3.2立体几何中的向量方法（4） 导学案-2021-2022学年高二上学期数学人教A版选修2-1

 

 

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(理) 3.2立体几何中的向量方法（4）研究空间角

一、学习目标、细解考纲

二、自主学习

1. 利用向量方法求两异面直线所成角

若两异面直线l1,l2所成角为θ,它们的方向向量分别为a,b,则有

cos θ=|cos<a,b>|= .

2. 利用向量方法求直线与平面所成角

若直线l与平面α所成的角为θ,直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,则有sin θ=|cos<a,n>|=

3.利用向量方法求二面角

(1)若二面角α-l-β的平面角的大小为θ,其两个面α,β的法向量分别为n1,n2,  则|cos θ|=|cos<n1,n2>|=

 (2)二面角的大小还可以转化为两直线方向向量的夹角.在二面角α-l-β的两个半平面α,β内,各取一条与棱l垂直的直线,则当直线的方向向量的起点在棱上时,两个方向向量的夹角即为二面角的大小

三、探究应用,“三会培养”

例1. .如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝，BC＝2，点D为BC的中点，则异面直线AD与A1C所成的角为(　　)

A.  　B.  C.  　D.

答案　B

解析　以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，A1(0，0，)，B(，0，0)，C(0，，0)，

∴D，

∴＝，＝(0，，－)，∴cos〈，〉＝＝，

∴〈，〉＝.

变式1: 如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，＝λ，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为，则λ的值为________.

答案　

解析　以D为原点，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.

正方体的棱长为2，则A1(2，0，2)，D1(0，0，2)，E(0，2，1)，A(2，0，0).

所以＝(0，2，－1)，＝＋＝＋λ＝(0，0，－2)＋λ(－2，0，0)＝(－2λ，0，－2).

则cos〈，〉＝＝，

所以＝，解之得λ＝(舍去－).

例2. (2020·北京卷)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BB1的中点.

(1)求证：BC1∥平面AD1E；

(2)求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值.

(1)证明　∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，∴AB//D1C1，

∴四边形ABC1D1为平行四边形，∴BC1∥AD1.

又BC1⊄平面AD1E，AD1⊂平面AD1E，∴BC1∥平面AD1E.

(2)解　如图所示，以A为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系A－xyz，不妨设正方体的棱长为2，则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，D1(2，0，2)，E(0，2，1).∴＝(0，0，2)，＝(2，0，2)，＝(0，2，1).

设平面AD1E的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即

令y＝1，则z＝－2，x＝2，∴平面AD1E的一个法向量为n＝(2，1，－2).

∴cos〈，n〉＝＝＝－.

∴直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值为.

变式2: (2021·全国百校联考)如图所示，在三棱锥S－BCD中，平面SBD⊥平面BCD，A是线段SD上的点，△SBD为等边三角形，∠BCD＝30°，CD＝2DB＝4.