精品解析：2026年江苏南通市海门区实验初级中学一模数学试题

南通市海门区实验初级中学2026年 初中毕业、升学模拟考试数学·试题卷 · 试卷类型：A卷 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共4页，满分共150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 4．作弊者，本卷按0分处理． （请考生将自己信息如实填写在上面，不写、漏写、错写为无效试卷） 一、选择题（每题3分，共10题，共30分） 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，直接利用二次根式的概念，被开方数不小于0，进而得出答案． 【详解】解：式子在实数范围内有意义，则， 解得：． 故选：C． 2. 若，且，则c值为何？（ ） A. 7 B. 63 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先设，再由得出x的值，最后代入即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 【点睛】此题主要考查线段的比，解题的关键是根据题意设． 3. 5张不同卡片分别写有数字，，，，，从中任意取出3张，则这三张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算从张卡片中任取张的总取法数，再利用三角形三边关系筛选出符合条件的取法数，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：∵ 从张不同卡片中任意取出张，总共有种不同的取法，所有取法为： ，，，，，，，，，， ∵三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，只需满足最小两边之和大于最大边即可构成三角形， ∴不能构成三角形的取法为，，， ∴其中符合条件的取法共种， ∴ 所求概率为 ． 4. 如图，菱形的两条对角线相交于，若，，则菱形的周长是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的性质计算出和，利用勾股定理计算出，从而得出菱形的周长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，， 由勾股定理可得，， ∴菱形的周长为． 5. 如图，已知△ABC，∠C=90°，∠A=30°，AC=，动点D在边AC上，以BD为边作等边△BDE（点E、A在BD的同侧），在点D从点A移动至点C的过程中，点E移动的路线为（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：点E所运动的轨迹为线段，首先分别画出，当点D在点A时点E的位置以及当点D在点C时点E的位置，然后求出两点之间的距离.两点之间的长度为边长为2的等边三角形的高线. 点睛：本题注意考查的就是动点问题以及等边三角形的性质.在解决这个问题的时候，我们必须要明白动点的运动轨迹，然后根据轨迹得出答案.在求运动轨迹的时候分别求出点D在点A和点C时点E所处的位置，从而得出运动的轨迹.在得出运动轨迹的时候我们再根据等边三角形的性质得出答案. 6. 若关于x的方程ax2﹣(3a+1)x+2(a+1)＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且有x1﹣x1x2+x2＝1﹣a，则a的值是( ) A. ﹣1 B. 1 C. 1或﹣1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的求根公式以及根与系数的关系即可解答. 【详解】解 ：依题意△＞0，即(3a+1)2﹣8a(a+1)＞0， 即a2﹣2a+1＞0，(a﹣1)2＞0，a≠1， ∵关于x的方程ax2﹣(3a+1)x+2(a+1)＝0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1﹣x1x2+x2＝1﹣a， ∴x1﹣x1x2+x2＝1﹣a， ∴x1+x2﹣x1x2＝1﹣a， ∴﹣＝1﹣a， 解得：a＝±1， 又a≠1， ∴a＝﹣1． 故选A． 【点睛】本题考查一元二次方程根的综合运用，要注意根据题意舍弃一个根是解题关键. 7. 如图，为等腰三角形内一点，过分别作三条边、、的垂线，垂足分别为、、．已知，，且．则四边形的面积为（ ） A. 10 B. 15 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，，根据角平分线的判定定理得到点P在的平分线上，根据等腰三角形的性质得到，，根据勾股定理求出，设、、分别为x、、，利用求出，然后利用勾股定理求出，得到，然后利用代数求解即可． 【详解】如图所示， ∵， ∴， ∵，， ∴点P在的平分线上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 由勾股定理得 ， 设、、分别为x、、， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理，角平分线的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，是函数图象上的两点，过点B作x轴的垂线与射线交于点C．若，则k的值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据根据，得，求出．作轴于点，设直线与轴交于点，根据，得，所以，即可得到点点，，代入即可求出答案． 【详解】解：如图，作轴于点，设直线与轴交于点， 点，，， 点，，， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴点，， 点A，是函数图象上的两点， ∴， 解得， ∴ 故选：B． 9. 如图，下面是按照一定规律画出的“树形图”，经观察可以发现：图比图多出2个“树枝”，图比图多出4个“树枝”，图比图多出8个“树枝”，…，照此规律，图比图多出“树枝”（ ） A. 32 B. 56 C. 60 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了规律探究，认真观察，发现规律是解题关键．按照规律，依次得到图比图多出4个“树枝”，图比图多出8个“树枝”，图比图多出16个“树枝”，图比图多出32个“树枝”，然后计算即可． 【详解】解：根据题意可得， 图比图多出2个“树枝”， 图比图多出4个“树枝”， 图比图多出8个“树枝”， 图比图多出16个“树枝”， 图比图多出32个“树枝”， ∵， ∴图比图多出个“树枝”． 故选：C． 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D是以点A为圆心，4为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最大值（ ） A. 14 B. 7 C. 9 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】作AB的中点E，连接EM、CE、AD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后在中根据三边关系即可求解． 【详解】解：作AB的中点E，连接EM、CE、AD， 在直角中， ∵E是直角斜边AB上的中点， ∴， ∵M是BD的中点，E是AB的中点， ∴， ∴在中，，即， ∴最大值为7， 故选：B． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握综合运用各个知识点是解题关键． 二．填空题（共8小题，每题3分，共24分） 11. 若一次函数的图像与轴交于点，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】把点（m，0）代入y=3x-6即可求得m的值． 【详解】解：∵一次函数y=3x-6的图象与x轴交于点（m，0）， ∴3m-6=0， 解得m=2. 故答案为:2． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． 12. 数据，6，4，0，1，7，5的极差为_____． 【答案】12 【解析】 【分析】极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值． 【详解】解：极差． 13. 如图，小岛在港口的南偏东45°方向、距离港口81海里处，甲船从出发，沿方向以9海里/h的速度驶向港口；乙船从港口出发，沿南偏西60°方向，以18海里/h的速度驶离港口，现两船同时出发，当甲船在乙船的正东方向时，行驶的时间为_____h(结果保留根号) 【答案】 【解析】 【分析】设出发t小时后甲船在乙船的正东方向，连接AB在P正南方向取点Q，则PQ⊥BA于Q，在Rt△PQC中，求得，在Rt△PQB中，求得，解方程即可求解． 【详解】设出发t小时后甲船在乙船的正东方向，连接AB在P正南方向取点Q，则PQ⊥BA于Q， 在Rt△PQC中，∠CPB=60°， ∴PQ=PBcos60°=×18t=9t， 在Rt△PQB中，∠APQ=45°， ∴PQ=APcos45°=（81-9t） 则（81-9t）=9t， 解得：t=， 故当甲船在乙船的正东方向时，行驶的时间为h． 故答案为： 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意建立方程是解题的关键． 14. 关于x的方程的解是（a，m，b均为常数，），则方程的解是__________． 【答案】 【解析】 【分析】把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的x求解． 【详解】解：∵关于x的方程的解是（a，m，b均为常数，）， ∴方程变形为， 即此方程中或， 解得或． 故方程的解为． 故答案为． 【点睛】此题考查利用换元法解一元二次方程，注意要根据方程的特点灵活选用合适的方法．解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 15. 若时，二次函数的最小值为，则________________． 【答案】5 【解析】 【分析】先判断二次函数开口方向，求出对称轴，根据对称轴与区间的位置关系分三种情况讨论，舍去不符合条件的解，即可得到正确结果. 【详解】解：∵ 二次函数的二次项系数为， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， 分三种情况讨论： ①当，即时， 在范围内，y随x的增大而增大，当时，y取得最小值， ， 解得， ∵ ，不符合条件，舍去； ②当，即时， 二次函数最小值在对称轴处取得，将代入得： ， 解得，均不在范围内，舍去； ③ 当，即时， 在范围内，y随x的增大而减小，当时，y取得最小值， ， 解得，符合的条件. 16. 如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为_______． 【答案】28 【解析】 【详解】由矩形性质可知∠B=90°，对角线AC=10，BC=8可运用勾股定理得AC=6；再利用平移的知识将每个小矩形的边分别上、下、左、右平移即可发现5个小矩形的周长之和是矩形ABCD的周长=（6+8）×2=28． 17. 如图，为等边三角形，相交于点P，于Q．若，，则AD的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件，先证明，再证明，可得，最后利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及含30度的角的直角三角形的性质：巧妙借助三角形全等和直角三角形中30度的性质求解是正确解答本题的关键． 18. 如图，把矩形纸片放入平面直角坐标系中，使分别落在x轴、y轴上，连接，将矩形纸片沿折叠，使点B落在点D的位置，若，则点D的横坐标是______． 【答案】## 【解析】 【分析】作于点H，设交于点E，根据矩形的性质和折叠的性质证明，设，则，利用勾股定理可得，解得，然后根据，求出即可． 【详解】解：作于点H，设交于点E， ∵四边形是矩形， ，， ∵将矩形纸片沿折叠，使点B落在点D的位置， ，，， ， ， ∵， ，， 设，则， 在中，， 解得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D的横坐标是． 三．解答题（共8小题，满分96分） 19. 计算： （1）． （2）已知关于x的方程的两根为，且满足．求的值． （3）． 【答案】（1）6 （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）先根据算术平方根，乘方，零次幂计算，再计算加减即可； （2）先由一元二次方程根与系数的关系得到，，根据，求出，，由方程有两个根得到，即，因此．再将分式进行化简，代入a的值计算即可； （3）先分别求出各个不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：∵关于x的方程的两根为， ， ∵，即， ∴， 整理，得， 解得，， ∵关于x的方程的两根为， ∴， ∴， ∴． ∵ ． ∴当时，原式． 【小问3详解】 解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 20. 育才中学九年级1班为了从甲、乙两名同学中选拔一人参加全校举行的“绳彩飞扬”1分钟跳绳比赛，对他们进行了1分钟跳绳训练测试，10次测试的成绩如下（单位：次）： 甲：186，184，185，191，190，192，196，196，198，202； 乙：180，183，195，198，202，181，195，196，208，182． 为了比较两人的成绩，制作如下统计分析表： 平均数 中位数 众数 方差 甲 192 191．5 a 32.2 乙 192 b 195 87.2 （1）填空：______，______． （2）根据以上数据，请至少选择两个统计量作为选拔依据，说明应选拔哪位同学参加比赛． 【答案】（1）196，195 （2）应选拔乙同学参加比赛，说明见解析 【解析】 【分析】本题考查了平均数，中位数，方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量． （1）根据众数和中位数的定义求解可得； （2）在平均数相等的前提下可从方差或中位数的角度分析求解可得． 【小问1详解】 解：甲10次测试成绩中，196次出现2次，次数最多， 所以众数， 把乙的成绩重新排列为180，181，182，183，195，195，196，198，202，208， 中位数， 故答案为：196，195； 【小问2详解】 解：从平均数和方差来看，甲、乙两名同学成绩的平均数相同，甲的方差小于乙的方差，说明甲同学的成绩比乙的成绩稳定，可选拔甲同学参加比赛（答案不唯一）． 21. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=120°，BD=520m，∠D=30°．那么另一边开挖点E离D多远正好使A，C，E三点在一直线上(取1.732，结果取整数）？ 【答案】450m. 【解析】 【分析】若要使A、C、E三点共线，则三角形BDE是以∠E为直角的三角形，利用三角函数即可解得DE的长． 【详解】解：，， ， 在中，，， ， ． 答：另一边开挖点离，正好使，，三点在一直线上． 【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的应用和勾股定理的运用，解题关键是是熟记含30°的直角三角形的性质. 22. 已知，一次函数与分别与x轴相交于点A和点D，与y轴相交于点B和点C，两直线相交于点E，连接． （1）求点E的坐标； （2）点F是线段上一点，且线段把的面积分成两部分，请求出符合条件的点F的坐标． 【答案】（1）点E的坐标为 （2）点F的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，得到，即可确定两直线交点的坐标； （2）先求直线与x轴交点，计算得出面积为；设，分和两种情况，根据面积公式列方程，进而求解即可． 【小问1详解】 解：∵两直线相交于点E， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：∵直线与轴交于点， ∴将代入得， 解得， ∴，即． ∴ ， ∵在直线上， ∴设， ∴的面积为：， 当两部分的面积比为时，则， ∴ 解得， ∴， 故； 当两部分的面积比为时，则， ∴ 解得， ∴， 故， 综上所述，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题以一次函数为载体，结合交点求解与面积分割问题，通过联立方程组求交点、分类讨论面积比例，体现了数形结合与分类讨论的数学思想． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，四边形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点A的坐标为，，直线经过点B、C． （1）点C的坐标为（___________，___________），点B的坐标为（___________，___________）； （2）设点P是x轴上的一个动点，若以点P、A、C为顶点的三角形是等腰三角形，求点P的坐标． （3）如图2，直线l经过点C，与直线交于点M，点O关于直线l的对称点，连接并延长，交直线于第一象限的点D．当时，求直线l的解析式． 【答案】（1）0，6；8， （2）或或或 （3） 【解析】 【分析】本题一次函数综合题，等腰三角形的性质，勾股定理，本题关键是利用一次函数的特点，列出方程组，求出未知数的值，从而求得其解析式．同时注意分类思想的运用． （1）根据直线经过点B、C两点，令，则，当时，则，即可求解； （2）分三种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可； （3）证明，则，求出，进而求解． 【小问1详解】 解：直线经过点B、C两点， 令，则，当时，则， 故点C、B的坐标分别为， 故答案为：0，6；8，； 【小问2详解】 解：， ①若，则点P的坐标为或； ②若，则点P的坐标为； ③若，设点P的坐标为，则， 解得，故点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或或或； 【小问3详解】 解：如图2，过C点作于N， ， ， 由题意， ， ， ， ， ∴， ， ， ， 设l解析式，则，解得． ∴直线l的解析式为：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，，以为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接并延长至C，使，过C作轴于点D，交线段于点E．已知，抛物线经过三点． （1）求直线的函数表达式； （2）求抛物线的函数表达式； （3）若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，则可证明垂直平分，得到，利用勾股定理求出的长，则可得到点C的坐标，进而求出点B的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出点E的坐标，再利用待定系数法求解即可； （3）设点，然后分两种情况：点P在左侧和点P在右侧，列出以为顶点的四边形面积与p的二次函数关系式，根据S的取值使得相应的点P有且只有3个，那么所得的两个二次函数的值等于S时要满足一个方程有两个相等实数根，另一个方程有两个不相等的实数根，据此利用判别式求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵为半圆的直径， ∴，即， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴点B为的中点， ∴点B的坐标为，即， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，，则， 设抛物线的解析式为， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； 【小问3详解】 解：设点， ①若点在的左侧，延长交于，如图所示， 同理可得所在直线函数关系式为， 在中，当时，，即点纵坐标为， ∴， ∴ • ， ； ②若点在的右侧，延长交于，如图所示， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 在中，当时，，即点纵坐标为， ∴， ∴ ； ∵以为顶点的四边形面积记作S，且S满足相应的点P有且只有3个， ∴关于p的方程有两个不相等的实数根，且关于p的方程有两个相等的实数根或关于p的方程有两个相等的实数根，且关于p的方程有两个不相等的实数根； 当关于p的方程有两个不相等的实数根时，则方程有两个不相等的实数根，则， 解得， 当关于p的方程有两个相等的实数根时，则方程有两个相等的实数根，则， 解得； 当关于p的方程有两个不相等的实数根时，则方程有两个不相等的实数根，则， 解得， 当关于p的方程有两个相等的实数根时，则方程有两个相等的实数根，则， 解得； 综上所述，或（此种情况不成立，舍去）， ∴． 25. 如图①已知抛物线y=ax2﹣3ax﹣4a(a＜0)的图象与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y的正半轴交于点C，连结BC，二次函数的对称轴与x轴的交点为E． (1)抛物线的对称轴与x轴的交点E坐标为_____，点A的坐标为_____； (2)若以E为圆心的圆与y轴和直线BC都相切，试求出抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，如图②Q(m，0)是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M′．在图②中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)E(，0)，A(﹣1，0)；(2)y=；(3)存在，点Q坐标为(，0)或( ，0) 【解析】 【分析】（1）根据对称轴公式可以求出点E坐标，设y＝0，解方程即可求出点A坐标． （2）如图①中，设⊙E与直线BC相切于点D，连接DE，则DE⊥BC，由tan∠OBC＝，列出方程即可解决． （3）分两种情形①当N在直线BC上方，②当N在直线BC下方，分别列出方程即可解决． 【详解】解：(1)∵对称轴x=， ∴点E坐标(，0)， 令y=0，则有ax2﹣3ax﹣4a=0， ∴x=﹣1或4， ∴点A坐标(﹣1，0)． 故答案分别为(，0)，(﹣1，0)． (2)如图①中，设⊙E与直线BC相切于点D，连接DE，则DE⊥BC， ∵DE=OE=，EB=，OC=﹣4a， ∴DB=， ∵tan∠OBC=， ∴，解得a=， ∴抛物线解析式为y=． (3)如图②中，由题意∠M′CN=∠NCB， ∵MN∥OM′， ∴∠M′CN=∠CNM， ∴MN=CM， ∵点B的坐标为(4，0)，点C的坐标为(0，3)， ∴ 直线BC解析式为y=﹣x+3，BC=5， ∴M(m，﹣m+3)，N(m，﹣m2+m+3)，作MF⊥OC于F， ∵sin∠BCO=， ∴， ∴CM=m， ①当N在直线BC上方时，﹣m2+m+3﹣(﹣m+3)=m， 解得：m=或0(舍弃)， ∴Q1(，0)． ②当N在直线BC下方时，(﹣m+3)﹣(﹣m2+m+3)=m， 解得m=或0(舍弃)， ∴Q2(，0)， 综上所述：点Q坐标为(，0)或( ，0)． 【点睛】本题考查二次函数综合题、圆、翻折变换、三角函数、一次函数等知识，解题的关键是通过三角函数建立方程，把问题转化为方程解决，属于中考压轴题． 26. 如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（0，8），点 B（b，t）在直线x=b上运动，点D、E、F分别为OB、0A、AB的中点，其中b是大于零的常数． （1）判断四边形DEFB的形状．并证明你的结论； （2）试求四边形DEFB的面积S与b的关系式； （3）设直线x=b与x轴交于点C，问：四边形DEFB能不能是矩形？若能．求出t的值；若不能，说明理由． 【答案】（1）平行四边形，证明见解析；（2）S=2b（b＞0）；（3）当0＜b≤4时，四边形DEFB是矩形，这时，t=4±，当b＞4时，四边形DEFB不是矩形． 【解析】 【详解】解：（1）四边形DEFB是平行四边形． 证明：∵D、E分别是OB、OA的中点， ∴DE∥AB，同理，EF∥OB， ∴四边形DEFB是平行四边形； （2）如图，连接BE， S△AOB=×8×b=4b， ∵E、F分别为OA、AB的中点， ∴S△AEF=S△AEB=S△AOB=b， 同理S△EOD=b， ∴S=S△AOB-S△AEF-S△ODE=4b-b-b=2b， 即S=2b（b＞0）； （3）解法一：以E为圆心，OA长为直径的圆记为⊙E， ①当直线x=b与⊙E相切或相交时，若点B是切点或交点，则∠ABO=90°，由（1）知，四边形DEFB是矩形， 此时0＜b≤4，可得△AOB∽△OBC， ∴ ，即OB2=OA•BC=8t， 在Rt△OBC中，OB2=BC2+OC2=t2+b2， ∴t2+b2=8t， ∴t2-8t+b2=0， 解得t=4±， ②当直线x=b与⊙E相离时，∠ABO≠90°， ∴四边形DEFB不是矩形， 综上所述：当0＜b≤4时，四边形DEFB是矩形，这时，t=4±，当b＞4时，四边形DEFB不是矩形； 解法二：由（1）知，当∠ABO=90°时，四边形DEFB是矩形， 此时，Rt△OCB∽Rt△ABO， ∴，即OB2=OA•BC， 又OB2=BC2+OC2=t2+b2，OA=8，BC=t（t＞0）， ∴t2+b2=8t， ∴（t-4）2=16-b2， ①当16-b2≥0时，解得t=4±，此时四边形DEFB是矩形， ②当16-b2＜0时，t无实数解，此时四边形DEFB不是矩形， 综上所述：当16-b2≥0时，四边形DEFB是矩形，此时t=4±，当16-b2＜0时，四边形DEFB不是矩形； 解法三：如图，过点A作AM⊥BC，垂足为M， 在Rt△AMB中，AB2=AM2+BM2=b2+（8-t）2， 在Rt△OCB中，OB2=OC2+BC2=b2+t2， 在Rt△OAB中，当AB2+OB2=OA2时，∠ABO=90°，则四边形DEFB为矩形， ∴b2+（8-t）2+b2+t2=82， 化简得t2-8t=-b2，配方得（t-4）2=16-b2，其余同解法二． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南通市海门区实验初级中学2026年 初中毕业、升学模拟考试数学·试题卷 · 试卷类型：A卷 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共4页，满分共150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 4．作弊者，本卷按0分处理． （请考生将自己信息如实填写在上面，不写、漏写、错写为无效试卷） 一、选择题（每题3分，共10题，共30分） 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 若，且，则c值为何？（ ） A. 7 B. 63 C. D. 3. 5张不同卡片分别写有数字，，，，，从中任意取出3张，则这三张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，菱形的两条对角线相交于，若，，则菱形的周长是（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，已知△ABC，∠C=90°，∠A=30°，AC=，动点D在边AC上，以BD为边作等边△BDE（点E、A在BD的同侧），在点D从点A移动至点C的过程中，点E移动的路线为（　　） A. B. 2 C. D. 6. 若关于x的方程ax2﹣(3a+1)x+2(a+1)＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且有x1﹣x1x2+x2＝1﹣a，则a的值是( ) A. ﹣1 B. 1 C. 1或﹣1 D. 2 7. 如图，为等腰三角形内一点，过分别作三条边、、的垂线，垂足分别为、、．已知，，且．则四边形的面积为（ ） A. 10 B. 15 C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，是函数图象上的两点，过点B作x轴的垂线与射线交于点C．若，则k的值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 8 9. 如图，下面是按照一定规律画出的“树形图”，经观察可以发现：图比图多出2个“树枝”，图比图多出4个“树枝”，图比图多出8个“树枝”，…，照此规律，图比图多出“树枝”（ ） A. 32 B. 56 C. 60 D. 64 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D是以点A为圆心，4为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最大值（ ） A. 14 B. 7 C. 9 D. 6 二．填空题（共8小题，每题3分，共24分） 11. 若一次函数的图像与轴交于点，则__________． 12. 数据，6，4，0，1，7，5的极差为_____． 13. 如图，小岛在港口的南偏东45°方向、距离港口81海里处，甲船从出发，沿方向以9海里/h的速度驶向港口；乙船从港口出发，沿南偏西60°方向，以18海里/h的速度驶离港口，现两船同时出发，当甲船在乙船的正东方向时，行驶的时间为_____h(结果保留根号) 14. 关于x的方程的解是（a，m，b均为常数，），则方程的解是__________． 15. 若时，二次函数的最小值为，则________________． 16. 如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为_______． 17. 如图，为等边三角形，相交于点P，于Q．若，，则AD的长是________． 18. 如图，把矩形纸片放入平面直角坐标系中，使分别落在x轴、y轴上，连接，将矩形纸片沿折叠，使点B落在点D的位置，若，则点D的横坐标是______． 三．解答题（共8小题，满分96分） 19. 计算： （1）． （2）已知关于x的方程的两根为，且满足．求的值． （3）． 20. 育才中学九年级1班为了从甲、乙两名同学中选拔一人参加全校举行的“绳彩飞扬”1分钟跳绳比赛，对他们进行了1分钟跳绳训练测试，10次测试的成绩如下（单位：次）： 甲：186，184，185，191，190，192，196，196，198，202； 乙：180，183，195，198，202，181，195，196，208，182． 为了比较两人的成绩，制作如下统计分析表： 平均数 中位数 众数 方差 甲 192 191．5 a 32.2 乙 192 b 195 87.2 （1）填空：______，______． （2）根据以上数据，请至少选择两个统计量作为选拔依据，说明应选拔哪位同学参加比赛． 21. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=120°，BD=520m，∠D=30°．那么另一边开挖点E离D多远正好使A，C，E三点在一直线上(取1.732，结果取整数）？ 22. 已知，一次函数与分别与x轴相交于点A和点D，与y轴相交于点B和点C，两直线相交于点E，连接． （1）求点E的坐标； （2）点F是线段上一点，且线段把的面积分成两部分，请求出符合条件的点F的坐标． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，四边形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点A的坐标为，，直线经过点B、C． （1）点C的坐标为（___________，___________），点B的坐标为（___________，___________）； （2）设点P是x轴上的一个动点，若以点P、A、C为顶点的三角形是等腰三角形，求点P的坐标． （3）如图2，直线l经过点C，与直线交于点M，点O关于直线l的对称点，连接并延长，交直线于第一象限的点D．当时，求直线l的解析式． 24. 如图，在平面直角坐标系中，，以为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接并延长至C，使，过C作轴于点D，交线段于点E．已知，抛物线经过三点． （1）求直线的函数表达式； （2）求抛物线的函数表达式； （3）若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个． 25. 如图①已知抛物线y=ax2﹣3ax﹣4a(a＜0)的图象与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y的正半轴交于点C，连结BC，二次函数的对称轴与x轴的交点为E． (1)抛物线的对称轴与x轴的交点E坐标为_____，点A的坐标为_____； (2)若以E为圆心的圆与y轴和直线BC都相切，试求出抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，如图②Q(m，0)是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M′．在图②中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（0，8），点 B（b，t）在直线x=b上运动，点D、E、F分别为OB、0A、AB的中点，其中b是大于零的常数． （1）判断四边形DEFB的形状．并证明你的结论； （2）试求四边形DEFB的面积S与b的关系式； （3）设直线x=b与x轴交于点C，问：四边形DEFB能不能是矩形？若能．求出t的值；若不能，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $