精品解析：福建省福州第十八中学2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年福建省福州十八中八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 清代·袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来；苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.000084米，则数据0.000084用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一棵树在一次强风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 若因式分解得：，则、的值为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ） A. B. C D. 7. 下列分式为最简分式的是（　　） A. B. C. D. 8. 与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 9. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 3 10. 如图，在中， ，于点D，于点E，与交于点F，连接，下列结论中：①；②是等腰直角三角形，③，④若E为中点，则，正确的有(　　) A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解___________． 12. 若点关于y轴对称点的坐标是，则的值为______． 13. 若分式的值为0，则的值为______． 14. 已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简______． 15. 如图，在中，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，则周长为______． 16. 如图，在中，，过点作直线于点，，分别是直线、边上的动点，且，则的最小值为______． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 阅读下列材料，完成下列任务（1）（2）（3）． 小丽在数学资料上看到这样一道题： 已知，求代数式值． 解：∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 任务： （1）在材料解答过程中，主要用了我们学过的数学知识是 ． A．因式分解 B．单项式与多项式的乘法 C．平方差公式 D．完全平方公式 （2）在材料解答的过程中，主要用的思想方法是 ． A．方程思想 B．整体与化归思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想 （3）已知，求的值． 20. 如图，在等边中，点P，Q在边上，并且满足，作关于直线的对称图形，连接，线段交于点N． （1）当时， ； （2）求证：． 21. 如图，在中，，，． （1）尺规作图，作平分交于点D（不写作法，保留作图痕迹）； （2）过点D作于点E，求和长． 22. 如图，一工厂位于点处，河边原有两个取水点，，其中，由于从工厂到取水点的路受阻，为了取水更方便，工厂新建一个取水点（点，，在一条直线上），并新修一条路，测得，，． （1）请判断是否为从工厂到河边最近的一条路（即与是否垂直）？并说明理由． （2）求的长． 23. 在“母亲节”前夕，某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，销售过程中发现康乃馨比玫瑰销量大，店主决定将每枝玫瑰售价比每枝康乃馨低1元促销，调价后30元可购买玫瑰的数量是可购买康乃馨数量的1.5倍． （1）求调价后每枝玫瑰的售价是多少元？ （2）根据销售情况，店主用不超过900元的资金再次购进两种鲜花共500枝，康乃馨进价为2元/枝，玫瑰进价为1.5元/枝，问至少购进玫瑰多少枝？若仍按调价后的价格将两种花全部售出，应如何进货，才能使收入最多？ 24. 已知四边形是正方形，点E是射线上一点，连接，点D关于直线的对称点为M，射线与直线相交于点G． （1）若点M在对角线上，则 度； （2）如图，若E是中点，试用等式表示线段之间的数量关系，并证明； （3）若点E在边的延长线上，且，在备用图上画出示意图，并求的长． 25. 阅读材料1：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数，可以化成（即带分数）的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：， 分式就拆分成一个分式与一个整式的和的带分式形式． 阅读材料2：由得，；如果两个正数a，b，即， 则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： （1）分式可变形带分式得 ，当，它的最小值为 ； （2）若分式的值为整数，则整数x的值为 ； （3）某大学学生会在1月4日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入720元，二是参加活动的同学午餐费每人12元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的0.2倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是多少元？（人均投入支出总费用参加活动的同学人数） （4）若式子的最小值是4，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年福建省福州十八中八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 【详解】解：观察可知，只有D选项的图形能找到一条直线，使图形折叠后能够完全重合，是轴对称图形，其余图形都不是轴对称图形． 2. 清代·袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来；苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.000084米，则数据0.000084用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法表示形式为，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用幂的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A. ，故本选项正确； B. ，故本选项错误； C. ，故本选项错误； D. ，故本选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查幂的运算法则，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 4. 如图，一棵树在一次强风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查含角的直角三角形的性质，给图形标注上字母，由含角的直角三角形的性质得，即可解决问题．解题的关键是掌握：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【详解】解：如图， 根据题意得：，米， ∵， ∴， ∴（米）， 即这棵树在折断前的高度是9米． 故选：B． 5. 若因式分解得：，则、的值为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解和多项式的乘法，掌握以上知识点是解题的关键．根据，即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：A 6. 满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理可以判断各个选项的条件能否判断三角形是否为直角三角形． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，故选项A不符合题意； ∵ ∴设，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，故选项B不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，故选项C不符合题意； ∵，， ∴， ∴不是直角三角形，故选项D符合题意． 故选：D． 7. 下列分式为最简分式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分子和分母不含除1以外的公因式的分式叫做最简分式，判断各选项能否约分即可得到结果． 【详解】解：A、，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式； B、，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式； C、分子与分母没有除1以外的公因式，不能约分，是最简分式； D、，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式． 8. 与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 把所给的二次根式化简后比较被开方数即可解答． 【详解】解：，，，， ∴与是同类二次根式的是， 故选：D． 9. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方逆用及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键﹒ 把原式变形为，逆用积的乘方计算即可． 详解】解： ． 故选：B． 10. 如图，在中， ，于点D，于点E，与交于点F，连接，下列结论中：①；②是等腰直角三角形，③，④若E为中点，则，正确的有(　　) A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直的定义得到，求得，根据全等三角形的性质得到，故①正确，推出是等腰直角三角形，故②正确，过D作交于G，得到，根据全等三角形的性质得到，求得，得到，故③正确，根据直角三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，求得，得到，于是得到，故④正确． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∴是等腰直角三角形，故②正确， 过D作交于G， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确， ∵E为中点， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，关键是熟练应用知识点解题；先提取公因式，再利用平方差公式分解． 【详解】解：． 12. 若点关于y轴对称点的坐标是，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得m，a的值，进而可得答案． 【详解】解：∵点关于y轴对称点的坐标是， ∴ 解得， ∴． 13. 若分式的值为0，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】此题主要考查了分式值为零的条件，分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．根据分式值为零的条件可得，且，再解即可． 【详解】解：由题意得：得，且， 解得：， 故答案为：2． 14. 已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简______． 【答案】a 【解析】 【分析】由数轴得，继而得出，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴得， ∴， ∴ ． 15. 如图，在中，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，则的周长为______． 【答案】21 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出的长，再根据图形翻折变换的性质得出，进而求出的周长． 【详解】解：在中，， ∴， ∵是翻折而成， ∴， ∴， ∴的周长． 16. 如图，在中，，过点作直线于点，，分别是直线、边上的动点，且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，使，连接，，利用“”证明，得到，从而得到的最小值为，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：过点作，使，连接，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 在中， ∵， ∴， ∴的最小值为． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据零指数幂、负整数指数幂和二次根式的性质计算，然后进行有理数的混合运算； （2）先根据二次根式的乘法和除法法则运算，然后合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的运算法则． 先进行括号内分式的加法运算和括号外面分式的因式分解，然后利用分式的除法法则进行化简，代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，代入上式， 原式． 19. 阅读下列材料，完成下列任务（1）（2）（3）． 小丽在数学资料上看到这样一道题： 已知，求代数式的值． 解：∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 任务： （1）在材料解答过程中，主要用了我们学过的数学知识是 ． A．因式分解 B．单项式与多项式的乘法 C．平方差公式 D．完全平方公式 （2）在材料解答的过程中，主要用的思想方法是 ． A．方程思想 B．整体与化归思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想 （3）已知，求的值． 【答案】（1）D （2）B （3）3 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，整体代入法求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）根据变形时用到了可知用到的数学知识是完全平方公式； （2）由可知用了整体代入法； （3）由得，两边平方后求解即可． 【小问1详解】 解：在材料解答过程中，主要用了我们学过的数学知识是完全平方公式． 故选：D； 【小问2详解】 解：在材料解答的过程中，主要用的思想方法是整体与化归思想． 故选：B； 【小问3详解】 解：， ， ， ． 20. 如图，在等边中，点P，Q在边上，并且满足，作关于直线的对称图形，连接，线段交于点N． （1）当时， ； （2）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）证明，得到，对称，得到，即可得出结果； （2）证明等边三角形，即可． 【小问1详解】 解：∵等边， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵对称， ∴； 【小问2详解】 证明：∵为等边三角形， ∴， 由（1）可知：，， ∴， ∵对称， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 21. 如图，在中，，，． （1）尺规作图，作平分交于点D（不写作法，保留作图痕迹）； （2）过点D作于点E，求和的长． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）作平分交于点D即可； （2）证明，即可求出，设，利用勾股定理构建方程求出x即可． 【小问1详解】 解：如图，射线即为所求； 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， 设，则有，即， ∴， ∴． 22. 如图，一工厂位于点处，河边原有两个取水点，，其中，由于从工厂到取水点的路受阻，为了取水更方便，工厂新建一个取水点（点，，在一条直线上），并新修一条路，测得，，． （1）请判断是否为从工厂到河边最近的一条路（即与是否垂直）？并说明理由． （2）求的长． 【答案】（1）是从工厂到河边最近一条路，理由见解析； （2）的长为千米． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （）根据勾股定理逆定理判断即可； （）设的长为千米，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：是从工厂到河边最近的一条路，理由如下： ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴与垂直， 即是从工厂到河边最近的一条路； 【小问2详解】 解：设的长为千米，则千米， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：的长为千米． 23. 在“母亲节”前夕，某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，销售过程中发现康乃馨比玫瑰销量大，店主决定将每枝玫瑰售价比每枝康乃馨低1元促销，调价后30元可购买玫瑰的数量是可购买康乃馨数量的1.5倍． （1）求调价后每枝玫瑰的售价是多少元？ （2）根据销售情况，店主用不超过900元的资金再次购进两种鲜花共500枝，康乃馨进价为2元/枝，玫瑰进价为1.5元/枝，问至少购进玫瑰多少枝？若仍按调价后的价格将两种花全部售出，应如何进货，才能使收入最多？ 【答案】（1）2元 （2）当购进玫瑰200枝，康乃馨300枝时，收入最高为400元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意是解题关键． （1）设降价后每枝玫瑰的售价是元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购进玫瑰枝，则购进康乃馨枝，根据不超过900元的资金再次购进两种鲜花列不等式求出的取值范围，设调价后的价格将两种花全部售出的收入为元，进而得到关于的一次函数，再根据一次函数的增减性求最值即可． 【小问1详解】 解：由题意，设降价后每枝玫瑰的售价是元， ． 经检验，是原方程的解， 答：降价后每枝玫瑰的售价是2元． 【小问2详解】 解：设购进玫瑰枝，则购进康乃馨枝， ． ． 至少购进玫瑰200枝． 其中， 设调价后的价格将两种花全部售出的收入为元， 则． ， 随的增大而减小． 当时，收入最高，最高为． 当购进玫瑰200枝，康乃馨300枝时，收入最高为400元． 24. 已知四边形是正方形，点E是射线上一点，连接，点D关于直线的对称点为M，射线与直线相交于点G． （1）若点M在对角线上，则 度； （2）如图，若E是的中点，试用等式表示线段之间的数量关系，并证明； （3）若点E在边的延长线上，且，在备用图上画出示意图，并求的长． 【答案】（1）67.5 （2），证明见解析 （3）见解析， 【解析】 【分析】（1）由对称的性质可得，再根据正方形的性质即可求解； （2）连接，证明和，得出即可解答； （3）先证明，则，再证明，最后对运用勾股定理建立方程求解． 【小问1详解】 解：如图： ∵点D关于直线的对称点为M， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， 连接， ∵点D关于直线的对称点为M， ∴， 而 ∴， ∴， ∴， ∵正方形中， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵； 【小问3详解】 解：如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由对称的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 25. 阅读材料1：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数，可以化成（即带分数）的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：， 分式就拆分成一个分式与一个整式的和的带分式形式． 阅读材料2：由得，；如果两个正数a，b，即， 则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： （1）分式可变形带分式得 ，当，它的最小值为 ； （2）若分式的值为整数，则整数x的值为 ； （3）某大学学生会在1月4日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入720元，二是参加活动的同学午餐费每人12元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的0.2倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是多少元？（人均投入支出总费用参加活动的同学人数） （4）若式子的最小值是4，求m的值． 【答案】（1）， （2）或 （3）参加活动的同学人数为60人时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是36元 （4） 【解析】 【分析】（1）仿照示例，对分式进行变形，可得到结果； （2）对分式变形为，仿照示例，可得到结果； （3）根据题意，列出人均费用，仿照示例的方法可得到结果； （4）先对式子变形，化为带分式形式，再求最小值，得到结果． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时，式子有最小值，最小值为2； 【小问2详解】 解： ； ∵分式的值为整数，为整数， ∴， ∴或； 【小问3详解】 解：设参加的人数为x人，则支出总费用为， 人均费用为， ∵， ∴当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为24， ∴的最小值为36， 答：参加活动的同学人数为60人时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是36元； 【小问4详解】 解：由题意得，， ∴， ， 当且仅当时，有最小值， ∵最小值是4， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $