3.2立体几何中的向量方法（3） 导学案-2021-2022学年高二上学期数学人教A版选修2-1

 

 

                班级:    姓名:          学号:        

(理) 3.2立体几何中的向量方法（3）研究空间距离

一、学习目标、细解考纲

二、自主学习

1..点到直线的距离

2. .两条平行直线之间的距离

3. 点到平面的距离

    已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则点P到平面α的距离为PQ=.

4. 线面距,两个平行平面之间的距离

  转化为 点到平面的距离

三、探究应用,“三会培养”

例1在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2

M,N分别为AB,SB的中点,如图所示.求点B到平面CMN的距离

解:取AC的中点O,连接OS,OB.

∵SA=SC,AB=BC,∴AC⊥SO,AC⊥BO.

∵平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC,

∴SO⊥平面ABC.

又BO⊂平面ABC,∴SO⊥BO.

如图所示,分别以OA,OB,OS所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,则B(0,2,0),C(-2,0,0),S(0,0,2),M(1,,0),N(0,).

∴=(3,,0),=(-1,0,),=(-1,,0).

设n=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,

则取z=1,

则x=,y=-,∴n=(,-,1).

∴点B到平面CMN的距离d=.

例2. 在直三棱柱中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点.

(1)求证:B1C∥平面A1BD;

(2)求直线B1C到平面A1BD的距离

[解析](1)证明:连接AB1交A1B于点E,连接DE.

⇒B1C∥平面A1BD.

(2)解:因为B1C∥平面A1BD,所以B1C到平面A1BD的距离就等于点B1到平面A1BD的距离.

如图建立坐标系,则B1(0,2,3),B(0,2,0),A1(-1,0,3),

=(0,2,3),=(0,2,0),=(-1,0,3).

设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),所以所以n=(3,0,1).

所求距离为d=.

四．拓展延伸、智慧发展

例3.  如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,点E在棱BB1上,EB1=1,D,F,G分别为CC1,B1C1,A1C1的中点,EF与B1D相交于点H.

(1)求证:B1D⊥平面ABD;

(2)求证:平面EGF∥平面ABD;

(3)求平面EGF与平面ABD的距离.

[解析] (1)证明:如图所示建立空间直角坐标系,

设AB=a,则A1(a,0,0),B1(0,0,0),C1(0,2,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4),B(0,0,4),

D(0,2,2), G.所以=(0,2,2),=(-a,0,0),=(0,2,-2).

所以=0+0+0=0,=0+4-4=0.

所以,所以B1D⊥AB,B1D⊥BD.

又AB∩BD=B,所以B1D⊥平面ABD.