湖北省黄冈中学等十一校2025-2026学年高三下学期第二次联考数学试题

湖北省2026届高三十一校第二次联考 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知U={L,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,B={,3,5,7},则An(CuB-() A.{5y B.{2,4} C.{1,37} D.{2,4,5,6 2.已知复数z满足：(2-1)+1=0，则2=() A.1 B.√2 C.5 D.2 3.f(0)=0是fx)为奇函数的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 4.若单位平面向量。，b的夹角为，向量ma+b,向量一，则下列命题为假命题的是() A.Iml =Inl B.ma=1 C.m∥n D.m⊥ 5.已知变量x和变量y的一组成对样本数据为(，y0=1,2,3,,8,其中元=其回归 直线方程为0=2x-子当增加两个样本数据(-1,5)和(2,9)后，重新得到的回归直线方程 斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据(4,10)所对应的残差为() (残差=观测值一预测值) A.2 B.-2 C.-1 D.1 6.己知函数f(x)-sin(a),当x∈[0,20]时，把f)的图像与直线y=的所有交点的横坐标依次 记为a1,a2,ag,,an,记它们的和为Sn,则Sn=()》 A50 B号 C. D.9 7.已知点P为椭圆C:元+片1上任意一点，直线1过⊙M2+y2-4+30的圆心且与⊙M交于 A,B两点，则P:P的取值范围是() A.[3,35] B.(3,35] C.[2,6] D.(2,6] 2026届高三三月月考数学试题第1页（共4页） 8.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1CD1中，P为棱BB1的中点， Q为正方体ABCD-A1B1C1D1表面上的一动点（含边界），则下列说法中正确的是() A.三棱锥PA1DD外接球的表面积为 B.若D1Q∥平面41PD,则动点Q的轨迹是一条线段 C.若PQ1平面A1PD,则动点2的轨迹的长度为号 D.若D1Q-V2,则动点Q的轨迹长度为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9已知双曲线C号兰-1b0的右焦点为R,直线：x+h=0是C的一条渐近线，P是1上一点， 则() A.C的虚轴长为2V2 B.C的离心率为√6 C.PF的最小值为2 D.直线PF的斜率不等于-号 10.将函数fx)-sin(2x+p)(p水)的图像向左平移个单位得到函数gx)的图像，若gx)的图像与fx) 的图像关于y轴对称，则下列说法正确的有() A.p=9 B.p-4 C.g)的对称轴过f)的对称中心D.n∈[-，]，自唯一的m∈[-云]，使得fm)g) 11.已知函数f(x)=e-a2有三个零点x1,x2,x3(x1<x2<x3),则() A.若x1,X2,x3成等差数列，则x,x,x成等比数列 B.若x行，x,x成等比数列，则x1,X2,3成等差数列 C.若x1,x2,x3成等差数列，则数列x1,x2,x3的公差为2n(2-1) D.若x好，x,x成等比数列，则数列x好，x,x的公比为3+2V2 2026届高三三月月考数学试题第2页（共4页) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.某中学高三年级学生有1200人，在某次数学考试中，数学成绩X近似服从正态分布 N(120,o2).已知P(105<X≤120)=0.45，则本次考试数学成绩大于135分的人数约 为一 13.已知数列{an}的前n项和为Sn,且√Sm=2√Sn,a1=l,则a,= 14.设x1,x2分别是f(x)=x一ax与g(x)=xlogax-1(a>1)的零点，则x1+9x2的取值范围是· 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,底面ABCD为平行四边形， 且PD=AB=2AD,∠DAB= (I)证明：AD⊥PB; (2)求平面PAB与平面PDB夹角的正切值 D C B 16.(本小题15分) 锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c, 且满足sin2C+sin2B+cos2A=sin B sin C-+1. 1)求角A: (②)设H为锐角三角形ABC的垂心，求”的值. 2026届高三三月月考数学试题第3页（共4页） 17.(本小题15分) 一辆汽车上有n个座位，编号是从1到n.现在编号为1到n的乘客依次上车，编号为1的 乘客比较顽皮，上了车后是随机等可能的选择座位坐下，编号为2的乘客上了车后会先看看 2号座位有没有人，如果有，那么他从剩下的空座位中随机等可能的选择座位坐下，如果2 号座位没有人，那么他就在2号座位坐下，编号为3号及后面的乘客的选择座位方式与2号 相同，即自己对应的号码座位上有人，则从剩下座位中随机等可能挑选座位坐下，如果自己 对应的号码座位上没有人，则坐在自己对应号码的座位上 (1)当m=4时，求4号乘客坐在编号4号座位上的概率P; (2)当一4时，设X为刚好坐在了自己座位上的乘客数（规定：编号为1的乘客坐在了编号 为i的座位上为坐在了自己的座位上)，求随机变量X的期望 18.(本小题17分) 己知f)-（-)-x,其中n∈N (1)求证：当x心1时，f)>0: (2)讨论n取不同值的时候，函数fx)的零点个数； (③)证明：+22++帝加1)其中≥1，teN*) 19.(本小题17分) 已知抛物线Cy2=2px(>0),F为其焦点，直线1过点F交抛物线C于A、B两点，若三角形 O4B面积的最小值为号， (I)求p: (2)若三角形OAB外接圆与抛物线的最后一个交点为点T. ()设A(x1,),B(x2,2),T(x3,),证明：y为=-0y1+y2). (若IF平分∠ATB,求线段TF长度的所有可能取值. 2026届高三三月月考数学试题第4页（共4页）2026届高三三月月考数学试卷参考答案 2 3 5 6 > 8 9 10 11 B B D C B A A AD ACD ABD 12.60 13. 1,n=1 3×4m-2,n≥2 14.(10,+0∞) 15.解：(1)证明：设AD=a,则AB=2a,PD=2a. 在△ABD中，根据余弦定理BD2=AD2+AB2-2AD·AB·cOS∠DAB, 将AD=a,AB=2a,∠DAB=写代入可得： BD2=a2+(2ay2-2×a×2 a x cos5=a2+4a2-4a2×=3a2,所以BD=V3a 由此可得AD2+BD2=a2+3a2=4a2=AB2, 根据勾股定理逆定理可知AD上BD.….3分 因为PD⊥底面ABCD,ADc底面ABCD,根据线面垂直的性质可知PD⊥AD, 又因为PDnBD=D,PD,BDc平面PBD,根据线面垂直的判定定理可知AD⊥平面PBD. 而PBc平面PBD,再根据线面垂直的性质可得AD⊥PB. …….6分 (2)以D为原点，分别以DA,DB,DP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系. 由(1)知AD=a,BD=√3a,PD=2a, Z 则D0,0,0),A(a,0.0),B(0.√3a,0),P0,0,2a 因为DA1平面PDB,所以DA=(a,O,O)是平面PDB的一个法向量. 设平面PAB的法向量为元=（化，y,z, D PA=(a,0,-2a,PB=(0.V3a,-2a 8阿220 令z=√3，则由ax-2az=0可得x=2√3，由V3ay-2az=0可得y=2, 所以元=(232，V3.…10分 设平面PAB与平面PDB的夹角为0，则cos0= MDA DAI 元.DA=23a,=, 2N32+22+N3)2=V12+4+3-√19，DA=a: 所以cos0= 12v3a 2√57 VIa 19 ….12分 2026届高三三月月考数学试卷答案第1页（共4页） tanB=y② 6 13分 16.解(1)由条件知：sin2C+sin2B-sin2A=sin BsinC,由正弦定理知c2+b2-a2=bc, 所以c0sA=42=则A=号 2bc (2)设AD垂直于BC于D,BE垂直于AC于E,AD与BE交于垂心H, 则∠ABH=90°-∠BAE, 所以∠AHB=∠DHE=180°-∠C. ....9分 在三角形ABH中用正弦定理：AB=m20BAH=2=2Rc0sA.13分 AH AB sinC 所以品=。=tanA=5.15分 17.解：(1)设1号乘客坐在i号位上时，4号乘客坐在4号位的概率为P 则P=P1+P2+P3: P1=4 P2=×(G+×)= 4分 P3=x对言 6分 所以P=++ 8 7分 (2)随机变量X所有可能的取值为0,1,2,4.9分 16 P(X=4)=4=24 P0=2)=×+x+x1= 111.11 116 P0X=1)=4××+×1+×=24 PCX=0)=x兮×六 …………13分 所以E0W=×4+号×2+会×1+六×0= 6 .15分 2026届高三三月月考数学试卷答案第2页（共4页） 18.解：(1)f()=+x+ (n+10x2 令g(x=nx+1-(n+1)x+1,则gr(x)=(n+1)nxn-(n+1)=(n+1)(nx"-1), 而n∈N*且x>1,所以g(x)>0, 即g(x)在(1，+∞)上单调递增，g(x)>g(1)=0, 所以f(x)>0,即f(x)在(1，+∞)上单调递增， 所以f(x)>f(1)=0..4分 (2)①n=1时，f=(x-)-xf=梁≥0， 所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，又f(1)=0, 则此时fx)有且仅有1个零点 6分 ②m≥2时，9在(0，周上小于0，在（很+上大于0， 即g的在(0，月上单调递减，在（怎+小上单词递增 又g0=1>0.9四=0且<1，则存在唯-的∈(0月60)=0， 即g(x)在(0，x)和(1，+∞)上大于0，在(x,1)上小于0， 所以f(x)在(0，xo)上单调递增，在(x,1)上单调递减，在(1，+∞)单调递增.·.8分 又x→0+时，fx)→-∞，f(xo)>f1)=0, 则f(x)在(0，xo)上存在唯一零点，在其余区间有且只有1这一个零点， 此时函数f(x)有且仅有2个零点….10分 综上所述，当n=1时，f(x)有且仅有1个零点： 当n≥2时，f(x)有且仅有2个零点. (3)令m=2,得号(x2-)≥mx(xeN). ……12分 再令上式中x=1+片代入化简可得·元>c+1)-m), 1 …15分 对上式进行累加即可得证.….17分 2026届高三三月月考数学试卷答案第3页（共4页） 19解：D设直线x=y+号联立三+号可得：-2pmy-产=0， l y2 =2px 由韦达定理可知：y1+y2=2pm,y1y2=-p2 则50a8=0F.M-y以=号4mn2+4切2≥号当且仅当m0时等号成立. 此时号=是则p=3,抛物线C:)2=6x ……4分 (2)(i)由于三角形OAB的外接圆过原点，则可设其方程为：x2+y2+Dx+Ey=0, 将其与抛物线方程联立： 2+t0x+y=0得：y+(g+)y2+By=0, y2=6x 由于0，y1,y2,y3为方程的四个根，所以y4+(6D+36)y2+36Ey=y0-y1)0y-y2)y-y3) 拆开比较等式两边y的系数可得y3=-y1十y2)......8分 ()因为T正平分角AB,由角平分线定理知：碧=给-器 ………。,,10分 且y1y2=-p2=-9, 所以 2_佳+60r (01+y22-yn2+36(21+22_0y2-18)+36(4y1+y2-36=经+1441-972 ě+0gr (0y1+y2)2-y2)'+36(2y2+y1)2 (y1-18)+36(4y3+y1-36) y1+144y5-972 ……14分 化简即得：y9+144yy2-972y1=y9+144yy3-972y3 因式分解可得：(y1-y)6y1+yy3+y-972)=0, 此时，若y=y,则A、B重合或者O、T重合，这都不符合题意，舍去： 所以y1+y2+yy3=972,即(y+y)2=972+yy=1053, 所以y+y3=3V117>18=2y1y2,这表示满足条件的A、B两点存在， 此时Tp=+号=+号=可3 6 2 …17分 2026届高三三月月考数学试卷答案第4页（共4页)