专题02 圆锥曲线（期中复习知识清单，7常考题型2易错2技巧）高二数学下学期沪教版

专题02 圆锥曲线 圆 1、圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。 定点叫做圆心，定长叫做半径。 2、圆的标准方程 （1）一般形式（圆心在，半径为）： （，为半径，为圆心坐标） （2）特殊形式（圆心在原点，半径为）： 3、圆的一般方程 标准形式： 成立条件：（保证圆存在，半径为正数） 圆心坐标： 半径公式： 4、点与圆的位置关系 设点，圆的标准方程为，记点到圆心的距离为，则： 距离公式： 点在圆外 点在圆上 点在圆内 5、直线与圆的位置关系 设圆心到直线的距离为，圆的半径为，距离公式：，两种判断方法： 方法1：距离法（首选，计算简便） 直线与圆相离（无交点） 直线与圆相切（1个交点） 直线与圆相交（2个交点） 方法2：判别式法（联立方程） 联立直线与圆的方程，消去或，得到一元二次方程（），计算判别式： 相离 相切 相交 6、圆的切线方程（核心考点） （1）特殊圆的切线（圆心在原点） 圆上一点处的切线方程： （2）一般圆的切线（圆心在） 圆上一点处的切线方程： 7、弦长公式（直线与圆相交） 直线与圆相交，所得弦长，公式： 说明：为圆的半径，为圆心到直线的距离（弦长一半、半径、圆心到直线的距离构成直角三角形） 8、两圆的位置关系 设两圆圆心分别为、，圆心距为，两圆半径分别为、（），则： 外离（无交点，两圆完全分离） 外切（1个交点，两圆相切于一点） 相交（2个交点） 内切（1个交点，小圆在大圆内部且相切） 内含（无交点，小圆在大圆内部，不相切） 圆锥曲线的统一定义 定义：平面内到定点（焦点）的距离与到定直线（准线，）的距离之比为常数（离心率）的点的轨迹。 分类： ：椭圆 ：抛物线 ：双曲线 几何本质：平面截圆锥面所得曲线，随平面倾斜角度不同，分别得到圆、椭圆、抛物线、双曲线。 椭圆 1定义 第一定义：（） 第二定义：（），其中为点到对应准线的距离 2标准方程与参数关系 焦点位置 标准方程 关系 焦距 轴 轴 3几何性质 范围：（焦点在轴）；（焦点在轴） 对称性：关于轴、轴、原点对称 顶点：（焦点在轴）；（焦点在轴） 离心率：，，越接近0，椭圆越圆；越接近1，椭圆越扁 准线：（焦点在轴）；（焦点在轴） 通径：（过焦点且垂直于长轴的弦长） 焦点三角形面积：（，为椭圆上任意一点） 双曲线 1定义 第一定义：（） 第二定义：（），其中为点到对应准线的距离 2标准方程与参数关系 焦点位置 标准方程 关系 焦距 轴 轴 3几何性质 范围：（焦点在轴）；（焦点在轴） 对称性：关于轴、轴、原点对称 顶点：（焦点在轴）；（焦点在轴） 渐近线：（焦点在轴）；（焦点在轴） 离心率：，，越大，双曲线开口越开阔 准线：（焦点在轴）；（焦点在轴） 通径：（过焦点且垂直于实轴的弦长） 抛物线 1定义 平面内与一定点（焦点）和一条定直线（准线，）距离相等的点的轨迹，即（为点到准线的距离），离心率。 2标准方程与性质（，为焦点到准线的距离） 开口方向 标准方程 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 向右 向左 向上 向下 3几何性质 对称性：关于轴对称（）；关于轴对称（） 范围：（）；（）；（）；（） 离心率： 通径：（过焦点且垂直于对称轴的弦长） 直线与圆锥曲线的位置关系 1判断方法 联立直线与圆锥曲线方程，消去一个变量（或），得到一元二次方程（），由判别式判断： ：直线与圆锥曲线相交（有2个不同交点） ：直线与圆锥曲线相切（有1个交点） ：直线与圆锥曲线相离（无交点） 2弦长公式 设直线斜率为，与圆锥曲线交于、两点，则： 当直线斜率不存在时（垂直于轴），弦长。 圆的一般方程 【例1】（24-25高二下·上海普陀·期中）设，若圆的半径为2，则的值为________； 【答案】 【分析】根据给定条件，求出圆的半径列式求解. 【详解】圆的半径， 依题意，解得，经验证，符合题意， 所以的值为. 故答案为： 【变式1】（24-25高二下·上海宝山·期中）若圆的方程为，则该圆的半径 _____. 【答案】 【分析】直接配方即可得到其半径. 【详解】，化简得. 则其半径为. 故答案为：. 【变式2】（24-25高二下·上海徐汇·期中）圆的圆心坐标是________． 【答案】 【分析】将圆的方程化为标准方程，可得出圆心坐标. 【详解】圆的标准方程为，故该圆的圆心坐标为. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知圆与圆关于轴对称．则圆的标准方程为________． 【答案】 【分析】利用对称求出圆心坐标和半径即得所求圆的方程. 【详解】圆化成标准方程为：， 所以圆心，半径， 而圆与圆关于轴对称，即圆心与圆心关于轴对称，而两圆半径相等， 即圆心，半径， 所以圆的标准方程为：. 故答案为： 直线与圆的位置关系 【例2】（24-25高二上·上海·期中）若圆与轴相切，则实数的值是_____. 【答案】 【分析】求得圆心与半径，进而可得，求解即可. 【详解】由，可得， 方程表示圆，则可得圆心为，半径为， 由圆与轴相切，则可得，解得. 故答案为：. 【变式1】（24-25高二下·上海·期中）若直线与曲线有两个公共点，则实数b的取值范围是_______. 【答案】 【分析】根据直线与圆相切时满足的关系，以及点到直线的距离公式，准确画出曲线方程所表示曲线形状解决问题. 【详解】曲线即, 如图所示，当即时，直线与曲线有两个公共点， 直线向左上移动，当直线与曲线相切时，有一个公共点， 原点到直线的距离为半径，即，解得， 所以，当有两个公共点时. 故答案为：. 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）已知实数满足，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据条件得到点在以为圆心，为半径的半圆上，而表示半圆上的点与点连线的斜率，根据图形，利用几何关系，即可求出结果. 【详解】由得到，所以是以为圆心，为半径的半圆，如图所示， 令，即， 由图知，当过点时，最小，将代入，得到， 当与半圆相切时，最大，由，得到，解得或（舍）， 所以的取值范围是， 故答案为：. 【变式3】（24-25高二下·上海·期中）已知的顶点坐标分别为.圆为的外接圆. (1)求圆的方程； (2)若直线，求证：不论为何值，直线与圆相交. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设圆的方程为一般方程，代入三点坐标可得答案； （2）判断出直线过定点，且定点在圆内可得答案. 【详解】（1）设圆的方程为， 因为在圆上， 所以，解得，满足， 所以圆的方程为； （2）直线，对于， 可得，解得，所以直线过定点， 因为，所以点在圆内， 所以不论为何值，直线与圆总相交. 根据a、b、c求椭圆标准方程 【例3】（24-25高二下·上海徐汇·期中）一个顶点是，长轴长是短轴长2倍的椭圆标准方程是________． 【答案】或 【分析】依题意分别讨论椭圆焦点在轴，轴上时的长轴、短轴的长，代入标准方程即可. 【详解】当是短轴端点时，可知椭圆焦点在轴上， 此时短轴长为，长轴长，即， 所以椭圆方程为； 当是长轴端点时，可知椭圆焦点在轴上， 此时长轴长为，短轴长，即， 所以椭圆方程为； 故答案为：或. 【变式1】（24-25高二下·上海·期中）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦距是6，椭圆上的一点到两个焦点的距离之和等于10，则该椭圆的标准方程为______． 【答案】 【分析】根据题意求，即可得椭圆方程. 【详解】由题意可知：，即，则， 且焦点在轴上，所以该椭圆的标准方程为. 故答案为：. 【变式2】（24-25高二下·上海黄浦·期中）若椭圆的焦点在轴上，焦距为，且经过点则该椭圆的标准方程为_________． 【答案】/ 【分析】由题意，建立方程组，解之即可求解. 【详解】由题意知，设椭圆的标准方程为， 又，椭圆过点， 则，解得， 所以椭圆的标准方程为. 故答案为： 【变式3】（23-24高二下·上海杨浦·期中）若椭圆的一个焦点为，则______． 【答案】 【分析】根据椭圆的性质计算可得. 【详解】因为椭圆的一个焦点为，， 所以，解得. 故答案为： 双曲线的定义 【例4】（24-25高二下·上海宝山·月考）若椭圆（）和双曲线（）有相同的焦点和，而P是这两条曲线的一个交点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆与双曲线的定义得出与的和与差，变形求得积． 【详解】设为半焦距， 由题意知不妨设点是两曲线在第一象限内的交点，可得： ，解得：， 则，故A项正确. 故选：A. 【变式1】（24-25高二下·上海·期中）已知二次曲线的方程为： ，当m，n为正整数，且时存在两条曲线，其交点P与点满足，则__________ 【答案】 【分析】可先得为椭圆，为双曲线，结合图象几何性质得到，，然后根据椭圆、双曲线的定义及列出方程组，即可求解. 【详解】由题意可知满足且m，n为正整数的曲线如下： ，，为椭圆， ，，，为双曲线， 结合图形的几何性质，任意两椭圆之间无公共点，任意两双曲线之间也无公共点， 故，， 因为，所以， 设，，则根据椭圆、双曲线的定义及可得    可得代入③ 解得， 所以存在这样的，且或或. 故答案为：8 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是利用两类曲线的定义建立等量关系式，结合勾股定理，从而得出结果. 