8.1 平方根 （第3课时）课件 2025-2026学年人教版数学七年级下册

01 平方根 （三） 　　前面我们学习了算术平方根的概念、性质．知道若一个正数x的平方等于a，即x2＝a，则x叫做a的算术平方根，记作 　　　，而且　　也是非负数，比如正数22=4，则2叫做4的算术平方根，4叫做2的平方数，但是　　　　，那么－2叫做4的什么根呢？下面我们就来讨论这个问题． 前面我们学习了算术平方根的概念、性质．知道若一个正数x的平方等于a，即x2＝a，则x叫做a的算术平方根，记作 ，而且 也是非负数，比如正数22=4，则2叫做4的算术平方根，4叫做2的平方数，但是 ，那么－2叫做4的什么根呢？下面我们就来讨论这个问题． 设计意图：通过问题导入了解本节课研究和学习的主要问题，激发了学生求知和探索的欲望，同时又为本节课的教学作了铺垫． 2 如果一个数的平方等于9，这个数是多少？ 3是前面学习过的9的算术平方根， －3与9的算术平方根有什么关系？ 由于 ， 所以这个数是3或－3. 思考与探索： 1．如果一个数的平方等于9，这个数是多少？ 讨论：由于 ，所以这个数是3或－3． 3 根据上面的研究过程填表： 如果我们把 　 　　　　分别叫做1，16，36，49， 　 　 平方根，你能类比算术平方根的概念，给出平方根的概念吗？ 设计意图：这个思考是引入平方根概念的切入点，要让学生有充分的时间进行思考和体验． 4 　　一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根．这就是说，如果 ，那么x叫做a的平方根． 例如：3和－3是9的平方根， 简记±3是9的平方根． 1.平方根的概念： 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根或二次方根．这就是说，如果 ＝a，那么x叫做a的平方根． 例如，3和－3是9的平方根，简记为 3是9的平方根． 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 5 填空： 平方 开平方 两图中的运算有什么关系呢？ 2．观察：两图中的运算有什么关系呢？ 图中的两个图描述了平方与开平方互为逆运算的关系，例如： 3的平方等于9，9的平方根是 3，揭示了开平方运算的本质． 设计意图：通过观察归纳，得出平方根的概念，明确了平方与开平方互为逆运算的运算过程． 6 　　平方根与算术平方根的区别与联系 　　联系：（1）具有包含关系．平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种； 　　（2）存在条件相同．平方根和算术平方根都只有非负数才有； 　　（3）0的平方根、算术平方根都是0． 3．平方根与算术平方根的区别与联系 联系：（1）具有包含关系．平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种； （2）存在条件相同．平方根和算术平方根都只有非负数才有； （3）0的平方根、算术平方根都是0． 7 　　平方根与算术平方根的区别与联系 　　区别：（1）定义不同． 　　（2）个数不同．一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个； 　　（3）表示法不同．正数a的平方根表示为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ，正数a的算术平方根表示为 ； 　　（4）取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个． 区别：（1）定义不同． （2）个数不同．一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个； （3）表示法不同．正数a的平方根表示为 ，正数a的算术平方根表示为 ； （4）取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个． 4．我们共学了几种运算呢？这几种运算之间有怎样的联系呢？ 我们共学了加、减、乘、除、乘方、开方六种运算．加与减互为逆运算，乘与除互为逆运算；乘方与开方互为逆运算． 8 所以 　 的平方根是 　． 　解：（1）因为　 　　 ， 　　　　 例1　求下列各数的平方根： 　　　（2）因为 　　　　， （1） 100；（2） ；（3）0.25 ；（4） ． 所以100的平方根是±10． 9 解：（3）因为　　　 　 ， 　　　 （1） 100；（2） ；（3）0.25 ；（4） ． （4）因为 ， 所以0.25的平方根是±0.5 ． 例1　求下列各数的平方根： 所以 的平方根是 ． 10 　　我们已经学过一个正数的算术平方根的表示方法，你能表示一个正数的平方根吗？ 正数a的算术平方根可以表示用 表示； 正数a的负的平方根，可以用符号“ ”表示． 正数a的平方根用符号“ ”表示， 读作“正、负根号a ”． 思考：一个正数有几个平方根？0有几个平方根？负数呢？ 归纳： 正数的平方根有两个，它们互为相反数； 0的平方根是0； 负数没有平方根． 正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算.符号：正数a的算术平方根可用 表示，正数a的负的平方根，可用符号“－ ”表示.正数a的平方根用符号“ ”表示，读作“正、负根号a”． 设计意图：归纳得出正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根；还有平方根的表示、读法等概念以及平方根和算术平方根两者既有区别又有联系． 11 例2　说出下列各式的意义，并求它们的值： 解：（1） ； （2） ； （3） . （1） ；（2） ；（3） ． 设计意图：熟练应用平方根的概念，计算有关算式的值． 12 1．如果a是负数，那么a2的平方根是（ ）． A．a B．－a C．±a D． C 2．设 ， ，那么xy等于（ ）． A．3 B．－3 C．9 D．－9 C 1．如果a是负数，那么a2的平方根是（ ）． A．a B．－a C．±a D． 答案：C． 2．设 ， ，那么xy等于（ ）． A．3 B．－3 C．9 D．－9 答案：C． 13 　　3．下列说法中正确的是（ 　 ）． 　　①1的平方根是1；②1是1的平方根；③（－1）2的平方根是－1；④一个数的平方根等于它的算术平方根，这个数只能是零． 　A．1个 　 B．2个 　 C．3个 　 D．4个 B 3．下列说法中正确的是（ ）． ①1的平方根是1；②1是1的平方根；③（－1）2的平方根是－1；④一个数的平方根等于它的算术平方根，这个数只能是零． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：B． 14 4．判断下列各数是否都有平方根． （1）（－4）2；（2）0；（3）－0.04；（4）－x2． 解（1）∵（－4）2＝16＞0，∴（－4）2有平方根． （2）∵02＝0，∴0有平方根． （3）∵－0.04＜0，∴－0.04没有平方根． （4）当x＝0时，－x2＝0，此时－x2有平方根； 当x≠0时，－x2＜0，此时－x2有平方根． 4．判断下列各数是否都有平方根． （1）（－4）2；（2）0；（3）－0.04；（4）－x2． 分析：先判断各小题中的数是否是非负数，再进行解答． 解：（1）∵（－4）2＝16＞0，∴（－4）2有平方根． （2）∵02＝0，∴0有平方根． （3）∵－0.04＜0，∴－0.04没有平方根． （4）当x＝0时，－x2＝0，此时－x2有平方根； 当x≠0时，－x2＜0，此时－x2有平方根． 15 5．求下列各数的平方根． （1）121；（2）0.01；（3）　；（4）　　；（5）　　　． 解：（1）因为　　　　　　　 ，所以121的平方根是±11； （2）因为　　　　　　　 ，所以0.01的平方根是±0.1； （3）因为　　　　　　　 ， 所以 的平方根是 ； 5．求下列各数的平方根． （1）121；（2）0.01；（3） ；（4） ；（5） ． 解：（1）因为 ，所以121的平方根是±11； （2）因为 ，所以0.01的平方根是±0.1； （3）因为 ，所以 的平方根是 ； 16 5．求下列各数的平方根． （1）121；（2）0.01；（3）　；（4）　　；（5）　　　． 解：（4）因为　　 ，　　　　　 所以 的平方根是±13； （5）因为　　 ，　　　　　 所以 的平方根是±8； （4）因为 ，所以 的平方根是 ； （5）因为 ，所以 的平方根是 ． 设计意图：通过练习让学生进一步理解正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根就是0；负数没有平方根，会用根号表示正数的平方根． 17 　　1．平方根的概念：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根或二次方根．这就是说，如果x2＝a，那么x叫做a的平方根． 　　2．平方根的性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 1．平方根的概念：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根或二次方根．这就是说，如果x2＝a，那么x叫做a的平方根． 2．平方根的性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 18 　　（2）存在条件相同．平方根和算术平方根都只有非负数才有； 　　（3）0的平方根、算术平方根都是0． 　　3．平方根与算术平方根的区别与联系 　　联系：（1）具有包含关系．平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种； 3．平方根与算术平方根的区别与联系： 联系：（1）具有包含关系．平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种； （2）存在条件相同．平方根和算术平方根都只有非负数才有； （3）0的平方根、算术平方根都是0． 19 　　区别：（1）定义不同． 　　（2）个数不同．一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个； 　　（3）表示法不同．正数a的平方根表示为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　，正数a的算术平方根表示为 ； 　　（4）取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个． 区别：（1）定义不同． （2）个数不同．一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个； （3）表示法不同．正数a的平方根表示为 ，正数a的算术平方根表示为 ； （4）取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个． 设计意图：梳理本节课的主要知识点——平方根的概念，会用平方运算求某些非负数的平方根，让学生明确重难点． 20 感谢观看 21 $