3.2立体几何中的向量方法（4） 导学案-2021-2022学年高二上学期数学人教A版选修2-1

( 导学提纲 ) ( 高二数学 ) ( 编撰人： 核对人： 审核人： ) 班级: 姓名: 学号: (理) 3.2立体几何中的向量方法（4）研究空间角 一、学习目标、细解考纲 学 习 目 标 核 心 素 养 1. 会用向量方法求两 异面直线所成角. (重点)． 2.理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求直线与平面所成角. (重点、难点)． 3. 理解二面角大小与两个面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求二面角的大小(重点、难点) 1. 向量语言表述空间角（.数学抽象） 2. 空间向量的坐标运算解决空间角问题.（数学运算、逻辑推理、直观想象） 二、自主学习 1. 利用向量方法求两异面直线所成角 若两异面直线l1,l2所成角为θ,它们的方向向量分别为a,b,则有 cos θ=|cos<a,b>|= . 2. 利用向量方法求直线与平面所成角 若直线l与平面α所成的角为θ,直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,则有sin θ=|cos<a,n>|= 3.利用向量方法求二面角 (1)若二面角α-l-β的平面角的大小为θ,其两个面α,β的法向量分别为n1,n2, 则|cos θ|=|cos<n1,n2>|= (2)二面角的大小还可以转化为两直线方向向量的夹角.在二面角α-l-β的两个半平面α,β内,各取一条与棱l垂直的直线,则当直线的方向向量的起点在棱上时,两个方向向量的夹角即为二面角的大小 三、探究应用,“三会培养” 例1. .如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝，BC＝2，点D为BC的中点，则异面直线AD与A1C所成的角为(　　) A. 　B. C. 　D. 答案　B 解析　以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，A1(0，0，)，B(，0，0)，C(0，，0)， ∴D， ∴＝，＝(0，，－)，∴cos〈，〉＝＝， ∴〈，〉＝. 变式1: 如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，＝λ，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为，则λ的值为________. 答案　 解析　以D为原点，以DA，DC，DD1分