热点04 解直角三角形的实际应用（深圳专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

热点04 解直角三角形的实际应用 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 本专项聚焦深圳中考解直角三角形实际应用核心考点，为中考解答题必考题型（多为第19题，6-8分），属于中档必拿分题，侧重考查数学建模、辅助线构造与规范计算。常结合深圳城市建设、交通测量、生态监测、无人机应用等本地情境命题，分值稳定8分左右，是考生必须满分拿下的板块。 第二部分 题型引领·讲方法 题型01 锐角三角函数的概念与计算 题型02 仰角、俯角实际应用 题型03 方向角（方位角）应用 题型04 坡度、坡角问题 题型05 解直角三角形的其它生活应用 第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：1. 考查内容 - 仰角/俯角测高、方位角航行、坡度坡比工程计算三大核心模型。 必用特殊角：30°、45°、60°，高频使用正切tan列式。 2. 题型特点： 固定出现在基础解答题，图形为双直角三角形组合，需设未知数建立方程。 深圳特色：结合地铁建设、山体测量、港口导航等本地场景。 3. 易错点： 辅助线遗漏、角度看错、公共边关系找错、计算近似值不规范、单位未统一。 预测2026年：2026年预测 延续稳定命题风格，情境更生活化、模型更典型，强调步骤规范与结果合理性检验。备考核心：建模→作高→设元→列方程→计算→作答，全程步骤不丢分。 相关知识点思维导图 题型01 锐角三角函数的概念与计算 解｜题｜策｜略 1. 牢记定义：在Rt△ABC中，∠C=90°， 2. 特殊角三角函数值必须熟记： 30°、45°、60°的正弦、余弦、正切。 3. 已知一边一角或两边，直接利用定义或勾股定理解三角形。 4. 注意：只在直角三角形中使用，非直角需作高转化。 例1（2025•龙岗区模拟）在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝70°，那么sinC的值是（　　） A． B．1 C． D． 例2（2025•福田区校级三模）计算：sin45°+||（）0． 例3（2025•宝安区校级模拟）如图，⊙O在相同的小正方形组成的网格图中，点O在格点（网格线的交点）上，点A、B、C在⊙O上，且都在格点上，则∠ABC的正弦值是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2025•龙岗区模拟）计算：tan45°+cos60°×sin30°﹣sin260°． 【变式2】（2025•龙岗区校级模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A，若AC＝4，cosA，则BD的长度为 　 ． 【变式3】（2025•深圳）如图为人行天桥的示意图，若高BC长为10米，斜道AC长为30米，则sinA的值为（　　） A． B．3 C． D． 【变式4】（2024•深圳模拟）下列式子错误的是（　　） A．sin260°+cos260°＝1 B．tan30°•tan60°＝1 C．cos60°＝2cos30° D． 题型02 仰角、俯角实际应用 解｜题｜策｜略 1. 清楚概念。仰角：向上看视线与水平线夹角；俯角：向下看视线与水平线夹角。 2. 统一构造双直角三角形，共用一条竖直高度。 3. 设高度为h，用三角函数表示水平距离，列方程求解。 例1（2026春•深圳月考）许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图，已知AB的长为50米，点A处的仰角为24°，那么高BC是（　　） A．米 B．米 C．50sin24°米 D．50cos24°米 例2（2026•罗湖区模拟）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔AB的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面120m的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为22°，再将无人机沿水平方向飞行73m到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为45°（点M，N，A，B在同一平面内），则潮汐塔AB的高度为（　　）（结果精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40） A．41m B．42m C．43m D．77m 例3（2025•福田区校级开学）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝6m，CD的坡度为i＝1：，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°． （1）求DE的长； （2）求塔AB的高度．（结果保留个位） （参考数据：tan27°≈0.5，1.7） 【变式1】（2025•宝安区校级模拟）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”，某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为60°，然后向后走190米，到达C处，此时看塔顶A，仰角为30°，则该主塔的高度是（　　） A．95米 B．米 C．190米 D．米 【变式2】（2025•宝安区三模）某数学兴趣小组用无人机测量园博园“福塔”AB的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面142m的P点，测得“福塔”顶端A的俯角为37°，再将无人机面向“福塔”沿水平方向飞行210m到达Q点，测得“福塔”顶端A的俯角为45°，则“福塔”AB的高度约为（　　）（参考数据：tan37°） A．48m B．50m C．51m D．52m 【变式3】（2025•南山区二模）图（1）为深圳某大型商场的自动扶梯、图（2）中的AB为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点A处时，测得天花板上日光灯C的仰角为30°，此时他的眼睛D与地面的距离AD＝1.7m，之后他沿一楼扶梯到达顶端B后又沿BE（BE∥PQ）向正前方走了3m，发现日光灯C刚好在他的正上方，已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13m． （1）求图中B到一楼地面的高度； （2）求日光灯C到一楼地面的高度．（，结果精确到0.1m） 题型03 方向角（方位角）应用 解｜题｜策｜略 1. 过观测点作水平线，过被测点作铅垂线，构造双直角三角形。 2. 设公共高为x，用tan表示水平线段，利用线段和差列方程。 3. 牢记：tan仰角=对边(高度)/邻边(水平距离)。 4. 结果按要求保留根号或近似值。 例1（2025秋•龙华区期中）一艘轮船从A港向南偏西50°方向航行10km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行13km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是6km，则C岛和A港之间的距离（　　） A． B． C． D．8km 例2（2023•深圳模拟）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上．（点A、B、C、D在同一平面内） （1）求点D与点A的距离； （2）求隧道AB的长度．（结果保留根号） 【变式1】（2025•宝安区校级开学）某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点A为出发点，途中设置两个检查点分别为点B和点C，行进路线为A→B→C→A．点B在点A的南偏东25°方向处，点C在点A的北偏东80°方向，∠ABC＝45°．则检查点B和C之间的距离为（　　） A．千米 B．千米 C．千米 D．4.5千米 【变式2】（2026春•宝安区校级月考）喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟．丹丹在汨罗江国际龙舟竞渡中心广场点P处观看200米直道竞速赛．如图所示，赛道AB为东西方向，赛道起点A位于点P的北偏西30°方向上，终点B位于点P的北偏东60°方向上，AB＝200米，则点P到赛道AB的距离约为 　87　 米（结果保留整数，参考数据：1.732）． 题型04 坡度、坡角问题 解｜题｜策｜略 坡度、坡角属于解直角三角形常考基础题型，深圳中考常结合堤坝、斜坡、修路、引水渠等场景考查，难度中等但细节易错。 1. 坡度i=h:l=垂直高度:水平宽度=tanα。 2. 坡角α满足tanα=i，斜坡长用勾股定理。 3. 统一单位，注意高度、水平距、斜坡长三者关系。 例1（2025•福田区校级三模）如图，在坡度的山坡AB上植树，要求相邻两树间的水平距离AC为，则斜坡上相邻两树间的坡面距离AB为（　　） A． B．2m C．4m D． 例22025•深圳模拟）如图是某壁挂台灯的侧面示意图，已知台灯底部离桌面距离CD＝20cm，支架长BC＝15cm，灯长AB＝16cm，当支架BC与墙壁的夹角、灯罩AB与水平面的夹角均为30°时，阅读时光照效果最佳，此时点A与桌面的距离约为（图中所有点均在同一平面内，参考数据）（　　） A．34cm B．41cm C．45cm D．50cm 例3（2025•深圳模拟）根据以下素材，探索完成任务． 探究车牌识别系统的识别角度 素材1 某小区为解决“停车难”这个问题，改造一个地下停车库．图1是该地下停车库坡道出入口的侧面示意图．地下停车库高BC＝4.5mBC⊥AC，出入口斜坡AB长20.5m． 素材2 图2是地下停车库门口安装的车牌识别设备，摄像头D点位于B点正上方DB＝1.5m，D，B，C三点共线．摄像头在斜坡上的有效识别区域为EB，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭．（参考数据sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，） 素材3 汽车从地下车库驶出，在斜坡上保持匀速行驶，车库限速5km/h． 问题解决 任务一 确定斜坡坡比：如图1，求的值． 任务二 判断车辆是否顺利通过：如图3，当∠EDB＝53°时，请判断此时车辆以最高限速行驶到达B点时，闸门是否已经打开，请通过计算说明． 【变式1】（2025•罗湖区校级三模）河堤横断面如图所示，堤高BC＝7m，迎水坡AB的坡比为1：，则AC的长为（　　） A． B．21m C．14m D． 【变式2】（2025•深圳二模）如图，某条楼梯及栏杆可以看作直角三角形ABC与平行四边形ACDE构成，若∠D＝59°，则该楼梯的坡角∠BAC的值为（　　） A．59° B．41° C．31° D．49° 【变式3】（2025•光明区二模）要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°，如果现在想要安全地攀上5m高的墙，那么使用的梯子最短约为（　　）m．（结果精确到0.1m）（sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin75°≈0.97，cos75°≈0.26） A．4.9 B．5.2 C．6.5 D．19.2 【变式4】（2024•龙岗区校级模拟）如图为某单位地下停车库入口处的平面示意图，如图，在司机开车经过坡面即将进入车库时，在车库入口CD的上方BC处会看到一个醒目的限高标志，现已知图中BC高度为0.5m，AB宽度为9m，坡面的坡角为30°． （1）根据图（1）求出入口处顶点C到坡面的铅直高度CD． （2）图（2）中，线段CE为顶点C到坡面AD的垂直距离，现已知某货车高度为3.9米，请判断该车能否进入该车库停车？（，精确到 0.1米） 题型05 解直角三角形的其它生活应用 解｜题｜策｜略 对于其它类型的日常应用，注意先找直角三角形，作高构造直角； 统一单位，最后再代近似值； 注意是否有矩形、双直角三角形，避免把斜边当直角边； 方程设未知数优先，看清题目精确要求，中间计算步骤里，根号、π、三角函数值先保留精确形式，别急着换成小数，最后一步再代入近似值算结果。 例1（2024春•宝安区校级月考）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝36cm，则高AD约为（　　）（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51） A．8.10cm B．11.22cm C．9.18cm D．16.02cm 例2（2025•深圳模拟）最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中AB＝BC＝20cm，∠ABC＝120°．机器狗正常状态下的高度可以看成A，C两点间的距离，则机器狗正常状态下的高度为（　　） A．40cm B． C． D． 例3（2026春•南山区校级月考）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4.4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时． （1）求遮阳棚边缘点A到墙体BC的距离； （2）求阴影CD的长． （结果精确到0.1米．参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29） 【变式1】（2025•深圳模拟）如图1是某款自动旋转遮阳伞，当伞面完全张开时，其张角呈180°，图2是其侧面示意图．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器，可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄D沿着AB移动，以保证太阳光线与DF始终垂直，已知支架AB长为2.8米，且垂直于地面BC，某一时刻测得BD＝2米，悬托架AE＝DE，点E固定在伞面上，当伞面完全张开时，太阳光线与地面的夹角设为α，当tanα时，此时悬托架AE的长度为（　　） A．0.3米 B．0.4米 C．0.5米 D．0.8米 【变式2】（2025•深圳一模）为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知∠ABE＝80°，车轮半径为30cm，当BC＝70cm时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫C离地面高度约为（　　）（结果精确到1cm，参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67） A．99cm B．90cm C．80cm D．69cm 【变式3】（2025秋•深圳月考）图1，图2分别是某型号拉杆箱的实物图与平面示意图，具体信息如下：水平滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB，点B，F在线段AC上，点C在DE上，支撑点F到箱底C的距离FC＝32cm，CE：CD＝1：5，DF⊥AC于点F，∠DCF＝50°，请根据以上信息，解决下列问题： （1）求水平滑杆DE的长度； （2）求拉杆端点A到水平滑杆DE的距离h的值（结果保留到1cm）．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）． （30分钟限时练） 1.（2025秋•南山区校级期末）在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c，那么下列等式中，成立的是（　　） A．c＝a•sinA+b•sinB B．c＝a•cosA+b•cosB C．c＝a•sinB+b•sinA D．c＝a•cosB+b•cosA 2．（2025春•龙华区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024•南山区校级模拟）已知∠A是锐角，，则cosA的值为（　　） A． B． C． D． 4.（2025秋•南山区校级月考）比较大小：sin40°　 sin50°（填“＞”、“＜”或“＝”）． 5．（2026•罗湖区模拟）计算：； 6.（2025•深圳校级二模）航天员也能“点外卖”：北京时间2024年11月15日23时13分，搭载天舟八号货运飞船的长征七号遥九运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟八号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，之后飞船太阳能帆板顺利展开，发射取得圆满成功．当天火箭从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角∠DPA为30°，A与P两点的距离为10千米；它沿铅垂线上升到达B处时，此时在P处测得B点的仰角∠DPB为45°，则天舟二号从A处到B处的距离AB的长为（　　）（参考数据：）． A．2.0千米 B．1.5千米 C．2.5千米 D．3.5千米 7.（2025•福田区三模）某校九年级“综合与实践”小组开展“测量春笋大厦高度”实践活动．如图，在距离“春笋大厦”底部中心N点右侧有一个处观测点A，AN＝285米，在B处有一架测量无人机，观测点A到无人机B的距离米，在点A处用测角仪测得无人机B的仰角为∠BAN，BC∥AN，且，在点B处用无人机测得“春笋大厦”最高点M的仰角为∠MBC，且tan∠MBC＝3，点A，B，C，M，N在同一平面内，测角仪高度忽略不计． （1）求点B到水平地面NA的距离； （2）求“春笋大厦”MN的高度． 8.（2024•福田区校级模拟）某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路．甲侦测员在A处测得点O位于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°，测得AC＝840m，BC＝500m，请求出点O到BC的距离（　　）m．（参考数据sin73.7°，cos73.7°，tan73.7°） A．140m B．340m C．360m D．480m 9．（2025•深圳模拟）如图，小明在C处看到西北方向上有一凉亭A，北偏东35°的方向上有一棵大树B，已知凉亭A在大树B的正西方向，若BC＝100米，则A、B两点相距（　　）米． A．100（cos35°+sin35°） B．100（cos35°﹣sin35°） C．（） D．（） 10.（2024•龙华区校级模拟）如图所示，折线A﹣B﹣C是一段登山石阶，其中AB＝BC，AB部分的坡角为60°，BC部分的坡角为45°，AD＝30m． （1）求石阶路（折线A→B→C）的长． （2）如果每级石阶的高不超过20cm，那么这一段登山石阶至少有多少级台阶？（最后一级石阶的高度不足20cm时，按一级石阶计算．可能用到的数据：，）（4分） 11.（2025•深圳校级模拟）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角∠BAC＝130°，点D在伞柄AP上，AE＝AF＝DE＝DF＝m，则AD的长度可表示为（　　） A．msin65° B．mcos65° C．2msin65° D．2mcos65° 12.（2025•龙华区二模）根据以下信息，探索完成任务． 如何设计窗户限位器位置 信息1 问题背景 平开窗是生活中常见的一种窗户，安装平开窗需要一种滑撑支架，如图是这种平开窗的实物展示图． 信息2 数学抽象 把上述实物图抽象成如右示意图．已知滑撑支架的滑动轨道AB固定在窗框底边，EF固定在窗页底边，点B，C，D三点固定在同一直线上．当窗户关闭时，点E与点A重合，DE和DB均落在AB上；当点O向点B滑动时，四边形OCDE始终为平行四边形，其中OE＝8cm，DE＝16cm，BC＝17cm． 信息3 安全规范 窗户打开一定角度后，OC与AB形成一个角∠COB．出于安全考虑，部分公共场合的平开窗有开启角度限制要求：平开窗的开启角度应该控制在30°以内（即∠COB≤30°）． 问题解决 任务1 求解关键数量 滑撑支架中CD的长度为 　8　 cm，滑动轨道AB的长度是 　41　 cm． 任务2 确定安装方案 为符合安全规范要求，某公共场合的平开窗需在滑动轨道AB上安装一个限位器P，控制平开窗的开启角度，当点O滑动到点P时∠COB＝30°，则限位器P应装在离点A多远的位置？（结果保留根号） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 热点04 解直角三角形的实际应用 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 本专项聚焦深圳中考解直角三角形实际应用核心考点，为中考解答题必考题型（多为第19题，6-8分），属于中档必拿分题，侧重考查数学建模、辅助线构造与规范计算。常结合深圳城市建设、交通测量、生态监测、无人机应用等本地情境命题，分值稳定8分左右，是考生必须满分拿下的板块。 第二部分 题型引领·讲方法 题型01 锐角三角函数的概念与计算 题型02 仰角、俯角实际应用 题型03 方向角（方位角）应用 题型04 坡度、坡角问题 题型05 解直角三角形的其它生活应用 第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：1. 考查内容 - 仰角/俯角测高、方位角航行、坡度坡比工程计算三大核心模型。 必用特殊角：30°、45°、60°，高频使用正切tan列式。 2. 题型特点： 固定出现在基础解答题，图形为双直角三角形组合，需设未知数建立方程。 深圳特色：结合地铁建设、山体测量、港口导航等本地场景。 3. 易错点： 辅助线遗漏、角度看错、公共边关系找错、计算近似值不规范、单位未统一。 预测2026年：2026年预测 延续稳定命题风格，情境更生活化、模型更典型，强调步骤规范与结果合理性检验。备考核心：建模→作高→设元→列方程→计算→作答，全程步骤不丢分。 相关知识点思维导图 题型01 锐角三角函数的概念与计算 解｜题｜策｜略 1. 牢记定义：在Rt△ABC中，∠C=90°， 2. 特殊角三角函数值必须熟记： 30°、45°、60°的正弦、余弦、正切。 3. 已知一边一角或两边，直接利用定义或勾股定理解三角形。 4. 注意：只在直角三角形中使用，非直角需作高转化。 例1（2025•龙岗区模拟）在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝70°，那么sinC的值是（　　） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角形内角和定理得∠C＝30°，再根据特殊角的三角函数值即可得出答案． 【详解】解：∵∠A＝80°，∠B＝70°， ∴∠C＝180°﹣80°﹣70°＝30°， ∴sinC＝sin30°． 故选：A． 例2（2025•福田区校级三模）计算：sin45°+||（）0． 【答案】41． 【分析】利用特殊锐角三角函数值，绝对值的性质，二次根式的性质，零指数幂计算即可． 【详解】解：原式31 ＝41． 3． 例3（2025•宝安区校级模拟）如图，⊙O在相同的小正方形组成的网格图中，点O在格点（网格线的交点）上，点A、B、C在⊙O上，且都在格点上，则∠ABC的正弦值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接CD，根据90度的圆周角所对的弦是直径可得：CD是⊙O的直径，然后在Rt△ACD中，利用勾股定理求出CD的长，从而利用锐角三角函数的定义求出sin∠ADC的值，最后根据同弧所对的圆周角相等可得：∠ABC＝∠ADC，即可解答． 【详解】解：连接CD， ∵∠CAD＝90°， ∴CD是⊙O的直径， 在Rt△ACD中，AC＝4，AD＝2， ∴CD2， ∴sin∠ADC， ∵∠ABC＝∠ADC， ∴sin∠ABC＝sin∠ADC， 故选：C． 【变式1】（2025•龙岗区模拟）计算：tan45°+cos60°×sin30°﹣sin260°． 【答案】． 【分析】将特殊角的三角函数值代入计算即可． 【详解】解：tan45°+cos60°•sin30°﹣sin260° ＝1 ． 【变式2】（2025•龙岗区校级模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A，若AC＝4，cosA，则BD的长度为 　　 ． 【答案】 【分析】在△ABC中，由锐角三角函数求得AB，再由勾股定理求得BC，最后在△BCD中由锐角三角函数求得BD． 【详解】解：∵∠C＝90°，AC＝4，cosA， ∴AB＝5， ∴BC3， ∵∠DBC＝∠A． ∴cos∠DBC＝cos∠A， ∴BD＝3， 故答案为：． 【变式3】（2025•深圳）如图为人行天桥的示意图，若高BC长为10米，斜道AC长为30米，则sinA的值为（　　） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦三角函数的概念，结合图形，可得到结果． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，BC＝10米，AC＝30米， ∴sinA． 故选：D． 【变式4】（2024•深圳模拟）下列式子错误的是（　　） A．sin260°+cos260°＝1 B．tan30°•tan60°＝1 C．cos60°＝2cos30° D． 【答案】C 【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、sin260°+cos260°＝（）2+（）2＝1，故A不符合题意； B、tan30°•tan60°1，故B不符合题意； C、∵cos60°，2cos30°＝2， ∴cos60°≠2cos30°， 故C符合题意； D、∵tan45°＝1，1， ∴tan45°， 故D不符合题意； 故选：C． 题型02 仰角、俯角实际应用 解｜题｜策｜略 1. 清楚概念。仰角：向上看视线与水平线夹角；俯角：向下看视线与水平线夹角。 2. 统一构造双直角三角形，共用一条竖直高度。 3. 设高度为h，用三角函数表示水平距离，列方程求解。 例1（2026春•深圳月考）许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图，已知AB的长为50米，点A处的仰角为24°，那么高BC是（　　） A．米 B．米 C．50sin24°米 D．50cos24°米 【答案】C 【分析】根据正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝50m，∠A＝24°， ∴BC＝AB•sin24°＝50•sin24°（m）． 故选：C． 例2（2026•罗湖区模拟）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔AB的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面120m的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为22°，再将无人机沿水平方向飞行73m到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为45°（点M，N，A，B在同一平面内），则潮汐塔AB的高度为（　　）（结果精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40） A．41m B．42m C．43m D．77m 【答案】C 【分析】延长BA交MN于点C，则BC⊥MN，由题意得，BC＝120m，MN＝73m，分别解Rt△CNB和Rt△AMC，依次求出CN、MC、AC，最后根据线段的和差关系即可求解． 【详解】解：延长BA交MN于点C，则BC⊥MN， 由题意得，BC＝120m，MN＝73m， 在Rt△CNB中，∠CNB＝45°， ∴∠CNB＝∠CBN＝45°． ∴CN＝BC＝120m． ∴MC＝MN+CN＝73+120＝193（m）， 在Rt△AMC中，∠AMC＝22°， ∴AC＝MC•tan22°≈193×0.4＝77.2（m）， ∴AB＝BC﹣AC＝120﹣77.2≈43（m）， 即潮汐塔AB的高度约为43m． 故选：C． 例3（2025•福田区校级开学）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝6m，CD的坡度为i＝1：，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°． （1）求DE的长； （2）求塔AB的高度．（结果保留个位） （参考数据：tan27°≈0.5，1.7） 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由题意得：DE⊥EC，然后在Rt△DEC中，利用锐角三角函数的定义可得tan∠DCE，从而可得∠DCE＝30°，再利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答； （2）过点D作DF⊥AB，垂足为F，根据题意可得：DF＝EA，DE＝FA＝3m，然后设AC＝xm，则DF＝AE＝（x+3）m，分别在Rt△ACB和Rt△BDF中，利用锐角三角函数的定义求出AB和BF的长，从而列出关于x的方程进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）由题意得：DE⊥EC， 在Rt△DEC中，tan∠DCE， ∴∠DCE＝30°， ∵CD＝6m， ∴DECD＝3（m），CECD＝3（m）， ∴DE的长为3m； （2）过点D作DF⊥AB，垂足为F， 由题意得：DF＝EA，DE＝FA＝3m， 设AC＝xm， ∵CE＝3m， ∴DF＝AE＝CE+AC＝（x+3）m， 在Rt△ACB中，∠BCA＝45°， ∴AB＝AC•tan45°＝x（m）， 在Rt△BDF中，∠BDF＝27°， ∴BF＝DF•tan27°≈0.5（x+3）m， ∵BF+AF＝AB， ∴0.5（x+3）+3＝x， 解得：x＝36≈11， ∴AB≈11m， ∴塔AB的高度约为11m． 【变式1】（2025•宝安区校级模拟）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”，某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为60°，然后向后走190米，到达C处，此时看塔顶A，仰角为30°，则该主塔的高度是（　　） A．95米 B．米 C．190米 D．米 【答案】B 【分析】该主塔为AD＝x，在Rt△ABD中，利用正切函数的定义求得，同理，在Rt△ACD中，求得，根据CD﹣BD＝190，列出方程求解即可． 【详解】解：如图，该主塔为AD＝x， 由题意，得：∠ADC＝90°，BC＝190，∠ACD＝30°，∠ABD＝60°， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵BC＝CD﹣BD＝190， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2】（2025•宝安区三模）某数学兴趣小组用无人机测量园博园“福塔”AB的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面142m的P点，测得“福塔”顶端A的俯角为37°，再将无人机面向“福塔”沿水平方向飞行210m到达Q点，测得“福塔”顶端A的俯角为45°，则“福塔”AB的高度约为（　　）（参考数据：tan37°） A．48m B．50m C．51m D．52m 【答案】D 【分析】延长BA交PQ于点C，根据题意可得：BC⊥PQ，BC＝142m，然后设PC＝xm，则CQ＝（210﹣x）m，从而分别在Rt△APC和Rt△ACQ中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，进而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：延长BA交PQ于点C， 由题意得：BC⊥PQ，BC＝142m， 设PC＝xm， ∵PQ＝210m， ∴CQ＝PQ﹣CP＝（210﹣x）m， 在Rt△APC中，∠APC＝37°， ∴AC＝PC•tan37°x（m）， 在Rt△ACQ中，∠AQC＝45°， ∴AC＝CQ•tan45°＝（210﹣x）m， ∴x＝210﹣x， 解得：x＝120， ∴AC＝210﹣x＝90（m）， ∴AB＝BC﹣AC＝142﹣90＝52（m）， 故选：D． 【变式3】（2025•南山区二模）图（1）为深圳某大型商场的自动扶梯、图（2）中的AB为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点A处时，测得天花板上日光灯C的仰角为30°，此时他的眼睛D与地面的距离AD＝1.7m，之后他沿一楼扶梯到达顶端B后又沿BE（BE∥PQ）向正前方走了3m，发现日光灯C刚好在他的正上方，已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13m． （1）求图中B到一楼地面的高度； （2）求日光灯C到一楼地面的高度．（，结果精确到0.1m） 【答案】（1）图中B到一楼地面的高度为5m； （2）日光灯C到一楼地面的高度约为10.4m． 【分析】（1）过点B作BG⊥AP，垂足为G，根据题意可设：设BG＝5xm，则AG＝12xm，然后在Rt△ABG中，利用勾股定理进行计算即可解答； （2）过点C作CH⊥PQ，垂足为H，交BE交于点F，过点D作DM⊥CH，垂足为M，根据题意可得：CH⊥BE，DM＝AH，AD＝MH＝1.7m，BF＝HG＝3m，HF＝BG＝5m，从而可得AH＝DM＝15m，然后在Rt△CDM中，利用锐角三角函数的定义求出CM的长，从而进行计算即可解答． 【详解】解：（1）过点B作BG⊥AP，垂足为G， ∵自动扶梯AB的坡度为1：2.4， ∴， ∴设BG＝5xm，则AG＝12xm， 在Rt△ABG中，AB13x（m）， ∵AB＝13m， ∴13x＝13， 解得：x＝1， ∴BG＝5m，AG＝12m， ∴图中B到一楼地面的高度为5m； （2）过点C作CH⊥PQ，垂足为H，交BE交于点F，过点D作DM⊥CH，垂足为M， 由题意得：CH⊥BE，DM＝AH，AD＝MH＝1.7m，BF＝HG＝3m，HF＝BG＝5m， ∵AG＝12m， ∴AH＝DM＝AG+HG＝12+3＝15（m）， 在Rt△CDM中，∠CDM＝30°， ∴CM＝DM•tan30°＝155（m）， ∴CH＝CM+HM＝51.7≈10.4（m）， ∴日光灯C到一楼地面的高度约为10.4m． 题型03 方向角（方位角）应用 解｜题｜策｜略 1. 过观测点作水平线，过被测点作铅垂线，构造双直角三角形。 2. 设公共高为x，用tan表示水平线段，利用线段和差列方程。 3. 牢记：tan仰角=对边(高度)/邻边(水平距离)。 4. 结果按要求保留根号或近似值。 例1（2025秋•龙华区期中）一艘轮船从A港向南偏西50°方向航行10km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行13km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是6km，则C岛和A港之间的距离（　　） A． B． C． D．8km 【答案】C 【分析】根据题意，利用勾股定理求出BD的长度，再求出CD的长度，再用勾股定理求出AC的长度即可． 【详解】解：由题意，得：AB＝10km，AD＝6km， Rt△ABD中，， 由BC＝13km， ∴CD＝BC﹣BD＝5km， Rt△ACD中，， 故选：C． 例2（2023•深圳模拟）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上．（点A、B、C、D在同一平面内） （1）求点D与点A的距离； （2）求隧道AB的长度．（结果保留根号） 【答案】（1）点D与点A的距离为300米； （2）隧道AB的长为米． 【分析】（1）根据方位角图，易知∠ACD＝60°，∠ADC＝90°，解Rt△ADC即可求解； （2）过点D作DE⊥AB于点E．分别解Rt△ADE，Rt△BDE求出AE和BE，即可求出隧道AB的长． 【详解】解；（1）由题意可知：∠ACD＝15°+45°＝60°，∠ADC＝180°﹣45°﹣45°＝90°， 在Rt△ADC中， ∴（米）， 答：点D与点A的距离为300米． （2）过点D作DE⊥AB于点E，如图 ∵AB是东西走向， ∴∠ADE＝45°，∠BDE＝60°， 在Rt△ADE中， ∴（米）， 在Rt△BDE中， ∴（米）， ∴（米）， 答：隧道AB的长为米． 【变式1】（2025•宝安区校级开学）某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点A为出发点，途中设置两个检查点分别为点B和点C，行进路线为A→B→C→A．点B在点A的南偏东25°方向处，点C在点A的北偏东80°方向，∠ABC＝45°．则检查点B和C之间的距离为（　　） A．千米 B．千米 C．千米 D．4.5千米 【答案】C 【分析】过A点作AH⊥BC于H点，如图，根据方向角的定义和平角的定义可计算出∠BAC＝75°，再计算出∠CAH＝30°，接着在Rt△ABH中利用等腰直角三角形的性质计算出AH＝BH＝3km，然后在Rt△ACH中利用∠CAH＝30°计算出CHkm，最后计算BH+CH即可． 【详解】解：过A点作AH⊥BC于H点，如图， ∵点B在点A的南偏东25°方向处，点C在点A的北偏东80°方向， ∴∠BAC＝180°﹣80°﹣25°＝75°， ∵∠ABC＝90°，∠AHB＝90°， ∴∠BAH＝45°， ∴∠CAH＝∠BAC﹣∠BAH＝75°﹣45°＝30°， 在Rt△ABH中，∵∠B＝45°， ∴AH＝BHAB33（km）， 在Rt△ACH中，∵∠CAH＝30°， ∴CHAH3（km）， ∴BC＝BH+CH＝（3）km． 故选：C． 【变式2】（2026春•宝安区校级月考）喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟．丹丹在汨罗江国际龙舟竞渡中心广场点P处观看200米直道竞速赛．如图所示，赛道AB为东西方向，赛道起点A位于点P的北偏西30°方向上，终点B位于点P的北偏东60°方向上，AB＝200米，则点P到赛道AB的距离约为 　87　 米（结果保留整数，参考数据：1.732）． 【答案】87． 【分析】过点P作PC⊥AB，垂足为P，设PC＝x米，然后分别在Rt△APC和Rt△CBP中，利用锐角三角函数的定义求出AC，BC的长，再根据AB＝200米，列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：过点P作PC⊥AB，垂足为C， 设PC＝x米， 在Rt△APC中，∠APC＝30°， ∴AC＝PC•tan30°x（米）， 在Rt△CBP中，∠CPB＝60°， ∴BC＝CP•tan60°x（米）， ∵AB＝200米， ∴AC+BC＝200， ∴xx＝200， ∴x＝5087， ∴PC＝87米， ∴点P到赛道AB的距离约为87米， 故答案为：87． 题型04 坡度、坡角问题 解｜题｜策｜略 坡度、坡角属于解直角三角形常考基础题型，深圳中考常结合堤坝、斜坡、修路、引水渠等场景考查，难度中等但细节易错。 1. 坡度i=h:l=垂直高度:水平宽度=tanα。 2. 坡角α满足tanα=i，斜坡长用勾股定理。 3. 统一单位，注意高度、水平距、斜坡长三者关系。 例1（2025•福田区校级三模）如图，在坡度的山坡AB上植树，要求相邻两树间的水平距离AC为，则斜坡上相邻两树间的坡面距离AB为（　　） A． B．2m C．4m D． 【答案】C 【分析】根据坡度“铅直距离与水平距离的比”及已知水平距离，可求得铅直距离，由勾股定理即可求坡面距离． 【详解】解：由题意得：， 即， 由勾股定理得：， 故选：C． 例22025•深圳模拟）如图是某壁挂台灯的侧面示意图，已知台灯底部离桌面距离CD＝20cm，支架长BC＝15cm，灯长AB＝16cm，当支架BC与墙壁的夹角、灯罩AB与水平面的夹角均为30°时，阅读时光照效果最佳，此时点A与桌面的距离约为（图中所有点均在同一平面内，参考数据）（　　） A．34cm B．41cm C．45cm D．50cm 【答案】B 【分析】过点B作直线CD的垂线，垂足为E，过点A作直线BE的垂线，垂足为F，分别解直角三角形求出AF，CE的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点B作直线CD的垂线，垂足为E，过点A作直线BE的垂线，垂足为F， 在Rt△ABF中，AB＝16cm，∠ABF＝30°， ∴AF＝AB•sin∠ABC＝16×sin30°＝8（cm）； 在Rt△EBC中，BC＝15cm，∠BCE＝30°， ∴CE＝BC•cos∠BCE＝15×cos30°≈13（cm）， ∴AF+CE+CD＝8+13+20＝41（cm）， ∴此时点A与桌面的距离约为41cm， 故选：B． 例3（2025•深圳模拟）根据以下素材，探索完成任务． 探究车牌识别系统的识别角度 素材1 某小区为解决“停车难”这个问题，改造一个地下停车库．图1是该地下停车库坡道出入口的侧面示意图．地下停车库高BC＝4.5mBC⊥AC，出入口斜坡AB长20.5m． 素材2 图2是地下停车库门口安装的车牌识别设备，摄像头D点位于B点正上方DB＝1.5m，D，B，C三点共线．摄像头在斜坡上的有效识别区域为EB，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭．（参考数据sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，） 素材3 汽车从地下车库驶出，在斜坡上保持匀速行驶，车库限速5km/h． 问题解决 任务一 确定斜坡坡比：如图1，求的值． 任务二 判断车辆是否顺利通过：如图3，当∠EDB＝53°时，请判断此时车辆以最高限速行驶到达B点时，闸门是否已经打开，请通过计算说明． 【答案】（1）； （2）闸门没有打开，理由见解答过程． 【分析】任务一：利用勾股定理求出AC＝20m，从而得解； 任务二：过点E作EF⊥BC于F，设 EF＝4xm，则DF＝3xm，利用△BEF∽△BAC，对应边成比例，从而求出BF＝0.9x m，利用BD＝DF﹣BF求出x，从而得到BE＝4.1x≈2.93m，从而计算出车辆以最高限速行驶到达B点的时间，从而得解． 【详解】解：任务一：∵BC＝4.5m，BC⊥AC，AB＝20.5m， ∴， ∴； 任务二：闸门没有打开，理由如下： 如图，过点E作EF⊥BC于F， ∵∠EDB＝53°，， ∴设EF＝4xm，则DF＝3xm， ∵EF⊥BC，BC⊥AC， ∴EF∥AC， ∴△BEF∽△BAC， ∴， ∴， ∴BD＝DF﹣BF＝2.1xm＝1.5m， 解得， ∴， ∴车辆以最高限速行驶到达B点的时间为：秒， ∵2.1＜3， ∴闸门没有打开． 【变式1】（2025•罗湖区校级三模）河堤横断面如图所示，堤高BC＝7m，迎水坡AB的坡比为1：，则AC的长为（　　） A． B．21m C．14m D． 【答案】D 【分析】根据坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比计算即可． 【详解】解：∵迎水坡AB的坡比为1：， ∴BC：AC＝1：， ∵BC＝7m， ∴AC＝7m， 故选：D． 【变式2】（2025•深圳二模）如图，某条楼梯及栏杆可以看作直角三角形ABC与平行四边形ACDE构成，若∠D＝59°，则该楼梯的坡角∠BAC的值为（　　） A．59° B．41° C．31° D．49° 【答案】C 【分析】先根据平行线的性质求出∠ACB，再根据直角三角形的两锐角互余求出∠BAC． 【详解】解：∵四边形ACDE是平行四边形， ∴AC∥DE， ∴∠ACB＝∠D＝59°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣59°＝31°， 故选：C． 【变式3】（2025•光明区二模）要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°，如果现在想要安全地攀上5m高的墙，那么使用的梯子最短约为（　　）m．（结果精确到0.1m）（sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin75°≈0.97，cos75°≈0.26） A．4.9 B．5.2 C．6.5 D．19.2 【答案】B 【分析】根据正弦的定义求出α＝50°、α＝75°时AB的值，判断即可． 【详解】解：在Rt△ABC中，AC＝5米， 当∠ABC＝α＝50°时， 则AB6.5（m）， 当∠ABC＝α＝75°时， 则AB5.2（m）， ∴梯子最短约为5.2m， 故选：B． 【变式4】（2024•龙岗区校级模拟）如图为某单位地下停车库入口处的平面示意图，如图，在司机开车经过坡面即将进入车库时，在车库入口CD的上方BC处会看到一个醒目的限高标志，现已知图中BC高度为0.5m，AB宽度为9m，坡面的坡角为30°． （1）根据图（1）求出入口处顶点C到坡面的铅直高度CD． （2）图（2）中，线段CE为顶点C到坡面AD的垂直距离，现已知某货车高度为3.9米，请判断该车能否进入该车库停车？（，精确到 0.1米） 【答案】（1）4.6m； （2）该车能进入该车库停车． 【分析】（1）根据正切的定义求出BD，进而求出CD； （2）根据正弦的定义求出CE，根据题意解答即可． 【详解】解：（1）在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，AB＝9m， ∴BD＝AB•tan∠BAD＝93（m）， ∴CD＝BD﹣BC＝30.5≈4.6（m）， 答：点C到坡面的铅直高度CD约为4.6m； （2）在Rt△CDE中，∠CDE＝60°，CD＝（30.5）m， ∴CE＝CD•sin∠CDE＝（30.5）4.1（m）， ∵4.1˃3.9， ∴该车能进入该车库停车． 题型05 解直角三角形的其它生活应用 解｜题｜策｜略 对于其它类型的日常应用，注意先找直角三角形，作高构造直角； 统一单位，最后再代近似值； 注意是否有矩形、双直角三角形，避免把斜边当直角边； 方程设未知数优先，看清题目精确要求，中间计算步骤里，根号、π、三角函数值先保留精确形式，别急着换成小数，最后一步再代入近似值算结果。 例1（2024春•宝安区校级月考）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝36cm，则高AD约为（　　）（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51） A．8.10cm B．11.22cm C．9.18cm D．16.02cm 【答案】C 【分析】先利用等腰三角形的性质求出BD，再利用直角三角形的边角间关系求出AD． 【详解】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝36cm， ∴BDBC＝18cm． 在Rt△ABD中， ∵tan∠ABC，∠ABC＝27°， ∴AD＝tan∠ABC×BD ≈0.51×18 ＝9.18（cm）． 故选：C 例2（2025•深圳模拟）最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中AB＝BC＝20cm，∠ABC＝120°．机器狗正常状态下的高度可以看成A，C两点间的距离，则机器狗正常状态下的高度为（　　） A．40cm B． C． D． 【答案】D 【分析】连接AC，作BD⊥AC于点D，则∠ADB＝90°，根据等腰三角形三线合一的性质可得AC＝2AD，易得∠A的度数，进而根据∠A的余弦值可得AD的长度，即可求得AC的长度． 【详解】解：连接AC，作BD⊥AC于点D，则∠ADB＝90°， ∵AB＝BC＝20cm，∠ABC＝120°， ∴AC＝2AD，∠A＝30°， ∴AD＝AB•cos30°＝2010cm， ∴AC＝2AD＝20cm， 故选：D． 例3（2026春•南山区校级月考）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4.4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时． （1）求遮阳棚边缘点A到墙体BC的距离； （2）求阴影CD的长． （结果精确到0.1米．参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29） 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）过点A作AF⊥BC，垂足为F，在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，即可解答； （2）过点A作AG⊥CE，垂足为G，根据题意可得：AF＝CG＝4.8米，CF＝AG，在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，从而求出CF的长，然后在Rt△ADG中，利用锐角三角函数的定义求出DG的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）过点A作AF⊥BC，垂足为F， 在Rt△ABF中，∠BAF＝16°，AB＝5米， ∴AF＝AB•cos16°≈5×0.96＝4.8（米）， ∴遮阳棚边缘点A到墙体BC的距离约为4.8米； （2）过点A作AG⊥CE，垂足为G， 由题意得：AF＝CG＝4.8米，CF＝AG， 在Rt△ABF中，∠BAF＝16°，AB＝5米， ∴BF＝AB•sin16°≈5×0.28＝1.4（米）， ∵BC＝4.4米， ∴CF＝AG＝BC﹣BF＝4.4﹣1.4＝3（米）， 在Rt△ADG中，∠ADG＝45°， ∴DG3（米）， ∴CD＝CG﹣DG＝4.8﹣3＝1.8（米）， ∴阴影CD的长约为1.8米． 【变式1】（2025•深圳模拟）如图1是某款自动旋转遮阳伞，当伞面完全张开时，其张角呈180°，图2是其侧面示意图．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器，可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄D沿着AB移动，以保证太阳光线与DF始终垂直，已知支架AB长为2.8米，且垂直于地面BC，某一时刻测得BD＝2米，悬托架AE＝DE，点E固定在伞面上，当伞面完全张开时，太阳光线与地面的夹角设为α，当tanα时，此时悬托架AE的长度为（　　） A．0.3米 B．0.4米 C．0.5米 D．0.8米 【答案】C 【分析】过点E作EH⊥AD交AD于点H，先说明∠ADF＝∠BGD＝α，再求AD、AH点的长度，进而得出答案． 【详解】解：过点E作EH⊥AD交AD于点H， ∵FD⊥DG， ∴∠FDG＝90°， ∴∠ADF+∠DGB＝90°， ∵∠BDG+∠BGD＝90°， ∴∠ADF＝∠BGD＝α， ∵AB＝2.8m，BD＝2m， ∴AD＝AB﹣BD＝0.8m， ∵AE＝DE， ∴AH， ∵tanα， ∴， ∴HE＝0.3m， ∴AE0.5m． 故选：C． 【变式2】（2025•深圳一模）为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知∠ABE＝80°，车轮半径为30cm，当BC＝70cm时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫C离地面高度约为（　　）（结果精确到1cm，参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67） A．99cm B．90cm C．80cm D．69cm 【答案】A 【分析】作CH⊥AB于H，AP⊥地面于P，依题意可得AP＝30cm，BC＝70cm，∠ABE＝80°，求出CH的长即可得解． 【详解】解：如图，作CH⊥AB于H，AP⊥地面于P， ， ∵∠ABE＝80°，车轮半径为30cm，BC＝70cm， ∴AP＝30cm， ∴CH＝BC•sin80°≈70×0.98＝68.6（cm）， ∴坐垫C离地面高度约为68.6+30＝98.6≈99（cm）， 故选：A． 【变式3】（2025秋•深圳月考）图1，图2分别是某型号拉杆箱的实物图与平面示意图，具体信息如下：水平滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB，点B，F在线段AC上，点C在DE上，支撑点F到箱底C的距离FC＝32cm，CE：CD＝1：5，DF⊥AC于点F，∠DCF＝50°，请根据以上信息，解决下列问题： （1）求水平滑杆DE的长度； （2）求拉杆端点A到水平滑杆DE的距离h的值（结果保留到1cm）．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）． 【答案】（1）60cm； （2）92cm． 【分析】（1）根据三角函数解直角三角形即可得到结论； （2）过A作AG⊥ED交ED的延长线于G，根据解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：（1）∵DF⊥AC于点F，∠DCF＝50°， 在Rt△CDF中，cos50°， ∴CD（cm）， ∵CE：CD＝1：5， ∴DE＝60cm； （2）如图，过A作AG⊥ED，交ED的延长线于G， ∵DE＝BC＝AB，DE＝60cm， ∴AC＝120cm， 在Rt△ACG中，sin∠DCF， ∴h＝AG＝AC•sin50°＝120×0.77＝92.4≈92（cm）． （30分钟限时练） 1.（2025秋•南山区校级期末）在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c，那么下列等式中，成立的是（　　） A．c＝a•sinA+b•sinB B．c＝a•cosA+b•cosB C．c＝a•sinB+b•sinA D．c＝a•cosB+b•cosA 【答案】D 【分析】通过作高将边c分解为两段，利用余弦的定义求解即可． 【详解】解：设从C点作高CD⊥AB于D，如图， ∵， ∴AD＝b•cosA， ∵， ∴BD＝a•cosB， ∵c＝AB＝AD+BD， ∴c＝b•cosA+a•cosB． 故选：D． 2．（2025春•龙华区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦、正切的定义逐一判断即可． 【详解】解：如图，根据余弦、正切的定义逐项分析判断如下： A、，原选项错误，不符合题意； B、，原选项错误，不符合题意； C、，原选项错误，不符合题意； D、，原选项正确，符合题意； 故选：D． 3．（2024•南山区校级模拟）已知∠A是锐角，，则cosA的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义即可求解． 【详解】解：如图所示： ∵， 设BC＝3a，AB＝5a， 则， ∴cosA． 故选：B． 4.（2025秋•南山区校级月考）比较大小：sin40°　＜　 sin50°（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【答案】＜． 【分析】根据“一个锐角的正弦值随着锐角的增大而增大”进行判断即可． 【详解】解：∵40°＜50°， ∴sin40°＜sin50°， 故答案为：＜． 5．（2026•罗湖区模拟）计算：； 【答案】1； 【详解】解：（1）原式＝12 ＝1﹣1+1 ＝1； 6.（2025•深圳校级二模）航天员也能“点外卖”：北京时间2024年11月15日23时13分，搭载天舟八号货运飞船的长征七号遥九运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟八号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，之后飞船太阳能帆板顺利展开，发射取得圆满成功．当天火箭从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角∠DPA为30°，A与P两点的距离为10千米；它沿铅垂线上升到达B处时，此时在P处测得B点的仰角∠DPB为45°，则天舟二号从A处到B处的距离AB的长为（　　）（参考数据：）． A．2.0千米 B．1.5千米 C．2.5千米 D．3.5千米 【答案】D 【分析】根据题意可得：BD⊥DP，然后在Rt△ADP中，利用含30度角的直角三角形的性质可得AD＝5千米，DP＝5千米，再在Rt△BDP中，利用锐角三角函数的定义求出BD的长，最后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：BD⊥DP， 在Rt△ADP中，∠DPA＝30°，AP＝10千米， ∴ADAP＝5（千米），DPAD＝5（千米）， 在Rt△BDP中，∠BPD＝45°， ∴BD＝DP•tan45°＝5（千米）， ∴AB＝BD﹣AD＝55≈3.5（千米）， ∴天舟二号从A处到B处的距离AB的长约为3.5千米， 故选：D． 7.（2025•福田区三模）某校九年级“综合与实践”小组开展“测量春笋大厦高度”实践活动．如图，在距离“春笋大厦”底部中心N点右侧有一个处观测点A，AN＝285米，在B处有一架测量无人机，观测点A到无人机B的距离米，在点A处用测角仪测得无人机B的仰角为∠BAN，BC∥AN，且，在点B处用无人机测得“春笋大厦”最高点M的仰角为∠MBC，且tan∠MBC＝3，点A，B，C，M，N在同一平面内，测角仪高度忽略不计． （1）求点B到水平地面NA的距离； （2）求“春笋大厦”MN的高度． 【答案】（1）点B到水平地面NA的距离为米； （2）“春笋大厦”MN的高度为392.5米． 【分析】（1）过点B作BD⊥AN，垂足为D，根据题意可得：BD＝CN，BC＝ND，然后在Rt△ADB中，利用锐角三角函数的定义可设BD＝x米，则AD＝2x米，从而利用勾股定理进行计算即可解答； （2）利用（1）的结论可得BC＝ND＝100米，然后在Rt△BCM中，利用锐角三角函数的定义求出CM的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：（1）过点B作BD⊥AN，垂足为D， 由题意得：BD＝CN，BC＝ND， 在Rt△ADB中，， ∴， ∴设BD＝x米，则AD＝2x米， ∴ABx（米）， ∵米， ∴x， 解得：x， ∴BD＝CN米，AD＝185米， ∴点B到水平地面NA的距离为米； （2）∵AN＝285米，AD＝185米， ∴BC＝ND＝AN﹣AD＝285﹣185＝100（米）， 在Rt△BCM中，tan∠MBC＝3， ∴MC＝BC•tan∠MBC＝300（米）， ∴MN＝MC+CN＝392.5（米）， ∴“春笋大厦”MN的高度为392.5米． 8.（2024•福田区校级模拟）某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路．甲侦测员在A处测得点O位于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°，测得AC＝840m，BC＝500m，请求出点O到BC的距离（　　）m．（参考数据sin73.7°，cos73.7°，tan73.7°） A．140m B．340m C．360m D．480m 【答案】D 【分析】作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，设OM＝x，根据矩形的性质用x表示出OM、MC，根据正切的定义用x表示出BM，根据题意列式计算即可． 【详解】解：作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N， 则四边形ONCM为矩形， ∴ON＝MC，OM＝NC， 设OM＝xm，则NC＝xm，AN＝（840﹣x）m， 在Rt△ANO中，∠OAN＝45°， ∴ON＝AN＝（840﹣x）m，则MC＝ON＝（840﹣x）m， 在Rt△BOM中，BMx， 由题意得，840﹣xx＝500， 解得，x＝480， 答：点O到BC的距离为480m． 故选：D． 9．（2025•深圳模拟）如图，小明在C处看到西北方向上有一凉亭A，北偏东35°的方向上有一棵大树B，已知凉亭A在大树B的正西方向，若BC＝100米，则A、B两点相距（　　）米． A．100（cos35°+sin35°） B．100（cos35°﹣sin35°） C．（） D．（） 【答案】A 【分析】本题可通过构建直角三角形来解答，过点C作AB的垂线交AB于D，CD是直角三角形ACD和CBD的公共直角边，要先求出CD的值然后再求AD，BD的值，进而得出AB的长． 【详解】解：过点C作AB的垂线交AB于D， ∵B点在A点的正东方向上， ∴∠ACD＝45°，∠DCB＝35°， 在Rt△BCD中，BC＝100， ∴DB＝BCsin35°＝100•sin35°（米）， CD＝BCcos35°＝100•cos35°（米）， 在Rt△ACD中，AD＝CD， ∴AB＝AD+DB＝100（sin35°+cos35°）（米）． 故选：A． 10.（2024•龙华区校级模拟）如图所示，折线A﹣B﹣C是一段登山石阶，其中AB＝BC，AB部分的坡角为60°，BC部分的坡角为45°，AD＝30m． （1）求石阶路（折线A→B→C）的长． （2）如果每级石阶的高不超过20cm，那么这一段登山石阶至少有多少级台阶？（最后一级石阶的高度不足20cm时，按一级石阶计算．可能用到的数据：，）（4分） 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由∠BAD＝60°，AD＝30m，根据含30度的直角三角形三边的关系，得到AB＝2AD＝60m，则BC＝60m，所以石阶路（折线A→B→C）的长为120m； （2）根据含30度的直角三角形三边的关系和等腰直角三角形的性质得到BDAD＝30m，CEBC＝30m，则30（）×100÷20≈472级． 【详解】解：（1）∵∠BAD＝60°，AD＝30m， ∴∠ABD＝30°，AB＝2AD＝60m， 而AB＝BC ∴BC＝60m， ∴石阶路（折线A→B→C）的长为120m； （2）∵BDAD＝30m， CEBC＝30m， ∴CF＝30（）m ∴30（）×100÷20≈472（级）， ∴这一段登山石阶至少有472级台阶． 11.（2025•深圳校级模拟）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角∠BAC＝130°，点D在伞柄AP上，AE＝AF＝DE＝DF＝m，则AD的长度可表示为（　　） A．msin65° B．mcos65° C．2msin65° D．2mcos65° 【答案】D 【分析】连接EF交AD于点O，根据已知易得：四边形AEDF是菱形，从而利用菱形的性质可得OA＝ODAD，∠AOF＝90°，∠FAD＝65°，然后在Rt△AOF中，利用锐角三角函数的定义求出AO的长，从而求出AD的长，即可解答． 【详解】解：连接EF交AD于点O， ∵AE＝AF＝DE＝DF＝m， ∴四边形AEDF是菱形， ∴OA＝ODAD，∠AOF＝90°，∠FAD∠EAF＝65°， 在Rt△AOF中，AO＝AF•cos65°＝mcos65°， ∴AD＝2AO＝2mcos65°， ∴AD的长度可表示为2mcos65°， 故选：D． 12.（2025•龙华区二模）根据以下信息，探索完成任务． 如何设计窗户限位器位置 信息1 问题背景 平开窗是生活中常见的一种窗户，安装平开窗需要一种滑撑支架，如图是这种平开窗的实物展示图． 信息2 数学抽象 把上述实物图抽象成如右示意图．已知滑撑支架的滑动轨道AB固定在窗框底边，EF固定在窗页底边，点B，C，D三点固定在同一直线上．当窗户关闭时，点E与点A重合，DE和DB均落在AB上；当点O向点B滑动时，四边形OCDE始终为平行四边形，其中OE＝8cm，DE＝16cm，BC＝17cm． 信息3 安全规范 窗户打开一定角度后，OC与AB形成一个角∠COB．出于安全考虑，部分公共场合的平开窗有开启角度限制要求：平开窗的开启角度应该控制在30°以内（即∠COB≤30°）． 问题解决 任务1 求解关键数量 滑撑支架中CD的长度为 　8　 cm，滑动轨道AB的长度是 　41　 cm． 任务2 确定安装方案 为符合安全规范要求，某公共场合的平开窗需在滑动轨道AB上安装一个限位器P，控制平开窗的开启角度，当点O滑动到点P时∠COB＝30°，则限位器P应装在离点A多远的位置？（结果保留根号） 【答案】（1）8，41； （2）限位器P应装在离A点（26﹣8）cm的位置． 【分析】（1）根据题意，可得CD＝OE，AB＝DE+DB，从而得到结果； （2）作CH⊥AB，在Rt△OCH中，求出CH，OH，从而得到BH长，即可得到结果． 【详解】解：【任务1】∵四边形OCDE始终为平行四边形，OE＝8cm， ∴CD＝OE＝8cm， ∵当窗户关闭时，点E与点A重合，DE和DB均落在AB上， ∴AB＝DE+DB＝DE+CD+BC＝16+8+17＝41（cm）， 故答案为：8，41； 【任务2】过点C作CH⊥AB交AB于点H， 依题意得∠COB＝30°， ∵四边形OCDE为平行四边形， ∴ED＝CO＝16cm， ∵CH⊥AB， ∴在Rt△OCH中，（cm），OH＝OC•cos30°＝168（cm）， 又∵CH⊥AB，CB＝17cm， ∴根据勾股定理可得BH15（cm）， ∴OB＝OH+HB＝15+8（cm）， ∴限位器P的位置离A点41﹣（15+8）＝26﹣8（cm）， 答：限位器P应装在离A点（26﹣8）cm的位置． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $