第八章 立体几何初步 单元专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章立体几何初步专项训练 一、选择题 1．已知长方体的底面ABCD是边长为2的正方形，，M，N分别为，的中点，则三棱锥的体积为(      ) A. B.4 C. D.6 2．如图，是水平放置的的直观图，其中，则下列结论正确的是(      ) A.是等腰直角三角形 B.是锐角三角形 C.是钝角三角形 D.是等边三角形 3．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”,将底面为矩形,一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”,在如图所示的堑堵中,,,,则在堑堵中截掉阳马后的几何体的外接球的体积是(      ) A. B. C. D. 4．已知m，n是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是(   ). A.若，，则 B.若，，则 C.若，，则 D.若，，则 5．若直线平面，，且a与点A位于的两侧，，，分别交平面于点E，F，若，，，则EF的长为(      ) A.3 B. C. D. 6．如图，将一张三角形纸片沿着BC边上的高AD翻折后竖立在桌面上，则折痕AD所在直线与桌面所成的角等于(      ) A. B. C. D. 7．如图，在等腰三角形ABC中，，，点D为BC上一点，且.将沿AD翻折至平面平面ACD，连接BC，则点D到平面ABC的距离为(      ) A. B. C. D. 8．已知在正三棱柱中，，，点M为棱的中点，则异面直线AM与所成的角的余弦值为(      ) A. B. C. D. 二、多项选择题 9．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是(      ) A.若，，则m与n相交或异面 B.若，，，则 C.若，，则 D.若，，，则m与n平行或相交或异面 10．如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点C是圆上异于A，B的任一点，则下列结论中正确的是(      ) A. B.平面PCB C.平面平面PBC D.平面平面PBC 11．已知正四棱台的上底面的边长为，下底面ABCD的边长为，高为，则(      ) A.侧棱长为4 B.异面直线与BC所成的角为 C.二面角的余弦值为 D.直线与底面ABCD所成的角为 三、填空题 12．已知二面角为直二面角，，，，，则与，所成的角分别为，，与l所成的角为___________. 13．在直三棱柱中，，，M为的中点，若平面BCM与平面的交线为l，则点B到直线l的距离为_____________. 14．如图甲，在梯形ABCD中，,,分别为AD,CD的中点，以AF为折痕把折起，使点D不落在平面ABCF内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确的结论是_______________. ①平面ABD；②平面CDF；③平面BEF. 四、解答题 15．如图，三棱台中，面面，，，证明：. 16．如图，在正方体中，E，F，G，P，Q，R都是所在棱的中点.求证：平面平面EFG. 17．设P、Q是正方体的面、面的中心，正方体的棱长为1. （1）求线段的长； （2）求异面直线与所成角的大小. 18．如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E为上一点，. （1）求证：平面. （2）在侧棱上是否存在一点F，使平面？若存在，指出点F的位置，并证明；若不存在，请说明理由. 19．如图,三棱柱中,,且P,Q分别为线段与的中点.已知平面. (1)证明：； (2)证明：为二面角的平面角； (3)若,且,求二面角的大小 参考答案 1．答案：C 解析：由题意得，，所以三棱锥是正四面体，设的中心为O，连接NO并延长，交于点P，连接MO，MP， 则，，所以三棱锥的体积为.故选C. 2．答案：A 解析：将其还原成原图，如图.设，则可得，，所以，，所以，所以，所以是等腰直角三角形.故选A. 3．答案：B 解析： 4．答案：C 解析：对于A，若，，则或n与相交或，A不正确； 对于B，若，，则或，B不正确； 对于C，过m作平面使，则， 由得，所以，C正确； 对于D，若，，则，D不正确，故选C. 5．答案：B 解析：，平面ABC，平面，，，即，.故选B. 6．答案：C 解析：由题意可知，，，平面，所以平面.所以折痕AD所在直线与桌面所成的角等于.故选C. 7．答案：B 解析：由题意得，所以.易知，所以.取线段AC的中点M，连接DM，如图，则，且. 因为平面平面ACD，平面平面，，平面ABD，所以平面ACD.因为平面ACD，所以.又因为，，平面ABC，所以平面ABC.所以线段DM的长度就是点D到平面ABC的距离.故选B. 8．答案：A 解析：取棱AB的中点N，连接，，如图. 因为点M为棱的中点，所以易得.所以异面直线AM与所成的角即为直线与所成的角.设.在等边三角形ABC中，由，可得.在中，可得.在中，可得.在中，由余弦定理可得.故选A. 9．答案：ABD 解析：选项A：若，，则m与n相交或异面，A正确. 选项B：若，，则， 又，，是两个不同的平面，所以，B正确. 选项C：若，，则或，故C错误. 选项D：若，，， 则m与n平行或相交或异面，故D正确. 故选：ABD. 10．答案：AD 解析：是圆的直径，C在圆上，. 平面，平面，， 又，平面PAC， 平面PAC， 又平面，，故A正确； 平面PBC， 平面平面PAC，故D正确； 若平面PCB，则， 平面，，与矛盾，故B错误； 过点C作于D，如图， 若平面平面PBC，且平面平面，平面PBC，则平面PAB， 又平面，， 又，，平面PBC， 平面PBC， ，与矛盾，故C错误.故选AD. 11．答案：AD 解析：如图，易得，. 对于A，设上、下底面的中心分别为，O，则四边形为直角梯形.其中，，，所以，故A正确.对于B选项，因为，所以直线与BC所成角即直线为与AD所成角，在等腰梯形中，，，.过点作，交AD于点G，所以直线与AD所成角的余弦值为，故B错误.对于C，点在底面ABCD的射影为OB的中点，设为E，过点E作，垂足为F，易得，，平面，，所以平面.因为平面，所以，所以为二面角的平面角.易知，，所以，，故C错误.对于D，在正四棱台中，直线与底面ABCD所成的角和直线与底面ABCD所成的角相等，由C选项知为直线与底面ABCD所成的角，所以，所以，故D正确.选AD. 12．答案：/ 解析：如图， ，，，，，，则a，b，l两两垂直. 作，，垂足分别为D，C，连接，则，， 所以为与的所成角，为与的所成角， 即，， 建立如图空间直角坐标系，设， 则，，，得， ，，所以，取， 则，又， 所以，即与l所成的角为. 故答案为： 13．答案：2 解析：如图：将三棱柱补成四棱柱， 设N为棱的中点，连接，. 因为在棱柱中，M，N分别是棱的中点， 所以，，所以， 所以四点B，C，M，N共面，四点，，M，N共面. 所以平面与平面的交线为l即为， 所以点B到直线l的距离即点B到直线. 在底面四边形中，，， 所以 ，即. 又在直棱柱中有， 所以，即. 同理，即. 所以在平行四边形中， ，， 所以， 由同角三角函数关系得. 设点B到直线l的距离为d， 根据等面积法， 即，得. 故答案为：2. 14．答案：①③ 解析：对于①，因为，平面，平面ABD，所以 平面ABD，所以①正确； 对于②，延长AB到G，使，连接DG，如图所示， 因为E为AD的中点，所以，因为DG与平面CDF交于点D，所以BE与平面CDF不平行，所以②不正确；对于③，连接AC交BF于O，连接OE，如图所示， 因为在题图甲中,F为CD的中点，所以， 因为，所以四边形ABCF为平行四边形，所以O为AC的中点， 因为E为AD的中点，所以，又平面,平面BEF，所以平面BEF，所以③正确. 15．答案：证明见解析 解析：证明：过D作于G，连接， 因为面面，面面， 面，所以面，故， 设，则，因为， 所以为等腰直角三角形，故， 在中，，由余弦定理，， 所以， 从而，故， 由三棱台结构特征可得，所以. 16．答案：证明见解析 解析：证明：连接，，如图， ，Q，E，F都为所在棱的中点，，. 平面为矩形，，. 因为平面，不在平面EFG内， 所以平面EFG. 同理平面EFG， 因为，平面PQR. 平面平面EFG. 17．答案：（1）； （2）. 解析：（1）如下图所示，连接， P、Q是正方体的面、面的中心 P，Q分别为线段，的中点 在中， （2）连接 由（1）可知，P，Q分别为线段，的中点，则 异面直线与所成角为 为等边三角形 即异面直线与所成角的大小为 18．答案：（1）证明见解析 （2）存在点F为棱的中点，使平面 解析：（1）因为，，所以，所以. 又因为，，，平面，所以平面. （2）以A为原点，分别以，，所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图. 则，，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则即 令，则，，故. 假设侧棱上存在一点F，且，使平面，则. 又因为， 所以， 解得，此时平面. 所以存在点F为棱的中点，使平面. 19．答案：(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 解析：(1)由三棱柱的性质,四边形为平行四边形,故,. 又P,Q分别为线段与的中点,则有. 所以四边形为平行四边形,所以,. 因为三棱柱所有侧棱都平行,所以,故. (2)因为平面,平面,故. 又,由三棱柱的性质知：,,,所以. 又Q为线段的中点,故. 由于,,且,平面,故平面. 因为平面,故. 由(1)可知：,所以 因为平面平面,平面,平面且,,所以为二面角的平面角. (3)由(1)可知：,,所以四边形为平行四边形,所以平面即为平面. 由(1)平面,因为,所以平面. 连接,因为,且P为线段的中点,所以 由(2),所以, 因为平面平面,平面,平面,所以为二面角的平面角, 由于,且Q为线段的中点,故. 又,故为等边三角形,不妨设,则. 由于,,故为等腰直角三角形,故. 故中,,故. 因为四边形为平行四边形,所以. 所以二面角的大小为. 学科网（北京）股份有限公司 $