专题2.10 解三角形大题归纳7大题型（期中复习讲义）高一数学下学期人教A版

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题2.10解三角形大题归纳（期中复习讲义) 内容导航 明期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记必备知识 梳理核心脉络，扫除知识育区 破•重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01解三角形中求边长及周长 题型02解三角形中求面积 题型03解三角形中求中线 题型04解三角形中求角分线 题型05解三角形中求高线 题型06解三角形中有关四边形的计算 题型07正余弦定理的应用 过·分层验收 阶梯实哉演练，验收复习成效 明·期中考情 核心考点 复习目标 考情规律 求边长及周长 熟练运用正余弦定理求边：掌握周长表 基础必考，常与面积、最值并列考查，注 达为函数的方法；能根据条件直接建立 意单位统一和结果化简，是后续综合题的 周长方程并求解 第一步 求面积 掌握面积公式及变形式：能根据已知条 高频考点，常与正余弦定理结合，面积公 件灵活选择两边及其夹角求面积 式的灵活选择是得分关键 求中线 掌握向量法（中线向量等于两边向量和 中等难度，常在解答题第二问出现，向量 的一半)和补角余弦法（邻补角余弦值 法是高一重点掌握的方法，需结合三角形 互为相反数)求中线长：能处理中线取 存在性约束 值范围问题 求角分线 熟练运用角平分线定理（分对边成比 中等难度，角平分线定理是转化比例关系 例)和面积法建立方程：能求角分线长 的关键，常与余弦定理结合考查，注意比 1/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 及取值范围 例方向 求高线 掌握面积法（等面积求高）和直角三角 基础题型，常作为求面积或最值的中间步 形法（己知角的正弦直接求高）；能求 骤，面积法最通用，需注意钝角三角形高 高线长及取值范围 在外部的情形 有关四边形的计 将四边形分割为两个三角形，分别解三 综合题型，需具备图形分解能力，公共边 算 角形；能通过公共边或公共角建立方程 (或公共角)是建立联系的关键，注意选 联立求解 择恰当的三角形求解顺序 正余弦定理的应 掌握实际应用问题（测量、航海、几何 应用类题型，注重数学建模素养，需将实 用 图形等)中的建模方法；能准确理解角 际问题转化为解三角形模型 度术语（仰角、俯角、方向角）；能结 合图形建立三角形并求解 记·必备知识 ®知识点01三角形的面积公式 SaABC-absinG-bcsin A-acsin B SABC=abc_1 4R-2a+b+cr(,是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径.) S,ABC=之ahM三角形的底乘高 昼知识点02求三角形周长、边长或面积的最值 1、利用余弦定理与正弦定理、面积公式化简计算三角形的边长或面积，然后利用基本不 等式来求最值。 2、利用正弦定理把其中的边都换成si值，然后通过三角恒等变换合并化简，注意其中角 的范围，然后根据三角函数求最值的方法如换元或辅助角公式简化后求最值。 属知识点3解三角形中的中线模型 1、在平行四边形中，对角线的平方和等于四边的平方和： 2/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 换成三角形的中线，则有ADf=引AB+号|BC-BC 2、可以通过向量法A市=(B+A花，两边平方后可得|ADf=子) 同知识点04解三角形中的角分线模型 面 积 法 如 图 三角 形 中 SAAClsinA-AADsing+VADViACVsinB A B D C 化有na+B=A如密器 2、角分线张角定：那若AD为角分线，斯a=B.则化简上式台cosa=VADVACI+间 3、 斯库顿定理：若AD为角分线，有AD=AB·AC-BD·DC, ⑧知识点5解三角形中的高模型 1、如图AD为BC边上的高线，则有AD=AB·sin∠B=AC·sin∠C 2、利用面积公式有：AD·BC=AB·AC·sin∠BAC 破·重难题型 题型一 解三角形中求边长及周长 3/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 答题引模板 1、求周长问题同求三角形的边长问题。利用面积公式与余弦定理的结合，辅助正弦定理求三角形的边 长。其问题的本质为a+b(周长相关)，ab(面积相关)，a+b2（余弦相关)这三者之间的关系，知二求 2、若周长的最值或两边和的最值问题，通常有以下两种方法 (1)若已知面积，则可利用基本不等式a+b≥2Vab可以把周长的最小值与面积挂钩。运用基本不等式 时，看是否满足取等条件。 (2)若能根据余弦定理，则可利用基本不等式Q+b≤a+b 2≤12 把周长的最大值与余弦值挂钩。 3、若是求周长的范围问题，则通常会有角度限制（锐角或钝角），这时可以考虑把边化角，通过三角函 数求范围问题来解决 4、若遇到边长齐次式求比值的范围问题，可考虑应用正弦定理，将边的比值化成三角函数比值问题求最 值问题。 !5、对三角函数比值求最值的问题可采用的方法： 统一角度，利用三角恒等变换若能将式子最后简化称一个三角函数的形式，则可以根据三角函数有界性来 判断最值。 统一角度后若能通过齐次式化成有关正切的式子，则可以利用换元思想，将式子变成普通的分式求最值。 【典例1】(25-26高一下·云南曲靖·月考)已知△18C A,B,C a,b,c 的角 所对的边分别为，且 cos24b+c 22c· (I)判断△ABC的形状： (2)若a=2,求△ABC周长的取值范围. 【典例2】(25-26高一下·云南曲靖月考)在△18C。 A,B,C a,b,c 中，角 所对的边分别为 ,且满足 acosC+3asin C-b-c=0 (1)求角A的大小： (2)若a=2,△1B 的面积为5，求‘的值。 3 4/17 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1】(2026浙江嘉兴二模)己知△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+b2-c2=-ab, 且6sinC=23sinB (1)求角C及边c的值： (2)求a+b的最大值. 【变式2】(2026浙江·模拟预测)已知△ABC的外接圆半径为2，△ABC的内角A,B,C的对边分别为 a,b,c a<ccosB ,且 (I)试判断△ABC的形状： 2诺acos8+bcs4=25,求48C得长的最大值 巴题型二解三角形中求面积 答」题|模|板 通常根据面积公式S,ABC=号ab sin C=besin A=号acsin B>来求值。 1、利用正余弦定理求边长，然后求得面积 2、结合余弦定理与面积公式也可求得面积。 关于面积的最值问题，通常有以下两种方法 1、利用基本不等式a+b≥2Vab或a+b2≥2ab可以求面积的最大值。 2、 若是求面积的范围问题，通常配合有角度限制，这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来 解决 【典例1】(25-26高-下-江苏无锡月考)在△18C中，角4B,C a,b,c 的对边分别为，满足 a2+b2-ab=c2 (1)求角C的大小： (2)若a+b=8,求△ABC周长的最小值： (3)若△AB 是锐角三角形，且0=2 3,求△ABC面积S的取值范围 【典例2】(25-26高一下江苏无锡·月考)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,若 5/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a=2V2b=2B=30° (I)求边c: (2)求△ABC的面积S. A,B,C 【变式1】(2026广东梅州一模)在△18C中，角 a,b,c 所对的边分别为”，已知 b- -csin A+acosC 3 (I)求角A的大小： (2)若D为边BC上一点，满足BD=2CD,且AD=2,求△ABC的面积最大值 【变式2】(2026山东德州·一模)已知△ABC为锐角三角形， 10,sinc=7 si咖(A-B)= 10. (I)求sinAcosB: (2)求tanA; (3)若△ABC外接圆的周长为5π，求△ABC的面积. 亿题型三 解三角形中求中线 答|题1模|板 解三角形中求中线可以应用以下两个性质： 1、在平行四边形中，对角线的平方和等于四边的平方和：换成三角形的中线，则有 IADF-1A8+c-c 2、 可以通过向量法市-=丽+A花L,两边平方后可得AD= 在三角形问题中，求中线的范围问题，先用三角形的边长表示出中线长，然后根据正弦定理把边表示成角 的三角函数形式，在通过化简或者换元等方法求得最值跟范围，在求解的过程中注意角的取值范围。 【典例1】(25-26高一下福建宁德·月考)在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,满足 1 acosC+ 2c=b (1)求A: 6/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2若=，△48C的面积为5，且b>e,求么、c. (3)在(2)的条件下，D为BC的中点，求中线AD的长 【典例2】(2026四川模拟预测)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 cos24-2v2cos(B+C)=2 (1)求A: (2)若b=35, cosc=5 5,求AB边上中线的长 【变式1】(2026-陕西：二模)在△1BC A,B,C 中，内角 所对的边分别 a,bc∠BAC=120,AD为 ∠BAC的角平分线，且AD=2. (1)若sinB=2sinC,求a的大小： (2)设M为BC中点，连接AM,△ABC面积取得最小值时，求线段AM的长度， 【变式2】(2026四川绵阳·模拟预测)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C.已知 asin B=3bcosA c=6 a=7b (1)求b的值： (2)若D是BC边的中点，求AD的值. 巴题型四解三角形中求角分线 答引题模|板 1、利用角平分线定理将对边分成与邻边成比例的两段，再结合余弦定理或向量法建立方程求解。利用角 平分线性质，将大三角形面积拆分为两个小三角形面积之和，通过面积公式建立方程，直接解出角平分线 长度。 2、求角分线的范围：将角平分线长度表示为某个变量（如边或角）的函数，再结合三角形约束条件求该 函数的值域。 【典例1】(2026湖北一模)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,△ABC的面积为 S,D是线段AC上一点，且2 bcosC=2a-c. (1)求角B: 7/17 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2活5=b=25,8D平分∠A6C,求4D 【典例2】(2026·辽宁大连模拟预测)已知锐角△ABC中，D为边BC上一点，AD平分∠BAC,且 cosB_cosC-cosB b b-c (I)证明：DA=DB: (2)若a=2,求AD长度的取值范围。 【变式1】(2025陕西榆林一模)己知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且 sin A-sin B a-c sin C a+b' (I)求角B的值： (2)若44B 的面积为5，∠AB 的平分线BD交AC于D,求线段BD的最大值. 【变式2】(25-26高三上河北邪台月考)已知锐角△18C A.B.C a,b,c 的内角 的对边分别为 acosB+bcos A=4cosC,c=2. (1)求C: (2)若角C的平分线交AB于点D,求AD的取值范围. 巴题型五解三角形中求高线 答|题|模|板 1、高线将三角形分成两个直角三角形，可以利用面积或直角三角形的边角关系建立方程。 2、求高线的范围：将高线表示为底边和对应角的正弦的乘积，转化为三角函数的值域问题，或结合底边 的取值范围进行估算。 【典例】(2526高一下广东月考》在△18C中，角，8，C a,b,c c-2b 所对的边分别为 ,已知 A=120° (I)求cosB的值； (2)若a=4W 7,求BC边上的高. 【典例2】(2026黑龙江哈尔滨一模)在△18C中，内角，B,C所对的边长分别是 ,b,c 8/17 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2c-2 acos B=√5b (1)求角A: 2若a=,c=25,c>b,求B边上的高 变式)《2526高三上广东汕头期末)在A4BC中，角4B,C的对边分别为4，么c,若mC=2W日 3 csinA=2√2 (1)求a; cez.) 5W2 (2)若△ABC的面积为2， 求AB上的高CD 【变式2】(2526高=上北京东按期末)在A8C中，o4-号，usinC-? 5 (I)求c的值： (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求BC边上 的高、 条件①：a=6V2 条件②：cosB=- 6 条件③：△ABC的面积为6. 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解 答计分) 巴题型大 解三角形中有关四边形的计算 答题模板 1、若题目中所有的角都可用某一个角度表示，假设这个角为0，将别的未知的角用0来表示，然后多次使 用正弦定理。在求范围与最值的问题中使用较多。 2、若有互为补角的两个角，则可以两次使用余弦定理。 正余弦定理结合面积公式使用，解决四边形问题。 【典例1】(25-26高二上广东汕头期末)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3 9/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 且a cos B+bsin A 2 =C A D B E ()求角A的大小： (2)求△ABC的最大面积； (B)如图，若AB=BC,点E,F分别在边BC,BA上，将△BEF沿着线段EF对折，顶点B恰好落在边 AC上的D点，当AD=2DC时，求重叠部分DEF的面积. 【典例2】(25-26高三上陕西月考)如图，在四边形ABCD中，0为对角线4C,BD的交点，∠B0C-年 4 AC=2,8D=25,且8c=MD A B (I)求OB的长. 2)设∠01D=a,∠0BC=B。∠0CB=若a+7=元且V5s2a+cos6=5,求0C的长. 【变式1】(2026广东中山一模)如图，在平面四边形4BCD中，∠ABD=∠CBD=名 6’AB/CD' AC=3 D (I)若∠BAC= 2,求sin∠BDA 10/17 专题2.10 解三角形大题归纳（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01解三角形中求边长及周长 题型02解三角形中求面积 题型03解三角形中求中线 题型04解三角形中求角分线 题型05解三角形中求高线 题型06解三角形中有关四边形的计算 题型07正余弦定理的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 求边长及周长 熟练运用正余弦定理求边；掌握周长表达为函数的方法；能根据条件直接建立周长方程并求解 基础必考，常与面积、最值并列考查，注意单位统一和结果化简，是后续综合题的第一步 求面积 掌握面积公式及变形式；能根据已知条件灵活选择两边及其夹角求面积 高频考点，常与正余弦定理结合，面积公式的灵活选择是得分关键 求中线 掌握向量法（中线向量等于两边向量和的一半）和补角余弦法（邻补角余弦值互为相反数）求中线长；能处理中线取值范围问题 中等难度，常在解答题第二问出现，向量法是高一重点掌握的方法，需结合三角形存在性约束 求角分线 熟练运用角平分线定理（分对边成比例）和面积法建立方程；能求角分线长及取值范围 中等难度，角平分线定理是转化比例关系的关键，常与余弦定理结合考查，注意比例方向 求高线 掌握面积法（等面积求高）和直角三角形法（已知角的正弦直接求高）；能求高线长及取值范围 基础题型，常作为求面积或最值的中间步骤，面积法最通用，需注意钝角三角形高在外部的情形 有关四边形的计算 将四边形分割为两个三角形，分别解三角形；能通过公共边或公共角建立方程联立求解 综合题型，需具备图形分解能力，公共边（或公共角）是建立联系的关键，注意选择恰当的三角形求解顺序 正余弦定理的应用 掌握实际应用问题（测量、航海、几何图形等）中的建模方法；能准确理解角度术语（仰角、俯角、方向角）；能结合图形建立三角形并求解 应用类题型，注重数学建模素养，需将实际问题转化为解三角形模型 知识点01 三角形的面积公式 （r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径．） (三角形的底乘高) 知识点02 求三角形周长、边长或面积的最值 1、 利用余弦定理与正弦定理、面积公式化简计算三角形的边长或面积，然后利用基本不等式来求最值。 2、 利用正弦定理把其中的边都换成sin值，然后通过三角恒等变换合并化简，注意其中角的范围，然后根据三角函数求最值的方法如换元或辅助角公式简化后求最值。 知识点03 解三角形中的中线模型 1、在平行四边形中，对角线的平方和等于四边的平方和： 换成三角形的中线，则有 2、可以通过向量法,两边平方后可得) 知识点04 解三角形中的角分线模型 1、面积法：如图三角形中， 化简有 2、角分线张角定理：若为角分线，则，则化简上式有 3、斯库顿定理：若为角分线，有， 知识点05 解三角形中的高模型 1、 如图为边上的高线，则有 2、 利用面积公式有： 题型一 解三角形中求边长及周长 答｜题｜模｜板 1、求周长问题同求三角形的边长问题。利用面积公式与余弦定理的结合，辅助正弦定理求三角形的边长。其问题的本质为这三者之间的关系，知二求一。 2、若周长的最值或两边和的最值问题，通常有以下两种方法 （1）若已知面积，则可利用基本不等式可以把周长的最小值与面积挂钩。运用基本不等式时，看是否满足取等条件。 （2）若能根据余弦定理，则可利用基本不等式 把周长的最大值与余弦值挂钩。 3、若是求周长的范围问题，则通常会有角度限制（锐角或钝角），这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来解决 4、若遇到边长齐次式求比值的范围问题，可考虑应用正弦定理，将边的比值化成三角函数比值问题求最值问题。 5、对三角函数比值求最值的问题可采用的方法： 统一角度，利用三角恒等变换若能将式子最后简化称一个三角函数的形式，则可以根据三角函数有界性来判断最值。 统一角度后若能通过齐次式化成有关正切的式子，则可以利用换元思想，将式子变成普通的分式求最值。 【典例1】（25-26高一下·云南曲靖·月考）已知的角所对的边分别为，且． (1)判断的形状； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1)直角三角形，且． (2)． 【分析】（1）利用化简，代入余弦定理推导得，判断为直角三角形. （2）通过三角换元将周长表示为，变形为正切函数并利用单调性求范围. 【详解】（1）由，得，即. 由余弦定理，故， 化简得，即， 所以为直角三角形，且. （2）由，，设，，则，， 周长. 令，， ， . 因 ，故 ，所以易得 . 分子分母同除以 ，并利用正切和角公式： ，由 时，得， 因此 ，故. 【典例2】（25-26高一下·云南曲靖·月考）在中,角所对的边分别为 ,且满足 . (1)求角A的大小； (2)若的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理得， 又， 代入得. 由，得， 即，. 由，所以易得，故. （2），即，得. 由余弦定理，得，即. 联立，得，故. 【变式1】（2026·浙江嘉兴·二模）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且. (1)求角C及边c的值； (2)求的最大值. 【答案】(1)， (2)4 【详解】（1）由， 根据余弦定理，得， 因为，则. 由，得， 根据正弦定理，得，则. （2）由（1）知，， 则，即， 当且仅当时等号成立， 则的最大值为4. 【变式2】（2026·浙江·模拟预测）已知的外接圆半径为2，的内角A，B，C的对边分别为，且. (1)试判断的形状； (2)若，求周长的最大值. 【答案】(1)钝角三角形 (2) 【分析】（1）根据余弦定理，可得，则，故C为钝角，可得△ABC为钝角三角形.或使用正弦定理对条件进行边化角，由两角和的正弦公式可得，从而得到△ABC为钝角三角形； （2）由正弦定理进行边角互化，可求得，从而得.由此可用表示，利用正弦定理将表示成的函数，根据正弦函数的最值，可求得的最大值，再求出，即可得到周长的最大值. 【详解】（1）因为，由余弦定理得，即. 故，所以，故C为钝角， 所以△ABC为钝角三角形. 另解：因为，由正弦定理得， 因为，所以， 即，即， 因为，所以， 所以，故C为钝角， 所以为钝角三角形. （2）的外接圆半径为. 由题，由正弦定理， 得，即. 由（1）知C为钝角，所以. 又. 因为，所以， 所以当，即时，取得最大值，取得最大值，即的最大值为4. 又， 所以的周长的最大值为. 题型二 解三角形中求面积 答｜题｜模｜板 通常根据面积公式来求值。 1、利用正余弦定理求边长，然后求得面积 2、结合余弦定理与面积公式也可求得面积。 关于面积的最值问题，通常有以下两种方法 1、利用基本不等式可以求面积的最大值。 2、若是求面积的范围问题，通常配合有角度限制，这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来解决 【典例1】（25-26高一下·江苏无锡·月考）在中，角的对边分别为，满足. (1)求角的大小； (2)若，求周长的最小值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由余弦定理计算即可求解； （2）由题意可得，根据基本不等式计算即可求解； （3）由正弦定理将化为关于角的函数，根据正弦函数性质及三角形面积公式计算求解. 【详解】（1）因为，所以， 由余弦定理可得， 因为，所以； （2）因为， 所以， 由基本不等式可知，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以当时，周长有最小值为； （3）由正弦定理可得，所以，， 因为，所以， 则 ， 因为是锐角三角形，有，即， 所以，，， 因为， 所以，即面积的取值范围是. 【典例2】（25-26高一下·江苏无锡·月考）在中，角，，的对边分别为，，，若，，. (1)求边； (2)求的面积. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据余弦定理求解即可. （2）根据三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）由余弦定理得， 整理得，解得. 所以边的值为或. （2）当时，； 当时，. 所以的面积为或. 【变式1】（2026·广东梅州·一模）在中，角所对的边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若为边上一点，满足，且，求的面积最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理得，化简得到，求得，进而求得的值； （2）根据题意，得到，得到，结合向量的运算法则和基本不等式，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理得， 所以， 又因为，可得， 所以， 所以， 因为，所以，可得，所以， 又因为，故. （2）解：因为为边上，满足， 所以，所以，所以， 所以， 即有， 即， 所以，所以，即， 当且仅当时，即时，取等号， 所以， 即的面积最大值为. 【变式2】（2026·山东德州·一模）已知为锐角三角形，. (1)求； (2)求； (3)若外接圆的周长为，求的面积. 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】（1）根据，再结合条件，利用两角和差的正弦公式，即可求解； （2）首先根据（1）的过程求得与的关系，再根据，再根据两角和的正切公式，即可求解； （3）根据圆的周长公式求半径，再根据正弦定理求边长，最后代入三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）因为， 所以， 又，所以， 联立得； （2）因为，且三角形为锐角三角形， 所以，， 由（1）可得，即， 所以， 所以， 解得或， 因为角为锐角，所以， （3）因为外接圆的周长为.即. 由，得， 因为，所以，解得， 由（2）可知，且角为锐角，所以，, 所以的面积为 题型三 解三角形中求中线 答｜题｜模｜板 解三角形中求中线可以应用以下两个性质： 1、在平行四边形中，对角线的平方和等于四边的平方和：换成三角形的中线，则有 2、可以通过向量法,两边平方后可得) 在三角形问题中，求中线的范围问题，先用三角形的边长表示出中线长，然后根据正弦定理把边表示成角的三角函数形式，在通过化简或者换元等方法求得最值跟范围，在求解的过程中注意角的取值范围。 【典例1】（25-26高一下·福建宁德·月考）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足. (1)求； (2)若，的面积为，且，求、； (3)在（2）的条件下，D为的中点，求中线的长. 【答案】(1) (2)，. (3) 【分析】（1）根据正弦定理化简等式，进而求得结果. （2）根据三角形面积公式和余弦定理计算即可. （3）先根据余弦定理求出，然后根据余弦定理计算结果. 【详解】（1）因为角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足， 根据正弦定理得，因为， 所以，所以， 化简得，又，所以. 又，所以. （2）由，，得. 由余弦定理，得. 则，所以.又则，. （3）由于，所以根据余弦定理得. 在中，，所以根据余弦定理得 所以. 【典例2】（2026·四川·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，，求AB边上中线的长. 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）将已知三角等式通过内角和与二倍角公式转化为关于的二次方程，求解角； （2）先利用正弦定理求出三角形各边长度，再通过余弦定理计算边上的中线长. 【详解】（1）在中，，故. 由，得， 即， 即，(舍去，因). 由，，得. （2）由，，得. . 由正弦定理得， 同理，. 设的中点为，则. 在中， ， 故，即边上的中线长为. 【变式1】（2026·陕西·二模）在中，内角所对的边分别为，，为的角平分线，且． (1)若，求的大小； (2)设为中点，连接，面积取得最小值时，求线段的长度. 【答案】(1)； (2)2 【分析】（1）由正弦定理得到，根据，结合三角形面积公式建立关于的方程，再结合余弦定理求解； （2）同（1）建立关于的方程，再结合基本不等式求解最值，进而根据等腰三角形性质求解即可. 【详解】（1）因为，由正弦定理得. 因为的角平分线交于点，所以， 由，得， 则， 即，所以. 在中，由余弦定理得， 即； （2）由，得， 得， 化简得，即， 所以，即， 当且仅当时等号成立，取得最小值，面积取得最小值， 此时为等腰三角形，为中点，则既是中线也是角平分线. 即重合，故. 【变式2】（2026·四川绵阳·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，.已知，，. (1)求的值； (2)若是边的中点，求的值. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得，利用余弦定理列方程求得. （2）利用向量法列方程，化简后求得. 【详解】（1）已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由，得，所以， 因为，由余弦定理， 则， ， 解得(舍去). （2）因为是边的中点， 所以， 所以， ，所以. 题型四 解三角形中求角分线 答｜题｜模｜板 1、利用角平分线定理将对边分成与邻边成比例的两段，再结合余弦定理或向量法建立方程求解。利用角平分线性质，将大三角形面积拆分为两个小三角形面积之和，通过面积公式建立方程，直接解出角平分线长度。 2、求角分线的范围：将角平分线长度表示为某个变量（如边或角）的函数，再结合三角形约束条件求该函数的值域。 【典例1】（2026·湖北·一模）在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为，是线段上一点，且. (1)求角； (2)若，平分，求. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据正弦定理结合三角变换公式可得，故可求； （2）由三角形面积公式结合余弦定理可得关于的方程，求出其解后结合角平分线的性质可求. 【详解】（1）由条件，利用正弦定理可得， 因为，所以， 代入上式：， 整理得：，又， 故即，又，所以. （2）由三角形面积公式知，可得， 又，由余弦定理，得， 于是可得或. 因为平分，由角平分线性质，， 且，所以 故的长度为或. 【典例2】（2026·辽宁大连·模拟预测）已知锐角中，为边上一点，平分，且． (1)证明：； (2)若，求长度的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）应用正弦定理结合两角和正弦公式化简得出，再结合角的范围得出，最后应用等角对等边即可证明； （2）先应用正弦定理结合角平分线性质计算化简，再换元设，，结合正弦函数值域及单调性计算求解. 【详解】（1）由与正弦定理可得 展开得， 所以，即得， 由于为锐角三角形，和均在内， 则或， 当时，因，则，即得，此时题设条件不满足，舍去. 故，又平分，所以． 故．    （2）由（1）知，则． 因为为锐角三角形， 所以 解得 已知，由正弦定理，得 因平分，则 设，则，且由（1）知， 则得（*） 因， 则， 设，由，得，则． 由可得， 又函数在上单调递增， 故，即. 【变式1】（2025·陕西榆林·一模）已知的内角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角的值； (2)若的面积为，的平分线交于，求线段的最大值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理化简已知条件，求得，进而求得. （2）利用三角形的面积公式列方程，求得，再根据面积列方程，利用基本不等式求得的最大值. 【详解】（1）由正弦定理，及， 得，即， 由余弦定理得，，所以． （2）如图所示，因为，所以， 因为为的平分线，， 所以，， 当且仅当时，等号成立，所以线段的最大值为．    【变式2】（25-26高三上·河北邢台·月考）已知锐角的内角的对边分别为，，． (1)求； (2)若角的平分线交于点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用正弦定理边化角可求得，由此可得； （2）利用面积可求得，利用正弦定理边化角，结合的范围可求得的范围，进而构造不等式求得的取值范围. 【详解】（1），， 由正弦定理得：， ， ，，，. （2） ； 由正弦定理得：； ，，， ，即， ，解得：，即的取值范围为. 题型五 解三角形中求高线 答｜题｜模｜板 1、高线将三角形分成两个直角三角形，可以利用面积或直角三角形的边角关系建立方程。 2、求高线的范围：将高线表示为底边和对应角的正弦的乘积，转化为三角函数的值域问题，或结合底边的取值范围进行估算。 【典例1】（25-26高一下·广东·月考）在中，角，，所对的边分别为，已知，． (1)求的值； (2)若，求边上的高． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理求解即可. （2）利用三角形面积公式，利用等积法求解即可． 【详解】（1）在中，，， 由余弦定理得， 得到，故. （2）由（1）可知，因为，所以，， 设边上的高为h，则，可得，   故边上的高为． 【典例2】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在中，内角，，所对的边长分别是，. (1)求角； (2)若，，，求AB边上的高. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理得，，通过角的转化及两角和的正弦公式化简即可求得； （2）根据余弦定理得到的值，联立可解得，进而可判断的形状，从而求解. 【详解】（1）因为， 根据正弦定理得，. 因为，所以， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 因为，所以. （2）根据余弦定理得，， 将，代入上式整理得，， 又因为且，解得，， 所以，所以为以AB为斜边的直角三角形， 所以斜边AB上的高为. 【变式1】（25-26高二上·广东汕头·期末）在中，角的对边分别为，若，． (1)求； (2)若的面积为，．求上的高． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理结合已知条件即可求出的值； （2）根据面积公式求解出的值，由，求出，再利用余弦定理求得，再次使用面积求解即可. 【详解】（1）由正弦定理得：， 又，所以，解得：. （2）如图所示： 由，解得：， 因为， 所以， 由余弦定理得：， 化简得：，解得：， 由， 解得：，即上的高为. 【变式2】（25-26高二上·北京东城·期末）在中，，. (1)求的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上的高. 条件①：； 条件②：； 条件③：的面积为6. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分） 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）先求出，然后利用正弦定理求出. （2）选择条件①：先根据余弦定理求出，然后根据三角形面积公式求出边上的高即可； 选择条件②：先根据正弦定理求出的关系式，然后根据余弦定理求出，若无正数解，则三角形不存在； 选择条件③：先根据三角形面积公式求出，然后根据余弦定理求出，最后根据三角形面积公式求出边上的高. 【详解】（1）因为在中，，所以. 由正弦定理得. （2）选择条件①：根据余弦定理得. 化简得，解得. 所以或（舍去），设边上的高为，则 ，所以. 所以边上的高为. 选择条件②：由于，所以. 根据正弦定理，得，化简得. 根据余弦定理，所以. 化简得，根据韦达定理. 所以，此方程无正数解. 因为，故该条件下不存在. 选择条件③：因为的面积为6，所以. 所以，根据余弦定理得. 所以，所以，解得. 所以边上的高为. 题型六 解三角形中有关四边形的计算 答｜题｜模｜板 1、若题目中所有的角都可用某一个角度表示，假设这个角为，将别的未知的角用来表示，然后多次使用正弦定理。在求范围与最值的问题中使用较多。 2、若有互为补角的两个角，则可以两次使用余弦定理。 正余弦定理结合面积公式使用，解决四边形问题。 【典例1】（25-26高二上·广东汕头·期末）在中，角，，的对边分别为，，，若且. (1)求角的大小； (2)求的最大面积； (3)如图，若，点，分别在边，上，将沿着线段对折，顶点恰好落在边上的点，当时，求重叠部分的面积. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由正弦定理边角互化结合二倍角余弦公式可得答案； （2）由余弦定理结合不等式知识可得，据此可得答案； （3）设，则，.然后由题设在三角形，三角形使用余弦定理可得答案. 【详解】（1），由正弦定理边角互化， 可得， 从而 ，在三角形中， 则， 结合，得或（舍去）； （2）由题及余弦定理，，当且仅当， 即三角形为等边三角形时取等号，则， 有最大值； （3）由（1）分析结合，可得三角形为等边三角形. 因，则.设， 则，. 在三角形中，由余弦定理， 解得； 在三角形中，由余弦定理， 解得； 又由题可得，则 【典例2】（25-26高三上·陕西·月考）如图，在四边形中，O为对角线的交点，，，，且．    (1)求的长. (2)设若且，求的长． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）在 与 中，根据余弦定理结合题设条件列式求解即得的长； （2）由+=，得到，代入求得；在 与 中，由正弦定理得，得到，进而得的长. 【详解】（1）设,,，， 在 与 中，，且， 由余弦定理得， 所以， 化简，得，即. （2）+=， ∴， 在中，， ∴，， 由，得， 即，， 解得或（舍去）， 所以，则， , 在 与 中，由正弦定理得，, 结合（1），则，即 ，所以. 【变式1】（2026·广东中山·一模）如图，在平面四边形中，，，． (1)若，求； (2)求平面四边形面积的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用直角三角形边角关系及正弦定理求解. （2）利用正弦定理及三角形面积公式列式，再利用和角的正弦及二倍角的正弦公式化简，借助正弦函数的性质求出范围. 【详解】（1）由，得，而，则， ，由，得，， 则，，在中，由正弦定理得， 所以. （2）由（1）知，设， 在中，由正弦定理得， 则，又， 因此四边形的面积 ，由，得， 因此，即， 所以四边形面积的取值范围是. 【变式2】（2026·吉林白山·二模）如图，在平面四边形中，，在边上，，，的面积为，记． (1)若，求线段的长度； (2)当为何值时，线段的长度最小？求出该最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据面积求出，再在中利用余弦定理可得； （2）设，根据面积求出，再在中利用正弦定理可得，结合辅助角公式、二倍角公式化简，最后利用三角函数求最值即可. 【详解】（1）因为的面积为，，， 所以，则， 在中利用余弦定理得， 所以线段的长度为. （2）设， 因为的面积为，，所以，则， 因为，所以， 因为，所以 在中利用正弦定理可得，， 则 ， 因为，所以，则， 则，则， 等号成立时，则，即， 故当时线段的长度最小，最小为. 题型七 正余弦定理的应用 答｜题｜模｜板 正余弦定理的应用在测量高度、距离、角度问题上，构造三角形，应用解三角形的思想来求解。 【典例1】（2026高一下·上海·专题练习）如图，某段海岸线可近似看作一条曲线，该曲线由线段和四分之一圆弧构成，为一海岛，在的正北方向，且、相距千米，在的北偏西方向，在的北偏东方向，在的南偏东方向． (1)若沿修建观光道，计算该观光道的长度(精确到千米)； (2)现规划在该海岸线上选取一处，修建从直通的公路桥．已知、相距千米，求公路桥的最短长度(精确到千米)． 【答案】(1)千米； (2)千米 【分析】（1）在直角三角形中先算出边BC，再在扇形用利用勾股定理求出所在圆的半径，然后用弧长公式计算； （2）先算出点D到AB的距离DH，比较DH与DC的大小，其中较小的即公路桥DE的最短长度. 【详解】（1）在中，， ． 由所在圆的半径为，得的长度为千米． （2）在中，． 在中，由正弦定理，得， 于是，可得，． 过作的垂线，垂足为，在Rt△中，． 因为，且到上任意一点的距离均大于等于， 所以到海岸线的最短距离为千米． 【典例2】（2026·重庆·一模）如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上.    (1)求处与小岛之间的距离； (2)求两座小岛之间的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中利用正弦定理计算可得； （2）在中利用余弦定理求出，再在中利用余弦定理求出； 【详解】（1）由题可知在中，，，所以， 由正弦定理可得：，及， 所以（海里）． （2）由题可知在中：，，所以． 所以（海里）， 由余弦定理可得： ， 所以（海里）， 由题意可知，在中，， 由余弦定理可得： ， 所以（海里）. 【变式1】（25-26高三上·河北·月考）某勘测队在河岸的一侧隔河进行测绘工作，河岸一侧两地相距50米，河对岸有两地，测得米，. (1)求的值； (2)若测量后发现，求两地的距离. 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）先利用三角函数的二倍角公式求出，然后求出，进而根据正弦定理求出结果即可. （2）先根据余弦定理求出，然后根据余弦定理求出，最后根据余弦定理求出结果. 【详解】（1）因为，所以. 