热点05 解直角三角形的实际应用 （5大题型）（热点专练）（天津专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

热点05 解直角三角形的实际应用 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 第二部分 题型引领·讲方法 题型01 俯角和仰角相关问题 题型02 方位角相关问题 题型03 坡度相关问题 题型04 建筑相关问题 题型05 生物物品相关问题 第三部分 能力突破·限时练 近三年: 2023 第22题 10分 两小问（含填空+计算） 2024 第22题 10分 两小问 2025 第22题 10分 两小问（预测保持） 根据考情分析，2023年天津中考解直角三角形题首次增加了一问填空，第一问较为简单，考查学生实际运用能力；第二问是传统的解直角三角形计算题，学生丢分主要在于数值计算问题。 2026年预测： 可能的变化方向情境创新：可能引入“测量仪器高度”等更贴近实际的细节（如测角仪高度需加上）数据复杂度：计算量可能适度增加，如出现非特殊角（需用计算器或保留三角函数符号）图形复杂度：可能从“两个直角三角形”升级为“三个”，需要筛选有效信息。 备考建议： 1. 巩固基础模型2. 强化画图训练3. 规范计算步骤4. 限时训练解直角三角形大题建议控制在12分钟以内完成，为后面的圆和压轴题留足时间。 题型01 俯角和仰角相关问题 解题策略 仰角俯角 仰角：视线在水平线上方 俯角：视线在水平线下方 关键：作水平线构造直角三角形，高度差是常见方程来源 模型：测量建筑物高度时，设建筑物高 h，两次测量点距离为 d 例1（2024·天津滨海新区·一模）综合与实践活动中，某数学兴趣小组利用所学的知识测量矩形广告牌的高度．如图，在地面A处测得广告牌顶端顶点C的仰角为，走向广告牌到达B处，在B处测得广告牌低端顶点D的仰角为，已知，立柱垂直于，且点A，B，H在同一条水平直线上．（矩形广告牌与立柱垂直）过点D作，垂足为E．设（单位：m）． (1)用含有h和的式子表示线段的长； (2)求广告牌低端顶点D到地面的距离的长．（取2.25，结果取整数） 【答案】(1)线段的长为 (2)的长约为 【来源】2024年天津市天津市滨海新区中考一模数学试题 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）设，则，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，根据，从而列出关于x的方程进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴线段的长为； （2）解：设， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴广告牌低端顶点D到地面的距离的长约为． 【变式1】（2025·天津建华中学·模拟）如图，在一次联合反潜演习中，军舰测得潜艇的俯角为；位于军舰正上方的反潜直升机测得潜艇的俯角为，设潜艇离开海平面的下潜深度为（单位：m）． (1)用含有的式子表示潜艇到的水平距离．（结果保留三角函数形式） (2)试根据以上数据求出潜艇离开海平面的下潜深度（结果保留整数） 【答案】(1) (2)米 【来源】天津市建华中学2024-2025学年九年级下中考模拟预测数学试题 【分析】本题考查了解直三角形的应用——仰角与俯角问题，解题关键是通过作垂线构造直角三角形求解． （1）利用线段利用正切 求得； （2）分别在，中，用含的式子表示，再利用等量代换列出关于的方程，即可求出的值，即潜艇C离开海平面的下潜深度． 【详解】（1）解：过点C作，交的延长线于点D， 设潜艇离开海平面的下潜深度为（单位：m）， 即为潜艇C的下潜深度， 在中，，， ∴=； （2）在中，，， ∴， ∴ ∴ 答：潜艇C离开海平面的下潜深度为． 【变式2】（2025·天津九十五中·一模）如图，热气球的探测器显示，从热气球所在位置A处看一栋楼顶部B处的仰角为，看这栋楼底部C处的俯角为；已知这栋楼的高度为，求热气球所在位置与楼的水平距离（结果保留整数）．（参考数据：，） 【答案】热气球所在位置与楼的水平距离约为 【来源】2025年天津市第九十五中学第一次中考模拟预测数学试题 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．如图，过点A作，垂足为D，根据题意，，，在中，根据三角函数的定义得到，在中，根据三角函数的定义得到，于是得到结论． 【详解】解：如图，过点A作，垂足为D， 根据题意，，， ∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， 又∵， ∴， 答：热气球所在位置与楼的水平距离约为． 【变式3】（2025·天津红桥九中·二模）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪，在两侧，，点C与点E相距 （点C，H，E在同一条直线上），在D处测得简尖顶点A的仰角为，在F处测得筒尖顶点A的仰角为．求风电塔筒的高度．（参考数据：，，．） 【答案】 【详解】解：如图所示，过点作于G，连接，则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 由题意可得， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴三点共线， ∴； 设， 在中，， ∴ ∴； 在中，， ∴ ∴； ∴， 解得， ∴， ∴， ∴风电塔筒的高度约为． 【变式4】（2024·天津和平·一模）年月日点分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面处发射，当飞船到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达处，此时测得仰角为．    (1)求点离地面的高度； (2)求飞船从处到处的平均速度．(结果精确到，参考数据：) 【答案】(1) (2)飞船从处到处的平均速度约为 【详解】（1）解：在中，，，， ， （2）在中，，，， ， 在中，，， ， ， ， 飞船从处到处的平均速度． 【点睛】本题考查了解直角三角形-俯角仰角问题，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键． 题型02 方位角相关问题 解题策略 1. 定观测点：题目中每个“测得”的位置就是一个观测点，在该点处画出十字方向标（上北下南，左西右东）。 2. 画方位射线：从观测点出发，按描述画出射线。 3. 标交点：多个观测点的射线交点就是目标点。 关键：每个观测点的方向标都是独立的，方向线互相平行（因为所有正北方向都是平行的）。 例1（2025·天津南开·二模）如图1，是在同一平面内的四地．地在地的北偏东方向，两地相距地位于地的正东方向与地的正南方向的交汇处．地位于地的正南方向，还在地的正北方向． (1)请直接用含有三角函数的代数式表示线段和的长： ， ； (2)如图2，地与四地在同一平面内，地位于地的正西方向，且地位于地的南偏西方向，而地位于地的南偏西方向．设两地的距离为（单位：）． ①填空：用含有的式子表示线段的长为 （结果保留根号）； ②求两地的距离（结果取整数）参考数据：． 【答案】(1)； (2)①② 【来源】2025年天津市南开区中考二模考试数学试题 【分析】本题主要考查解直角三角形，正确作辅助线构造直角三角形是解答本题的关键． （1）直接根据直角三角形边角关系求解即可； （2）①根据角的正切值求解即可； ②过点E作于点H，利用锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，，，， ∵， ∴， 故答案为：；； （2）解：①在中，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②过点作于点，则四边形是矩形， ∴ 在中，， ∴， ∴， ∴； 同理可得，， ∴， 在中，， ∴， 解得，， 即两地的距离为． 【变式1】（2025·天津河东·二模）“桥园公园”简称桥园，是天津市最大的人造生态湿地公园，也是中国城市公园在世界建筑节上第一次获“全球最佳景观奖”的生态创意型公园．为了生态可持续发展，某园林设计公司为桥园一处湿地提供了一份景观提升设计．如图，距A地东北方向处是亲水平台（B地），距亲水平台（B地）北偏东方向处是观景台（C地），从观景台（C地）沿长廊向正南方向走可以到达凉亭（E地），从亲水平台（B地）向正东方向走可以到达长廊（F地）． (1)请求出的长度； (2)从A地出发后，先沿正东方向走可到达凉亭（E地），再沿北偏东方向走可到达小广场（D地），小广场（D地）在观景台（C地）的南偏东方向．请求出的长度．（结果取整数，参考数据） 【答案】(1) (2)50米 【来源】2025年天津市河东区九年级二模数学试题 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，等角对等边，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键： （1）过点B作于H，分别解，，求出的长，根据线段的和差关系求出的长即可； （2）过点D作于G，在上取点，使得，连接，得，设，解，求出，根据，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，，， 过点B作于H，由题意，可得：，， 在中， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 又， ∴的长为； （2）过点D作于G，在上取点，使得，连接， 由题意得，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 在中， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， 答：的长约为50米． 【变式2】（2025·天津河北区·一模）景点A的南偏东方向有景点B，景点A的正南方向有景点C，景点A和景点C有一条笔直的公路相连，景点B在景点C北偏东方向，即线段， (1)求景点B到公路的最短距离（结果取整数）； (2)景点B的东南方向有景点D，求景点D到公路的最短距离（结果取整数）． 参考数据：取，取，取． 【答案】(1) (2) 【来源】天津市河北区2024—2025学年下学期九年级第一次模拟考试数学试题（1） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点B作于E，设，分别解直角三角形求出的长，再根据建立方程求解即可 （2）过点B作，过点D作于D，交于H，则四边形是矩形，则可得的长，再解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解；如图所示，过点B作于E，设， 在中，， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 答：景点B到公路的最短距离为； （2）解：如图所示，过点B作，过点D作于D，交于H，则四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 答：景点D到公路的最短距离为． 【变式3】（2024·天津七中·三模）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A 处时，测得码头 C 在北偏东的方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向， 沿着北偏东的方向继续航行，当它航行到B 处后，又沿着南偏东的方向航行40海里到达码头C（参考数据：，， (1)求的度数： (2)求货轮从A 处到B处航行的距离（结果精确到0.1海里．） 【答案】(1) (2)61.3海里 【来源】2024年天津市第七中学中考三模数学试题 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作，交于点，根据平行线的性质求出，再根据三角形内角和定理求出； （2）过点作于，根据正弦的定义求出，进而求出． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点， 则， ， ， ； （2）解：如图，过点作于， 在中，海里，， ， （海里）， 在中，， 则（海里）， 答：货轮从到航行的距离约为61.3海里． 【变式4】（2024·天津武清·三模）如图，乡镇在乡镇的正北方向，桥最北端桥墩在乡镇的西南方向，最南端桥墩在乡镇的北偏西方向处．原来从乡镇到乡镇需要经过桥，沿折线到达，现在新建了桥，可直接沿直线从乡镇到达乡镇，已知桥和平行，．    (1)求点到直线的距离； (2)求现在从乡镇到乡镇比原来少走的路程．参考数据：，，，结果保留整数． 【答案】(1)点到直线的距离为 (2)现在从乡镇到乡镇比原来少走的路程为 【来源】2024年天津市武清区多校联考中考三模数学试题 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）作于，于，证明四边形为矩形，得出，，解直角三角形得出的长即可得解； （2）解直角三角形得出的长，在求出的长，由勾股定理得出的长，最后由计算即可得解． 【详解】（1）解：如图：作于，于，   ， 则， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，，，， ∴， ∴， ∴点到直线的距离为； （2）解：在中，，，， ∴， 由（1）得：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴现在从乡镇到乡镇比原来少走的路程为： ． 题型03 坡度相关问题 解题策略 识坡：在图上标出坡角，将坡度转化为比例关系 造直：过坡顶作铅垂线，坡脚作水平线，构造直角三角形 列式：利用坡比设未知数，结合勾股定理或已知边长列方程 例1（2025·天津河北区·一模）城市规划期间，欲拆除一电线杆，如图，已知距电线杆的水平距离的D处有一大坝，背水坡的坡度，坝高为，在坝顶点C处测得电线杆顶点A的仰角为，之间是宽为的行人道，试问在拆除电线杆时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上？（提示：在地面上，以点B为圆心，以为半径的圆形区域为危险区域）（参考数据：） 【答案】不需封闭人行道，理由见解析 【详解】解：如图，作于点M， 由题易知为矩形． ，， 背水坡的坡度， ， ． （）． 在中， ， （）． （）． 而（）． ．故不需封闭人行道． 【变式1】（2024·天津和平区·三模）本溪市青云山景区为给游客游览提供便利，计划在青云山的点D处修一条到山顶A的索道．如图，，规划小组在山底的点C处测得山顶A的仰角为，从点C处沿坡度为的斜坡前进13米至点D处，在点D处测得山顶A的仰角为．求索道的长度． （结果精确到1米．参考数据：，）    【答案】79米 【详解】解：如图，过点D作于点F，于点E，    ，，， 四边形是矩形， ，， 设米， 斜坡的坡度为， ， 由勾股定理得：， 即， 解得， （米），（米）， 设米， 在中，， （米），（米）， （米）， 在中，， （米）， ， 解得， （米）， 即索道的长度为79米． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用、矩形的判定与性质、勾股定理等，解题的关键是通过添加辅助线构造直角三角形，掌握坡度比的概念． 【变式2】（2025·天津河北区·三模）如图，某社区一建筑物上，悬挂“创文明小区，建和谐社会”的宣传条幅，小明站在位于建筑物正前方的台阶点处测得条幅顶端的仰角为，朝着条幅的方向走到台阶下的点处，测得条幅顶端的仰角为，已知台阶的坡度为，米，则条幅的长度为多少米．（结果精确到0.1米，参考数据，，，） 【答案】米 【详解】解：过点D作于点F，如图， 由题意得， ∵台阶的坡度为，米， ∴米， ∵米，， ∴， 即， 又∵米，， ∴， 即， ∴， 解得米， ∴条幅的长度为米． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，仰角俯角问题，解题的关键是明确题意，构造合适的直角三角形，利用锐角三角函数进行解答． 【变式3】（2024·天津河西·模拟）如图，小明在大楼30米高（即PH＝30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，点P、H、B、C、A在同一个平面上．点H、B、C在同一条直线上，且PH⊥HC． （1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于 度； （2）求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）． 【答案】（1）30．（2）34.6米． 【详解】（1）∵山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：． ∴tan∠ABC=， ∴∠ABC=30°； 故答案为：30； （2）设过点P的水平线为PQ，则由题意得： 45° 在Rt△PBH中， 在Rt△PBA中， 答：A、B两点间的距离约34.6米． 【变式4】（2023·天津和平区·二模）某地一人行天桥如图所示，天桥高6 m，坡面BC的坡比为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡比，使新坡面AC的坡比为1∶． (1)求新坡面的坡角α； (2)原天桥底部正前方8 m处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除．请说明理由． 【答案】(1)α＝30°；(2)文化墙PM不需要拆除，理由见解析． 【详解】（1）∵新坡面的坡度为1：， ∴tanα=tan∠CAB=， ∴∠α=30°． 答：新坡面的坡角a为30°； （2）文化墙PM不需要拆除． 过点C作CD⊥AB于点D，则CD=6， ∵坡面BC的坡度为1：1，新坡面的坡度为1：， ∴BD=CD=6，AD=6， ∴AB=AD﹣BD=6﹣6＜8， ∴文化墙PM不需要拆除． 【点睛】此题考查了坡度坡角的知识．注意根据题意构造直角三角形是关键． 题型04 建筑相关问题 解题策略 考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定等等，熟知锐角三角函数是解题的关键，做出合理的辅助线也很重要。 例1（2025·天津南开·三模）如图，一架无人机在一条笔直的公路上方飞行，处为一辆行驶中的小汽车，为公路上的一座桥梁，当无人机飞行到处时，测得处的俯角（）为，处的俯角（）为，其中，，在一条直线上，且，此时，小明在桥梁的入口处测得无人机的仰角为．已知桥梁的总长度为． (1)求此时无人机所在位置离地面的距离； (2)处的小汽车到桥梁入口的距离的长（结果取整数）．参考数据：，． 【答案】(1) (2) 【来源】2025年天津市南开区九年级中考三模数学试卷 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，由题意可知， ，，，设，     在中，， ，              ∵， ，       在中，，，， 即，            ，            ， 答：此时无人机所在位置离地面的距离为； （2）解：∵， 在中，，， ，             ， 小汽车到桥梁入口的距离的长约为． 【变式1】（2025·天津部分区·二模）综合与实践活动中，要用测角仪测量某学校凉亭的高度（如图①）． 某小组设计了一个方案：图②是凉亭侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是凉亭的高所在的直线，在地面上F点测得凉亭顶部C的仰角（）为，此时地面上F点，凉亭外檐上A点，顶部C点三点共线，继续向凉亭方向走到达G点处，又测得A点的仰角（）为，凉亭的顶层横梁，，交于点E（点F，G，D在同一水平线上）．    (1)求凉亭顶部到横梁的距离（结果取整数）． (2)求凉亭的高（结果取整数）．（参考数据：，） 【答案】(1)凉亭顶部到横梁的距离约为 (2)凉亭的高约为 【来源】2025年天津市部分区九年级中考二模数学试题 【详解】（1）解：由题意可知，直线为的对称轴，． ，． ，，点C，A，F三点共线， ． 在中，． ． 答：凉亭顶部到横梁的距离约为； （2）解：如图，过A作于点H，则四边形AHDE为矩形， ∴ 根据题意可知，，． 设． 在中，． ． ． 在中，． ． 解得（已检验）． ， ． 答：凉亭的高约为．    【变式2】（2025·天津河东·二模）惠州泗州塔始建于唐朝，是一座八角七层的楼阁式砖塔，如图所示，为了测量塔高，已知在C处测得塔顶的仰角，朝塔脚前进米到B点，在B处测得塔顶的仰角，已知，请求出塔高约为多少米．（，结果精确到个位） 【答案】 【详解】解：设为米， ∵在中，， ∴﹐ ∴， ∵在中，， ∴， 解得：， 答：塔高约为米． 【变式3】（2024·天津武清·三模）小华和小明想利用测试器和阳光下的影子来测量一座古塔的高度，由于古塔周围有护栏保护，他们无法到达古塔的底部．如图所示，他们的测量方法是：首先，在阻光下，小华在古塔的影子顶端处竖立一个标杆的影长米，标杆米；然后，在古塔影子上的点处安装测倾器，测得古塔顶端的仰角为，量得米，米．已知在测量过程中，点，，，在同一水平直线上，，，均垂直于．求古塔的高度．（结果精确到米．参考数据：，，） 【答案】古塔的高度约为米． 【详解】解：过作于点， ∴四边形是矩形，， ∴米，， 由题意， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， 设，， ∴， 解得：， 经检验：是分式方程的解，且符合题意， ∴（米）， 答：古塔的高度约为米． 【变式4】（2024·天津滨海新区·二模）正定县某学校在综合与实践活动中，要用测角仪测量复兴大街上的滹沱河大桥主塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角为，测得桥塔底部的俯角为，又在处测得桥塔顶部的仰角为． (1)求线段的长（结果取一位小数）； (2)求桥塔的高度（结果取一位小数）．（参考数据：．） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设 ， 在 中， ， ， 在 中， ， ， 即 ， ∴ ， 答： 线段 的长约为 ； （2）解：在 中 ， ， ， ， 答： 桥塔 的高度约为 ． 题型05 生物物品相关问题 解题策略 考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定等等，熟知锐角三角函数是解题的关键，做出合理的辅助线也很重要。 例1（2025·天津和平·三模）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，通过调节与的仰角与的大小来达成个人舒适的高度，已知调节杆，，的最大仰角为．    (1)当点离桌面高度大约时，手腕最舒适，请问应该调整哪个角的大小？调整为多少度？ (2)在（1）的条件下，求点到桌面的最大高度．（参考数据：） 【答案】(1)调整，使得 (2) 【详解】（1）解：过点B作于点F，如图所示：    则， ∵，， ∴， ∵， ∴应该调整，使得． （2）解：如图，过点A作于点G，则， ∵，的最大仰角为 ∴的最大值为：， ∴点到桌面的最大高度为． 【变式1】（2025·天津河北区·二模）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：）      【答案】米 【来源】2023年四川省成都市数学中考真题 【分析】过点作于点，于点，则四边形是矩形，在中，求得，进而求得，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，于点，则四边形是矩形，    依题意， ，（米） 在中，（米），（米），则（米） ∵（米） ∴（米） ∵， ∴（米） ∴（米）． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【变式2】（2025·天津红桥·三模）某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且；支架BC与水平线AD垂直．，，，另一支架AB与水平线夹角，求OB的长度（结果精确到1cm；温馨提示：，，） 【答案】. 【来源】湖南省邵阳市2019年中考数学试题 【分析】设，根据含30度角的直角三角形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】设， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， 解得：， ∴.8≈19 cm 【点睛】本题考查解直角三角形，熟练运用锐角三角函数的定义是解题关键. 【变式3】（2024·天津滨海新区·三模）“4000辆自行车、187个服务网点”，某市区现已实现公共自行车服务全覆盖，为人们的生活带来了方便．图①是公共自行车的实物图，图②是公共自行车的车架示意图，点A，D，C，E在同一条直线上，CD＝30 cm，DF＝20 cm，AF＝25 cm，FD⊥AE于点D，座杆CE＝15 cm，且∠EAB＝75°. （1）求AD的长； （2）求点E到AB的距离.（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73） 【答案】（1）15cm；（2）点E到AB的距离为58.2cm 【详解】分析：（1）根据勾股定理求出AD的长； （2）作EH⊥AB于H，求出AE的长，根据正弦的概念求出点E到车架AB的距离． 详解：（1）在Rt△ADF中，由勾股定理得， AD=（cm）． （2）AE=AD+CD+EC=15+30+15=60（cm）． 过点E作EH⊥AB于H， 在Rt△AEH中，sin∠EAH=， ∴EH=AE•sin∠EAH=AB•sin75°≈60×0.97=58.2（cm）． 答：点E到AB的距离为58.2 cm． 【变式4】（2024·天津武清·二模）如图1是一种折叠椅，忽略其支架等的宽度，得到他的侧面简化结构图(图2)，支架与坐板均用线段表示，若座板DF平行于地面MN，前支撑架AB与后支撑架AC分别与座板DF交于点E、D，现测得DE＝20厘米，DC＝40厘米，∠AED＝58°，∠ADE＝76°. (1)求椅子的高度(即椅子的座板DF与地面MN之间的距离)(精确到1厘米) (2)求椅子两脚B、C之间的距离(精确到1厘米)(参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53， tan 58°≈1.60，sin 76°≈0.97.cos  76°≈0.24，tan 76°≈4.00) 【答案】（1）39cm;（2）54cm. 【详解】试题分析：（1）作DP⊥MN于点P，即∠DPC=90°，由DE∥MN知∠DCP=∠ADE=76°，根据DP=CDsin∠DCP可得答案； （2）作EQ⊥MN于点Q可得四边形DEQP是矩形，知DE=PQ=20，EQ=DP=39，再分别求出BQ、CP的长可得答案． 试题解析： 如图，作于点P，即， ， ， 则在中，， 答：椅子的高度约为39厘米； 作于点Q， ， ， 又， 四边形DEQP是矩形，， ， 又， ， ， 答：椅子两脚B、C之间的距离约为54cm． （30分钟限时练） 1．综合与实践活动中，要用测角仪测量小山上方某信号塔的高度（如图①）．某小组设计了一个方案：如图②，点E，C，D依次在一条水平线上，，，垂足为点C．在D处测得信号塔顶端A的仰角（）为，在E处测得信号塔顶端A的仰角（）为，测得信号塔底端B的仰角（）为．参考数据：取，取0.60． (1)求线段的长； (2)求信号塔的高度（结果取整数）． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是： （1）设，根据正切的定义，先在中用x表示出，再在中得到，所以，解方程求出x，从而得到的长； （2）在中利用正切的定义求出，然后计算即可． 【详解】（1）解：设， 在中，∵ ， ∴， 在中，∵， ∴， ∵， 即， ∴， 解得， ∴； 答：线段的长为； （2）解：在中，∵， ∴， ∴． 答：信号塔的高度为． 2．为了解学校附近一斜坡旁边一棵直立大树的高度，该校数学兴趣小组进行实地测量．如图，在斜坡顶部点C处测得大树顶端A的仰角为，大树底端B的俯角为，从点C出发沿远离大树的水平方向走4米到达点D处，测得大树顶端A的仰角为，点A，B，C，D在同一平面，延长交于点E． (1)求线段的长度．（结果保留整数） (2)计算大树的高度．（结果保留整数）（参考数据：，） 【答案】(1)线段的长度约为3米 (2)大树的高度约为5米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用． （1）由已知条件易得，解直角三角形即可求出的长； （2）根据即可得解． 【详解】（1）解：根据题意可知， ∴， ∵， ∴， ∴， 设米， ∴米， 在中，（米）， 在中，， 解得， ∴米，（米）； 答：线段的长度约为米； （2）解：（米）， 答：大树的高度约为5米． 3．随着科技的发展，无人机在实际生活中运用广泛．如图，小明利用无人机测量两栋大楼之间的距离，无人机在空中点O处，测得大楼B的底部点B的俯角为，测得大楼的顶部点C和底部点D的俯角分别为和（其中点A，B，C，D，O均在同一平面内）．已知大楼共8层，每层高度为，请根据以上数据计算两栋大楼之间的距离的长．（结果精确到，参考数据：，，，）    【答案】 【分析】如图所示，分别延长分别交过点O且与地面平行的直线于G、H，则四边形是矩形，证明得到，解求出，则，解求出，则，即两栋大楼之间的距离的长约为． 【详解】解：如图所示，分别延长分别交过点O且与地面平行的直线于G、H，则四边形是矩形， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴两栋大楼之间的距离的长约为．    【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判断，等腰三角形的判定等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 4．小华想利用测量知识测算湖中小山的高度．如图，小华站在湖边看台上，清晰地看到小山倒映在平静的湖水中，且在点O处测得小山顶端的仰角为，小山顶端A在水中倒影的俯角为．已知点O到湖面的距离，，A、B、三点共线，，求小山的高度（光线的折射忽略不计；结果取整数，参考数据：）． 【答案】小山的高度约为15 【分析】如图，过点O作于点E，则四边形是矩形，，由题意知，，设，则，，根据，，可得，求解的值，进而可得的值． 【详解】解：如图，过点O作于点E，则四边形是矩形， ∴， 由题意知，， 设，则，， ∵，， ∴，解得， ∴， ∴， 答：小山的高度约为15． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 热点05 解直角三角形的实际应用 ◆ 召热点聚焦 召方法精讲 包能力突破 第一部分热点聚焦。析考情 第二部分题型引领。讲方法 题型01俯角和仰角相关问题 题型02方位角相关问题 题型03坡度相关问题 题型04建筑相关问题 题型05生物物品相关问题 第三部分能力突破。限时练 ⊙热点聚焦 析考情鸡 近三年： 2023第22题10分两小问（含填空+计算） 2024第22题10分两小问 2025第22题10分两小问（预测保持） 根据考情分析，2023年天津中考解直角三角形题首次增加了一问填空，第一问较为简单，考查学生实际运 用能力；第二问是传统的解直角三角形计算题，学生丢分主要在于数值计算问题。 2026年预测： 可能的变化方向情境创新：可能引入“测量仪器高度”等更贴近实际的细节（如测角仪高度需加上）数据复 杂度：计算量可能适度增加，如出现非特殊角（需用计算器或保留三角函数符号）图形复杂度：可能从“两 个直角三角形”升级为“三个”，需要筛选有效信息。 备考建议： 1.巩固基础模型2.强化画图训练3.规范计算步骤4.限时训练解直角三角形大题建议控制在12分钟以内 完成，为后面的圆和压轴题留足时间。 ©题型引领川 讲方法鹦 题型01俯角和仰角相关问题 1/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解题策略 仰角俯角 仰角：视线在水平线上方 俯角：视线在水平线下方 关键：作水平线构造直角三角形，高度差是常见方程来源 模型：测量建筑物高度时，设建筑物高h,两次测量点距离为d 例1(2024天津滨海新区.一模)综合与实践活动中，某数学兴趣小组利用所学的知识测量矩形广告牌的高 度.如图，在地面A处测得广告牌顶端顶点C的仰角为45°，走向广告牌6m到达B处，在B处测得广告牌 低端顶点D的仰角为66°，已知CD=2m,立柱GH垂直于AB,且点A,B,H在同一条水平直线上.（矩 形广告牌与立柱GH垂直)过点D作DE⊥AB,垂足为E.设DE=h(单位：m)· G 45 人66°1 B E (1)用含有h和tan66°的式子表示线段BE的长； (2)求广告牌低端顶点D到地面的距离DE的长.(tan66°取2.25，结果取整数) 【变式1】(2025天津建华中学.模拟)如图，在一次联合反潜演习中，军舰A测得潜艇C的俯角为31°； 位于军舰A正上方500m的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°，设潜艇C离开海平面的下潜深度为h(单 位：m). 689 海平面 319 (1)用含有的式子表示潜艇C到AB的水平距离.（结果保留三角函数形式） (2)试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度（结果保留整数） (sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin68°≈0.93，c0s68°≈0.37，tan68°≈2.51 【变式2】(2025·天津九十五中.一模)如图，热气球的探测器显示，从热气球所在位置A处看一栋楼顶部 B处的仰角为35°，看这栋楼底部C处的俯角为61°；已知这栋楼BC的高度为300m,求热气球所在位置与 楼的水平距离（结果保留整数），（参考数据：tan35°≈0.70，tan61°≈1.80） 2/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 359 口 61ò □ 口 ▣ 777777777777 C 【变式3】(2025·天津红桥九中.二模)习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、 2060年前实现碳中和，甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速，某学习小组成员查阅资料得知，在风力 发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数.于是小组成员开展了“测量风电塔筒 高度"的实践活动.如图，己知一风电塔筒AH垂直于地面，测角仪CD,EF在AH两侧，CD=EF=1.6m ,点C与点E相距182m(点C,H,E在同一条直线上)，在D处测得简尖顶点A的仰角为45°，在F处 测得筒尖顶点4的仰角为53°.求风电塔筒AH的高度.（参考数据：sin53°≈4 ,c0s530≈3， D45° 539F H E 【变式4】(2024天津和平.一模)2023年5月30日9点31分，"神舟十六号"载人飞船在中国酒泉卫星发射 中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站，如图，在发射的过程中， 飞船从地面0处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km,仰角为30°； 10s后飞船到达B处，此时测得仰角为45° 8km ☒ ☒ 45 (1)求点A离地面的高度A0: (2)求飞船从4处到B处的平均速度.（结果精确到0.1km/s,参考数据：√5≈1.73） 题型02方位角相关问题 3/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解题策略 1.定观测点：题目中每个“测得”的位置就是一个观测点，在该点处画出十字方向标（上北下南，左西 右东)。 2.画方位射线：从观测点出发，按描述画出射线。 3.标交点：多个观测点的射线交点就是目标点。 关键：每个观测点的方向标都是独立的，方向线互相平行（因为所有正北方向都是平行的）。 例1(2025·天津南开.二模)如图1，A,B,C,D是在同一平面内的四地.A地在B地的北偏东53°方向， A,B两地相距10km,C地位于B地的正东方向与A地的正南方向的交汇处.D地位于A地的正南方向，还 在C地的正北方向 东 东 63 天3 图1 图2 (1)请直接用含有三角函数的代数式表示线段AC和BC的长：AC=-,BC=-: (2)如图2，E地与A,B,C,D四地在同一平面内，E地位于D地的正西方向，且E地位于A地的南偏西30°方 向，而B地位于E地的南偏西63°方向.设E,D两地的距离为x(单位：km)· ①填空：用含有x的式子表示线段AD的长为-（结果保留根号）； ②求E,D两地的距离（结果取整数）参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan63°≈2，√3≈1.7. 【变式1】(2025·天津河东·二模)“桥园公园”简称桥园，是天津市最大的人造生态湿地公园，也是中国城 市公园在世界建筑节上第一次获“全球最佳景观奖”的生态创意型公园.为了生态可持续发展，某园林设计公 司为桥园一处湿地提供了一份景观提升设计.如图，距A地东北方向60√2m处是亲水平台(B地)，距亲 水平台(B地)北偏东60°方向150m处是观景台(C地)，从观景台(C地)沿长廊向正南方向走可以到达 凉亭(E地)，从亲水平台(B地)向正东方向走可以到达长廊(F地)· (1)请求出CE的长度； (2)从A地出发后，先沿正东方向走可到达凉亭(E地)，再沿北偏东15°方向走可到达小广场(D地)，小 4/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 广场(D地)在观景台(C地)的南偏东30°方向，请求出CD的长度.（结果取整数，参考数据√3≈1.7） 【变式2】(2025天津河北区.一模)景点A的南偏东76°方向有景点B,景点A的正南方向9km有景点C, 景点A和景点C有一条笔直的公路相连，景点B在景点C北偏东38°方向，即线段 AC=9km,∠BAC=76°，∠ACB=38°， B 459 38° (1)求景点B到公路AC的最短距离（结果取整数）； (2)景点B的东南方向4.23km有景点D,求景点D到公路AC的最短距离（结果取整数）· 参考数据：tan76°取4.0，tan38°取0.8，√2取1.41. 【变式3】(2024·天津七中三模)如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C,货轮航行到A处 时，测得码头C在北偏东60°的方向上.为了躲避A,C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东 30°的方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°的方向航行40海里到达码头C(参考数据： sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192) 北 B 70 北 609 30 (1)求∠ACB的度数： (2)求货轮从A处到B处航行的距离（结果精确到0.1海里.） 【变式4】(2024天津武清·三模)如图，乡镇A在乡镇B的正北方向，桥CD最北端桥墩C在乡镇A的西 南方向，最南端桥墩D在乡镇B的北偏西37°方向11k处.原来从乡镇A到乡镇B需要经过桥CD,沿折线 A→C→D→B到达，现在新建了桥EF,可直接沿直线AB从乡镇A到达乡镇B,己知桥CD和AB平行， EF=CD. 5/13 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 北 →东 5 37 (1)求点C到直线AB的距离； (2)求现在从乡镇A到乡镇B比原来少走的路程.参考数据：si37°≈0.6，cos37°≈0.8，√2≈1.4，结果保 留整数. 题型03坡度相关问题 解题策略 识坡：在图上标出坡角，将坡度转化为比例关系 造直：过坡顶作铅垂线，坡脚作水平线，构造直角三角形 列式：利用坡比设未知数，结合勾股定理或已知边长列方程 例1(2025·天津河北区.一模)城市规划期间，欲拆除一电线杆AB,如图，已知距电线杆AB的水平距离 14m的D处有一大坝，背水坡CD的坡度i=1:0.5,坝高CF为2m,在坝顶点C处测得电线杆顶点A的仰 角为30°，DE之间是宽为2m的行人道，试问在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道 封上？（提示：在地面上，以点B为圆心，以AB为半径的圆形区域为危险区域）（参考数据：√3≈1.3） 30 行DF 【变式1】(2024天津和平区三模)本溪市青云山景区为给游客游览提供便利，计划在青云山的点D处修 一条到山顶A的索道.如图，AB上BC,规划小组在山底的点C处测得山顶A的仰角为54°，从点C处沿 坡度为i=1:2.4的斜坡前进13米至点D处，在点D处测得山顶A的仰角为60°.求索道DA的长度. (结果精确到1米.参考数据：sin54°≈0.8，c0s54°≈0.6，tan54°≈1.4，√5≈1.7) 6/13 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】(2025天津河北区三模)如图，某社区一建筑物上，悬挂“创文明小区，建和谐社会”的宣传条 幅AB,小明站在位于建筑物正前方的台阶D点处测得条幅顶端A的仰角为36.5°，朝着条幅的方向走到台 阶下的E点处，测得条幅顶端A的仰角为64°，己知台阶DE的坡度为1：2，DC=2米，则条幅AB的长度为 多少米.（结果精确到0.1米，参考数据sin36.5°≈0.6，tan36.5°≈0.75，sin64°≈0.9，tan64°≈2.1） D236.50 64° E B 【变式3】(2024天津河西模拟)如图，小明在大楼30米高（即PH=30米）的窗口P处进行观测，测得 山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i(即tam∠ABC)为1：√5，点P、 H、B、C、A在同一个平面上.点H、B、C在同一条直线上，且PHLHC. I15-- (1)山坡坡角（即∠ABC)的度数等于_度； (2)求A、B两点间的距离（结果精确到01米，参考数据：√5≈1.732）· 【变式4】(2023·天津和平区.二模)某地一人行天桥如图所示，天桥高6m,坡面BC的坡比为1：1，为了 方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡比，使新坡面AC的坡比为1：√5. 7/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M C -a PA B (1)求新坡面的坡角a: (2)原天桥底部正前方8m处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除.请说明理由. 题型04建筑相关问题 解题策略 考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定等等，熟知锐角三角函数是解题的关键，做出合理 的辅助线也很重要。 例1(2025·天津南开三模)如图，一架无人机在一条笔直的公路上方飞行，A处为一辆行驶中的小汽车， BC为公路上的一座桥梁，当无人机飞行到D处时，测得A处的俯角（∠PDA)为a,C处的俯角 (∠QDC)为B,其中P,D,Q在一条直线上，且PQ∥AC,此时，小明在桥梁的入口B处测得无人机 D的仰角为45°.已知桥梁BC的总长度为321m, 0 452 A B (1)求此时无人机所在位置D离地面AC的距离； 2A处的小汽车到桥梁入8的距离4B的长结果取羟数》·参数摇：心青，B 【变式1】(2025·天津部分区·二模)综合与实践活动中，要用测角仪测量某学校凉亭CD的高度（如图①)， 某小组设计了一个方案：图②是凉亭侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是凉亭的高CD所在的直线， 在地面上F点测得凉亭顶部C的仰角（∠CFD)为38°，此时地面上F点，凉亭外檐上A点，顶部C点三 点共线，继续向凉亭方向走2到达G点处，又测得A点的仰角（∠AGD)为60°，凉亭的顶层横梁 AB=3m,AB∥FD,AB交CD于点E(点F,G,D在同一水平线上). 8/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A E 138 60° G D 图① 图② (1)求凉亭顶部到横梁的距离CE(结果取整数)， (2)求凉亭的高CD(结果取整数).（参考数据：tan38°≈0.8，√5≈1.7） 【变式2】(2025·天津河东·二模)惠州泗州塔始建于唐朝，是一座八角七层的楼阁式砖塔，如图所示，为 了测量塔高A0,己知在C处测得塔顶的仰角∠AC0=45°，朝塔脚前进CB=16米到B点，在B处测得塔 顶的仰角∠AB0=60°，已知∠A0B=90°，请求出塔高A0约为多少米.（√5≈1.7，结果精确到个位） B 图1 图2 【变式3】(2024天津武清三模)小华和小明想利用测试器和阳光下的影子来测量一座古塔的高度AB, 由于古塔周围有护栏保护，他们无法到达古塔的底部B,如图所示，他们的测量方法是：首先，在阻光下， 小华在古塔的影子顶端F处竖立一个标杆EF,EF的影长FG=3米，标杆EF=2米；然后，在古塔影子上的 点D处安装测倾器CD,测得古塔顶端A的仰角为42°，量得CD=1米，DF=14米.己知在测量过程中， 点B,D,F,G在同一水平直线上，AB,CD,EF均垂直于BG,求古塔的高度AB.(结果精确到1米. 参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90) E C-142 O B 【变式4】(2024天津滨海新区.二模)正定县某学校在综合与实践活动中，要用测角仪测量复兴大街上的 9/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 滹沱河大桥主塔AB的高度（如图①）·某学习小组设计了一个方案：如图②，点C,D,E依次在同一条水 平直线上，DE=96m,EC⊥AB,垂足为C.在D处测得桥塔顶部B的仰角∠CDB)为45°，测得桥塔底部 A的俯角∠CDA为6°，又在E处测得桥塔顶部B的仰角∠CEB)为30°， B D 图① 图② (1)求线段CD的长（结果取一位小数）； (2)求桥塔AB的高度（结果取一位小数）· (参考数据：tan6°≈0.l,√3≈1.73.) 题型05生物物品相关问题 解题策略 考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定等等，熟知锐角三角函数是解题的关键，做出合理 的辅助线也很重要。 例1(2025·天津和平.三模)如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，通过调节BA与CB的 仰角a与B的大小来达成个人舒适的高度，己知调节杆CB=11cm,AB=20cm,AB的最大仰角o为53°. B D (1)当点B离桌面高度大约5cm时，手腕最舒适，请问应该调整哪个角的大小？调整为多少度？ (2)在(1)的条件下，求点A到桌面的最大高度.（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33， sin27°≈0.45，cos27°≈0.89) 【变式1】(2025天津河北区·二模)为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化 活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩.如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹 角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长.（结果 精确到0.1米；参考数据：sin16°≈0.28，c0s16°≈0.96，tan16°≈0.29) 10/13