人教版高中数学选修2-1 第三章第二节立体几何中的向量方法（导学案）

选修2-1 第三章 立体几何中的向量方法 导学案 1 空间向量与异面直线夹角 在立几中，要求两异面直线的夹角，可以通过两向量的夹角公式 来求得，但要注意异面直线的夹角只能为锐角或直角。 例1如图，直三棱柱ABC—A1B1C1的底面三角形ABC中，CA=CB=1，∠BCA=900，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点。 （1）求 的长；（2）求 的值。 解： 2 空间向量与线面垂直问题 设非零向量 ， ，运用该结论可较快地处理立几中的线线垂直与线面垂直问题。 例2 如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为 1，M是棱AA1的中点，点O是对角线BD1的中点。求证：BD1⊥AC； 证明 练习：已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BB1的中点，F是CD的中点.求证：D1F⊥平面ADE. 证明： 3 空间向量与线面平行问题 向量 与非零向量 平行的充要条件是存在唯一的实数 ，使 。如果平面外直线的方向向量与平面内一直线的方向向量平行，则线面平行；如果两平面α与β的法向量平行，则α∥β。 例3 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1、A1D1的中点，E、F分别是棱B1C1、C1D1的中点。 求证：（1）E、F、B、D四点共面； （2）平面AMN∥平面BDFE。 证明： 4、直线与平面所成的角 例4．在矩形ABCD中，已知AB＝1，AB＝1，BQ＝2，QC＝1，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，求AD与平面PDQ所成角的正弦值. 5、 空间向量与二面角计算 设二面角 的大小为 ， 分别为两平面的法向量，则 或者 运用二面角的向量计算公式，只凭坐标运算而不需添加辅助线，轻松获解。 例5如图，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC=900，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD= 。求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值。 解：以AD、AB、AS分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所 示的空间直角坐标系， ， 练习：．已知四棱锥P—ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，AB＝2，AD＝，DC＝1，PA＝4，且M、N分别为PB、PD的中点，平面CMN交AP于点Q.求平面CMN与平面ABC