所以，所以. 在中，根据正弦定理，，即， 解得. （2）在中，根据余弦定理，， 化简得，由于，所以解得米. 因为，在中，根据余弦定理， 化简得，解得米. 在中，根据余弦定理， 化简得，解得米. 【变式2】（2026高三·全国·专题练习）为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测.如图所示，、、三地位于同一水平面上，这种仪器在地进行弹射实验，观测点两地相距.在地听到弹射声音的时间比地晚.在地测得该仪器至最高点处的仰角为（已知声音的传播速度为）. (1)求两地的距离； (2)求这种仪器的垂直弹射高度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，从而在中，利用余弦定理求出x即可； （2）在中，根据锐角三角函数定义求解可得. 【详解】（1）由题意，设，因为在地听到弹射声音的时间比地晚，所以. 在中，由余弦定理得， 即，解得. 故两地的距离为. （2）在中，， 所以， 故该仪器的垂直弹射高度为. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1. （25-26高一下·江苏镇江·月考）在中，角，，的对应边分别为，，，根据各小题条件分别求解. (1)，，，求最小的内角. (2)，是方程的两个根，，求边的长. (3)，，，求边的长. 【答案】(1) (2) (3)3 【详解】（1）由小边对小角知最小，且， 又，故； （2）由题设，， 所以， 则； （3）由题设，则， 所以，则（负值舍）. 2．（2026·山东东营·一模）已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 向量 (1)若 求A； (2)若 求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过向量平行转化为边角关系，再用正弦定理和三角恒等变换求解即可. （2）通过向量垂直得到边的关系，结合余弦定理和面积公式求解即可. 【详解】（1）因为所以①. 又由正弦定理，即，代入①式， 可得，整理得， 又，所以，解得. （2）因为，所以， 即，又，所以. 因为，由余弦定理可得， 即，解得或（舍去）. 故. 3．（2026年普通高校招生“星梦杯”统一模拟考试数学试卷）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求A； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合题设，根据诱导公式、二倍角公式及辅助角公式求解即可； （2）先利用余弦定理求得，再根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）由，得， 代入条件得：， 即， 则，即， 因为，则， 所以，则． （2）由余弦定理得， 代入，可得， 整理得，解得（舍去负根）， 因此，的面积为． 4．（25-26高一下·湖北十堰·月考）已知函数，且函数图象的一个对称中心为. (1)求的值； (2)若在区间上的值域是，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式，得，再结合条件，可得，即可求解； （2）根据条件，利用正弦型函数的性质，即可求解. 【详解】（1）， 因图象的一个对称中心为，则， 解得，又，则取，得． （2）当时，， 因为，结合函数图象可知，欲使在区间上的值域是， 则，解得． 5．（2026·山东烟台·一模）已知的内角的对边分别为，，且的面积为． (1)求； (2)若为锐角三角形，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理及三角形的面积公式求解． （2）由（1）知，，而， ，得为等边三角形，即可求解． 【详解】（1）由余弦定理得， 因为，所以. 由三角形面积公式得， 又因为，所以， 所以， 因为，所以. （2）由（1）知，，得， 而，得，又， 得为等边三角形，得， 故. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1． 1．（2026·天津河北·一模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，． (1)求a的值； (2)求的值； (3)过点A作，D在边上，记与的面积分别为，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）利用余弦定理直接求解. （2）利用正弦定理、二倍角公式及和角的正弦公式求解. （3）利用直角三角形边角关系及三角形面积公式求解. 【详解】（1）因为，，， 由余弦定理，得， 解得． （2）由正弦定理，得，即， 因为B为锐角，所以， 则，， 所以． （3）因为，即，所以， 则． 设点A到直线的距离为d， 因为，，所以． 2．（25-26高三上·辽宁大连·期中）已知在中，为边中点． (1)若，试求边的长； (2)若为锐角，过点分别作的平分线和边的垂线，与边分别交于点和点．是否存在，使得成立？若存在，试求出的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中由余弦定理即可； （2）设，，利用等面积法求出，利用求出，利用求出，结合题中信息和余弦定理即可化简得出，最后求出面积. 【详解】（1）因，， 则在中由余弦定理得，, 则; （2）设，， 因，则， 因，则， 则， 因为边中点，则，则， 即， 则， 若存在，使得， 则， 因为锐角，则，即，故，则， 在中由余弦定理得， 则，， 则，得， 则，， 则的面积.    3．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，一艘船向正东航行，顺次经过观测点B，M，N，C，船航行到B处，在B处观测灯塔A在船的北偏东的方向上，船航行到C处，在C处观测灯塔在船的北偏西的方向上，已知B，C相距6海里，．    (1)若，求的距离； (2)求面积的最小值． 【答案】(1)（海里） (2)（平方海里）． 【分析】（1）在和中反复使用正弦定理，用角度表示边长、、、，代入求值即可； （2）将面积表达式化简为关于的三角函数，利用和角公式、二倍角公式进行变形，通过三角函数的范围求解面积的最小值. 【详解】（1）因为，，所以， 又因为，所以，， 又，设， ∴，，． 在和中由正弦定理可得， ， 即，， ， ． 当时，则，， ∴，， ∴（海里）． （2） 令 ， ∴． 因为，∴，∴， 所以当时，（平方海里）． 4．（25-26高二上·贵州·月考）已知的角所对的边分别为. (1)当不是直角三角形时，求证：； (2)如果，求的取值范围； (3)已知角为钝角，如果，，求面积的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)2025 【分析】（1）利用和角的正切公式与三角形内角关系、诱导公式即可征得； （2）利用基本不等式推得，结合（1）的结论得到，根据同角的三角函数关系式和不等式的性质即得，结合为钝角，即可求出的取值范围； (3)由条件切化弦得到，由，展开并代入结论化简得，由正弦定理和可得，再由代入化简得，求出，设，利用换元可得，利用基本不等式即可求得面积的最小值. 【详解】（1）因不是直角三角形，故 则， 故. （2）因，则均为锐角， 则，当且仅当时等号成立， 则由（1），即为钝角， 由，因，可得， 故有，即的取值范围为. （3）由可得，即， 则 ， 化简得. 又由正弦定理，可得，则， 于是，的面积 （*）， 又由，可得， 代入（*），可得， 设，因角为钝角，则由可得，即， 则（**），再设，则且， 代入（**），可得， 因，当且仅当时等号成立， 故当，即时，取得最小值为. 5．（25-26高三上·新疆·期中）某艺术园区有一块场地如下图所示，该园区规划在三块区域，，建设办公楼，已知，，，设（单位：百米）. (1)请用表示； (2)当取何值时，的面积最大，并求最大值. 【答案】(1) (2)，最大值为. 【分析】（1）利用勾股定理求出即可； （2）先表示出三角形的面积，然后利用基本不等式求出最值即可. 【详解】（1）因为，， 所以 在中，， 所以， 整理. （2）由（1）得的面积为 ， 当且仅当，即时等号成立. 所以当时，的面积最大，最大值为. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2026·山西临汾·一模）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)求角B； (2)当时，的面积为S，周长为L，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用切化弦和两角和的正弦公式化简即可求出； （2）利用余弦定理将目标转化为，再结合正弦定理边角互化即可，再结合三角函数的值域求出；或直接利用正弦定理边角互化，结合三角函数的值域求出. 【详解】（1）由题可得， 即 因为，，所以，即， 因为，所以. （2）解法一：，， 由余弦定理可得：，即. 所以，即. ， 由正弦定理可得，，， 则 因为，，所以 所以，所以 解法二：由正弦定理可得，，， 则 因为，，所以， 所以， 所以. 2．（2026高一下·全国·专题练习）记是内角，，的对边分别为，，．已知，点在边上，． (1)证明：； (2)若，求. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论. （2）由题设，应用余弦定理求、，又，可得，结合已知及余弦定理即可求. 【详解】（1）由题设，， 由正弦定理知：，即， ∴，又， ∴，得证. （2）由题意知：， 由余弦定理,， 同理， ∵， ∴，整理得，又， ∴，整理得，解得或， 由余弦定理知：， 当时，不合题意； 当时，. 综上，. 3．（2025·吉林松原·模拟预测）如图所示，在中，在线段上，满足是线段的中点． (1)延长交于点（如图1），若，求的值； (2)过点的直线与边，分别交于点，（如图2），设，． （i）求证：为定值； （ii）设的面积为的面积为，求的最小值． 【答案】(1) (2)（i）证明过程见解析；（II） 【分析】（1）根据题意，将作为基底表示，由三点共线可知，的系数之和为1，可求出的值，然后利用基底法、平面向量数量积的定义进行求解即可； （2）（i）根据题意，将，作为基底表示，由三点共线可知，，的系数之和为1，即可求出为一定值； （ii）根据题意，，，，由可将化为关于的函数，利用函数性质求的最小值即可. 【详解】（1）依题意，因为， 所以， 因为是线段的中点，所以， 设，则有， 因为三点共线，所以，解得， 即，所以，所以； ； （2）（i）根据题意, 同理可得：， 由（1）可知，， 所以， 因为三点共线，所以， 化简得， 即为定值，且定值为3； （ii）根据题意，， ， 所以， 由（i）可知，则， 所以， 易知，当时，有最小值，此时. 4．（2026高二·全国·专题练习）已知在△中，.点在边上.点与点关于对称，直线过点，且点和点在△的边上.记△和△的面积分别为和. (1)若，，且点与点重合. （i）当时，求； （ii）求的最大值； (2)求的最小值. 【答案】(1)（i）；（ii） (2)4 【分析】（1）由已知条件求出三角形的角，再根据同角三角函数的关系和正弦的两角和公式即可求出； （2）设，，再根据正弦定理得到的关系，继而得到面积的表达式，最后根据函数的性质即可求出； （3）通过建立平面直角坐标系，结合面积比例列出的关系式，再利用均值不等式即可求出最小值. 【详解】（1）（i）因为，，所以△是等边三角形，，     而，，则， 所以.   由题意点在边上，，故.     （ii）由于，则，，， 所以，由正弦定理，，， 所以，则，因此，  ， 则，，   令，， 因为，所以在单调递增，在单调递减，则时最大，而，所以.    （2）分情况讨论并建立对应平面直角坐标系： ①当点在边上时，以的中点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设，，，，，， 则，， ， 则      易有，，所以，， 当且仅当，，，分别为，，的中点时，， 所以.   ②当点在边上时，可分为在线段上和在线段上两种情况，而两种情况显然等效. 设在线段上，考虑固定点，由于，增大时，点更靠近点，点更靠近点，则增大，直到点与点重合，最大值为， 设此时与交于点，，则， ，，，，   设是点到的距离，是点到的距离，则，，， ，则. 综上所述，的最小值是4. 5．（25-26高三上·福建福州·期中）某公园计划改造一块四边形区域铺设草坪，其中百米，百米，，，草坪内需要规划4条人行道、、、以及两条排水沟、，其中、、分别为边、、的中点． (1)若，求的余弦值； (2)若，求排水沟的长； (3)若，试用表示4条人行道的总长度，并求出它的取值范围． 【答案】(1) (2)百米 (3)，， 【分析】（1）结合几何图像和已知条件，利用两角和的余弦公式求解； （2）结合（1）结论，利用余弦定理求解； （3）结合几何图像及性质，利用余弦定理、正弦定理，两角和与差的三角函数公式，结合正弦函数性质求解． 【详解】（1）百米，百米，， 在直角三角形中，百米， ，， 又，，百米， 在等腰直角三角形中，百米，，， ． 的余弦值为． （2）由（1）知，当时，，， 在中，， （百米）． 排水沟的长为百米． （3）设，，，、、分别为边、、的中点， ，百米，， ，百米，， 在中，由余弦定理得， 由正弦定理，得，， 连接，，，为边的中点， ，， 在中，， 由余弦定理得 ， 在中，， 由余弦定理得 ， ，. 令 在单调递增， ． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $