23.4位似变换同步练习 2024-2025学年 北京版数学九年级下册

23.4位似变换 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．有一个正六边形，将其按比例缩小，使得缩小后的正六边形的面积为原正六边形面积的，已知原正六边形一边为3，则后来正六边形的边长为(    ) A．9 B．3 C． D． 2．如图，位似图形由三角尺与其在灯光照射下的中心投影组成，相似比为，且三角尺一边长为，则投影三角形的对应边长为（   ）    A． B． C． D． 3．如图，正方形的两边，分别在平面直角坐标系的、轴的正半轴上，正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，已知，若点的坐标为，则正方形与正方形的相似比是（    ） A． B． C． D． 4．如图所示的两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 5．如图，在外任取一点O，连接，并取它们的中点D，E，F，连接，得，则下列说法错误的是（     ）． A．与是位似图形 B．与是相似图形 C．与的周长比为1∶2 D．与的面积比为4∶1 6．如图，△ABC和△AʹBʹCʹ位似，位似中心为点O，点A（-1，2）、点A′（2，-4），若△ABC的面积为4，则△AʹBʹCʹ的面积是（      ） A．2 B．4 C．8 D．16 7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第二象限，点B坐标为，点C坐标为，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形．若点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为，则点A坐标为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在直角坐标系中，矩形的顶点在原点，边在轴上，在轴上，如果与关于点位似，且的面积等于面积的，则点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 9．关于对位似图形的4个表述中： 相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形； 位似图形一定有位似中心； 如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形； 位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比． 正确的个数　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，以A为位似中心，将△ADE放大2倍后，得位似图形△ABC，若表示△ADE的面积，表示四边形DBCE的面积，则=（ ） A．1︰2 B．1︰3 C．1︰4 D．2︰3 11．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），过点A作AB⊥x轴于点B．将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的，得到△COD，则CD的长度是（    ） A．2 B．1 C．4 D．2 12．如图，正方形可看成是分别以、、、为位似中心将正方形放大一倍得到的图形（正方形的边长放大到原来的倍），由正方形到正方形，我们称之作了一次变换，再将正方形作一次变换就得到正方形，…，依此下去，作了次变换后得到正方形，若正方形的面积是，那么正方形的面积是多少（ ）    A． B． C． D． 二、填空题 13．如图所示，点O是等边△PQR的中心，P，Q＇，R＇分别是OP、OQ、OR的中点，则△P＇Q＇R＇与△PQR是 ，点O是 ，相似比是 . 14．如图，以点为位似中心，把放大为原来的2倍得到．以下说法正确的是 ．（填序号） ①；②；③点、、在同一条直线上；④． 15．两个位似图形中的对应角 ．对应线段 .对应顶点必须过经过 ． 16．如图，，，，以点为位似中心，按比例尺把缩小，则点的对应点的坐标为 ，点的对应点的坐标为 ．（请在直角坐标系中画） 17．在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为．以原点为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到，则点的对应点的坐标是 ． 三、解答题 18．正方形ABCD各顶点的坐标分别为A(1，0)，B(-1，0)，C(-1，2)，D(1，2)，以坐标原点为位似中心，将正方形ABCD放大，使放大后的正方形A＇B＇C＇D＇的边是正方形边的3倍.(1)写出A＇B＇C＇D＇的坐标;(2)直线AC与直线B＇D＇垂直吗?说明理由. 19．画一个任意四边形，在它的内部任取一点O，以点O为位似中心，画一个四边形，使它与四边形位似，且相似比为． 20．在如图所示的正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)以点B为位似中心，在网格内画出，使与位似，且相似比为2：1，点C的对应点的坐标是________． (2)求的面积． 21．如图,在平面直角坐标系中,点A,B,E,D,F的坐标分别是A(4,3),B(4,0),E(5,0),D(13,6),F(13,0),△DEF是由△AOB经过位似变换得到的,求位似中心的坐标. 22．如图在由边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中，已知点A，B，C，D均为网格线的交点 （1）在网格中将△ABC绕点D顺时针旋转90°画出旋转后的图形△A1B1C1； （2）在网格中将△ABC放大2倍得到△DEF，使A与D为对应点． 23．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，点． （1）以点为位似中心，在第一象限内画出的位似图形，且与的相似比为，写出点的坐标； （2）中的一点在（1）中位似变换后对应中的点，请直接写出点的坐标．（用含的代数式表示） 24．按要求完成下面各题： (1)三角形AOB顶点B的位置用数对表示是 ． (2)画出三角形AOB绕点O逆时针旋转90°后的图形． (3)按2∶1的比画出三角形AOB放大后的图形． 《23.4位似变换》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B D C D D D A B 题号 11 12 答案 A C 1．C 【分析】先由位似图形的性质可得这两个正六边形相似；再由缩小后的正六边形的面积为原正六边形面积的可得相似比为1:，进而求解即可. 【详解】∵这两个正六边形是位似图形， ∴这两个正六边形相似. ∵缩小后的正六边形的面积为原正六边形面积的， ∴相似比为1:. ∵原正六边形的边长为3， ∴后来正六边形的边长为=. 故选C. 【点睛】本题考查本题考查位似图形的应用，需掌握位似图形的性质. 2．D 【分析】设边长为的投影三角形的对应边长为，利用相似三角形的性质得到，然后利用比例的性质求出即可． 【详解】解：设边长为的投影三角形的对应边长为， 根据题意得， 解得． 故选：D． 【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线． 3．B 【分析】本题考查了位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键是根据已知条件求得两个正方形的边长． 延长交于点E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比． 【详解】解：延长交于点E，如图． ∵在正方形中，， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴正方形与正方形的相似比是． 故选：B． 4．D 【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上，据此即可求解． 此题主要考查了位似变换的性质，利用位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上是解题关键． 【详解】解：∵位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点A、B为对应点， ∴位似中心在A、B所在的直线上， ∵点D在直线上， ∴点D为位似中心． 故选：D． 5．C 【分析】根据位似图形的性质，得出与是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出与是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案． 【详解】解：根据位似性质可得： A、与是位似图形，故A选项正确，不符合题意； B、与是相似图形，故B选项正确，不符合题意； ∵点D，E，F，为中点， ∴将的三边缩小到原来的得到， ∴与的周长之比为2：1，故C选项不正确，符合题意； ∵面积比等于相似比的平方， ∴与的面积之比为4：1，故D选项正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，正确的记忆位似图形性质是解决问题的关键． 6．D 【分析】直接利用位似图形对应点坐标得出相似比，进而利用相似三角形的性质得出答案． 【详解】解：∵△ABC和△A'B'C′位似，位似中心为原点O，点A（-1，2）、点A'（2，-4）， ∴△ABC和△A'B'C′的相似比为：1：2， ∴△ABC和△A'B'C′的面积比为：1：4， ∵△ABC的面积为4， ∴△A'B'C′的面积是：16． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键． 7．D 【分析】此题考查了位似的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质． 作轴，轴，如图，利用相似三角形的性质求得和的长度，进而即可求解． 【详解】解：作轴，轴，如图    ∵， ， ， ∴，，， ∴，， ∵由题意可得： ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴点A坐标为 故选：C 8．D 【分析】由与关于点O位似，且的面积等于面积的，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得与的位似比为1：2，又由点B的坐标为（6，4），即可求得答案． 【详解】解：∵与关于点O位似， ∴∽， ∵的面积等于面积的， ∴位似比为1：2， ∵点B的坐标为（6，4）， ∴点B′的坐标是：（3，2）或（-3，-2）． 故选D． 【点睛】此题考查了位似图形的性质．此题难度不大，注意位似图形是特殊的相似图形，注意掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用，注意数形结合思想的应用． 9．A 【分析】根据位似变换的概念和性质对各个选项进行判断即可． 【详解】相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，①错误； 位似图形一定有位似中心，②正确； 根据位似的定义，除上述条件还需有对应边平行，或位于同一条直线上，③错误； 反例如下图,△ABC∽△A1B1C1，并且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点B1，但是这两个三角形不是位似图形.    位似图形上对应两点与位似中心的距离之比等于位似比，④错误． 故选A． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行． 10．B 【分析】本题主要考查了位似变换和相似三角形的性质 以A为位似中心，将△ADE放大2倍后，得位似图形△ABC，根据面积比等于相似比的平方可知s1：s2=1：4． 【详解】解：∵以A为位似中心，将△ADE放大2倍后，得位似图形△ABC ∴△ABC∽△ADE ∴它们的面积比是1：4， ∴ 故选B 11．A 【分析】直接利用位似图形的性质结合A点坐标可直接得出点C的坐标，即可得出答案． 【详解】∵点A（2，4），过点A作AB⊥x轴于点B，将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的，得到△COD， ∴C（1，2），则CD的长度是2， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关键． 12．C 【分析】根据每次变换后，正方形的边长放大3倍，可得出作2005次变换后的正方形的边长为 ，从而计算面积即可. 【详解】因为ABCD的面积为1，所以AB=BC=CD=DA=1，一次变换后正方形的边长为3=3，二次变换后正方形的边长为：9=，三次变换后正方形的边长为：27=，…n次变换后正方形的边长为：，故作2005次变换后的正方形的边长为， 此时正方形的面积为：， 故选C. 【点睛】本题考查了位似变换的知识，根据每次变换后边长放大3倍，得出2005次变换后正方形的边长是解题关键. 13． 位似图形 位似中心 1∶2 【分析】位似图形定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫位似图形，这个点叫做位似中心； 观察图形可知，对应点的连线交于同一点O， 因而找出位似中心；利用P′、Q′、R′分别是OP、OQ、OR的中点，可求出相似比是P′Q′:PQ. 【详解】∵P，Q＇，R＇分别是OP、OQ、OR的中点， ∴P＇Q＇∥PQ， Q＇R＇∥QR， P＇R＇∥PR， ∴△P＇Q＇R＇与△PQR是位似图形； ∵各对应点的连线交于点O，那么位似中心为点O； ∴点O是位似中心； ∵△P′Q′R′与△PQR是位似三角形， ∴△P′Q′R′∽△PQR， ∴相似比等于P′Q′:PQ. ∵P′，Q′，R′分别是OP，OQ，OR的中点， ∴P′Q′=PQ，P′Q′:PQ=1∶2. ∴△P′Q′R′与△PQR的相似比为1∶2. 故答案为  位似图形；     位似中心 ；    1∶2 . 【点睛】本题考查位似图形的相关知识，解题的关键是掌握位似图形的定义和性质. 14．②③④ 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，根据位似图形的性质判断③正确；①错误；②正确；再由，可得，可得，可判断④正确． 【详解】解：∵以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， ∴，且相似比为，点，，三点在同一条直线上，故③正确； ∴，，，故①错误；②正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：②③④． 15． 相等,     互相平行, 位似中心 【详解】试题分析：两个位似图形中的对应角相等；对应线段互相平行；对应顶点必须过经过位似中心． 16． 或 或 【分析】利用位似比为1：2，可求得点A，B的对应点A′，B′的坐标，注意分两种情况计算． 【详解】∵A（-4，2），B（-2，-2），位似比为1：2， ∴点A的对应点A′的坐标为（2，-1）或（-2，1）， 点B的对应点B′的坐标为（-1，-1）或（1，1）． 故答案为（2，-1）或（-2，1），（-1，-1）或（1，1）． 【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比．注意位似的两种位置关系． 17．或 【分析】根据位似图形的中心和位似比例即可得到点A的对应点C. 【详解】解：以原点为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，点的坐标为， ∴点的坐标为或，即或， 故答案为或． 【点睛】本题主要考查位似图形的对应点，关键在于原点的位似图形，要注意方向. 18．（1）A′(3,0),B′(−3,0),C′(−3,6),D′(3,6)或A′(−3,0),B′(3,0),C′(3,-6),D′(−3,-6)；（2）垂直，见解析. 【分析】1）可以在原点的同旁，也可以在两旁画出放大3倍后的图形；在原点的同旁时，A点的横、纵坐标都乘以3，在原点的两旁时，A点的横、纵坐标都乘以-3； （2）分别求出直线AC和直线B′D′的解析式，判断是否垂直． 【详解】(1)两个正方形在原点的同旁时， A′(3,0),B′(−3,0),C′(−3,6),D′(3,6)， 两个正方形在原点的两旁时， A′(−3,0),B′(3,0),C′(3,-6),D′(−3,-6)， (2)设直线AC的解析式为y=kx+b， ∵A(1，0)，C(-1，2)，， ∴{k+b=2−k+b=0， 解得,， ∴直线AC的解析式为y=-x+1， 设直线B′D′的解析式为y=kx+b， ∵B′(−3,0), D′(3,6)， ， 解得， ∴直线B′D′的解析式为y=x+3， 1×(−1)=−1， ∴直线AC与直线B′D′互相垂直， 同理,当B′(3,0),D′(−3,-6)时,直线AC与直线B′D′互相垂直. 故答案为（1）A′(3,0),B′(−3,0),C′(−3,6),D′(3,6)或A′(−3,0),B′(3,0),C′(3,-6),D′(−3,-6)；（2）垂直，见解析. 【点睛】本题考查位似变换， 坐标与图形性质，解题的关键是掌握位似图形的性质以及坐标平面内两直线垂直的条件. 19．见解析 【分析】取四边形ABCD的对角线AC和BD的交点O为位似中心，再分别取OA、OB、OC、OD的中点、、、，然后顺次连接、、、，则利用位似的判定方法可判断四边形满足条件． 【详解】解：如图，四边形即为所求． 【点睛】本题考查了作图-位似变换：画位似图形的一般步骤，先确定位似中心，再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点，接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点，然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 20．(1)作图见解析， (2)10 【分析】本题考查了三角形的相似，作位似图形，求网格中图形的面积； （1）按要求作出符合条件的位似图即可，根据作出的图形即可写出顶点的坐标； （2）利用割补法即可求得三角形的面积． 【详解】（1）解：所画的位似图形如下： 点的坐标是， 故答案为：； （2）解：． 21．位似中心的坐标为P(-5,0). 【分析】利用已知坐标得出位似比，进而求出位似中心的坐标． 【详解】解:连接DA,并延长交x轴于点P, 因为A(4,3),B(4,0),E(5,0),D(13,6),F(13,0),△DEF是由△AOB经过位似变换得到,所以相似比为, 则,即,解得PO=5. 故位似中心的坐标为P(-5,0). 【点睛】此题考查位似变换以及坐标与图形的性质，解题关键是得出位似比． 22．（1）见解析（2）见解析 【分析】（1）根据旋转变换的定义和性质求解可得； （2）根据位似变换的定义和性质求解可得． 【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求； （2）如图所示，△DEF即为所求． 【点睛】本题主要考查作图﹣位似变换与旋转变换，解题的关键是掌握位似变换与旋转变换的定义与性质． 23．（1）见解析，三点的坐标分别为，，；（2） 【分析】（1）根据题意得出利用M为位似中心，△A′B′C′与△ABC的相似比3：1得出对应点坐标即可； （2）根据△ABC中的一点P（a，b），结合①中对应点坐标变化得出答案． 【详解】解：（1）如图所示，三点的坐标分别为，，． （2）观察，，， ，，，可知 原顶点与变换后对应顶点的坐标关系是原顶点横坐标的3倍减2是变换后对应顶点的横坐标， 原顶点纵坐标的3倍减2是变换后对应顶点的纵坐标， 由△ABC中的一点P（a，b），在（1）中位似变换下对应△A′B′C′中P′点， ∴. 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，准确找出对应点的位置以及坐标是解题的关键． 24．(1)（2，4） (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）根据网格即可得三角形AOB顶点B的位置； （2）根据旋转的性质即可画出三角形AOB绕点O逆时针旋转90°后的图形； （3）根据2：1的比即可画出三角形AOB放大后的图形． 【详解】（1）解：三角形AOB顶点B的位置用数对表示是（2，4）； 故答案为：（2，4）； （2）如图三角形即为所求； （3）如图，三角形 即为所求． 【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 学科网（北京）股份有限公司 $$