精品解析：北京市首都师范大学附属中学2025-2026学年下学期九年级数学练习3

数学练习3 一、选择题（共8小题，每题4分，共32分） 1. 下列垃圾分类的标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 可回收物 B. 厨余垃圾 C. 有害垃圾 D. 其它垃圾物 2. 正十边形的外角和为（　　） A. B. C. D. 3. 在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C．若CO=BO，则a的值为（ ） A. -3 B. -2 C. -1 D. 1 4. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 一张圆桌旁有四个座位，A先坐在如图所示座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个座位上，则A与B不相邻而坐的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 一根普通的头发丝的直径约为，而光刻机的精度可以达到级别，相当于一根头发丝直径的h分之一，已知，则h约为（ ） A. B. C. D. 7. 已知锐角．如图， （1）在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作，交射线于点D，连接； （2）分别以点C，D为圆心，长为半径作弧，交于点M，N； （3）连接，． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论： ①；②；③；④若，则．所有正确结论的序号是（ ） A ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②③④ 8. 北京市体育中考现场共有三个项目，分为耐力、素质和球类，其中耐力为男子1000米跑，女子800米跑．所有同学都要参加，此外，参加考试的同学需在素质和球类项目中分别选择一项参加考试，选项规则如表1所示： 表1：北京市体育中考现场考试选项规则 项目 耐力（必选） 素质（任选一项） 球类（任选一项） 男生 1000米跑 引体向上、实心球 篮球绕杆、排球垫球、足球绕杆 女生 800米跑 仰卧起坐、实心球 篮球绕杆、排球垫球、足球绕杆 小宇对初三A班40名同学的体育选项情况进行了统计，并根据其中部分信息绘制了表2 表2：初三4班体育中考选项情况统计表 项目 素质 球类 仰卧起坐 引体向上 实心球 篮球绕杆 排球垫球 足球绕杆 男生 20 2 女生 16 总计 17 15 16 2 以下有四个推断 ①一定有女生选择了实心球 ②一定有男生同时选择了引体向上和足球绕杆 ③至少有一名女生同时选择仰卧起坐和篮球绕杆 ④男生中同时选择实心球和篮球绕杆的至多5人 所有合理推断的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 二、填空题（共8小题，每题4分，共32分） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围为_________． 10. 分解因式：2a3﹣8a=________． 11. 方程的解为_________． 12. 在平面直角坐标系中，已知函数的图象与的图象交于点．则_________． 13. 如图，点A，B，C在上，，垂足为D，若．则_________． 14. 为了解所在小区居民各类生活垃圾投放情况，小宇同学随机调查了该小区30户家庭某一天各类生活垃圾的投放量，统计得出这30户家庭各类生活垃圾的投放总量是70千克，各类生活垃圾投放量分布情况的扇形统计图如下图所示，若该小区有240户家庭，则可估计该小区这一天投放的可回收物共_________千克． 15. 如图，在矩形中，，点E为延长线一点，且．连接交边于点F，过点D作于点H，则的面积为_________． 16. 某校航模小组的同学正在为即将开始的航模比赛做最后的准备．已知准备工作共有A，B，C，D，E，F，G，H，M，N十项工序，准备工作完成过程需要满足以下要求： （1）H只能在A、B、C工序均完成后才能完成； （2）M只能在C、D、E工序均完成后才能完成； （3）其余每项工序相互独立，之间没有干扰； （4）一项工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序．各项工序所需时间如表所示： 工序 A B C D E F G H M N 所需时间/分钟 18 15 16 6 7 5 8 3 2 3 在不考虑其他因素的前提下，若由若干名学生合作完成准备工作，至少需要______分钟才能全部完成；若要在最短的时间内合作完成准备工作，则最少需要______名学生共同参与． 三、解答题（共5小题，第17-20题，每题7分，第21题8分，共36分） 17. 南淝河，古称施水，长江流域巢湖支流，是合肥的母亲河．为了确保河道畅通，现需要对一段河道进行清淤处理，清淤任务由两栖反铲式清淤机和小型链斗式清淤船进行．右表是工程队给出的两个工程预备方案，环保部门要求6天内必须完成任务．如果工程部门提供2台清淤机和2台清淤船，共同完成此项任务，那么能否按要求完成任务？ 清淤机 清淤船 时间 方案一 1台 2台 8天 方案二 2台 1台 7天 18. 在平面直角坐标系中，函数的图象过点和． （1）求函数的解析式； （2）已知函数，若当时，对每一个的值，都有整数，使得成立，直接写出的取值范围． 19. 某校甲、乙两个班级各有40名学生组成矩形方阵进行校运动会入场仪式，为了解这两个班级参加入场仪式的学生的身高情况，测量并获取了这些学生的身高（单位：cm），数据整理如下： a．甲班40名学生身高： 153，154，157，158，159，160，161，161，162，162， 163，163，164，164，165，167，167，167，167，167， 168，168，168，168，169，169，170，170，171，171， 171，172，172，173，173，174，175，176，180，181． b．两班学生身高的平均数、中位数、众数如表所示： 班级 平均数 中位数 众数 甲 167 m n 乙 167 168 168 （1）表中______，_____； （2）在甲班的40名学生中，高于平均身高的人数为，在乙班的40名学生中，高于平均身高的人数为，则_____（填“>”“<”或“=”）； （3）若甲班调整了一下队形，派身高分别为153、154、180、181的四位同学负责在队列前面手擎国旗，其余36人组成一个新的矩形方阵，设甲班原方阵的身高平均值为，方差为，新方阵的身高平均值为，方差为，则______，______（填“>”“<”或体“=”） 20. 如图，是的弦，半径，为延长线上一点，与相切于点与交于点． （1）求证：； （2）连接，若，的半径为3，，求的长． 21. 为了解某款饮水机的工作原理与用电情况，综合实践活动小组展开了以下研究． 【问题背景】 如图1，某饮水机内有两个不同大小的立方体水箱，两水箱各配有一条智能水管，当甲箱的水位为时1号管启动，将乙箱中的水（此时乙箱水满）匀速注入甲箱．甲乙两箱的水位相同时，此时2号管启动，将外部自来水匀速注入乙箱（两管的注水速度相同，两水箱分别注满后其对应的水管停止工作，期间饮水机不对外出水）． 【解决问题】 小明根据研究过程分别绘制了甲、乙水箱的水位关于时间的函数图象，如图2所示 根据以上信息，回答下列问题： （1）图中表示甲的函数图象的是_________（填①或②）； （2）图中a的值为_________，b的值为_________； （3）当时，甲水箱的水位h关于时间t的函数解析式为_______； 当时，乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式为_______； （4）为节约能源，设定当两水箱的水位差不超过时甲水箱启动加热，加热时每分钟耗电0.06度，另外每根水管工作1分钟均耗电0.01度，则图2中从到的整个过程中所消耗的电量为_________度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学练习3 一、选择题（共8小题，每题4分，共32分） 1. 下列垃圾分类的标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 可回收物 B. 厨余垃圾 C. 有害垃圾 D. 其它垃圾物 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意； C．既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意； D．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 正十边形的外角和为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角和，解题的关键是熟练掌握“多边形的外角和为”． 【详解】解：正十边形的外角和的度数为． 故选：A． 3. 在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C．若CO=BO，则a的值为（ ） A. -3 B. -2 C. -1 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据CO=BO可得点C表示的数为-2，据此可得a=-2-1=-3． 【详解】解：∵点C在原点的左侧，且CO=BO， ∴点C表示的数为-2， ∴a=-2-1=-3． 故选A． 【点睛】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键． 4. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，利用方程解的情况得到，然后解m的不等式即可． 根据一元二次方程根的判别式，当判别式非负时，方程有两个实数根． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：， 故选：B． 5. 一张圆桌旁有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个座位上，则A与B不相邻而坐的概率为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了概率的计算，根据题意得出所有可能的情况数，然后找出符合题意的情况数，最后根据概率公式求出结果即可． 【详解】解：B随机而坐的结果数共有种，其中A与B不相邻而坐的结果有种， ∴A与B不相邻而坐的概率为：． 故选：B． 6. 一根普通的头发丝的直径约为，而光刻机的精度可以达到级别，相当于一根头发丝直径的h分之一，已知，则h约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，科学记数法，分别用科学记数法表示出头发丝的直径和光刻机的精度，再根据光刻机的精度当于一根头发丝直径的h分之一列式求解即可． 【详解】解：头发丝直径为． 光刻机精度为． ∴． 故选C． 7. 已知锐角．如图， （1）在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作，交射线于点D，连接； （2）分别以点C，D为圆心，长为半径作弧，交于点M，N； （3）连接，． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论： ①；②；③；④若，则．所有正确结论的序号是（ ） A ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查作图复杂作图，等边三角形的判定及性质，圆周角定理，弧、弦、圆心角之间的关系．根据弦、弧、圆心角的关系判断①；连接，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到，再根据圆周角定理得到，即可求出，得到判断②，根据两点间线段最短判断③；连接，然后根据三角形的内角和求出，即可得到是等边三角形，判断④解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确； 连接， ∴， 又∵， ∴， ∴，故②正确； 又∵， ∴，即，故③正确； 连接，设，则，， 在中，， 解得， ∴， ∴，故④正确； 故选：D． 8. 北京市体育中考现场共有三个项目，分为耐力、素质和球类，其中耐力为男子1000米跑，女子800米跑．所有同学都要参加，此外，参加考试的同学需在素质和球类项目中分别选择一项参加考试，选项规则如表1所示： 表1：北京市体育中考现场考试选项规则 项目 耐力（必选） 素质（任选一项） 球类（任选一项） 男生 1000米跑 引体向上、实心球 篮球绕杆、排球垫球、足球绕杆 女生 800米跑 仰卧起坐、实心球 篮球绕杆、排球垫球、足球绕杆 小宇对初三A班40名同学的体育选项情况进行了统计，并根据其中部分信息绘制了表2 表2：初三4班体育中考选项情况统计表 项目 素质 球类 仰卧起坐 引体向上 实心球 篮球绕杆 排球垫球 足球绕杆 男生 20 2 女生 16 总计 17 15 16 2 以下有四个推断 ①一定有女生选择了实心球 ②一定有男生同时选择了引体向上和足球绕杆 ③至少有一名女生同时选择仰卧起坐和篮球绕杆 ④男生中同时选择实心球和篮球绕杆的至多5人 所有合理推断的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查统计表的读取．其中①②③④每个选项都需在读懂题目，并判断出各个项目人数的前提下进行判断，因此本题的重难点在于判断各个项目的人数多少． 【详解】解：本题各个项目人数的多少，解题的关键在于球类里面．通过排球垫球，我们可以得知，女生是16人，合计是16人，因此没有男生选择排球垫球．同理，没有女生选择足球垫球．又因为每位同学均需要在球类中选择一项，对于男同学而言，因为没有选择排球垫球的，因此全部男同学都选择了篮球绕杆和足球绕杆，因此该班男生共有20+2=22人，其中选择篮球绕杆20人，足球绕杆2人．同理，因为全班共有40名同学，因此女生共有18人，其中选择排球垫球16人，因此篮球绕杆有2人．对于素质项目，因为全班共有40人，出去仰卧起坐17人，引体向上15人，还剩余8人选择实心球．又因为仰卧起坐只能女生选择，选择仰卧起坐的人数为17人，因此18名女生中，有1人选择实心球．实心球中有7名是男生，另外15名男生选择的引体向上．下面我们分析选项： ①一定有女生选择了实心球，正确，有1名女生选择． ②一定有男生同时选择引体向上和足球绕杆，无法判断，可能有．但是因为选择足球绕杆的男生只有2人，这2人完全可以选择实心球，这种情况下②就不对． ③因为女生只有1人选择实心球，而选择篮球绕杆的女生为2人，因此另外1人就既选择了篮球绕杆，又选择了仰卧起坐．选项正确． ④无法判断．不一定至多是5人，假如选择实心球的7名男生全部选择了篮球，此时同时选择实心球和篮球绕杆的就有7人．选项错误． 综上，正确选项为①③， 故选：B． 【点睛】本题考查统计表的读取分析能力，重点在于读懂统计表后，找出各个项目人数的多少，再根据人数的多少判断①②③④各个选项是否正确，需要一定的逻辑思维，对逻辑思维有一定的锻炼． 二、填空题（共8小题，每题4分，共32分） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件． 直接根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件作答即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴且， 即且， ∴． 故答案为：． 10. 分解因式：2a3﹣8a=________． 【答案】2a（a+2）（a﹣2） 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】． 11. 方程解为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，直接根据解分式方程的步骤求解即可． 【详解】， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为一得：， 经检验，是原分式方程解， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，已知函数的图象与的图象交于点．则_________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与正比例函数的交点性质． 先把A点代入中，可求得，然后把A点代入反比例函数中求出k的值，一次函数和反比例函数联立方程组，即可求出的值，进而求出． 【详解】解：把代入中，可求得， 把代入中，可求得， 联立方程组， 即可求出（即为A点横坐标），（即为B点横坐标）， ∴． 故答案为：4． 13. 如图，点A，B，C在上，，垂足为D，若．则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，先利用圆周角定理可得，再根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，小宇同学随机调查了该小区30户家庭某一天各类生活垃圾的投放量，统计得出这30户家庭各类生活垃圾的投放总量是70千克，各类生活垃圾投放量分布情况的扇形统计图如下图所示，若该小区有240户家庭，则可估计该小区这一天投放的可回收物共_________千克． 【答案】145.6 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图的应用以及用样本估计总体，解题的关键是先根据样本求出可回收物在样本中的投放量，再通过比例关系估计总体中可回收物的投放量． 先算出30户家庭中可回收物的投放量，再根据小区家庭总数与调查家庭数的比例，求出240户家庭中可回收物的投放量． 【详解】已知30户家庭各类生活垃圾投放总量是70千克，由扇形统计图可知可回收物占比，根据“部分量总量部分量所占百分比”， 可得30户家庭中可回收物的投放量为千克， 小区有240户家庭，30户家庭是样本，，即240户家庭是30户家庭的8倍． 那么240户家庭中可回收物的投放量为千克， 故答案为：145.6． 15. 如图，在矩形中，，点E为延长线一点，且．连接交边于点F，过点D作于点H，则的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用相似三角形的判定与性质求得线段的长，进而求得的长，利用勾股定理和三角形的面积公式列出关于的方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，． ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴． ∴， ∴在中，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 16. 某校航模小组的同学正在为即将开始的航模比赛做最后的准备．已知准备工作共有A，B，C，D，E，F，G，H，M，N十项工序，准备工作完成过程需要满足以下要求： （1）H只能在A、B、C工序均完成后才能完成； （2）M只能在C、D、E工序均完成后才能完成； （3）其余每项工序相互独立，之间没有干扰； （4）一项工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序．各项工序所需时间如表所示： 工序 A B C D E F G H M N 所需时间/分钟 18 15 16 6 7 5 8 3 2 3 在不考虑其他因素的前提下，若由若干名学生合作完成准备工作，至少需要______分钟才能全部完成；若要在最短的时间内合作完成准备工作，则最少需要______名学生共同参与． 【答案】 ①. 21 ②. 4 【解析】 【分析】本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据工序要求得出加工顺序是解题关键． 将所有工序需要的时间最少时间由最长工序时间决定，完成过程需要满足条件可知：可知需要先完成A，再完成H；然后再合理安排其他时间即可． 【详解】解：由题意得：可知需要先完成A，再完成H，完成时长为（分钟）；若要在最短的时间内合作完成准备工作，需要四名学生，具体安排如下 图： 故答案为：21，4． 三、解答题（共5小题，第17-20题，每题7分，第21题8分，共36分） 17. 南淝河，古称施水，长江流域巢湖的支流，是合肥的母亲河．为了确保河道畅通，现需要对一段河道进行清淤处理，清淤任务由两栖反铲式清淤机和小型链斗式清淤船进行．右表是工程队给出的两个工程预备方案，环保部门要求6天内必须完成任务．如果工程部门提供2台清淤机和2台清淤船，共同完成此项任务，那么能否按要求完成任务？ 清淤机 清淤船 时间 方案一 1台 2台 8天 方案二 2台 1台 7天 【答案】能按要求完成任务 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，设一台清淤机的工作效率为，一台清淤船的工作效率为，根据方案一和方案二建立方程求解即可． 【详解】解：设一台清淤机的工作效率为，一台清淤船的工作效率为． 根据题意，得 解得， 答：2台清淤机和2台清淤船共同工作，能按要求完成任务． 18. 在平面直角坐标系中，函数的图象过点和． （1）求函数的解析式； （2）已知函数，若当时，对每一个的值，都有整数，使得成立，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）且． 【解析】 【分析】本题考查一次函数解析式的求解及不等式恒成立问题，结合“存在整数，使得成立”的条件，分情况讨论系数符号，从而确定参数范围是解答本题的关键． （1）先利用函数图象过点直接求出，再将点代入含的解析式，通过解方程求出，即可求得函数的解析式； （2）“存在整数”，等价于两函数的差大于1，再通过解不等式结合的范围，即可得到的范围． 【小问1详解】 解：把代入，得：， ， 再将代入，得： ，解得：， 函数的解析式为：； 【小问2详解】 已知当时，对每一个的值，都有整数，使得成立， 因为的取值会取到整数，要保证此时范围内仍有整数，必须满足， 所以原条件等价于：在时恒成立（即两函数值之间至少有1个单位的“整数间隔”）， 由，，可得：， 条件转化为：当时，恒成立，即：， 分情况讨论： ①当（即）时： 此时不等式变为，但题目中，矛盾，此情况不成立； ②当（即）时： 此时不等式变为，而题目中，完全满足条件； 再结合的前提，可得且． 综上，的取值范围是：且． 19. 某校甲、乙两个班级各有40名学生组成矩形方阵进行校运动会入场仪式，为了解这两个班级参加入场仪式的学生的身高情况，测量并获取了这些学生的身高（单位：cm），数据整理如下： a．甲班40名学生的身高： 153，154，157，158，159，160，161，161，162，162， 163，163，164，164，165，167，167，167，167，167， 168，168，168，168，169，169，170，170，171，171， 171，172，172，173，173，174，175，176，180，181． b．两班学生身高的平均数、中位数、众数如表所示： 班级 平均数 中位数 众数 甲 167 m n 乙 167 168 168 （1）表中______，_____； （2）在甲班的40名学生中，高于平均身高的人数为，在乙班的40名学生中，高于平均身高的人数为，则_____（填“>”“<”或“=”）； （3）若甲班调整了一下队形，派身高分别为153、154、180、181的四位同学负责在队列前面手擎国旗，其余36人组成一个新的矩形方阵，设甲班原方阵的身高平均值为，方差为，新方阵的身高平均值为，方差为，则______，______（填“>”“<”或体“=”） 【答案】（1）， （2）< （3）=，> 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数、众数、平均数、方差的定义以及运用，正确理解相关知识是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义结合a中数据求解即可； （2）由中位数的定义可知40人中位数为第20个和第21个的平均数，甲班第20个人是167，所以，而乙班中位数为168，则第20个数和第21个数均为168，所以，据此得解； （3）根据表中数据计算即可得解． 【小问1详解】 解：， 数据167出现了5次，为最多， 所以； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由中位数的定义可知40人中位数为第20个和第21个的平均数，甲班第20个人是167，所以， ∵乙班中位数为168， ∴， ∴； 故答案为：<； 【小问3详解】 解：’ ∴’ 由甲班数据可知，去掉两端较高的两人和较低的两人，则身高差异会变小，即． 故答案为：=，>． 20. 如图，是的弦，半径，为延长线上一点，与相切于点与交于点． （1）求证：； （2）连接，若，的半径为3，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）连接．由切线的性质可得，由等腰三角形的性质可得，可得，可得； （2）过点作于点，由题意可证四边形是正方形，在中，解直角三角形，可求的长，即可求的长． 【小问1详解】 解：连接． ， ． 与相切于点， ， ． ， ， ． ， ， ； 【小问2详解】 解：过点作于点． ∵，， ． ∴四边形是矩形， ， ∴四边形是正方形， ∴， 在中，， ∴，， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，平行线的性质，以及锐角三角函数等知识，需要学生灵活运用所学知识． 21. 为了解某款饮水机的工作原理与用电情况，综合实践活动小组展开了以下研究． 【问题背景】 如图1，某饮水机内有两个不同大小的立方体水箱，两水箱各配有一条智能水管，当甲箱的水位为时1号管启动，将乙箱中的水（此时乙箱水满）匀速注入甲箱．甲乙两箱的水位相同时，此时2号管启动，将外部自来水匀速注入乙箱（两管的注水速度相同，两水箱分别注满后其对应的水管停止工作，期间饮水机不对外出水）． 【解决问题】 小明根据研究过程分别绘制了甲、乙水箱的水位关于时间的函数图象，如图2所示 根据以上信息，回答下列问题： （1）图中表示甲的函数图象的是_________（填①或②）； （2）图中a的值为_________，b的值为_________； （3）当时，甲水箱的水位h关于时间t的函数解析式为_______； 当时，乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式为_______； （4）为节约能源，设定当两水箱的水位差不超过时甲水箱启动加热，加热时每分钟耗电0.06度，另外每根水管工作1分钟均耗电0.01度，则图2中从到的整个过程中所消耗的电量为_________度． 【答案】（1）① （2）30，10 （3）， （4）0.35 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用．根据甲箱至最低水位时1号管启动，判断出甲的函数图象是解决本题的关键；难点是判断出需要加热的时间；易错点是得到消耗电量的相等关系． （1）根据甲箱至最低水位时1号管启动，可得图中表示甲的函数图象的是①； （2）根据甲水箱在8分钟内水面上升了，可得甲水箱水面上升的速度，计算出当时，甲水箱水面上升的高度，加上原来的，即为a的值；前2分钟，乙水箱向甲水箱注水，乙水箱水面2分钟下降，第8分钟开始，甲水箱已注满，仅剩外部自来水匀速注入乙箱，并且自来水管和乙水箱的注水速度相同，可得乙水箱中的水上升从至，也需要2分钟，那么； （3）分别设出一次函数解析式，表示出当时，甲水箱的水位h关于时间t的函数解析式和当时，乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式，把直线上的两点代入后求得一次项系数和常数项，即可求得所求的函数解析式； （4）求出当时，乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式，分别算出甲、乙两水箱水位差恰好是的时间．计算出时间差即为需要加热的时间．用电量=加热的时间+乙水箱水管工作的8分钟的用电量+外部自来水水管10分钟的用电量． 【小问1详解】 解：∵甲箱至最低水位时1号管启动， ∴图中表示甲的函数图象的是①． 故答案为：①； 【小问2详解】 解：由题意得：甲水箱在8分钟内水面上升了， ∴甲水箱水面上升的速度为：． 当时，水面上升， ∴． ∵前2分钟，乙水箱向甲水箱注水，乙水箱水面2分钟下降．第8分钟开始，甲水箱已注满，仅剩外部自来水匀速注入乙箱，并且自来水管和乙水箱的注水速度相同， ∴乙水箱中的水上升从至，也需要2分钟． ∴． 故答案为：30，10； 【小问3详解】 解：当时，设甲水箱的水位h关于时间t的函数解析式为：． ∵经过点， ∴． 解得：． ∴当时，甲水箱的水位h关于时间t的函数解析式为：； 当时，设乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式为：． ∵经过点，， ∴． 解得：． ∴当时，设乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式为：． 故答案为：，； 【小问4详解】 解：①当时，设乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式为：． ∵经过点， ∴． 解得：． 当时，设乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式为：． ∵两水箱的水位差不超过时甲水箱启动加热， ∴． 解得：． ②当时，． 解得：． ③当时，， 解得． ∴需要加热的时间为：． ∴消耗的电量为：（度）． 故答案为：0.35． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $