精品解析：湖北华中师范大学第一附属中学2025-2026学年上学期高二年级期末检测数学试题

2025—2026学年度上学期高二年级期末检测 数学试题 本试卷共4页，19题．全卷满分150分，考试用时120分钟． 请将答案填涂在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 2. 已知直线和，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 在数列中，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 4. 已知等差数列的前项和为，且成公比为的等比数列，则等于（ ） A. 或 B. C. D. 或 5. 已知双曲线，如果下列方程表示椭圆，那么该椭圆与双曲线有相同焦点的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线与圆相交于两点，若为等腰直角三角形，则的值为（ ） A. 1 B. 7 C. 1或7 D. 1或 7. 设抛物线的焦点为，不经过的直线与交于，两点，与轴交于点，点的纵坐标为，且与的面积之比是，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别是，过点的直线与椭圆在第四象限交于点，与轴交于点，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 当直线平分圆的周长时， C. 圆心到直线距离的最大值是 D. 若点在圆上，则的取值范围为 10. 设正项等比数列的公比为，前项和为，前项的积为，并且满足，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 没有最大值 11. 已知双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的渐近线以及双曲线的右支从左到右依次相交于点三点（如图），线段与双曲线的右支相交于点，双曲线的离心率为，为坐标原点，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则2 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分． 12. 直线与双曲线左、右支各一个交点，则双曲线离心率的取值范围为___________． 13. 数列前项和为___________． 14. 数列各项均为正数，且对任意都有，其中为数列的前项和，设，若满足不等式的正整数恰好有两个，则实数的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记为等差数列的前项和，已知． （1）求和的通项公式； （2）求． 16. 已知双曲线的一条渐近线方程是，焦距为4． （1）求双曲线的方程； （2）过双曲线右焦点的直线与双曲线右支交于两点，若线段的中点为，求直线的方程． 17. 已知数列的前项和为，，且. （1）求的通项公式. （2）设，记数列的前项和为. （ⅰ）求； （ⅱ）若对任意恒成立，求的取值范围. 18. 已知椭圆右顶点为，短轴长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）不过点的直线与椭圆交于、两点． （i）若正方形的边在直线上，且直线在轴上的截距为整数，求正方形的面积； （ii）证明：的外接圆经过两个定点． 19. 在平面直角坐标系中，若圆与抛物线有公共点（不为原点），且圆与抛物线在点处有相同的切线，则称为抛物线的友好数，圆为的友好圆．设均为抛物线的友好数，且，记的友好圆分别为圆，设圆与抛物线的公共点分别为，已知，且，圆与外切． （1）求的友好圆方程； （2）求数列的通项公式； （3）设点，记的面积为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期高二年级期末检测 数学试题 本试卷共4页，19题．全卷满分150分，考试用时120分钟． 请将答案填涂在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简抛物线的方程为，求得，即可求得抛物线的焦点到准线的距离，得到答案. 【详解】由题意，抛物线，可得，所以，解得， 则抛物线的焦点到准线的距离为. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及简单的几何性质，其中解答中熟记抛物线的几何性质是解答的关键，属于基础题. 2. 已知直线和，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线垂直的一般式的结论即可求解. 【详解】由可得，解得. 故选：D 3. 在数列中，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用递推关系式求出数列的各项，进一步求出数列的周期，最后求出结果． 【详解】数列中，已知，， 则， ， ， ， 所以数列的周期为3， 故． 故选：A 4. 已知等差数列的前项和为，且成公比为的等比数列，则等于（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得求得或，进而根据等比定义求即可. 【详解】解:成公比为的等比数列， ，又为等差数列， ， 即 即或. 或或 故选：A 【点睛】本题考查等差数列等比数列基本量的运算，考查计算能力，属于基础题. 5. 已知双曲线，如果下列方程表示椭圆，那么该椭圆与双曲线有相同焦点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】写出双曲线的焦点坐标，再结合各选项椭圆方程写出其焦点坐标，即可判断. 【详解】由题设知，且双曲线的焦点坐标为， 对于A：由，得为双曲线，则不符合要求； 对于B：由得，，由，得为双曲线，则不符合要求； 对于C：因为，所以， 所以椭圆的焦点在轴上，焦点坐标为，符合要求； 对于D：因为，所以， 所以椭圆的焦点在轴上，焦点坐标为，不符合要求； 故选：C. 6. 已知直线与圆相交于两点，若为等腰直角三角形，则的值为（ ） A. 1 B. 7 C. 1或7 D. 1或 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，圆的圆心为，半径为2，结合是等腰直角三角形，可得圆心到直线的距离等于，再利用点到直线的距离公式，从而可求得的值． 【详解】解：由题意得，圆的圆心为，半径为2， 由于直线与圆相交于，两点，且为等腰直角三角形， 可知，， 所以， ∴圆心到直线的距离等于， 再利用点到直线的距离公式可得： 圆心到直线的距离， 解得：或，所以实数的值为1或. 故选：D． 7. 设抛物线的焦点为，不经过的直线与交于，两点，与轴交于点，点的纵坐标为，且与的面积之比是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到，得到，求得，结合抛物线的定义，即可求解. 【详解】如图所示，因为与的面积比为，可得与的面积比为， 所以，则， 又因为点的纵坐标为，可得，即，所以， 由抛物线的定义，可得. 故选：B. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别是，过点的直线与椭圆在第四象限交于点，与轴交于点，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，所以可设焦点，利用向量的坐标关系，用表示出点、的坐标，利用，建立关于、、的方程，根据的关系，结合离心率公式，求解离心率. 【详解】椭圆焦点，其中，离心率， 设在轴上，故， 由得：解得，即， 由， 故，因在第四象限，，故，得， 在椭圆上，代入，化简得：， 代入，整理得：， 令，解二次方程得（舍去），故. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 当直线平分圆的周长时， C. 圆心到直线距离的最大值是 D. 若点在圆上，则的取值范围为 【答案】AB 【解析】 【分析】选项A，将直线方程变形为，可判断直线是否过定点；选项B，先求出圆的圆心坐标，代入直线方程即可求解；选项C，利用两点间距离公式计算该距离；选项D，先求出原点到圆心的距离，再结合圆的半径，确定圆上的点到原点距离的最值，进而得到的取值范围. 【详解】已知圆，得圆心，半径， 直线整理得， 选项A，由直线方程可知，无论取何值，时恒有，因此直线恒过定点，A正确； 选项B，直线平分圆周长，说明直线过圆心，将代入直线方程得：，解得，B正确； 选项C，直线恒过定点，圆心到直线的距离满足， ，即的最大值为，C错误； 选项D，是点到原点的距离平方，原点到圆心的距离， 因此点到原点的距离范围是，故，D错误. 故选：AB. 10. 设正项等比数列的公比为，前项和为，前项的积为，并且满足，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 没有最大值 【答案】CD 【解析】 【分析】分析得到，当时，，当时，，从而判断选项即可． 【详解】A选项，，若，则对任意的，都有， 则，不合要求，A错误； BC选项，若，则，与矛盾，不合要求， 当时，，又， 所以，即， 又，故满足要求， 则，故B错误； 故当时，，当时，， 故有最大值，最大值为， C正确； D选项，等比数列前项和， 因为，所以当时，，即， 故没有最大值，D正确. 故选：CD 11. 已知双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的渐近线以及双曲线的右支从左到右依次相交于点三点（如图），线段与双曲线的右支相交于点，双曲线的离心率为，为坐标原点，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则2 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A项，由，得点为线段的中点，由，得，所以，得，即可求解；对于B项，由点为线段的中点，及，得，，由直线的方程及渐近线方程求出点，得到点，由点在直线上，得，进行求解；对于C项，由，得，求出点，得点，由，得，即可求解；对于D项，由，得，求出点，求出点，又点在直线上，得，得点，得，则，设，由余弦定理得，，得，即可求解． 【详解】对于A项，由，得点为线段的中点，而点为线段的中点，则，由，得， 设点到一条渐近线的距离， 得，得， 而，由，得， 因为点在双曲线的右支上，所以，得，得， 则双曲线的离心率为，故A项错误； 对于B项，由，得点为线段的中点，而点为线段的中点，则，由，得，得，， 得，， 直线的方程为：， 由，，即点， 而点及点为线段的中点， 得点，由点在直线上， 得，得，即， 得双曲线的离心率为，故B项正确； 对于C项，由，得， 设点，， 则，解得，得点， 由，得点为线段的中点，由点，得点， 而点在双曲线上，得， 得，得，得， 则双曲线的离心率为，故C项错误； 对于D项，由，得， 设点，， 则，解得，得点， 由，得点为线段的中点，而，得点， 又点在直线上， 得，整理得，得， 得点，而点，则， 得，则， 在中，设，则，而， 由余弦定理得，， 得，由，得， 则，故D项正确． 故选：BD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分． 12. 直线与双曲线左、右支各一个交点，则双曲线离心率的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】联立直线和双曲线方程，结合韦达定理列不等式求解. 【详解】联立直线和双曲线方程得到，， 设直线和双曲线的交点的横坐标为， 结合题意与韦达定理，， 即，即， 即，则. 故答案为： 13. 数列前项和为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先对数列的通项公式进行拆分化简，采用裂项相消法求前项和. 【详解】数列的第项为：， 故 故答案为：. 14. 数列各项均为正数，且对任意都有，其中为数列的前项和，设，若满足不等式的正整数恰好有两个，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用可得，再次利用得到数列为等差数列，即可得到其通项公式，得，令，由数列的单调性得，即在时取得最大值，即可求解． 【详解】令，则，即，所以或或， 又因为数列的各项都是正数，所以， 令，则，即，解得或或，又因为数列的各项都是正数，所以． ， ① ， ② 由①②得：，化简得到， ③ ，④ 由③④得：， 化简得到，即， 当时，，所以， 所以数列是一个以为首项，为公差的等差数列，． 则，得， 令， 则， 令，得， 得，得， 所以，即在时取得最大值， ，， ，， 若满足不等式的正整数恰好有两个，即， 所以需满足：，即， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记为等差数列的前项和，已知． （1）求和的通项公式； （2）求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意列出方程组，求得，即可求得和的通项公式； （2），当时，，当时，，即可求解． 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 所以数列的通项公式为， 数列的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）知，，则， 由，得， 则当时，，当时，， 故 ． 16. 已知双曲线的一条渐近线方程是，焦距为4． （1）求双曲线的方程； （2）过双曲线右焦点的直线与双曲线右支交于两点，若线段的中点为，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题知，，进而结合求解即可得答案； （2）由题设直线的方程为，，，， 进而与双曲线方程联立，结合题意得且，进而根据韦达定理进行求解. 【小问1详解】 因为双曲线的一条渐近线方程是， 所以，即 因为焦距为4，所以，即 因为， 所以， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 由题知双曲线的右焦点为， 故设直线的方程为， 则联立方程得， 设，， 所以， 因为直线与双曲线的右支交于A，B两点， 所以，即且， 所以，解得：且， 若线段的中点为，得， 得,解得或， 而且，得， 得所求直线的方程为：，即为. 17. 已知数列的前项和为，，且. （1）求的通项公式. （2）设，记数列的前项和为. （ⅰ）求； （ⅱ）若对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）， 【解析】 【分析】（1）利用来变形，可得数列是常数列，即可求得通项； （2）（ⅰ）利用错位相减法即可求得； （ⅱ）利用分离参变量，来求，即可求得参数范围. 【小问1详解】 由可得， ， 所以数列是常数列，又因为，所以， 即的通项公式为； 【小问2详解】 （ⅰ）由， 则， 两边乘以可得：， 上两式相减得：， ， 即； （ⅱ）由可得：， 由对任意恒成立，则， 令，则函数在上单调递减， 即当时，，所以， 即的取值范围是. 18. 已知椭圆右顶点为，短轴长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）不过点的直线与椭圆交于、两点． （i）若正方形的边在直线上，且直线在轴上的截距为整数，求正方形的面积； （ii）证明：的外接圆经过两个定点． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，即，由此可求得椭圆的标准方程； （2）（i）设直线与椭圆交于，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理，可求得弦长，因为为正方形，则等于直线到直线的距离，结合平行直线间的距离公式，即可求得的值，进而可求正方形的面积； （ii）设的外接圆为，点在圆上，可得，因为在圆上，分别代入圆的方程后相加，可得，再将两式相减，结合斜率公式可得，将这些关系联立后可得，，，将之代入圆的方程，整理后即可求得的外接圆经过两个定点． 【小问1详解】 由题中椭圆右顶点为，短轴长为， 可得，，即， 则椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 （i）设不过点的直线，直线与椭圆交于， 联立，得，且有， 因为直线与椭圆有2个交点，则，解得， 又因为直线不过点，则，即， 则， 由题意得直线， 整理直线，直线， 则直线与直线平行，则两直线间的距离， 因为为正方形，则有，即， 两边同时平方整理得，解得或， 因为直线在轴上的截距为整数，即为整数，故， 则， 所以正方形的面积. （ii）设的外接圆为， 因为点在圆上， 则有，即， 联立，得，且有， 则有， 因为在圆上， 则有① ② ①②得， 其中， ， 则①②得 ①②得， 即， 同时除以，易得， 则有， 直线的斜率为，代入上式， 则有， 则有，即， 联立，得， 联立，得， 因为，则有， 则，， 将代入圆的方程， 整理得， 对任意，圆恒过定点满足，解得或， 故的外接圆恒过定点. 19. 在平面直角坐标系中，若圆与抛物线有公共点（不为原点），且圆与抛物线在点处有相同的切线，则称为抛物线的友好数，圆为的友好圆．设均为抛物线的友好数，且，记的友好圆分别为圆，设圆与抛物线的公共点分别为，已知，且，圆与外切． （1）求的友好圆方程； （2）求数列的通项公式； （3）设点，记的面积为，证明：． 【答案】（1） （2） （3） 由抛物线和圆的对称性不妨设在第一象限，故， 由（2）中结果可得，即， 故，故， 则，点到轴的距离， 所以，故， 下证：. 即证：， 即证：， 因为，故即证， 即证， 即证：，即证：， 即证，而当时，， 故恒成立， 故恒成立， 故， 所以. 【解析】 【分析】（1）设，利用抛物线在该点的切线方程公式，结合圆在该点的切线方程与抛物线切线方程重合，联立圆和抛物线的方程，再结合，求解出，进而得到友好圆方程； （2）根据友好数的定义，推导与对应公共点的纵坐标的关系，再结合外切条件，得到与的递推关系，进而求数列的通项公式； （3）利用三角形面积公式求出的表达式，然后对从而得，利用分析法证明，再利用裂项相消法证明不等式. 【小问1详解】 由题意：在抛物线上，故， 设，则抛物线在处的切线方程为，且， 故该切线的斜率为，而圆在处的切线的斜率为， 因为圆为的友好圆，所以，解得， 所以，故圆的半径， 故的友好圆方程为. 【小问2详解】 设，故抛物线在处的切线方程为， 故该切线的斜率为，而且圆与抛物线在点处有相同的切线， 故的斜率为，故的方程为， 令，则，故， 故， 而，所以 故，即是公差为的等差数列， 首项，故，平方得. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $