培优专题02 数列及其应用 4大重难题型（大题专练）（全国通用）2026年高考数学终极冲刺讲练测

培优专题02 数列及其应用 4大重难题型 参考答案 题型01 数列的通项公式问题 🎯命题方向一 定义法求数列的通项公式 1．【答案】（1）； （2）7. 【分析】（1）设等差数列首项为，公差为，将若，转化为关于的方程组，解出后得到通项公式. （2）由（1）写出前项和的表达式，代入不等式，解关于的一元二次不等式，结合 求出最小的. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则解得 所以. （2）结合（1）可知，，则等价于， 解得或，又，所以，故使成立的n的最小值为7. 2．【答案】（1） （2） 【分析】（1）先由结合等差数列通项公式求出公差，再将转化为关于首项的方程，解出后得到的通项公式. （2）由为等差数列，结合与等差数列通项形式，推导出的表达式，再代入，求解d. 【详解】（1）因为，所以，所以，所以， 所以.因为，所以， 所以，. 因为，所以，解得或， 因为，所以.所以的通项公式为. （2）因为，且为等差数列，所以，即， 所以，所以，解得或. ①当时，，所以， ，. 因为， 所以，即，解得或（舍去）. ②当时，，所以， ，. 因为，所以，即， 解得（舍去）或（舍去）. 综上，. 3．【答案】（1），； （2） 【分析】（1）设等差数列公差为，等比数列公比为，将已知条件， 转化为关于，的方程组，解出，后得到两个数列的通项公式。 （2）由（1）得到 的表达式，利用错位相减法求其前n项和. 【详解】（1）设公差为，公比为，，故，， ，故，联立，解得或（舍去）， 故，； （2），设数列的前项和为， 则，① ，② 两式①-②得， 所以. 🎯命题方向二 退位法求数列的通项公式 4．【答案】（1）证明见解析 （2） 【分析】（1）对已知递推式．进行变形，构造 与的关系，结合首项验证等比数列定义，完成证明. （2）先由（1）求出，再利用及得到，进而写出，最后用错位相减法求数列的前n项和． 【详解】（1）将两边同时加，得，       因为，所以是以3为首项，3为公比的等比数列； （2）由（1）知，即，       当时，， 当时，不符合上式， 故，所以，        当时， ， 由于当时也满足该式，因此． 5．【答案】（1）证明见解析 （2） 【分析】（1）利用再利用将已知递推式转化为关于的等式，再通过推导为常数，结合首项验证等差数列定义. （2）先由（1）求出与，对的进行裂项变形，再利用裂项相消法求前项和.【详解】（1）因为，所以， 当时，， 两式相减得，① 则，② ②①得，所以. 因为，又，所以当时，； 当时，，则，所以，满足， 所以，故数列为等差数列. （2）由（1）可知数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，， 则， 所以. 🎯命题方向三 累加法求数列的通项公式 6.【答案】（1）； （2）90. 【分析】（1）由递推式，利用累加法，将表示为等比数列与等差数列的求和，结合 求出通项公式. （2）由化简得等差数列，写出其前项和的的二次函数形式，根据二次函数性质或数列单调性求最大值。 【详解】（1）依题意，当时，，则 ，满足上式， 所以的通项公式为. （2）由（1）得，数列是递减等差数列， 由，得，则数列前10项均为非负数，从第11项起为负数， 而，因此数列前10项和与前9项和相等，都最大， 所以数列的前项和的最大值为. 7．【答案】（1）；； （2）证明见详解 （1）先由等比数列的首项及求出公比，得到；再利用求出，通过累加法结合求出；最后用错位相减法求的前n项和； （2）将 代入​，对进行裂项变形，利用裂项相消法求出，再放缩证明. 【详解】（1）设等比数列的公比为，首项，， 所以，，， 又因为，所以， 令，，又有， 则有 ， 所以， 又因为数列的各项均为正数，所以， 令， 所以①， ②， 由①—②有： ， （2）因为， 所以. 🎯命题方向四 累乘法求数列的通项公式 8．【答案】（1）， （2）证明见解析 【分析】（1）先由等差数列的首项与公差，写出其通项公式，结合推导出的表达式，再用累乘法求出的通项公式； （2）由（1）得 ​，对其进行裂项变形，利用裂项相消法求出前项和，最后通过放缩证明不等式成立. 【详解】（1）法一：因为，所以，又是公差为的等差数列， 所以.因为当时，， 所以，所以，整理得， 所以， 所以， 又也满足上式，所以，则， 所以， 又也满足上式，所以. 法二：因为，所以，又是公差为的等差数列， 所以，所以. 因为当时，，所以， 所以， 所以， 所以， 又也满足上式，所以. （2）因为，所以， 所以. 9．【答案】（1） （2）证明见详解. 【分析】由递推式变形得，利用累乘法结合首项求出通项公式； （2）由（1）得​，通过放缩后裂项，再用裂项相消法求和，证明. 【详解】（1）因为，所以， 即，将上述个式子相乘得， 所以，当时，成立，故. （2）由（1）得，所以， 所以，即. 10．【答案】（1） （2） 【分析】（1）先由等差数列的首项与公差，写出其通项公式，得到的表达式，再用累乘法求出的通项公式； （2）将 代入​，对进行裂项变形，利用裂项相消法求出前项和，，分析的单调性，由恒成立，得到的取值范围. 【详解】（1）由可知. 由题设条件可知，所以， 当时，， 所以. 当时，满足，故的通项公式为. （2）由（1）可知， 所以 . 则. 🎯命题方向五 构造求数列的通项公式 11．【答案】 （1）证明见解析 （2） 【分析】（1）将，代入递推式，整理得到​与的倍数关系，结合首项验证等比数列定义，完成证明； （2）由（1）得到的通项，反解出，将项和拆分为等比数列与等差数列的和，分别求和后合并得到 ． 【详解】（1）因为，所以， 所以，即，又， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列 （2）由（1）可得，所以， 所以前项和 12．【答案】（1） （2） 【分析】（1）对递推式变形，构造新数列，证明其为等比数列，进而求出 的通项公式； （2）将 代入​​，化简后利用裂项相消法或错位相减法求前项和． 【详解】（1）因为，且易知， 所以，所以，所以． 因为，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列， 所以，所以． （2）因为， 所以． 13.【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）证明见解析. 【分析】（1）根据题设条件化简，结合等比数列的定义即可证明； （2）由（1）求得数列的通项公式，再求即得； （3）将（2）中得到的的通项代入求得，化简后利用数列的单调性即可得证. 【详解】（1）由得，则， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）得,解得：. （3） 令，， 因为在上单调递增，则 所以数列在上单调递减，从而数列在上单调递增，且， 故得. 题型02 数列的前n项和问题 🎯命题方向一 分组求和法求数列的前项和 1.【答案】（1）. （2）300. 【分析】（1）根据递推式计算，，再由 ，结合奇偶项递推关系，证明 是等差数列，进而求出其通项公式； （2）将前 20 项和拆分为奇数项和与偶数项和，分别利用等差数列求和公式计算，再合并得到结果. 【详解】（1）因为2n为偶数，所以，， 所以，即，且， 所以是以2为首项，3为公差的等差数列， 所以，，. （2）当n为奇数时，，所以的前20项和为 . 由（1）可知，， 所以的前20项和为. 2．【答案】（1），证明见解析 （2） 【分析】（1）利用等差数列通项公式，由，求出公差，得到的通项；将代入，​+an​，构造数列，证明其为等比数列； （2）由（1）得的通项，进而得到​，将前项和.拆分为等差数列与等比数列的和，分别求和后合并. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，， 得，解得.所以. 由得，即， 又，所以是一个以4为首项，3为公比的等比数列. （2）由（1）可得，所以.所以. 所以. 3.【答案】（1）； （2） 【分析】（1）利用与的关系可求数列的通项公式，当时，由已知可得，两式相除可求数列的通项公式； （2）结合（1），利用分组求和法可求数列的前100项和． 【详解】（1）令，则，， 当时，，也符合上式，∴； 当时，由，可得， 两式相除可得，也符合上式，∴． （2）），，，…，， ，，，…，， 将数列和数列各取前100项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数只取一次， 则，，…， ，，，…，， ∴ ． 🎯命题方向二 裂项相消法求数列的前项和 4. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据关系即可作差求解； （2）利用裂项相消法求和即可得解. 【详解】（1）当时，，当时，， 当时，也符合，所以. （2）由（1）可得， 5 .【答案】（1），，，. （2）. 【分析】（1）根据，，通过等比数列定义求出公比，代入等比数列通项公式求出，再根据作差法求出在时，，验证当时，符合该式，即可求出； （2）利用裂项相消的方法求出即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为，则，所以，， 因为，当时，， 两式相减得，则时，； 当时，由得，解得符合该式；所以，. （2）由于， ，所以. 6.【答案】（1）； （2）. 【分析】（1）由.知是首项为 1、公差为的等差数列，先求​​，再得； （2）由求​，将 裂项后，按奇偶性用裂项相消法求和. 【详解】（1）因为，且，可知数列是以首项为，公差为的等差数列， 则，所以. （2）由（1）可知：，当时，则， 且符合上式，所以，可得， 设数列的前n项和为， 则， 所以数列的前n项和为. 7.【答案】（1）证明见解析 （2） 【分析】（1）对递推式变形，证明的后项减前项为常数，结合首项验证其为等差数列； （2）由（1）得，将 裂项后，用裂项相消法求前n项和. 【详解】（1）根据题意，令， 当时，， ，所以， 且，则， 所以数列是首项为，公差为的等差数列； （2）根据（1）可得，所以， 则， 所以 . 8 .【答案】（1）证明见详解 （2） 【分析】（1）由 及 ，变形得，结合首项 ，证明为等差数列； （2）由（1）得 ，进而求出​，将 裂项后，用裂项相消法求前项和． 【详解】（1）由得：， 即， 所以， 又，所以，所以数列是以首项为2，公差为2的等差数列. （2）由（1）知数列是以首项为2，公差为2等差数列， 所以， 当时，， 当时，满足条件，所以， 所以， 所以. 9.【答案】（1） （2） 【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，利用 和列方程组，解出​ 与 ，进而得到通项公式。 （2）将 代入，化简后裂项，再用裂项相消法求前项和. 【详解】（1）数列为等差数列，设首项为，公差为对恒成立， 必有，所以，解得 所以 即数列的通项公式为. （2） . 10.【答案】（1） （2）（i）证明见解析，；（ii） 【分析】（1）分、两种情况结合等差数列的求和公式求解即可； （2）（i）结合题设及与的关系可得，即可求证，再求解通项公式即可； （ii）先得到，再结合分组求和、裂项相消法求解即可 【详解】（1）当时，； 当时，， 显然满足上式，则. （2）（i）由， 当时，，即； 当时，，则， 即，则，即， 所以数列是以为首项，以2为公差的等差数列， 则，即. 由（1）知，， 由（i）知，， 则 ， 所以 . 🎯命题方向三 错位相减法求数列的前项和 11．【答案】（1）证明见解析 （2） 【分析】（1）对递推式变形，得到 ，结合首项，证明为等差数列； （2）由（1）得，对求导后代入，得到等差乘等比型数列求和，用错位相减法计算最终结果. 【详解】（1）两边同时乘，得， 又，所以是首项为3，公差为1的等差数列. （2）由（1）可知数列的通项公式为， 又， 故， 所以. 两式相减，得， 所以. 12．【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用 与 作差，结合正项数列条件，证明是首项为 1、公差为1的等差数列，进而得到的通项公式； （2）将 代入 ​，此为等差乘等比型数列，用错位相减法求前n项和． 【详解】（1）由，当时，， 则，即， 所以，即， 由数列为正项数列，所以，从而有，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，． （2）由（1）知，所以， ，则， 从而， 即， 所以. 13．【答案】（1） （2） 【分析】（1）由 可知是等差数列，设公差为 d，结合，与 列方程，求出首项和公差，进而得到通项公式； （2）由（1）得 ，代入 ​，得到为等差乘等比型数列，用错位相减法求前n项和． 【详解】（1）因为，所以数列为等差数列， 设数列的公差为d，且，则，解得， 又，所以，即， 则，解得，所以； （2）由（1）可知，，所以， 则， 两式相减可得：， 即， 化简可得：. 14. 【答案】（1）， （2）． 【分析】（1）利用并验证 ，求出的通项；再由已知求出等比数列的首项与公比，进而得到其通项。 （2）为等差乘等比型数列，采用错位相减法求前项和. 【详解】（1）当时，， 当时，， 也满足，所以． 因为，所以的公比， 所以． （2）由（1）可知， 所以①， ② 两式相减，得， 所以． 题型03 数列与不等式的综合应用 🎯命题方向一 数列与不等式的证明 1．【答案】（1） （2）证明见解析 【分析】（1）利用等差数列前项和公式与的分段定义，列方程组求出的首项和公差，得到通项； （2）分别写出 和 的表达式，通过作差比较，证明当时，. 【详解】（1）设等差数列的公差为d.因为， 所以，，. 因为，，所以， 整理得，解得，所以的通项公式为. （2）由（1）知，所以. 当n为奇数时， . 当时，， 所以. 当n为偶数时， . 当时，，所以. 综上可知，当时，. 2．【答案】（1） （2）证明见解析 【分析】（1）利用与 作差，结合正项数列条件，证明是等差数列，进而求出通项公式； （2）由递推关系累乘得到的表达式，将其裂项后求和，通过放缩证明不等式成立. 【详解】（1）当时，可得， 当时，，.作差可得， 因为是正项数列，所以，即数列为等差数列，所以. （2）由题可得， 所以，又， 所以， 又也满足上式， 所以， 3. 【答案】（1）证明见解析， （2）证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的概念证明，结合等差数列通项公式求； （2）利用裂项相消法求和即可证明． 【详解】（1）， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列， 所以； （2）， ． 4.【答案】（1） （2）证明见解析 【分析】（1）使用等差中项性质即可求解； （2）使用累加法求得的通项公式，再使用裂项相消即可得证. 【详解】（1）设，则， 因为是等差数列，即是等差数列， 则有，即，解得. （2）由（1）知，，则公差为2，首项为6， 则，即， 当时， 将各式相加，得， 即，即，而满足上式， 因此，， 则， 因为，则，则，得证. 🎯命题方向二 数列与不等式的恒成立或能成立问题 5．【答案】（1）； （2）6. 【分析】（1）利用等差数列前n项和公式及等比中项性质，联立方程求出首项与公差，得到通项公式； （2）写出与的表达式，解不等式，求出满足条件的最小正整数n. 【详解】（1）设等差数列的公差为，首项为， 由题意可得，化简得， 解得，，所以. （2）由（1）可知. 由，得，即，即，解得或. 因为，所以n的最小值是6. 即使成立的n的最小值为6. 6．【答案】（1） （2） 【分析】由得，再写出时的式子作差，整理后证明是等差数列，进而求出通项公式； （2）根据的分段定义，分为奇数、偶数分别求出 ​，再将不等式 恒成立问题转化为求的最小值，从而确定的取值范围. 【详解】（1）因为，即：．① 当时，，又，所以． 当时，，② 由①－②整理得：．整理得， 由累乘法得：，代入比值：， 当时，，符合上式， 所以数列的通项公式为． （2）当为偶数时， ， 所以，为偶数，由恒成立，得， 是偶数，当时，有最小值，所以； 当为奇数时，为偶数， ， 所以，为奇数， 由恒成立，得， 又在上单调递增， 所以当时，有最小值1，所以． 综上，实数的取值范围是 7. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）由 ，写出时的式子作差，得到与的递推关系，证明是等比数列，进而求出通项公式； （2）将代入​，裂项后求；再求出的表达式，根据 ，对任意恒成立，分别求 ​ 的上确界和 的下确界，从而确定的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 当时，，所以，即， 则是首项为1，公比为3的等比数列，所以的通项公式为． （2）由（1）可得， 所以， 因为，， 所以t的取值范围为． 题型04 数列与其他模块知识的创新交汇问题 🎯命题方向一 数列与集合的融合创新 1. 【答案】（1）， （2） 【分析】（1）根据求出通项公式； （2）在第一问基础上得到，，，根据求出，，求出等差数列的公差，及通项公式，从而求出. 【详解】（1）由，得： 当时，， 当时，符合上式， 所以数列是首项为1，公差为3的等差数列.故，； （2）因为，，∴， 又∵，其中是中的最小元素，∴， ∵的公差是3的倍数，∴. 又∵，∴，解得：，所以， 设等差数列的公差为d，则，所以， 所以的通项公式为. 因此数列的前n项和. 🎯命题方向二 数列与复数的交汇问题 2．【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【分析】（1）由复数递推式，展开后分离实部与虚部，得到的递推关系，进而求出通项公式； （2）由虚部的递推式，变形得到的递推关系，取对数后证明是等比数列； （3）利用（2）的结论，将乘积转化为指数形式，结合等比数列求和公式计算结果。 【详解】（1）因为，故 ， 而，均为实数，故， 而，，均为实数，故，故. （2）由（1）可得，故，， 所以，因为，故， 故，而， 故数列为等比数列，且首项为，公比为. （3）由（2）可得，故， 故. 🎯命题方向三 数列与三角的交汇问题 3. 【答案】（1）， （2） （3）证明见解析 【分析】（1）先由求出 ，进而得到​，算出；再由求出​，得到​，算出​； （2）利用 ​，结合已知的与表达式，消去，得到的递推关系，进而求出通项公式； （3）由的表达式，结合的放缩，利用等比数列求和公式证明不等式。 【详解】（1）由，，得，故， 由，，得，故 （2）由， 得，又， 所以 两边同时乘以得， 由得，即， 于是，又得， 所以，所以， 经验证也符合，所以； （3）构造函数，则， 所以在单调递减，且，， 由零点存在定理，存在唯一的，使得， 则当时，；当时，； 故在上单调递增，在上单调递减， 又，所以 所以当时，， 所以当时，， 所以当时，， 当时，． 当n＝1，n＝2时，不等式成立. 🎯命题方向四 数列与概率统计交汇问题 4．【答案】（1）， （2）证明见解析 （3）1 【分析】（1）初始状态甲盒有1个白球，第一次操作分四种取球情况，计算得 ​，； （2）由状态转移得到与的关系，结合，整理后证明是公比为的等比数列； （3）数学期望，结合（2）的结论化简求值. 【详解】（1）初始时甲、乙两盒均装有 1 个白球和 1 个黑球，第一次操作时，从两盒中各取一球交换，共有 4 种等可能情况： 甲取白、乙取白：交换后甲盒白球数为 1； 甲取白、乙取黑：交换后甲盒白球数为 0； 甲取黑、乙取白：交换后甲盒白球数为 2； 甲取黑、乙取黑：交换后甲盒白球数为 1。 故 （2）记 ，则 ， 由全概率公式得：， ， 所以， ， 由 （1） 和（3）知 ，结合初始值 ， 可得对任意 有 ，代入中，得：， 将（4） 代入（2）式得： ， 整理得，即：，又， 所以数列是公比为的等比数列. （3）由题意知：的取值为：， 分布列为： 0 1 2 ，由 （2） 知 ，因此. 🎯命题方向五 数列与函数、导数的交汇问题 5 .【答案】（1）证明见解析； （2）. 【分析】（1）对递推式变形，两边同乘 ​，得到，结合首项 ，证明是等差数列是等差数列； （2）由（1）得 ，代入后求导，在处转化为等差乘等比型数列求和，用错位相减法计算结果. 【详解】（1）对任意的，， 等式两边同时除以得，即， 又，所以是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）知，所以， 因为，则， 对任意的，， 所以. 6．【答案】（1） （2） 【分析】（1） 将拆分为等比数列与等差数列，分别用等比数列、等差数列前 项和公式求和后相加； （2）先求在 处的导数得到切线斜率，写出切线方程，令求出截距；再将 拆分为等比数列与等差乘等比型数列，分别求和后得到​. 【详解】（1）因为，所以 . （2），直线的方程为， 令，得， 所以， 令数列的前项和为，则 ， ， 两式相减得，故， 又数列的前项和为， 所以数列的前项和. 7. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【分析】（1）由题意结合错位相减法以及等比数列求和公式即可得解； （2）求导得函数在上是增函数，结合零点存在定理即可得证； （3）一方面由结合上单调递增可得，即；另一方面通过放缩、以及裂项相消可得，由此即可得证. 【详解】（1）若，，则， 则， ， ， ； （2），， 故函数在上是增函数． 由于，当时，，即． 又， ， 根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的，满足． （3）对于任意，由中构成数列，当时， ， ． 由在上单调递增，可得，即， 故数列为减数列，即对任意的、，． 由于，，  ，， 用减去并移项，利用，可得 ． 综上可得，对于任意，由中构成数列满足． 8．【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）先由数列递推关系求出，得到 ；求导找极值点，判断单调性后求出极大值； （2）将不等式转化为 ；分别求在上的最大值和 在 上的最大值，代入解出的范围； （3）先由数列递推式求出，化简 ​，得到​；用错位相减法求前项和 . 【详解】（1）由（），则， 所以函数，则， 令，解得，或， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以时，有极大值，极大值为； （2）因为，，使得成立， 所以， 由（1）知时，， 由，则， 令，解得，或． 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 当时，取得最大值，即，故，解得， 所以； （3）因为①，则，且②， ①②得（），则， 即，其中的指数为个2相乘， 因为，所以， 当时，，所以数列的通项公式为， 当时， ， 令，则，① 两边同乘得，，② ①②得，化简得：， 令， 法一：，① 两边同乘得，，② ①②得： ，所以， 法二：因为（）， 将上式两边求导得， 两边同乘， 将上式两边求导得： 两边同乘： 即， 令，则， 所以，所以，当时，，满足上式，所以. 21 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专题02 数列及其应用 4大重难题型 💎题型 01 数列的通项公式问题 命题方向一 定义法求数列的通项公式 命题方向二 退位法求数列的通项公式 命题方向三 累加法求数列的通项公式 命题方向四 累乘法求数列的通项公式 命题方向五 构造求数列的通项公式 💎题型 02 数列的前 n 项和问题 命题方向一 分组求和法求数列的前项和 命题方向二 裂项相消法求数列的前项和 命题方向三 错位相减法求数列的前项和 💎题型 03 数列与不等式的综合应用 命题方向一 数列与不等式的证明 命题方向二 数列与不等式的恒成立或能成立问题 💎题型 04 数列与其他模块知识的创新交汇问题 命题方向一 数列与集合的融合创新 命题方向二 数列与复数的交汇问题 命题方向三 数列与三角的交汇问题 命题方向四 数列与概率统计交汇问题 命题方向五 数列与函数、导数的交汇问题 题型01 数列的通项公式问题 抓关键·破难点 一、退位相减法： ◎适用于递推关系中含有与的形式 （1）退位：仿照写出. （2）相减求：将与的表达式代入中化简计算，得到. （3）验证：验证时的情况，若符合，则通项公式成立；若不符合，则要将通项公式写成分段形式. 二、构造法 ◎适用于形如的递推公式求通项. ①若为常函数：可构造为待定系数）. ②若为一次函数，可构造为待定系数）. ③若为①②外的其他函数类型，可将等式两边同时除以，转化为，令， ，原式转化为，结合累加法求出，进而求得. 三、不动点法 ◎适用于形如为参数，的递推公式求通项. ①求不动点：，， 令，即，令此关于的一元二次方程的两个根分别为. ②构造特殊数列：若，则有为参数），构造等差数列；若，则有为参数），构造等比数列. ③求通项：利用公式法求新构造数列的通项公式，进而得到. 刷经典·通方法 🎯命题方向一 定义法求数列的通项公式 1．（2021·新高考Ⅱ卷）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若，. （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的n的最小值. 2．（2023·新课标Ⅰ卷）设等差数列的公差为，且，令，记，分别为数列，的前项和. （1）若，，求的通项公式； （2）若为等差数列，且，求d. 3．（2026·安徽合肥模拟预测）已知是等差数列，是等比数列，且，，． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和． 🎯命题方向二 退位法求数列的通项公式 4．（2026·甘肃陇南·二模）记数列的前n项和为，已知． （1）证明：为等比数列； （2）设，求数列的前n项和． 5．（2026·河北保定模拟·预测）记数列的前项和为，已知. （1）证明：数列为等差数列； （2）求数列的前项和. 🎯命题方向三 累加法求数列的通项公式 6.（2026·山东滨州检测训练）在数列中，. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和的最大值. 7．（2026·四川德阳模拟·预测）已知数列和首项为2的等比数列的各项均为正数，若，，且. （1）求和的通项公式和的前n项和； （2）若数列的通项公式满足，设为的前n项和，求证:. 🎯命题方向四 累乘法求数列的通项公式 8．（2022·新高考Ⅱ卷）记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列. （1）求的通项公式； （2）证明：. 9．（2026·江西福州阶段检测）已知数列的首项，且. （1）求数列的通项公式： （2）若数列的前项和为，证明：. 10．（2026·河北沧州质量检测）在数列中，是公差为1的等差数列. （1）求的通项公式； （2）设为数列的前项和，若对任意，总有，求的取值范围. 🎯命题方向五 构造求数列的通项公式 11．（2026·石家庄第一中学·一模）已知数列满足，且． （1）若，证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项和． 12．（2026·河北秦皇岛阶段检测）在数列中，已知，且满足． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 13.（2025·高考综合改革适应性·演练）已知数列中， （1）证明：数列为等比数列； （2）求的通项公式； （3）令，证明:． 题型02 数列的前n项和问题 抓关键·破难点 ◎高分技法一、分组求和法 ①适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论． ②常见类型： 分组转化法：若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列： 奇偶并项求和：通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列． ◎高分技法二、裂项相消法 ①识别：观察待求和式子是否满足分式型、指数型、根式型等结构. ②裂项：利用裂项技巧裂项，检验裂项后的式子是否需要“配凑”系数才能保证裂项前、后的式子等价. ③相消：明确正、负相消时，是从哪一项开始消去的，消去多少项，留下了多少项，一般前面留下了几项，后面相应留下几项。 -----------------------考场必备的5大裂项技巧-------------------------- ◎高分技法三、错位相减法 ①识别：数列各项由公差为的等差数列和公比为的等比数列对应项之积构成. ②展开：---------------① ③乘公比：--------② ④错位相减：得. ⑤求和：. 刷经典·通方法 🎯命题方向一 分组求和法求数列的前项和 1.（2021·新高考Ⅰ卷）已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和. 2．（2026·湖南邵阳第二次联考）已知数列是等差数列，且，，数列满足，. （1）求的通项公式，并证明数列是等比数列； （2）若数列满足，求的前项和. 3.（2026·内蒙古包头市·一模）数列的前n项和，数列满足，． （1）求数列，的通项公式； （2）将数列和数列各取前100项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数只取一次，求数列的前100项和． 🎯命题方向二 裂项相消法求数列的前项和 4. （2026·黑龙江哈尔滨第三中学·一模）已知数列的前项和为. （1）求的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 5 .（2026·广东深圳市第一次调研）已知数列是等比数列，，，数列满足：. （1）求，的通项公式； （2）求数列的前项和. 6.（2026·河北唐县第一中学·一模） 已知数列的前n项和为，且，. （1）求； （2）若，求数列的前n项和. 7.（2026·辽宁抚顺·一模）已知数列满足，且对任意的正整数，当时，都有． （1）证明：数列是等差数列； （2）设，求数列的前项和． 8 .（2026·辽宁名校联盟·二模）已知数列的前n项和为，，且． （1）证明：数列为等差数列； （2）记，求数列的前项和． 9.（2026·安徽江南十校检测）已知等差数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2））若，求数列的前项和. 10.（2026·山东聊城·一模）已知数列满足. （1）求的前n项和； （2）记数列的前n项和为，若． （i）证明数列为等差数列，并求出的通项公式； （ii）求数列的前n项和． 🎯命题方向三 错位相减法求数列的前项和 11．（2025· 全国高考一卷）已知数列中，，. （1）证明：数列为等差数列； （2）给定正整数m，设函数，求. 12．（2026·四川成都石室中学二模））已知正项数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 13．（2026·河南九师联盟模拟预测））已知数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）数列满足，求数列的前n项和． 14. （2026·陕西榆林一模）已知数列的前n项和，等比数列满足，． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前n项和． 题型03 数列与不等式的综合应用 抓关键·破难点 高考对数列解答题的考查偏重于综合性，其中数列不等式的证明是数列模块中的难点。当数列结构复杂时，不能直接求和，要对通项进行预放缩后才能利用求和公式，进而证明不等式.因此，放缩的思想就是通过放缩将不能求和的数列变成可以求和的数列. 一、数列不等式放缩法的类型 序号 放缩法类型 具体操作 ① 分式放缩 对于 “分式” 型不等式，将代数式中的分母或分子 “扩大” 或 “缩小”，放缩成等比数列的形式，再利用等比数列求和公式化简，进而得以证明 ② 不等式放缩 利用基本不等式或其他重要不等式对 “和”“积”“倒数和”“平方和” 等放缩。 ③ 添项或去项放缩 在不等式的两边同时 “加上” 或 “减去” 某一项实现放缩 ④ 拆项放缩 对一些比较复杂的代数式 “拆开” 再重新组合，可以消去一些项，从而简化运算（如裂项相消） 二、数列不等式的6大放缩实例 ① ② ， ③ ④ ⑤ ⑥ ， 刷经典·通方法 🎯命题方向一 数列与不等式的证明 1．（2023·新课标Ⅱ卷）已知为等差数列，.记，分别为数列，的前n项和，若，. （1）求的通项公式； （2）证明：当时，. 2．（2026·锡林郭勒盟检测）记为正项数列的前项和，已知. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，，求证：. 3. （2026·重庆名校联盟第一次·联考）已知数列的前项和为，若，且． （1）证明：为等差数列，并求． （2）若，数列的前项和，求证：． 4.（2026·湖北武汉3月·调研）在数列中，，，，且是等差数列. （1）求； （2）证明： 🎯命题方向二 数列与不等式的恒成立或能成立问题 5．（2026·贵州黔东南模拟·预测）已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列. （1）求的通项公式； （2）求使成立的n的最小值. 6．（2026·湖北孝感·二模）已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为． （1）求数列的通项公式； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 7. (2026·福建名校联盟·开学考试)记数列的前n项和为，已知． （1）求的通项公式； （2）设，记数列的前n项和为，若，，求t的取值范围． 题型04 数列与其他模块知识的创新交汇问题 抓关键·破难点 数列是以正整数为自变量的一类特殊函数，因此数列创新问题常与解析几何、函数、概率等模块交汇考查。与解析几何交汇，能依托数的本质属性与形的几何特征；与函数交汇，能放大数列的函数特征；与概率交汇，能彰显数列工具的妙用。这些问题以数列为核心，常出现在解答题中，明确问题属于哪个知识主体、运用相应主体模块是解题关键。 创新交汇1：交汇函数 定位主体：需要分析切线、单调性、极值时，主体为函数，要充分运用导数工具；根据函数图象上的点列建立坐标之间的递推关系时，主体为数列。 创新交汇2：交汇概率 定位主体：需要求概率值、分布列、期望时，主体为概率；根据实际情境分析出各个情况下概率的递推关系后，需要求具体期望值时，主体为数列。 刷经典·通方法 🎯命题方向一 数列与集合的融合创新 1. （2026·广东东莞3月质量·检测）已知数列的前n项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）设集合，，等差数列的任一项，其中是中的最小元素，，求数列的前n项和. 🎯命题方向二 数列与复数的交汇问题 2．（2026·山东青岛3月·调研）设为复数数列，，，记的实部为，虚部为． （1）求数列的通项公式； （2）证明：数列为等比数列； （3）求． 🎯命题方向三 数列与三角的交汇问题 3. （2026·湖北随州·二模）已知数列和，为数列的前n项和，，且，． （1）求； （2）求数列的通项公式； （3）求证：． 🎯命题方向四 数列与概率统计交汇问题 4．（2026·广东茂名第一次·综合测试）已知甲､乙两个盒子均装有1个白球和1个黑球，现进行如下操作：从这两个盒子中各取1个球放入对方的盒子中.重复这样的操作，第次操作后甲盒中白球的个数记为. （1）求； （2证明：是等比数列； （3）求的数学期望. 🎯命题方向五 数列与函数、导数的交汇问题 5 .（2026·江苏南京师范大学附属中学G4·联考）数列中，，，. （1）证明：是等差数列； （2）设，求. 6．（2026·河南开封高级中学第一次·调研）已知函数. （1）若数列，求数列的前n项和； （2）已知函数在处的切线为直线，直线在y轴上的截距为，求数列的前n项和. 7. （2026·江苏南京市六合区名校联盟第一次·调研）设，，为数列的前项和，令，，． （1）若，求数列的前项和； （2）求证：对，方程在上有且仅有一个根； （3）求证：对，由（2）中构成的数列满足． 8．（2026·云南红河州、文山州·模拟预测））已知数列满足（），且，函数． （1）求函数的极大值； （2）若，，，使得成立，求的取值范围； （3）若，求的前项和． 6 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专题02 数列及其应用 4大重难题型 💎题型 01 数列的通项公式问题 命题方向一 定义法求数列的通项公式 命题方向二 退位法求数列的通项公式 命题方向三 累加法求数列的通项公式 命题方向四 累乘法求数列的通项公式 命题方向五 构造求数列的通项公式 💎题型 02 数列的前 n 项和问题 命题方向一 分组求和法求数列的前项和 命题方向二 裂项相消法求数列的前项和 命题方向三 错位相减法求数列的前项和 💎题型 03 数列与不等式的综合应用 命题方向一 数列与不等式的证明 命题方向二 数列与不等式的恒成立或能成立问题 💎题型 04 数列与其他模块知识的创新交汇问题 命题方向一 数列与集合的融合创新 命题方向二 数列与复数的交汇问题 命题方向三 数列与三角的交汇问题 命题方向四 数列与概率统计交汇问题 命题方向五 数列与函数、导数的交汇问题 题型01 数列的通项公式问题 抓关键·破难点 一、退位相减法 ◎适用于递推关系中含有与的形式 （1）退位：仿照写出. （2）相减求：将与的表达式代入中化简计算，得到. （3）验证：验证时的情况，若符合，则通项公式成立；若不符合，则要将通项公式写成分段形式. 二、构造法 ◎适用于形如的递推公式求通项. ①若为常函数：可构造为待定系数）. ②若为一次函数，可构造为待定系数）. ③若为①②外的其他函数类型，可将等式两边同时除以，转化为，令， ，原式转化为，结合累加法求出，进而求得. 三、不动点法 ◎适用于形如为参数，的递推公式求通项. ①求不动点：，， 令，即，令此关于的一元二次方程的两个根分别为. ②构造特殊数列：若，则有为参数），构造等差数列；若，则有为参数），构造等比数列. ③求通项：利用公式法求新构造数列的通项公式，进而得到. 刷经典·通方法 🎯命题方向一 定义法求数列的通项公式 1．（2021·新高考Ⅱ卷）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若，. （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的n的最小值. 【答案】（1）； （2）7. 【分析】（1）设等差数列首项为，公差为，将若，转化为关于的方程组，解出后得到通项公式. （2）由（1）写出前项和的表达式，代入不等式，解关于的一元二次不等式，结合 求出最小的. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则解得 所以. （2）结合（1）可知，，则等价于， 解得或，又，所以，故使成立的n的最小值为7. 2．（2023·新课标Ⅰ卷）设等差数列的公差为，且，令，记，分别为数列，的前项和. （1）若，，求的通项公式； （2）若为等差数列，且，求d. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）先由结合等差数列通项公式求出公差，再将转化为关于首项的方程，解出后得到的通项公式. （2）由为等差数列，结合与等差数列通项形式，推导出的表达式，再代入，求解d. 【详解】（1）因为，所以，所以，所以， 所以.因为，所以， 所以，. 因为，所以，解得或， 因为，所以.所以的通项公式为. （2）因为，且为等差数列，所以，即， 所以，所以，解得或. ①当时，，所以， ，. 因为， 所以，即，解得或（舍去）. ②当时，，所以， ，. 因为，所以，即， 解得（舍去）或（舍去）. 综上，. 3．（2026·安徽合肥模拟预测）已知是等差数列，是等比数列，且，，． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1），； （2） 【分析】（1）设等差数列公差为，等比数列公比为，将已知条件， 转化为关于，的方程组，解出，后得到两个数列的通项公式。 （2）由（1）得到 的表达式，利用错位相减法求其前n项和. 【详解】（1）设公差为，公比为，，故，， ，故，联立，解得或（舍去）， 故，； （2），设数列的前项和为， 则，① ，② 两式①-②得， 所以. 🎯命题方向二 退位法求数列的通项公式 4．（2026·甘肃陇南·二模）记数列的前n项和为，已知． （1）证明：为等比数列； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【分析】（1）对已知递推式．进行变形，构造 与的关系，结合首项验证等比数列定义，完成证明. （2）先由（1）求出，再利用及得到，进而写出，最后用错位相减法求数列的前n项和． 【详解】（1）将两边同时加，得，       因为，所以是以3为首项，3为公比的等比数列； （2）由（1）知，即，       当时，， 当时，不符合上式， 故，所以，        当时， ， 由于当时也满足该式，因此． 5．（2026·河北保定模拟·预测）记数列的前项和为，已知. （1）证明：数列为等差数列； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【分析】（1）利用再利用将已知递推式转化为关于的等式，再通过推导为常数，结合首项验证等差数列定义. （2）先由（1）求出与，对的进行裂项变形，再利用裂项相消法求前项和.【详解】（1）因为，所以， 当时，， 两式相减得，① 则，② ②①得，所以. 因为，又，所以当时，； 当时，，则，所以，满足， 所以，故数列为等差数列. （2）由（1）可知数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，， 则， 所以. 🎯命题方向三 累加法求数列的通项公式 6.（2026·山东滨州检测训练）在数列中，. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和的最大值. 【答案】（1）； （2）90. 【分析】（1）由递推式，利用累加法，将表示为等比数列与等差数列的求和，结合 求出通项公式. （2）由化简得等差数列，写出其前项和的的二次函数形式，根据二次函数性质或数列单调性求最大值。 【详解】（1）依题意，当时，，则 ，满足上式， 所以的通项公式为. （2）由（1）得，数列是递减等差数列， 由，得，则数列前10项均为非负数，从第11项起为负数， 而，因此数列前10项和与前9项和相等，都最大， 所以数列的前项和的最大值为. 7．（2026·四川德阳模拟·预测）已知数列和首项为2的等比数列的各项均为正数，若，，且. （1）求和的通项公式和的前n项和； （2）若数列的通项公式满足，设为的前n项和，求证:. 【答案】（1）；； （2）证明见详解 （1）先由等比数列的首项及求出公比，得到；再利用求出，通过累加法结合求出；最后用错位相减法求的前n项和； （2）将 代入​，对进行裂项变形，利用裂项相消法求出，再放缩证明. 【详解】（1）设等比数列的公比为，首项，， 所以，，， 又因为，所以， 令，，又有， 则有 ， 所以， 又因为数列的各项均为正数，所以， 令， 所以①， ②， 由①—②有： ， （2）因为， 所以. 🎯命题方向四 累乘法求数列的通项公式 8．（2022·新高考Ⅱ卷）记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列. （1）求的通项公式； （2）证明：. 【答案】（1）， （2）证明见解析 【分析】（1）先由等差数列的首项与公差，写出其通项公式，结合推导出的表达式，再用累乘法求出的通项公式； （2）由（1）得 ​，对其进行裂项变形，利用裂项相消法求出前项和，最后通过放缩证明不等式成立. 【详解】（1）法一：因为，所以，又是公差为的等差数列， 所以.因为当时，， 所以，所以，整理得， 所以， 所以， 又也满足上式，所以，则， 所以， 又也满足上式，所以. 法二：因为，所以，又是公差为的等差数列， 所以，所以. 因为当时，，所以， 所以， 所以， 所以， 又也满足上式，所以. （2）因为，所以， 所以. 9．（2026·江西福州阶段检测）已知数列的首项，且. （1）求数列的通项公式： （2）若数列的前项和为，证明：. 【答案】（1） （2）证明见详解. 【分析】由递推式变形得，利用累乘法结合首项求出通项公式； （2）由（1）得​，通过放缩后裂项，再用裂项相消法求和，证明. 【详解】（1）因为，所以， 即，将上述个式子相乘得， 所以，当时，成立，故. （2）由（1）得，所以， 所以，即. 10．（2026·河北沧州质量检测）在数列中，是公差为1的等差数列. （1）求的通项公式； （2）设为数列的前项和，若对任意，总有，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）先由等差数列的首项与公差，写出其通项公式，得到的表达式，再用累乘法求出的通项公式； （2）将 代入​，对进行裂项变形，利用裂项相消法求出前项和，，分析的单调性，由恒成立，得到的取值范围. 【详解】（1）由可知. 由题设条件可知，所以， 当时，， 所以. 当时，满足，故的通项公式为. （2）由（1）可知， 所以 . 则. 🎯命题方向五 构造求数列的通项公式 11．（2026·石家庄第一中学·一模）已知数列满足，且． （1）若，证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项和． 【答案】 （1）证明见解析 （2） 【分析】（1）将，代入递推式，整理得到​与的倍数关系，结合首项验证等比数列定义，完成证明； （2）由（1）得到的通项，反解出，将项和拆分为等比数列与等差数列的和，分别求和后合并得到 ． 【详解】（1）因为，所以， 所以，即，又， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列 （2）由（1）可得，所以， 所以前项和 12．（2026·河北秦皇岛阶段检测）在数列中，已知，且满足． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）对递推式变形，构造新数列，证明其为等比数列，进而求出 的通项公式； （2）将 代入​​，化简后利用裂项相消法或错位相减法求前项和． 【详解】（1）因为，且易知， 所以，所以，所以． 因为，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列， 所以，所以． （2）因为， 所以． 13.（2025·高考综合改革适应性·演练）已知数列中， （1）证明：数列为等比数列； （2）求的通项公式； （3）令，证明:． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）证明见解析. 【分析】（1）根据题设条件化简，结合等比数列的定义即可证明； （2）由（1）求得数列的通项公式，再求即得； （3）将（2）中得到的的通项代入求得，化简后利用数列的单调性即可得证. 【详解】（1）由得，则， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）得,解得：. （3） 令，， 因为在上单调递增，则 所以数列在上单调递减，从而数列在上单调递增，且， 故得. 题型02 数列的前n项和问题 抓关键·破难点 ◎高分技法一、分组求和法 ①适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论． ②常见类型： 分组转化法：若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列： 奇偶并项求和：通项公式为an＝的数列， 其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列． ◎高分技法二、裂项相消法 ①识别：观察待求和式子是否满足分式型、指数型、根式型等结构. ②裂项：利用裂项技巧裂项，检验裂项后的式子是否需要“配凑”系数才能保证裂项前、后的式子等价. ③相消：明确正、负相消时，是从哪一项开始消去的，消去多少项，留下了多少项，一般前面留下了几项，后面相应留下几项。 -----------------------考场必备的5大裂项技巧-------------------------- ◎高分技法三、错位相减法 ①识别：数列各项由公差为的等差数列和公比为的等比数列对应项之积构成. ②展开：---------------① ③乘公比：--------② ④错位相减：得. ⑤求和：. 刷经典·通方法 🎯命题方向一 分组求和法求数列的前项和 1.（2021·新高考Ⅰ卷）已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和. 【答案】（1）. （2）300. 【分析】（1）根据递推式计算，，再由 ，结合奇偶项递推关系，证明 是等差数列，进而求出其通项公式； （2）将前 20 项和拆分为奇数项和与偶数项和，分别利用等差数列求和公式计算，再合并得到结果. 【详解】（1）因为2n为偶数，所以，， 所以，即，且， 所以是以2为首项，3为公差的等差数列， 所以，，. （2）当n为奇数时，，所以的前20项和为 . 由（1）可知，， 所以的前20项和为. 2．（2026·湖南邵阳第二次联考）已知数列是等差数列，且，，数列满足，. （1）求的通项公式，并证明数列是等比数列； （2）若数列满足，求的前项和. 【答案】（1），证明见解析 （2） 【分析】（1）利用等差数列通项公式，由，求出公差，得到的通项；将代入，​+an​，构造数列，证明其为等比数列； （2）由（1）得的通项，进而得到​，将前项和.拆分为等差数列与等比数列的和，分别求和后合并. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，， 得，解得.所以. 由得，即， 又，所以是一个以4为首项，3为公比的等比数列. （2）由（1）可得，所以.所以. 所以. 3.（2026·内蒙古包头市·一模）数列的前n项和，数列满足，． （1）求数列，的通项公式； （2）将数列和数列各取前100项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数只取一次，求数列的前100项和． 【答案】（1）； （2） 【分析】（1）利用与的关系可求数列的通项公式，当时，由已知可得，两式相除可求数列的通项公式； （2）结合（1），利用分组求和法可求数列的前100项和． 【详解】（1）令，则，， 当时，，也符合上式，∴； 当时，由，可得， 两式相除可得，也符合上式，∴． （2）），，，…，， ，，，…，， 将数列和数列各取前100项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数只取一次， 则，，…， ，，，…，， ∴ ． 🎯命题方向二 裂项相消法求数列的前项和 4. （2026·黑龙江哈尔滨第三中学·一模）已知数列的前项和为. （1）求的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据关系即可作差求解； （2）利用裂项相消法求和即可得解. 【详解】（1）当时，，当时，， 当时，也符合，所以. （2）由（1）可得， 5 .（2026·广东深圳市第一次调研）已知数列是等比数列，，，数列满足：. （1）求，的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1），，，. （2）. 【分析】（1）根据，，通过等比数列定义求出公比，代入等比数列通项公式求出，再根据作差法求出在时，，验证当时，符合该式，即可求出； （2）利用裂项相消的方法求出即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为，则，所以，， 因为，当时，， 两式相减得，则时，； 当时，由得，解得符合该式；所以，. （2）由于， ，所以. 6.（2026·河北唐县第一中学·一模） 已知数列的前n项和为，且，. （1）求； （2）若，求数列的前n项和. 【答案】（1）； （2）. 【分析】（1）由.知是首项为 1、公差为的等差数列，先求​​，再得； （2）由求​，将 裂项后，按奇偶性用裂项相消法求和. 【详解】（1）因为，且，可知数列是以首项为，公差为的等差数列， 则，所以. （2）由（1）可知：，当时，则， 且符合上式，所以，可得， 设数列的前n项和为， 则， 所以数列的前n项和为. 7.（2026·辽宁抚顺·一模）已知数列满足，且对任意的正整数，当时，都有． （1）证明：数列是等差数列； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【分析】（1）对递推式变形，证明的后项减前项为常数，结合首项验证其为等差数列； （2）由（1）得，将 裂项后，用裂项相消法求前n项和. 【详解】（1）根据题意，令， 当时，， ，所以， 且，则， 所以数列是首项为，公差为的等差数列； （2）根据（1）可得，所以， 则， 所以 . 8 .（2026·辽宁名校联盟·二模）已知数列的前n项和为，，且． （1）证明：数列为等差数列； （2）记，求数列的前项和． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【分析】（1）由 及 ，变形得，结合首项 ，证明为等差数列； （2）由（1）得 ，进而求出​，将 裂项后，用裂项相消法求前项和． 【详解】（1）由得：， 即， 所以， 又，所以，所以数列是以首项为2，公差为2的等差数列. （2）由（1）知数列是以首项为2，公差为2等差数列， 所以， 当时，， 当时，满足条件，所以， 所以， 所以. 9.（2026·安徽江南十校检测）已知等差数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2））若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，利用 和列方程组，解出​ 与 ，进而得到通项公式。 （2）将 代入，化简后裂项，再用裂项相消法求前项和. 【详解】（1）数列为等差数列，设首项为，公差为对恒成立， 必有，所以，解得 所以 即数列的通项公式为. （2） . 10.（2026·山东聊城·一模）已知数列满足. （1）求的前n项和； （2）记数列的前n项和为，若． （i）证明数列为等差数列，并求出的通项公式； （ii）求数列的前n项和． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析，；（ii） 【分析】（1）分、两种情况结合等差数列的求和公式求解即可； （2）（i）结合题设及与的关系可得，即可求证，再求解通项公式即可； （ii）先得到，再结合分组求和、裂项相消法求解即可 【详解】（1）当时，； 当时，， 显然满足上式，则. （2）（i）由， 当时，，即； 当时，，则， 即，则，即， 所以数列是以为首项，以2为公差的等差数列， 则，即. 由（1）知，， 由（i）知，， 则 ， 所以 . 🎯命题方向三 错位相减法求数列的前项和 11．（2025· 全国高考一卷）已知数列中，，. （1）证明：数列为等差数列； （2）给定正整数m，设函数，求. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【分析】（1）对递推式变形，得到 ，结合首项，证明为等差数列； （2）由（1）得，对求导后代入，得到等差乘等比型数列求和，用错位相减法计算最终结果. 【详解】（1）两边同时乘，得， 又，所以是首项为3，公差为1的等差数列. （2）由（1）可知数列的通项公式为， 又， 故， 所以. 两式相减，得， 所以. 12．（2026·四川成都石室中学二模））已知正项数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用 与 作差，结合正项数列条件，证明是首项为 1、公差为1的等差数列，进而得到的通项公式； （2）将 代入 ​，此为等差乘等比型数列，用错位相减法求前n项和． 【详解】（1）由，当时，， 则，即， 所以，即， 由数列为正项数列，所以，从而有，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，． （2）由（1）知，所以， ，则， 从而， 即， 所以. 13．（2026·河南九师联盟模拟预测））已知数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）数列满足，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）由 可知是等差数列，设公差为 d，结合，与 列方程，求出首项和公差，进而得到通项公式； （2）由（1）得 ，代入 ​，得到为等差乘等比型数列，用错位相减法求前n项和． 【详解】（1）因为，所以数列为等差数列， 设数列的公差为d，且，则，解得， 又，所以，即， 则，解得，所以； （2）由（1）可知，，所以， 则， 两式相减可得：， 即， 化简可得：. 14. （2026·陕西榆林一模）已知数列的前n项和，等比数列满足，． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1）， （2）． 【分析】（1）利用并验证 ，求出的通项；再由已知求出等比数列的首项与公比，进而得到其通项。 （2）为等差乘等比型数列，采用错位相减法求前项和. 【详解】（1）当时，， 当时，， 也满足，所以． 因为，所以的公比， 所以． （2）由（1）可知， 所以①， ② 两式相减，得， 所以． 题型03 数列与不等式的综合应用 抓关键·破难点 高考对数列解答题的考查偏重于综合性，其中数列不等式的证明是数列模块中的难点。当数列结构复杂时，不能直接求和，要对通项进行预放缩后才能利用求和公式，进而证明不等式.因此，放缩的思想就是通过放缩将不能求和的数列变成可以求和的数列. 一、数列不等式放缩法的类型 序号 放缩法类型 具体操作 ① 分式放缩 对于 “分式” 型不等式，将代数式中的分母或分子 “扩大” 或 “缩小”，放缩成等比数列的形式，再利用等比数列求和公式化简，进而得以证明 ② 不等式放缩 利用基本不等式或其他重要不等式对 “和”“积”“倒数和”“平方和” 等放缩。 ③ 添项或去项放缩 在不等式的两边同时 “加上” 或 “减去” 某一项实现放缩 ④ 拆项放缩 对一些比较复杂的代数式 “拆开” 再重新组合，可以消去一些项，从而简化运算（如裂项相消） 二、数列不等式的6大放缩实例 ① ② ， ③ ④ ⑤ ⑥ ， 刷经典·通方法 🎯命题方向一 数列与不等式的证明 1．（2023·新课标Ⅱ卷）已知为等差数列，.记，分别为数列，的前n项和，若，. （1）求的通项公式； （2）证明：当时，. 【答案】（1） （2）证明见解析 【分析】（1）利用等差数列前项和公式与的分段定义，列方程组求出的首项和公差，得到通项； （2）分别写出 和 的表达式，通过作差比较，证明当时，. 【详解】（1）设等差数列的公差为d.因为， 所以，，. 因为，，所以， 整理得，解得，所以的通项公式为. （2）由（1）知，所以. 当n为奇数时， . 当时，， 所以. 当n为偶数时， . 当时，，所以. 综上可知，当时，. 2．（2026·锡林郭勒盟检测）记为正项数列的前项和，已知. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【分析】（1）利用与 作差，结合正项数列条件，证明是等差数列，进而求出通项公式； （2）由递推关系累乘得到的表达式，将其裂项后求和，通过放缩证明不等式成立. 【详解】（1）当时，可得， 当时，，.作差可得， 因为是正项数列，所以，即数列为等差数列，所以. （2）由题可得， 所以，又， 所以， 又也满足上式， 所以， 3. （2026·重庆名校联盟第一次·联考）已知数列的前项和为，若，且． （1）证明：为等差数列，并求． （2）若，数列的前项和，求证：． 【答案】（1）证明见解析， （2）证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的概念证明，结合等差数列通项公式求； （2）利用裂项相消法求和即可证明． 【详解】（1）， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列， 所以； （2）， ． 4.（2026·湖北武汉3月·调研）在数列中，，，，且是等差数列. （1）求； （2）证明： 【答案】（1） （2）证明见解析 【分析】（1）使用等差中项性质即可求解； （2）使用累加法求得的通项公式，再使用裂项相消即可得证. 【详解】（1）设，则， 因为是等差数列，即是等差数列， 则有，即，解得. （2）由（1）知，，则公差为2，首项为6， 则，即， 当时， 将各式相加，得， 即，即，而满足上式， 因此，， 则， 因为，则，则，得证. 🎯命题方向二 数列与不等式的恒成立或能成立问题 5．(2026·贵州黔东南模拟·预测)已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列. （1）求的通项公式； （2）求使成立的n的最小值. 【答案】（1）； （2）6. 【分析】（1）利用等差数列前n项和公式及等比中项性质，联立方程求出首项与公差，得到通项公式； （2）写出与的表达式，解不等式，求出满足条件的最小正整数n. 【详解】（1）设等差数列的公差为，首项为， 由题意可得，化简得， 解得，，所以. （2）由（1）可知. 由，得，即，即，解得或. 因为，所以n的最小值是6. 即使成立的n的最小值为6. 6．（2026·湖北孝感·二模）已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为． （1）求数列的通项公式； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【分析】由得，再写出时的式子作差，整理后证明是等差数列，进而求出通项公式； （2）根据的分段定义，分为奇数、偶数分别求出 ​，再将不等式 恒成立问题转化为求的最小值，从而确定的取值范围. 【详解】（1）因为，即：．① 当时，，又，所以． 当时，，② 由①－②整理得：．整理得， 由累乘法得：，代入比值：， 当时，，符合上式， 所以数列的通项公式为． （2）当为偶数时， ， 所以，为偶数，由恒成立，得， 是偶数，当时，有最小值，所以； 当为奇数时，为偶数， ， 所以，为奇数， 由恒成立，得， 又在上单调递增， 所以当时，有最小值1，所以． 综上，实数的取值范围是 7. (2026·福建名校联盟·开学考试)记数列的前n项和为，已知． （1）求的通项公式； （2）设，记数列的前n项和为，若，，求t的取值范围． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）由 ，写出时的式子作差，得到与的递推关系，证明是等比数列，进而求出通项公式； （2）将代入​，裂项后求；再求出的表达式，根据 ，对任意恒成立，分别求 ​ 的上确界和 的下确界，从而确定的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 当时，，所以，即， 则是首项为1，公比为3的等比数列，所以的通项公式为． （2）由（1）可得， 所以， 因为，， 所以t的取值范围为． 题型04 数列与其他模块知识的创新交汇问题 抓关键·破难点 数列是以正整数为自变量的一类特殊函数，因此数列创新问题常与解析几何、函数、概率等模块交汇考查。与解析几何交汇，能依托数的本质属性与形的几何特征；与函数交汇，能放大数列的函数特征；与概率交汇，能彰显数列工具的妙用。这些问题以数列为核心，常出现在解答题中，明确问题属于哪个知识主体、运用相应主体模块是解题关键。 创新交汇1：交汇函数 定位主体：需要分析切线、单调性、极值时，主体为函数，要充分运用导数工具；根据函数图象上的点列建立坐标之间的递推关系时，主体为数列。 创新交汇2：交汇概率 定位主体：需要求概率值、分布列、期望时，主体为概率；根据实际情境分析出各个情况下概率的递推关系后，需要求具体期望值时，主体为数列。 刷经典·通方法 🎯命题方向一 数列与集合的融合创新 1. （2026·广东东莞3月质量·检测）已知数列的前n项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）设集合，，等差数列的任一项，其中是中的最小元素，，求数列的前n项和. 【答案】（1）， （2） 【分析】（1）根据求出通项公式； （2）在第一问基础上得到，，，根据求出，，求出等差数列的公差，及通项公式，从而求出. 【详解】（1）由，得： 当时，， 当时，符合上式， 所以数列是首项为1，公差为3的等差数列.故，； （2）因为，，∴， 又∵，其中是中的最小元素，∴， ∵的公差是3的倍数，∴. 又∵，∴，解得：，所以， 设等差数列的公差为d，则，所以， 所以的通项公式为. 因此数列的前n项和. 🎯命题方向二 数列与复数的交汇问题 2．（2026·山东青岛3月·调研）设为复数数列，，，记的实部为，虚部为． （1）求数列的通项公式； （2）证明：数列为等比数列； （3）求． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【分析】（1）由复数递推式，展开后分离实部与虚部，得到的递推关系，进而求出通项公式； （2）由虚部的递推式，变形得到的递推关系，取对数后证明是等比数列； （3）利用（2）的结论，将乘积转化为指数形式，结合等比数列求和公式计算结果。 【详解】（1）因为，故 ， 而，均为实数，故， 而，，均为实数，故，故. （2）由（1）可得，故，， 所以，因为，故， 故，而， 故数列为等比数列，且首项为，公比为. （3）由（2）可得，故， 故. 🎯命题方向三 数列与三角的交汇问题 3. （2026·湖北随州·二模）已知数列和，为数列的前n项和，，且，． （1）求； （2）求数列的通项公式； （3）求证：． 【答案】（1）， （2） （3）证明见解析 【分析】（1）先由求出 ，进而得到​，算出；再由求出​，得到​，算出​； （2）利用 ​，结合已知的与表达式，消去，得到的递推关系，进而求出通项公式； （3）由的表达式，结合的放缩，利用等比数列求和公式证明不等式。 【详解】（1）由，，得，故， 由，，得，故 （2）由， 得，又， 所以 两边同时乘以得， 由得，即， 于是，又得， 所以，所以， 经验证也符合，所以； （3）构造函数，则， 所以在单调递减，且，， 由零点存在定理，存在唯一的，使得， 则当时，；当时，； 故在上单调递增，在上单调递减， 又，所以 所以当时，， 所以当时，， 所以当时，， 当时，． 当n＝1，n＝2时，不等式成立. 🎯命题方向四 数列与概率统计交汇问题 4．（2026·广东茂名第一次·综合测试）已知甲､乙两个盒子均装有1个白球和1个黑球，现进行如下操作：从这两个盒子中各取1个球放入对方的盒子中.重复这样的操作，第次操作后甲盒中白球的个数记为. （1）求； （2证明：是等比数列； （3）求的数学期望. 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3）1 【分析】（1）初始状态甲盒有1个白球，第一次操作分四种取球情况，计算得 ​，； （2）由状态转移得到与的关系，结合，整理后证明是公比为的等比数列； （3）数学期望，结合（2）的结论化简求值. 【详解】（1）初始时甲、乙两盒均装有 1 个白球和 1 个黑球，第一次操作时，从两盒中各取一球交换，共有 4 种等可能情况： 甲取白、乙取白：交换后甲盒白球数为 1； 甲取白、乙取黑：交换后甲盒白球数为 0； 甲取黑、乙取白：交换后甲盒白球数为 2； 甲取黑、乙取黑：交换后甲盒白球数为 1。 故 （2）记 ，则 ， 由全概率公式得：， ， 所以， ， 由 （1） 和（3）知 ，结合初始值 ， 可得对任意 有 ，代入中，得：， 将（4） 代入（2）式得： ， 整理得，即：，又， 所以数列是公比为的等比数列. （3）由题意知：的取值为：， 分布列为： 0 1 2 ，由 （2） 知 ，因此. 🎯命题方向五 数列与函数、导数的交汇问题 5 .（2026·江苏南京师范大学附属中学G4·联考）数列中，，，. （1）证明：是等差数列； （2）设，求. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【分析】（1）对递推式变形，两边同乘 ​，得到，结合首项 ，证明是等差数列是等差数列； （2）由（1）得 ，代入后求导，在处转化为等差乘等比型数列求和，用错位相减法计算结果. 【详解】（1）对任意的，， 等式两边同时除以得，即， 又，所以是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）知，所以， 因为，则， 对任意的，， 所以. 6．（2026·河南开封高级中学第一次·调研）已知函数. （1）若数列，求数列的前n项和； （2）已知函数在处的切线为直线，直线在y轴上的截距为，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【分析】（1） 将拆分为等比数列与等差数列，分别用等比数列、等差数列前 项和公式求和后相加； （2）先求在 处的导数得到切线斜率，写出切线方程，令求出截距；再将 拆分为等比数列与等差乘等比型数列，分别求和后得到​. 【详解】（1）因为，所以 . （2），直线的方程为， 令，得， 所以， 令数列的前项和为，则 ， ， 两式相减得，故， 又数列的前项和为， 所以数列的前项和. 7. （2026·江苏南京市六合区名校联盟第一次·调研）设，，为数列的前项和，令，，． （1）若，求数列的前项和； （2）求证：对，方程在上有且仅有一个根； （3）求证：对，由（2）中构成的数列满足． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【分析】（1）由题意结合错位相减法以及等比数列求和公式即可得解； （2）求导得函数在上是增函数，结合零点存在定理即可得证； （3）一方面由结合上单调递增可得，即；另一方面通过放缩、以及裂项相消可得，由此即可得证. 【详解】（1）若，，则， 则， ， ， ； （2），， 故函数在上是增函数． 由于，当时，，即． 又， ， 根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的，满足． （3）对于任意，由中构成数列，当时， ， ． 由在上单调递增，可得，即， 故数列为减数列，即对任意的、，． 由于，，  ，， 用减去并移项，利用，可得 ． 综上可得，对于任意，由中构成数列满足． 8．（2026·云南红河州、文山州·模拟预测））已知数列满足（），且，函数． （1）求函数的极大值； （2）若，，，使得成立，求的取值范围； （3）若，求的前项和． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）先由数列递推关系求出，得到 ；求导找极值点，判断单调性后求出极大值； （2）将不等式转化为 ；分别求在上的最大值和 在 上的最大值，代入解出的范围； （3）先由数列递推式求出，化简 ​，得到​；用错位相减法求前项和 . 【详解】（1）由（），则， 所以函数，则， 令，解得，或， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以时，有极大值，极大值为； （2）因为，，使得成立， 所以， 由（1）知时，， 由，则， 令，解得，或． 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 当时，取得最大值，即，故，解得， 所以； （3）因为①，则，且②， ①②得（），则， 即，其中的指数为个2相乘， 因为，所以， 当时，，所以数列的通项公式为， 当时， ， 令，则，① 两边同乘得，，② ①②得，化简得：， 令， 法一：，① 两边同乘得，，② ①②得： ，所以， 法二：因为（）， 将上式两边求导得， 两边同乘， 将上式两边求导得： 两边同乘： 即， 令，则， 所以，所以，当时，，满足上式，所以. 10 / 49 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $