精品解析：2026年河南周口市郸城县白马中学等三校中考预测数学试卷

2026年数学（一） 满分120分，考试时间100分钟 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在0，，5，四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 5 2. 打印又称“增材制造”技术，是一种依据三维数据通过逐层材料累加的方法制造实体零件的技术，如图是打印的一个蒙古包模型，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 胖东来是河南零售行业唯一入选《中国品牌500强》的品牌，品牌价值达68亿元．将数据“68亿”用科学记数法表示应为（） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 关于一元二次方程 的根的情况，下列结论正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断根的情况 7. 如图所示， 是等边三角形，为 的中点， ，垂足为．若，则 的边长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 社团活动是丰富学生校园生活，发展学生个性的重要方式，深受学生喜爱．正面印有四个社团名称的宣传卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机一次抽取两张，卡片正面恰好为美术社和书法社的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，点分别在四条边上，且．将分别沿折叠，折叠后点 、点 重合于点 ．同样操作，将分别沿折叠，折叠后点、点重合于点 ．若 ，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 用吸管吹气时，吸管内部空气振动产生声音，因此可以用吸管制作吸管乐器．根据物理学知识，同一材质的吸管内部空气振动的频率（单位：）可近似地看成吸管长度 （单位：）的反比例函数．甲、乙两种材质的吸管乐器频率关于吸管长度 的函数图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ） A. 频率相同时，甲材质吸管乐器的长度比乙材质吸管乐器的长度短 B. 对于乙材质吸管乐器，频率越大，长度越长 C. 长度相同时，甲材质吸管乐器的频率比乙材质吸管乐器的频率大 D. 对于甲材质吸管乐器，长度越长，频率越大 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个比大的负整数_______． 12. 在一次跳远训练中，甲、乙两人每人5次跳远的平均成绩都是米，方差分别是（米），（米），则在这次跳远训练中成绩比较稳定的是_____． 13. 规律探究：同一平面内有直线a1，a2，a3…，a100，若a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4…，按此规律，a1和a100的位置是________． 14. 联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排，所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位： ）如下： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按________的先后顺序彩排． 15. 如图，，，，，点在 轴上，满足，则点的坐标为__________ 三、解答题（共75分） 16. 按要求完成下列各题： （1）计算：． （2）化简：． 17. 重庆正推进人工智能赋能基础教育，近期举办了以“渝见智能·共育未来”为主题的人工智能赋能基础教育现场会，明确要让 与基础教育深度融合．某校积极响应这一政策，聚焦两款备课辅助软件：“讯飞备课助手”（简称A款）、“豆包教学辅助工具”（简称B款），开展了教师对A，B两款 备课辅助软件的使用满意度评分测验（一名教师仅对一款 备课辅助软件进行评分），并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用整数x表示，满分100分，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息：（单位：分） 抽取的对A款 备课辅助软件的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，87，88； 抽取的对B款 备课辅助软件的评分数据：66，67，68，83，85，86，86，87，87，88，88，89，95，96，96，98，98，98，99，100； 抽取的对A，B款 备课辅助软件的评分统计： 备课软件 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 88 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________， ________； （2）根据以上数据，你认为哪款 备课辅助软件更受教师喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）此次测验有600名教师对A款 备课辅助软件进行评分，有500名教师对B款 备课辅助软件进行评分，请估计对 备课辅助软件不满意的共有多少人？ 18. 如图，已知直线与反比例函数的图像交于点，与 轴交于点 ，过点 作 轴的平行线交反比例函数的图像于点． （1）求、的值； （2）求 的面积． 19. 某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知，该地冬至正午太阳高度角为．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务． 任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离 的长； 任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？ （参考数据：．结果保留小数点后一位） 20. 如图，四边形为的内接四边形，连接，， 为等边三角形． （1）尺规作图：过点 作，交的延长线于点M． （2）求证：． 21. 星期天，爸爸、妈妈带小明去商场选购一款空调．他们选择了其中两款，小明查阅出两款空调的基本能效信息如下表： 型号 能效能级 售价/元 平均每年耗电量/ 居民电价 品牌一 1级 3048 640 0.56元/ 品牌二 3级 2600 800 （1）两款空调使用多少年，综合费用（综合费用售价电费）相同； （2）若空调使用年限为10年，请你帮助小明一家分析购买、使用哪种品牌空调综合费用较低，说明你的理由． 22. 已知二次函数 （b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移3个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在 的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数 的最大值与最小值的差为9，求n的取值范围． 23. 【问题提出】： 如图1，点E是菱形边 上的一点，是等腰三角形，，（）， 交于点G，探究与的数量关系． 【问题探究】： （1）先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数 （2）再探究一般情形，如图1，求的度数：（用含的代数式表示） 【问题拓展】： （3）如图3，当，时，若点G为边的三等分点，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年数学（一） 满分120分，考试时间100分钟 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在0，，5，四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理数的大小比较，掌握相关知识点是解题的关键． 比较四个数的大小，负数小于正数和0，且负数中绝对值大的反而小． 【详解】解：∵负数小于0和正数， ∴最小数在和中； ∵， ∴最小的数是， 故选：A． 2. 打印又称“增材制造”技术，是一种依据三维数据通过逐层材料累加的方法制造实体零件的技术，如图是打印的一个蒙古包模型，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图的定义去判断即可． 本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键． 【详解】解：蒙古包模型的俯视图是： , 故选：D． 3. 胖东来是河南零售行业唯一入选《中国品牌500强》的品牌，品牌价值达68亿元．将数据“68亿”用科学记数法表示应为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的一般形式，系数满足，n为整数．根据科学记数法表示出68亿，即可求解． 【详解】解： 亿． 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查指数运算的法则，包括同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方等，需逐一验证各选项的正确性. 【详解】∵ 选项A: = ≠ , ∴ A错误. ∵ 选项B: = ≠ , ∴ B错误. ∵ 选项C: = ≠ , ∴ C错误. ∵ 选项D: = = , ∴ D正确. 故选D． 5. 石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的外角；根据题意求得正六边形的外角，进而即可求得的度数． 【详解】解：∵正六边形的外角和为 ∴每一个外角为 ∴， 故选：B． 6. 关于一元二次方程 的根的情况，下列结论正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断根的情况 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．通过计算一元二次方程根的判别式，即可判断方程根的情况． 【详解】解：方程 中，，，， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 7. 如图所示， 是等边三角形，为 的中点， ，垂足为．若，则 的边长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余．根据等边三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余得到，进而利用含30度角的直角三角形的性质求得即可． 【详解】解：∵ 是等边三角形， ∴， ∵ ， ∴， 在中，，则， ∵为 的中点， ∴ ， 故选：B． 8. 社团活动是丰富学生校园生活，发展学生个性的重要方式，深受学生喜爱．正面印有四个社团名称的宣传卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机一次抽取两张，卡片正面恰好为美术社和书法社的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图、概率公式，画树状图得出所有等可能的结果数以及卡片正面恰好为美术社和书法社的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将“美术社”、“摄影社”、“书法社”、“音乐社”四张卡片分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中卡片正面恰好为美术社和书法社的结果有2种， ∴卡片正面恰好为美术社和书法社的概率为． 故选：C． 9. 如图，在矩形中，点分别在四条边上，且．将分别沿折叠，折叠后点、点重合于点 ．同样操作，将分别沿折叠，折叠后点、点重合于点 ．若 ，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质等知识，由四边形是矩形，得，，，，所以，然后通过折叠的性质可得，，，，，，，，，，，，，从而得出，然后证明，所以，则，设，，得到，再证明，所以，即，联立，解得或，最后又，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵将分别沿折叠，折叠后点、点重合于点 ， ∴，，，，，， ∴， ∵将分别沿折叠，折叠后点、点重合于点 ， ∴，，，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 联立，解得：或， ∵， ∴， ∴， 故选：． 10. 用吸管吹气时，吸管内部空气振动产生声音，因此可以用吸管制作吸管乐器．根据物理学知识，同一材质的吸管内部空气振动的频率（单位：）可近似地看成吸管长度 （单位：）的反比例函数．甲、乙两种材质的吸管乐器频率关于吸管长度 的函数图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ） A. 频率相同时，甲材质吸管乐器的长度比乙材质吸管乐器的长度短 B. 对于乙材质吸管乐器，频率越大，长度越长 C. 长度相同时，甲材质吸管乐器的频率比乙材质吸管乐器的频率大 D. 对于甲材质吸管乐器，长度越长，频率越大 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与实际问题，反比例函数图象和性质，熟练掌握反比例函数图象性质是解题的关键． 根据反比例函数图象性质逐项判断即可． 【详解】解：A、频率相同时，甲材质吸管乐器的长度比乙材质吸管乐器的长度短，正确，故此选项符合题意； B、对于乙材质吸管乐器，频率越大，长度越短，原说法以错误，故此选项不符合题意； C、长度相同时，甲材质吸管乐器的频率比乙材质吸管乐器的频率小，原说法以错误，故此选项不符合题意； D、对于甲材质吸管乐器，长度越短，频率越大，原说法以错误，故此选项不符合题意； 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个比大的负整数_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】先估算 的值，再比较有理数的大小，找出比它大的负整数，解答即可． 本题考查了无理数的估算，实数的大小比较，掌握估算的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴符合题意的负整数有或， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 在一次跳远训练中，甲、乙两人每人5次跳远的平均成绩都是米，方差分别是（米），（米），则在这次跳远训练中成绩比较稳定的是_____． 【答案】甲 【解析】 【分析】根据方差的意义即方差越小数据越稳定，从而得出答案． 【详解】解：∵甲、乙两人每人5次跳远的平均成绩都是米， （米），（米）， ∴， ∴两名男生中成绩较稳定的是甲； 故答案为：甲． 【点睛】本题考查了方差．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 13. 规律探究：同一平面内有直线a1，a2，a3…，a100，若a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4…，按此规律，a1和a100的位置是________． 【答案】a1∥a100； 【解析】 【分析】从已知两直线的位置关系，运用平行线的性质，观察分析得几条特殊直线与a1的位置关系为a1∥a4，a1∥a5；a1⊥a2，a1 ⊥a3；且a1与an的位置关系是4为周期进行循环，下角标的余数为0或1时与a1平行，下角标的余数为2或3时与a1垂直，计算100=4×25，余数为0判定两直线的位置关系为a1∥a100． 【详解】解：在同一平面内有直线两直线的位置， 关系是相交或平行，如图所示： ∵a1⊥a2，a2∥a3， ∴a1 ⊥a3， 又∵a3⊥a4， ∴a1∥a4， 又∵a4∥as， ∴a1∥a5， 又∵a5⊥a6， ∴a1⊥a6， 又∵a6∥a7， ∴a1⊥a7， … 从以上的规律可知：a1与an的位置关系是4为周期进行循环， 若下角标的余数为0或1时与a1平行；若下角标的余数为2或3时与a1垂直． ∵100=4×25， ∴a1∥a100， 故答案为：a1∥a100． 【点睛】本题综合考查了平行线的性质，同一平面内图形的变化规律，倍数和余数的运用等相关知识点，重点是掌握平行线的性质，难点是掌握由特殊到一般图形变化规律在几何中的运用． 14. 联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排，所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位： ）如下： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按________的先后顺序彩排． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，节目和演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长较长的节目应该放在后面，那么在的前面，和彩排时长一样，人数不一样，那么人数较少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么在前面，再分情况分别计算，比较即可得出结果． 【详解】解：由题意可得，节目和演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长较长的节目应该放在后面，那么在的前面，和彩排时长一样，人数不一样，那么人数较少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么在前面， 按照顺序，则候场时间为； 按照顺序，则候场时间为； 按照顺序，则候场时间为； 按照顺序，则候场时间为； 按照顺序，则候场时间为； 按照顺序，则候场时间为， ∵， ∴若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按的先后顺序彩排． 15. 如图，，，，，点在 轴上，满足，则点的坐标为__________ 【答案】或 【解析】 【分析】根据条件易得 ， ， ，轴，轴，因为，所以 是角平分线，再根据可知 是等腰直角三角形，则当点和点重合时，此时，当点不与重合时，连接 过D作于H，利用角平分线的性质与勾股定理可得答案． 【详解】解：由题意可得：，， ，轴，轴， 如图，连接 ， ∵，，轴， ∴，， ∴ 是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴ ， ∴， ∴当点与点重合时有，此时点的坐标为， 当点不与重合时，如图，连接 ，过作于 ，     ∵，， ∴， 在 和中， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则，， 根据勾股定理可得：即， 解得： ， ∴点的坐标为， 综上所述：点的坐标为或， 故答案为：或 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，平面直角坐标系内点的坐标特点，勾股定理等，掌握相关知识点是解题的关键． 三、解答题（共75分） 16. 按要求完成下列各题： （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算负整数指数幂、立方根、零指数幂，最后计算加减即可得出结果； （2）括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 重庆正推进人工智能赋能基础教育，近期举办了以“渝见智能·共育未来”为主题的人工智能赋能基础教育现场会，明确要让 与基础教育深度融合．某校积极响应这一政策，聚焦两款备课辅助软件：“讯飞备课助手”（简称A款）、“豆包教学辅助工具”（简称B款），开展了教师对A，B两款 备课辅助软件的使用满意度评分测验（一名教师仅对一款 备课辅助软件进行评分），并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用整数x表示，满分100分，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息：（单位：分） 抽取的对A款 备课辅助软件的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，87，88； 抽取的对B款 备课辅助软件的评分数据：66，67，68，83，85，86，86，87，87，88，88，89，95，96，96，98，98，98，99，100； 抽取的对A，B款 备课辅助软件的评分统计： 备课软件 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 88 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________， ________； （2）根据以上数据，你认为哪款 备课辅助软件更受教师喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）此次测验有600名教师对A款 备课辅助软件进行评分，有500名教师对B款 备课辅助软件进行评分，请估计对 备课辅助软件不满意的共有多少人？ 【答案】（1） （2） 我认为A款 备课辅助软件更受教师喜爱． 因为A款 备课辅助软件评分统计中“非常满意”所占百分比 大于B款 备课辅助软件评分统计中“非常满意”所占百分比，所以A款 备课辅助软件更受教师喜爱．（任意合理理由都可以） （3）135人 【解析】 【分析】此题考查了中位数、众数等统计量的应用、样本估计总体、扇形统计图等知识，准确掌握各统计量的求解方法和意义是解题的关键． （1）根据已知数据的百分比即可求出a的值，根据中位数的定义即可求出b的值，根据众数的定义即可求出c的值； （2）根据非常满意的占比进行解答即可； （3）根据样本估计总体的知识进行解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得， ， 即 ， 不满意和比较满意的人数为 （人） 满意的人数为人， ∵中位数为第 个和 个数据的平均数， ∴ ， 抽取的对B款 备课辅助软件的评分数据中出现次数最多的是 ，即抽取的对B款 备课辅助软件的评分数据的众数为 ，即 ， 故答案为： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （人）， 答：估计对 备课辅助软件不满意的共有135人． 18. 如图，已知直线与反比例函数的图像交于点，与 轴交于点，过点作 轴的平行线交反比例函数的图像于点． （1）求、的值； （2）求 的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，将分别代入、，即可得到答案； （2）根据题意，在平面直角坐标系中，由，代入数据计算即可． 【小问1详解】 解：∵直线与反比例函数的图像交于点， ∴，， 解得：， ； 【小问2详解】 ∵直线与 轴交于点， ∴当 时，，即， ∵过点作 轴的平行线交反比例函数的图象于点， 当时，， ∴， ∵， 设表示点的横坐标，表示点的横坐标，表示点的纵坐标，表示点的纵坐标， ∴，， ∴ ， ∴ 的面积为． 【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，坐标与图形，函数图象上点的坐标特征，三角形面积等知识，确定函数解析式是解题的关键． 19. 某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知，该地冬至正午太阳高度角为．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务． 任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离 的长； 任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？ （参考数据：．结果保留小数点后一位） 【答案】任务一：，任务二：该活动中心移动了2米； 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用； 任务一：如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，，可得，，求解，进一步可得答案； 任务二：如图，过作的平行线，过作的平行线，两线交于点 ，交于点 ，过 作于 ，可得，四边形为矩形，，求解，进一步可得答案. 【详解】解：任务一：如图，过作于， 结合题意可得：四边形为矩形，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 任务二：如图，过作的平行线，过作的平行线，两线交于点 ，交于点 ，过 作于 ， ∴，四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； ∴该活动中心移动了2米. 20. 如图，四边形为的内接四边形，连接，， 为等边三角形． （1）尺规作图：过点作，交 的延长线于点M． （2）求证：． 【答案】（1）如图即为所求作： （2） 证明：∵ 为等边三角形， ∴， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∵四边形为的内接四边形， ∴ ， ∵在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据题干要求作图即可； （2）由等边三角形的性质可得，由圆周角定理可得 ，由平行线的性质可得 ，从而即可得出 ，由圆内接四边形的性质可得 ，再证明，即可得证． 【小问1详解】 解：尺规作图如下： 步骤一：以点C为圆心，任意长为半径作圆弧，交直线于点E，交线段 （或射线 ）于点F； 步骤二：以点B为圆心，以相同的长为半径作圆弧，交射线 于点G（使得，即点G在射线 上且等于步骤一中的半径）； 步骤三：以点G为圆心，以线段 的长为半径作圆弧，交步骤二中所作的圆弧于点H（取与点E位于直线 相反侧的交点）； 步骤四：过点B和点H作直线，则直线即为所求的过点B且平行于的直线，交 的延长线于点M． 原理：由作图可知，，故 ，内错角相等，所以 ． 【小问2详解】 略 21. 星期天，爸爸、妈妈带小明去商场选购一款空调．他们选择了其中两款，小明查阅出两款空调的基本能效信息如下表： 型号 能效能级 售价/元 平均每年耗电量/ 居民电价 品牌一 1级 3048 640 0.56元/ 品牌二 3级 2600 800 （1）两款空调使用多少年，综合费用（综合费用售价电费）相同； （2）若空调使用年限为10年，请你帮助小明一家分析购买、使用哪种品牌空调综合费用较低，说明你的理由． 【答案】（1）两款空调使用5年时，两款空调的综合费用相同 （2）当时，品牌二的空调综合费用较低；当 时，品牌一和品牌二的空调综合费用相等；当 时，品牌一的空调综合费用较低． 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的应用，掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）设两款空调使用t年，令两款空调的综合费用相等，列关于t的方程并求解即可； （2）通过比较两个代数式的大小，求出对应t的取值范围即可． 【小问1详解】 解：设两款空调使用t年，综合费用相同； 1级能效空调的综合费用是（元）， 3级能效空调的综合费用是（元）． 根据题意得，， 解得， ， 答：两款空调使用5年时，两款空调的综合费用相同． 【小问2详解】 解：当时，解得； 当时，解得， ∵， ∴ ． 答：当时，品牌二的空调综合费用较低；当 时，品牌一和品牌二的空调综合费用相等；当 时，品牌一的空调综合费用较低． 22. 已知二次函数 （b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移3个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在 的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数 的最大值与最小值的差为9，求n的取值范围． 【答案】（1） （2）7 （3） 【解析】 【分析】对于（1），将点的坐标和对称轴代入关系式，可得答案； 对于（2），表示出平移后的坐标，再代入关系式，求出答案； 对于（3），分三种情况，分别根据最大值与最小值的差等于9得出方程或等式，判断即可． 【小问1详解】 ∵抛物线经过点，且对称轴是直线， ∴， 解得， ∴二次函数的关系式为； 【小问2详解】 将点向上平移3个单位长度，再向左平移m个单位长度的点为，恰好落在抛物线上， ∴， 解得（舍去）， ∴； 【小问3详解】 当时， ， 解得，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 当 时，， 解得，不符合题意都舍去． 综上所述，n的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，点的平移，二次函数图象的性质，注意分情况讨论，不能丢解． 23. 【问题提出】： 如图1，点E是菱形边 上的一点，是等腰三角形，，（）， 交于点G，探究与的数量关系． 【问题探究】： （1）先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数 （2）再探究一般情形，如图1，求的度数：（用含的代数式表示） 【问题拓展】： （3）如图3，当，时，若点G为边的三等分点，请直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）过点作的延长于H，，证明即可得出结论． （2）在 上截取 ，使，连接 ，证明，通过边和角的关系即可证明． （3）过点作的垂线交的延长线于点 ，在 上截取 ，使，连接 ，作于点M．由（2）知，，通过证明，求出或，由（2）知：，，利用等腰三角形与赼有三角形的性质，以及勾股定理即可求解. 【详解】解：（1）过点作的延长于H， ∵， ，， ， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵菱形， ∴， ， ， ． （2）在 上截取 ，使，连接 ． ， ， ． ∵菱形， ∴， ， ． ． ， ， ． ． （3）过点作的垂线交的延长线于点 ，在 上截取 ，使，连接 ，作于点M．如图， ，点G为边的三等分点， ∴或， ，或， ． ∵菱形， ∴ ∴ ，， 由（2）知， ， ． 或 ∴或． 由（2）知：，， ∴或， ∵，， ∴或， ∵，， ∴ ∴ 由勾股定理，得，即， ∴或． 【点睛】此题考查菱形性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟悉菱形性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $