湖北省2026届高三十一校第二次联考数学试题

2026届高三三月月考数学试卷参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 0 10 11 B B D C B B 义 A AD ACD ABD 12.60 13. 1,n=1 3×4n-2,n≥2 14.(10,+∞) 15.解：(1)证明：设AD=a,则AB=2a,PD=2a 在△ABD中，根据余弦定理BD2=AD2+AB2-2AD·AB·cOS∠DAB, 将AD=Q,AB=2a,∠DAB=代入可得： BD2=a2+(2a2-2×a×2n×cosg=a2+4a2-4a2×3=3a2,所以BD=V3a 由此可得AD2+BD2=a2+3a2=4a2=AB2, 根据勾股定理逆定理可知AD1BD......·.. ……….3分 因为PD⊥底面ABCD,ADC底面ABCD,根据线面垂直的性质可知PD L AD 又因为PD∩BD=D,PD,BDc平面PBD,根据线面垂直的判定定理可知ADI平面PBD. 而PBc平面PBD,再根据线面垂直的性质可得AD⊥PB. ……….6分 (2)以D为原点，分别以DADB,DP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系. 由(1)知AD=a,BD=√3a,PD=2a, 则D(0,0,0),A(a0,0,B(0,√3a0),P(002a) 因为DA1平面PDB,所以DA=(QO,0)是平面PDB的一个法向量. 设平面PAB的法向量为元=（化，y,z), PA=(a,0,-2a,PB=0,V3a,-2a. 贤8用wa2-0 元.PB=0 令z=V3,则由ax-2az=0可得x=2V3,由V3ay-2az=0可得y=2, 所以元=(2W3,2,V√3). 10分 设平面PAB与平面PDB的夹角为B,则cos0= 1元DA AI 元·DA=2W3a,=,(2W32+22+(W3)2=V12+4+3=V19,DA=a 所以cos日= |2w3d=2w57 19a 19 .....12分 2026届高三三月月考数学试卷答案第1页（共4页) tan日=y2a ........13分 6 16.解(1)由条件知：sin2C+sin2B-sin2A=sin B sin C,由正弦定理知c2+b2-a2=bc, 所以cosA-+2=则A=专 2bc .6分 (2)设AD垂直于BC于D,BE垂直于AC于E,AD与BE交于垂心H, 则LABH=90°-∠BAE, 所以∠AHB=∠DHE=180°-∠C ...9分 在三角形ABH中用正弦定理： sAH=-2R COSA. AH AB sinC ...13分 所以品=二-mA=V点 15分 17.解：(1)设1号乘客坐在i号位上时，4号乘客坐在4号位的概率为P。 则P=P1+P2+P3, 1 P1=4' P2=×(（G+×)=君 4分 .6分 28 所以P=+后+ 7分 (2)随机变量X所有可能的取值为0,1,2,4..· ..9分 16 PX=4)=,= 4241 P心=2)=x+×+×1=号 42 11111 116 P收=1)=4×3×2+4×3×1+4×2=24 224 ……… ………….13分 所以00=会×4+号×2+品×1+×0=号 15分 2026届高三三月月考数学试卷答案第2页（共4页) 18.解：(1)f()=+x+1 (n+1)x2 令g(x)=nx+1-(n+1)x+1,则g(x)=(n+1)nx"-(n+1)=(n+1)(x-1), 而neN*且x>1,所以g(x)>0, 即g(x)在(1，+∞)上单调递增，g(x)>9(1)=0, 所以f(x)>0,即f(x)在(1，+)上单调递增， 所以f(x)>f(1)=0.. 4分 2)@n=1时，)=长-)-xf=g≥0， 所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，又f(1)=0, 则此时f(x)有且仅有1个零点 ……….6分 @m≥2时，闭在(0，月小于0，在（悟+上大于0， 即g()在0，月上单调递减。在（怎+上单调造啦。 又0=1>0.s0)=0且<1，则存在唯一的∈(0月9c)-0 即g(x)在(0，x)和(1，+∞)上大于0，在(x,1)上小于0， 所以f(x)在(0，x)上单调递增，在(xo,1)上单调递减，在(1，+∞)单调递增.·.8分 又x→0+时，f(x)→-∞，f(xo)>f(1)=0, 则f(x)在(0，xo)上存在唯一零点，在其余区间有且只有1这一个零点， 此时函数f(x)有且仅有2个零点. …….10分 综上所述，当n=1时，f(x)有且仅有1个零点： 当n≥2时，f(x)有且仅有2个零点， (3)令n=2,得(x2-)≥rx∈N). .....12分 再令上式中x=1+代入化简可得京>t+1)-n0. .15分 对上式进行累加即可得证 .....17分 2026届高三三月月考数学试卷答案第3页（共4页) 19.解：(1)设直线x=my+号联立 x=my+号 y2 2px 可得：y2-2pmy-p2=0, 由韦达定理可知：y1+y2=2pm,y1y2=-p2 则50A8=号0F以-y以=V4m2p2+4切2≥号，当且仅当m0时等号成立。 此时=则p=3,抛物线C:y2=6x… (2)(i)由于三角形OAB的外接圆过原点，则可设其方程为：x2+y2+Dx+Ey=0, 将其与抛物线方程联立： +P6y得：高4+)少2+=0 y2=6x 由于0，y1,y2,y3为方程的四个根，所以y4+(6D+36)y2+36Ey=y(y-y1)0y-y2)y-y3) 拆开比较等式两边y3的系数可得y3=-(y1+y2), ………8分 (ii)因为TF平分角ATB,由角平分线定理知：=A=判 TB FB y2l ……………....10分 且y1y2=-p2=-9, 所以 慢到6w2 66 (y1+y2)2-y+36(2y1+y2)2_y2-18)+36(4y+y2-36=+144y7-972 TB2 (0y1+y2)2-y2)+36(2y2+y1)2 (6y-18)+36(4y吃+y月-36)y1+144y2-972 …14分 化简即得：y9+144y1y3-972y7=y9+144y7y2-972y2 因式分解可得：(y-y)(y1+yy2+y2-972)=0, 此时，若y?=y吃，则A、B重合或者O、T重合，这都不符合题意，舍去； 所以y1+y经+yy3=972,即(y+y)=972+yy3=1053, 所以y1+y=3V117>18=2y1y2,这表示满足条件的A、B两点存在， 此时Tp-复+-2+-3 6 6 ………….17分 2026届高三三月月考数学试卷答案第4页（共4页）数学答题卡 姓 名 贴条形码区 准考证号 填涂样例 贴缺考标识 正确填涂■ 考生禁填！由监考老师填写。☐ 注1，答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定的位置贴好条形码。 意2.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用签字笔或钢笔答题：字体工装、笔迹清楚。 事3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在试题卷、草稿纸上答愿无效。 项4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。考试结束后，请将答题卡，试题卷一并上交。 选择题 1ABC©D 5AB网D 9AB©D 2AN®回©D回 6囚回©回 10 A B]C D 3 A]B]C]D] 7 A BCD 11AB][C]D] 4AB回© D可 8ANB☒D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 填空题 12 13 14. 请勿在此区域内作答 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 解答题 15.(本小题满分13分) D》 C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 16.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效湖北省2026届高三十一校第二次联考 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1.己知U={,2,3,4,5,6,7},A={2,4,S}，B={1,3,5,7，则A∩(CB)=() A.{5 B.{2,4} C.{1,3,7} D.{2,45,6 2.已知复数z满足：(z-1)2+1=0,则2=() A.1 B.√2 C.5 D.2 3.f(0)=0是f(x)为奇函数的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 4.若单位平面向量a,b的夹角为，向量ma+b,向量ma-b,则下列命愿为假命腹的是() A.Iml =Inl B.ma=1 C.m∥n D.m⊥n 5.已知变量x和变量y的一组成对样本数据为(x,y)=1,2,3,,8),其中元=昌其回归 直线方程为)=2x-子当增加两个样本数据(-1,5)和(2,9)后，重新得到的回归直线方程 斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据(4,10)所对应的残差为() (残差=观测值一预测值) A.2 B.-2 C.-1 D.1 6.己知函数f(xsin(a),当x∈[0,20]时，把f,的图像与直线y=的所有交点的横坐标依次 记为a1,a2,ag,…,an,记它们的和为Sn,则S=() A. B.9 c.9 D.2 7,已知点P为椭圆C:+若-1上任意一点，直线1过⊙M22-4+30的圆心且与⊙M交于 A,B两点，则PAP的取值范围是() A.[3,35] B.(3,35] C.[2,6] D.(2,6] 2026届高三三月月考数学试题第1页（共4页） 8.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点， Q为正方体ABCD-A1B1CD表面上的一动点（含边界），则下列说法中正确的是() A.三棱锥PA1DD外接球的表面积为41r 16 B.若D1Q∥平面A1PD,则动点Q的轨迹是一条线段 C.若PQL平面APD,则动点Q的轨迹的长度为 D.若DQ=V2,则动点Q的轨迹长度为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知双曲线C普-三-1b-0)的右焦点为R,直线：x+b0是C的一条渐近线，P是1上一点， 则() A.C的虚轴长为2V2 B.C的离心率为v6 C.PF的最小值为2 D.直线PF的斜率不等于- 2 10.将函数f(x)=sin(2x+o)(Ip水)的图像向左平移个单位得到函数gx)的图像，若gx)的图像与fx) 的图像关于y轴对称，则下列说法正确的有() A.- B.-4 C.gx)的对称轴过f(x)的对称中心 D.Vn∈[-]，自唯一的m∈[-]，使得fmg) 11.已知函数f(x)=e-ax2有三个零点x1,x2,x3（x1<x2<x3),则() A.若x1,X2,x3成等差数列，则x,x,x成等比数列 B.若好，x好，x好成等比数列，则x1,x2,x3成等差数列 C.若x1,x2,x3成等差数列，则数列x1,x2,x3的公差为2n(√2-1) D.若x,x场，x成等比数列，则数列x,x,x的公比为3+2V2 2026届高三三月月考数学试题第2页（共4页) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.某中学高三年级学生有1200人，在某次数学考试中，数学成绩X近似服从正态分布 N(120,c2).已知P(105<X≤120)=0.45，则本次考试数学成绩大于135分的人数约 为 13.已知数列{an}的前n项和为Sn,且√Sw+1=2√Sn,a1=l,则a,=一· 14.设x1,x2分别是f(x)=x一ax与g(x)=xlogx-1(a>1)的零点，则x1+9x2的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,底面ABCD为平行四边形， 且PD=AB=2AD,∠DAB=F (I)证明：AD⊥PB; (2)求平面PAB与平面PDB夹角的正切值. D B 16.(本小题15分) 锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c, 且满足sin2C+sin2B+cos2A=sin Bsin C+1. (1)求角A; (2②)设H为锐角三角形ABC的垂心，求号的值. 2026届高三三月月考数学试题第3页（共4页) 17.(本小题15分) 一辆汽车上有n个座位，编号是从1到n.现在编号为1到n的乘客依次上车，编号为1的 乘客比较顽皮，上了车后是随机等可能的选择座位坐下，编号为2的乘客上了车后会先看看 2号座位有没有人，如果有，那么他从剩下的空座位中随机等可能的选择座位坐下，如果2 号座位没有人，那么他就在2号座位坐下，编号为3号及后面的乘客的选择座位方式与2号 相同，即自己对应的号码座位上有人，则从剩下座位中随机等可能挑选座位坐下，如果自己 对应的号码座位上没有人，则坐在自己对应号码的座位上. (1)当n=4时，求4号乘客坐在编号4号座位上的概率P; (2)当=4时，设X为刚好坐在了自己座位上的乘客数（规定：编号为i的乘客坐在了编号 为i的座位上为坐在了自己的座位上)，求随机变量X的期望. 18.(本小题17分) 己知f)=(x”--nx,其中n∈N*. (1)求证：当x心1时，f(x)>0: (2)讨论n取不同值的时候，函数f(x)的零点个数； 3)证明：+2++P(+1)其中≥l,eN*) 19.(本小题17分) 己知抛物线Cy2-2px(p>0),F为其焦点，直线1过点F交抛物线C于A、B两点，若三角形 OAB面积的最小值为， (1)求p: (2)若三角形OAB外接圆与抛物线的最后一个交点为点T. ()设A(x1,y1),B(2,2),T(x3,y),证明：y3=-y1+y2). (词若TF平分∠ATB,求线段TF长度的所有可能取值. 2026届高三三月月考数学试题第4页（共4页)