精品解析：福建省福州第一中学2025-2026学年度第一学期期末考试初二数学试卷

福州一中2025～2026学年度第一学期期末考试 初二数学试卷 （完卷120分钟，满分150分） 一、选择题（每小题4分，共40分，请把答案写在答题卷上．） 1. 中华民族创造了灿烂的文化，其中三星堆纹饰展现了古蜀文明高超的艺术创造力．下列纹饰图案中、是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 成人每天维生素的摄入量约为0.0000046克，数0.0000046用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 4. 下列因式分解结果不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式计算正确的是（　　） A. B. C. 2×＝ D. ＝3 6. 若，则分式（ ）． A. B. C. 1 D. 7. 如图，在中，，，，在数轴上，点B对应的数为1，以点B为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数是（） A. B. C. D. 8. 如图，某校实践小组为了让旗杆垂直于地面，采取以下的操作方法：从旗杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到旗杆脚E的距离相等，且B，E，C三点在同一直线上时，旗杆．这种操作方法的依据是（ ） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 三角形具有稳定性 D. 等腰三角形“三线合一” 9. 若，则代数式的值是（ ） A. 2019 B. 2025 C. 2026 D. 2033 10. 有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2026次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是（ ） A. 2026 B. 2027 C. D. 二、填空题（每题4分，共24分，请把答案写在答题卷上．） 11. 分解因式：______． 12. 五边形的内角和是______度． 13. 如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠B=30°，且AD=1，那么BD=__________． 14. 已知是完全平方式，则______． 15. 若实数x，y同时满足，，则值为______． 16. 如图，中，，点D是外一点，是等边三角形，过点D分别作，垂线，垂足分别为E，F，若，则的值为______． 三、解答题（共86分，请把答案写在答题卷上．） 17. 计算： （1） （2） （3） （4） 18. 解分式方程： （1） （2） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，点，，，在一条直线上，，，垂足分别为，，，，求证：． 21. 八年级学生去距学校的中国人民抗日战争纪念馆参观，一部分学生乘大巴先出发，过了，其余学生乘中巴出发，结果他们同时到达．已知中巴的平均速度是大巴平均速度的1.2倍，求大巴的平均速度． 22. 课堂上，老师提出了下面的问题： 已知，，，试比较与的大小． 小华：整式大小比较可采用“作差法”. 老师：比较与的大小． 小华：∵， ∴． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ … （1）请用“作差法”完成老师提出的问题． （2）比较大小：__________．（填“”“”或“”） 23. “化圆为方是古希腊著名的几何作图难题，要求仅用没有刻度的直尺和圆规构造一个与给定圆面积相等的正方形．尽管这在19世纪被证明为尺规作图不可能问题，但古希腊数学家希波克拉底发现，某些特殊的月牙形（由圆弧围成的图形）的面积可以与多边形的面积相等．下面我们探索相关的问题． （1）有一个半径为20的圆，求与该圆面积相等的正方形的边长； （2）如图1，是等腰直角三角形，，，D为中点，以A为圆心，长为半径作圆A，以D为圆心，长为半径作圆D．若，求月牙形阴影部分的面积，并利用图1中的线段，画出与其面积相等的正方形，说明理由；（无需尺规作图） （3）尺规作图：如图2，已知线段，请以为底边，作一个等腰直角三角形，使得，并作出一个月牙形，使其面积等于该三角形面积的一半（保留作图痕迹，不写作法） 24. 在中，，和的平分线、交于点，连接． （1）若，， 如图，求的长； 如图，若，求度数和的长； （2）如图，是的中点，射线交于点．若，面积为，求的长． 25. 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动： （1）甲同学的操作过程如下： 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A的对应点M落在上，把纸片展平，连接、，延长交于点Q，连接． ①连接，证明：是等边三角形； ②设正方形边长为2，求的长； （2）乙同学的操作过程如下：P、G分别在、上，将正方形纸片沿折痕折叠，使点C的对称点H落在边上，点D的对称点为K，交于点T．连接交于点N，连接、．请按要求补全图形，判断的形状，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州一中2025～2026学年度第一学期期末考试 初二数学试卷 （完卷120分钟，满分150分） 一、选择题（每小题4分，共40分，请把答案写在答题卷上．） 1. 中华民族创造了灿烂的文化，其中三星堆纹饰展现了古蜀文明高超的艺术创造力．下列纹饰图案中、是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；根据轴对称图形的概念逐个判断，即可得出答案． 【详解】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意； B、图形不是轴对称图形，不符合题意； C、图形是轴对称图形，符合题意； D、图形不是轴对称图形，不符合题意． 故选：C． 2. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式里面被开方数即可求解． 【详解】解：由题意知：被开方数， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，必须保证被开方数大于等于0． 3. 成人每天维生素的摄入量约为0.0000046克，数0.0000046用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：． 故选：D． 4. 下列因式分解结果不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，根据用提公因式法，完全平方公式以及平方差公式对因式进行分解一一判断即可． 【详解】解：．，正确，故本选项不符合题意； ．，正确，故本选项符合题意； ．，原计算错误．故本选项不符合题意； ．，正确，故本选项不符合题意； 故选：C． 5. 下列各式计算正确的是（　　） A. B. C. 2×＝ D. ＝3 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式运算法则即可求解． 【详解】A.，不能计算，故错误； B.，正确； C.2×不能再化简，故错误； D ，故错误； 故选B． 【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则． 6. 若，则分式（ ）． A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题应先将分式通分，然后由已知xy=x−y≠0，即可得出原分式的值． 【详解】解：原分式， ∵xy=x−y≠0， ∴=1． 故答案为：C． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是将原分式进行准确的通分． 7. 如图，在中，，，，在数轴上，点B对应的数为1，以点B为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，实数与数轴的关系，正确运用勾股定理求出的长是解题的关键，要理解数轴上的点与实数的对应关系．根据题意运用勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】解：在中，，，， 点B对应的数为1， 点D表示的数是， 故选：A． 8. 如图，某校实践小组为了让旗杆垂直于地面，采取以下的操作方法：从旗杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到旗杆脚E的距离相等，且B，E，C三点在同一直线上时，旗杆．这种操作方法的依据是（ ） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 三角形具有稳定性 D. 等腰三角形“三线合一” 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合即可求解，熟练掌握等腰三角形“三线合一”是解题的关键，根据等腰三角形“三线合一”性质得出结论． 【详解】解：∵， ∴，即，（等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合）， 即得出旗杆的依据是等腰三角形“三线合一”． 故选：D． 9. 若，则代数式的值是（ ） A. 2019 B. 2025 C. 2026 D. 2033 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质． 由得，两边平方整理可得，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 10. 有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2026次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是（ ） A. 2026 B. 2027 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2026次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2027， 故选：B． 二、填空题（每题4分，共24分，请把答案写在答题卷上．） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的几种常用方法． 识别该式为平方差形式，应用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 五边形的内角和是______度． 【答案】540 【解析】 【分析】利用多边形内角和公式计算即可． 【详解】五边形的内角和=． 故答案为：540°． 【点睛】本题考查多边形内角和问题，掌握多边形内角和公式是解题关键． 13. 如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠B=30°，且AD=1，那么BD=__________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用含30°角的直角三角形的性质分别求解AC，AB的长，再利用BD=AB-AD计算可求解． 【详解】解：∵∠ACB=90°，∠B=30°， ∴∠A=60° ∵CD⊥AB ∴∠ACD=30° ∵AD=1 ∴AC=2 ∴AB=4 ∴BD=AB-AD=4-1=3． 故答案为3． 【点睛】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，求解AC，AB的长是解题的关键． 14. 已知是完全平方式，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值． 【详解】是完全平方式， ， ， 故答案为： 15. 若实数x，y同时满足，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查绝对值的非负性，解一元一次方程，负整数指数幂，根据绝对值的非负性，得到，，进而得到，进而得到关于的一元一次方程，求出的值，进而求出的值，再根据负整数指数幂的法则，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 当时，则，方程无解， 当时，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，中，，点D是外一点，是等边三角形，过点D分别作，的垂线，垂足分别为E，F，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的特征，多边形内角和，作出辅助线构造三角形全等是解题的关键． 过点B，C，分别作的垂线，垂足为，利用多边形内角和定理及等边三角形的性质证明，，设，，则，利用在直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半，得到，，即可求解． 【详解】解：如图，过点B，C，分别作的垂线，垂足为， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理得：， ， ， ， ， ， ， 设，，则，， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（共86分，请把答案写在答题卷上．） 17. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减混合运算法则计算； （2）根据二次根式的乘法运算法则计算； （3）先计算幂的乘方，然后计算单项式除以单项式以及单项式乘以单项式，再合并即可； （4）利用完全平方公式和平方差公式展开，再合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： 18. 解分式方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，掌握分式方程的解法是正确解答的关键． （1）根据等式的性质将分式方程转化为整式方程，再根据整式方程的解法求出x的值，再进行检验即可； （2）根据等式的性质将分式方程转化为整式方程，再根据整式方程的解法求出x的值，再进行检验即可． 【小问1详解】 解：方程两边乘，得： ， 解得， 检验：当时， 原分式方程的解为． 【小问2详解】 解：方程两边乘， 得， 解得： 检验：当时，，是增根， 原分式方程无解 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，运用平方差公式和完全平方公式化简分式，然后代入x的值求解即可． 【详解】解：原式 当时，原式. 20. 如图，点，，，在一条直线上，，，垂足分别为，，，，求证：． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是证明三角形全等； 证明，根据全等三角形的性质即可求解； 详解】证明：，， ， 在和中， ， ， ， ， 21. 八年级学生去距学校的中国人民抗日战争纪念馆参观，一部分学生乘大巴先出发，过了，其余学生乘中巴出发，结果他们同时到达．已知中巴的平均速度是大巴平均速度的1.2倍，求大巴的平均速度． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，读懂题意，找到等量关系是解题的关键． 设大巴平均速度为每小时x千米，则中巴的平均速度是每小时千米，根据时间差建立方程求解． 【详解】解：设大巴平均速度为每小时x千米，则中巴的平均速度是每小时千米， 由题意得，， 解得， 经检验是方程的解且符合题意， 答：大巴的平均速度是． 22. 课堂上，老师提出了下面的问题： 已知，，，试比较与的大小． 小华：整式的大小比较可采用“作差法”. 老师：比较与的大小． 小华：∵， ∴． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ … （1）请用“作差法”完成老师提出的问题． （2）比较大小：__________．（填“”“”或“”） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据作差法求的值即可得出答案； （2）根据作差法求的值即可得出答案． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查分式运算的应用，解题关键是理解材料，通过作差法求解，掌握分式运算的方法． 23. “化圆为方是古希腊著名的几何作图难题，要求仅用没有刻度的直尺和圆规构造一个与给定圆面积相等的正方形．尽管这在19世纪被证明为尺规作图不可能问题，但古希腊数学家希波克拉底发现，某些特殊的月牙形（由圆弧围成的图形）的面积可以与多边形的面积相等．下面我们探索相关的问题． （1）有一个半径为20的圆，求与该圆面积相等的正方形的边长； （2）如图1，是等腰直角三角形，，，D为中点，以A为圆心，长为半径作圆A，以D为圆心，长为半径作圆D．若，求月牙形阴影部分的面积，并利用图1中的线段，画出与其面积相等的正方形，说明理由；（无需尺规作图） （3）尺规作图：如图2，已知线段，请以为底边，作一个等腰直角三角形，使得，并作出一个月牙形，使其面积等于该三角形面积的一半（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1） （2）阴影部分的面积，作图见解析，理由见解析； （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，扇形的面积公式，尺规作图作垂直平分线． （1）求出圆的面积，再开平方即可； （2）应用勾股定理求出的长，进而根据阴影部分的面积计算，即可求出与其面积相等的正方形的边长，进而作图即可； （3）作线段的垂直平分线交于D，以D为圆心，长为半径画弧，交垂直平分线于一点C，连接，等腰直角三角形即为所求；由（2）可知月牙形的面积与其所对直角三角形的面积相等，则以为月牙形所对的三角形，仿照图1作图即可． 【小问1详解】 解：半径为20的圆的面积为， 则与该圆面积相等的正方形的边长； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴的直径为， ∴的半径为， ∴阴影部分的面积 ， 则与其面积相等的正方形的边长的半径， 即根据的半径作正方形即可，作图如下： 【小问3详解】 解：如图：等腰直角三角形，月牙形（阴影）即为所求． 24. 在中，，和的平分线、交于点，连接． （1）若，， 如图，求的长； 如图，若，求的度数和的长； （2）如图，是的中点，射线交于点．若，面积为，求的长． 【答案】（1）的长为；，； （2）． 【解析】 【分析】（）过作于点，由勾股定理得，然后通过角平分线性质及等面积法有，所以，代入求得； 通过角平分线定义，三角形内角和定理得出，过作于点，作于点，则，通过角平分线性质和等面积法得出，由勾股定理得，，然后再通过勾股定理得，最后由线段和与差即可求解； （）在上截取，在上截取，连接，，证明，，所以，，，，则，，延长至，使得，再证明，所以，，所以，，证明，得，过作于点，则，证明，所以，又是的中点，则有，通过，求得，故． 【小问1详解】 解：如图，过作于点， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为； ∵，， ∴， ∵和的平分线、交于点， ∴，， ∴， ∴， 如图，过作于点，作于点，则， ， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，在上截取，在上截取，连接，， ∵和的平分线、交于点， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，，，， ∴，， 延长至，使得， ∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 过作于点，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线性质，同角的余角相等，等面积法，三角形的外角性质，三角形内角和定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 25. 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动： （1）甲同学的操作过程如下： 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A的对应点M落在上，把纸片展平，连接、，延长交于点Q，连接． ①连接，证明：是等边三角形； ②设正方形边长为2，求的长； （2）乙同学的操作过程如下：P、G分别在、上，将正方形纸片沿折痕折叠，使点C的对称点H落在边上，点D的对称点为K，交于点T．连接交于点N，连接、．请按要求补全图形，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）①见解析；② （2）为等腰直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质，平行线的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）①连接，由翻折推导出，得到，则是等边三角形，即可解答； ②先推导出，，得到，进而推导出，求出，推导出，，则，即可解答； （2）过点C作于点E，证明，得到，推导出，进而证明，得到，推导出，即，即可解答． 【小问1详解】 解：①是等边三角形， 证明：如图，连接， ∵对折正方形纸片，使与重合，得到折痕， ∴， ∵沿折叠，使点A落在矩形内部点M处， ∴， ∴， ∴是等边三角形． ②如图 ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形正方形， ∴，， ∴，， ∴， 由翻折，得，， ∴， ∵， ∴， 由折叠及题意，得 ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图所示，过点C作于点E， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ， 由翻折，得 ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴为等腰直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $