于轴对称，则，不合乎题意； 设直线的方程为，由于直线不过椭圆的左、右顶点，则， 联立，消去可得， 由，得， 由韦达定理可得，，则， ，解得， 即直线的方程为，故直线过定点．.........11分 ②由韦达定理可得，， ， ，令，则，， 函数在上单调递增，，当且仅当时，等号成立， 因此，的最大值为．............17分 二年级数学试卷参考答案 第 页 共5页 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025年秋季学期高二年级期末考试数学试卷 考试时间：120分钟满分：150分. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个 选项是正确的) 1.某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，若用随机数法在该中学抽 取容量为n的样本，每人被抽到的可能性都为0.3，则n等于() A.300 B.280 C.200 D.160 2已知数列{a,}是等比数列，a=4,a=2 ,则公比9=() A-1 B.-2 c D.2 2 3.若圆C:x2+y2+2x-4y-4=0与C2:x2+y2-2x=0的交点为AB,则线段AB的垂直平分线的 方程是( ) A.x-y+1=0 B.x-2y+1=0 C.2x-y+1=0 D.x+y-1=0 4.己知随机事件A和B互斥，且P(AUB)=0.8,P(B)=0.3,则P(A)等于() A.0.8 B.0.7 C.0.5 D.0.2 5.在平行六面体ABCD-ABCD中，AB=1,AD=1,AA=1,且∠BAD=∠BAA=∠DA4=60°，则 线段AC的长为() A.2 B.√6 C.3 D.5 D 7 71 7 7 第一组第二组 第三组 第四组 第5题图 第6题图 6.某无人机爱好者组织小规模无人机表演，按照如图所示规律排列图形，若从第一组开始依次排 列，则210架无人机可以同时排出的图形组数是() A.14 B.13 C.12 D.11 二年级数学试卷 第1页共4页 7.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,∠BAC=90°，D,E,F分别是 棱AB,BC,CP的中点，AB=AC=2,PA=1,则直线PE与平面DEF所 成角的正弦值为() A.30 B.15 10 15 C.5 D.V10 10 8已知双曲线号-兰=1(a>0,b>0)与直线=x+1相交于A,B两点，其中AB中点的横坐标 为号，则该双曲线的离心率为( A B.5 C.35 3 D.4 5 2 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求。全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分) 9.数列{an}的前n项和Sn=11n-n,则( A.4=10 B.4n=-2n-12 是等差数列 D.当n=5或6时，数列{Sn}有最大项 n 10.如图，已知正方体ABCD-AB'CD边长为1，则下列说法正确的是() D' A.直线A'B与AD所成角为 4 B.平面A'BD⊥平面AAC'C C。三棱锥AABD的体积是正方体体积的 6 D.直线A'B与平面AACC所成角的正弦值为 3 3 11.已知抛物线x2=4y的焦点为F,A,B是抛物线上两动点，下列说法正确的有（) A.抛物线的焦点坐标为F(0,-1) B.若|AF|+|BF=8,则线段AB的中点到x轴的距离为3 C.以线段AF为直径的圆与x轴相切 D.以A为圆心，线段AF的长为半径的圆与准线相切 二年级数学试卷 第2页共4页 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12双曲线号二=1的渐近线方程为一 34 13.已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，Sn是数列{a}的前n项和，S=11,bb,=3,则 6 14已知稀圆C:言若-1a>6>0)的上顶点为4，两个焦点为R,片，复描长是长销长的5台， 2 则直线AF的斜率为 :过点且垂直于AF的直线与椭圆C交于D,E两点，|DE=6, 则△ADE的周长是 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)某校为了调查学生的课外阅读情况，从全校学生中随机抽取100名学生，将他们的周 平均课外阅读时间（单位：小时）数据按照[3,5)，[5,7)，[7,9)，[9,11)，[11,13]分成5组，制成了 如图所示的频率分布直方图。 (1)根据频率分布直方图估计全校学生周平均课外阅读时间的平均数（每组数据取区间的中点值作 代表)、众数与中位数； (2)用分层抽样的方法从[7,9)，[9,11)，[11,13]三组中抽取6人，求从这6人中随机选出2人， 这2人恰好在同一组的概率. 个频率组距 0.18 ar- 0.10 0.05 0.02 O 35791113 时间/小时 16.(15分)已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线1：x+2y+7=0相切，过点B(-2,0)的动直线1 与圆A相交于M,W (1)求圆A的方程： (②)当MN=2W19时，求直线1的方程. 二年级数学试卷 第3页共4页 1R.(15分)直三棱柱ABC-4B,C,∠4BC=90°，A4=AB=号BC=2,E为AC中点 (1)求证：AB⊥平面ABC: (②)求平面ABC与平面BCE夹角的余弦值和点A到平面BCE的距离： B E C 18.(17分)已知等差数列{a}的前n项和为Sn,42=3,S=25. (1)求数列{a}的通项公式： (2)设b=3”an,求数列{bn}的前n项和T,· (3)设Cm= 1 求数列{c,}的前n项和M a ant 907分已知稀圆C等茶-10a6>0的离心幸为 3 ,左、右顶点分别为A、B,点P、Q 为椭圆上异于A、B的两点，△ABP面积的最大值为√6. (1)求椭圆C的方程： (2)设直线AP、BQ的斜率分别为k、k2,且k=2k,. B ①求证：直线PQ经过定点； ②设△PQB和△PQA的面积分别为S、S2,求|S-S2|的最大值. 二年级数学试卷 第4页共4页