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于、两点（其中在第一象限），的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则直线的斜率为_____. 【答案】 【分析】作出示意图，由切线性质结合双曲线定义可得两内切圆都与轴相切于，后设直线倾斜角为，由几何知识可得，后由两圆外切相关条件可得答案. 【详解】设的内切圆的圆心为，的内切圆的圆心为， 记边上的切点分别为， 由切线的性质可得：，由双曲线定义可得：，即，则，又. 则，又，则，即. 同理可得，的内切圆也与轴相切于点. 连接，则与轴垂直，设圆与相切于点，连接， 过点作，记垂足为，则. 设直线倾斜角为，则. 在四边形中，注意到，又四边形内角和为， 则，在中，， ， 则， 则直线斜率，即. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：双曲线上一点与两焦点形成的三角形的内切圆与x轴相切于双曲线顶点处. 【变式3】（24-25高二下·上海·期中）学校在操场开展春季运动会，如图所示，操场由长100米、宽60米的长方形及两个以长方形宽为直径的半圆M、半圆N拼接而成，整个操场关于中轴线对称．现有P、Q两位同学分别在左右两个半圆弧上值勤，并要求P、Q的距离尽可能远． (1)P、Q两位同学应处在什么位置？请说明理由； (2)若要在操场边界上关于中轴线对称的两点R、S处分别放置两个音箱（R、S两点在线段上），要求两个音箱间的距离尽可能大，同时P、Q两位同学听到两个音箱传来的声音时间差不超过0.2秒（声音在空气中的传播速度为340米/秒），求音箱距中轴线的距离（精确到0.1米）． 【答案】(1)P、Q分别在圆弧的中点，理由见解析 (2)36.8 【分析】（1）根据，当P、M、N、Q四点共线时，P、Q两点间的距离最大； （2）如图所示，以所在的直线为x轴，以中轴线为y轴建立平面直角坐标系，则A、B两点在以C、D为焦点的双曲线上，根据双曲线性质得解. 【详解】（1）由题意可得 ， 当P、M、N、Q四点共线时，P、Q两点间的距离最大， 此时P、Q两点分别在圆弧的中点，距离为160米． （2）如图所示，以所在的直线为x轴，以中轴线为y轴建立平面直角坐标系， 则，． 根据题意可得， 则C、D两点在以A、B为焦点的双曲线上，，即． 设双曲线方程为，则， 解得， 所以，即． 因此音箱距中轴线距离约为36.8时为最佳放置点． 已知方程求双曲线的渐近线 【例5】（24-25高二下·上海·期中）双曲线的渐近线方程为_____. 【答案】 【分析】根据双曲线方程直接代入渐近线方程计算可得结果. 【详解】由双曲线可得其标准方程为； 所以渐近线方程为； 故答案为： 【变式1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知双曲线过点，则双曲线的渐近线方程为________． 【答案】 【分析】代入点的坐标求出，即可求出双曲线方程，从而求出渐近线方程 【详解】因为双曲线过点， 所以，解得，所以双曲线， 则双曲线的渐近线方程为. 故答案为： 【变式2】（24-25高二下·上海嘉定·期中）以双曲线的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为_______. 【答案】 【分析】由已知可得右焦点坐标，渐近线方程，由点到直线的距离公式求得圆的半径，根据圆的标准方程即可求解. 【详解】双曲线的右焦点为，渐近线方程为，即， 所以点到直线的距离为， 所以圆心为，半径为的圆的方程为. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二下·上海·期中）若圆心为的圆与双曲线的渐近线相切，则该圆的标准方程为______． 【答案】 【分析】根据点到直线的距离等于半径即可求解圆的半径得解. 【详解】设圆的方程为， 的渐近线方程为， 故，解得， 故圆的方程为， 故答案为： 根据抛物线方程求焦点或准线 【例6】（25-26高二下·上海·期中）抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先得到抛物线的标准方程，再由标准方程得到其准线方程； 【详解】抛物线的标准方程为，所以抛物线的焦点在轴正半轴， ，则准线方程为. 故选：D 【变式1】（24-25高二下·上海·期中）抛物线上一点到准线的距离与到轴的距离相等，则______. 【答案】/ 【分析】首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，根据抛物线的定义及已知条件可知轴，且垂足为点，即可得解. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 因为由抛物线的定义可知，点到准线的距离与到焦点的距离相等， 又点到准线的距离与到轴的距离相等，所以轴，且垂足为点，即. 故答案为： 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）以抛物线的焦点为圆心、且与该抛物线的准线相切的圆的方程为______. 【答案】 【分析】由抛物线方程得焦点坐标、准线方程，进一步得所求圆的半径即可得解. 【详解】因为抛物线的焦点，准线， 所求圆的圆心半径为， 所以圆的方程为. 故答案为： 【变式3】（24-25高二上·上海杨浦·期中）抛物线的准线方程是__________. 【答案】 【分析】根据抛物的标准方程，直接求出结果. 【详解】因为抛物线的方程为，所以准线方程为， 故答案为：. 抛物线标准方程的求法 【例7】（24-25高二下·上海·期中）准线为直线且顶点为坐标原点的抛物线的标准方程为_______. 【答案】 【分析】根据准线方程即可求解. 【详解】由题意可得， 故答案为： 【变式1】（24-25高二下·上海·期中）已知抛物线C:经过点，则此抛物线的准线方程是_________. 【答案】 【分析】将点代入中，求得，从而得到抛物线的准线方程. 【详解】因为抛物线C:经过点，所以，解得， 所以抛物线方程为，故抛物线的焦点在轴的负半轴，所以抛物线的准线方程为. 故答案为：. 【变式2】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线的焦点是圆的圆心，则该抛物线的标准方程为______． 【答案】． 【分析】先把圆的一般方程化为标准方程，得出圆的圆心坐标，即焦点坐标，最后写出抛物线的标准方程． 【详解】圆的标准方程为， 圆心坐标为，即焦点坐标为， ，抛物线的标准方程为． 故答案为：． 【变式3】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线的准线方程为. (1)求抛物线的标准方程； (2)过点的直线与抛物线交于、两点，若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线的准线方程可求出的值，由此可得出抛物线的标准方程； （2）设点、，由对称性，不妨设点在第一象限，利用抛物线的定义结合已知条件求出点的坐标，由此可得出直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出点的横坐标，再利用抛物线的定义可求得的值. 【详解】（1）抛物线的准线方程为，所以，即， 因此，抛物线的标准方程为. （2）设点、，由对称性，不妨设点在第一象限， 由抛物线的定义可得，可得，则，可得， 所以点，易知点， 所以直线的斜率为，则直线的方程为， 联立可得，解得，， 所以. 定义条件忽略 【例1】（24-25高二下·上海·期中）已知椭圆的左焦点为F，A、B为椭圆上两点，且直线经过椭圆的右焦点，则的周长为________． 【答案】8 【分析】根据椭圆定义得出焦点三角形周长即可. 【详解】因为椭圆，所以，设椭圆右焦点为， 由椭圆定义得 则的周长为． 故答案为：8. 【变式1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若过且斜率为的直线与椭圆在第一象限交于点，且，则的值为______． 【答案】4 【分析】由向量垂直的充要条件得出，然后根据椭圆的定义求出，再根据直线的斜率为，得到，，最后利用椭圆定义得到：，从而列出关于的方程，解出的值即可． 【详解】 由，， 又直线的斜率为， 则，， 又椭圆方程为：，. ,解得， 又，，，即. 故答案为：4． 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）已知双曲线（）的左､右焦点分别为､.经过且倾斜角为的直线与交于第一象限的点，延长至，使.若的面积是，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【分析】由题意作图，根据三角形面积公式以及直线方程，得出点坐标，再结合双曲线的定义可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 由，则，， 则，， 设，则，解得， 由题意可得直线的斜率，则方程为， 将代入上式，则，解得，即， 由题意可得， 则，. 故答案为： 【变式3】（24-25高二下·上海·期中）设为抛物线上的动点． (1)若点的纵坐标为，求点与抛物线的焦点之间的距离； (2)过点分别作两条直线交抛物线于、两点，交直线于两点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，求得点，结合抛物线的定义，即可求解； （2）根据题意，求得，的直线方程,令时，求得，即可求解. 【详解】（1）解：由抛物线，可得， 因为点的纵坐标为，即，可得，即点， 根据抛物线的定义，可得. （2）解：由点，且，，可得， 所以的直线方程为，的直线方程为 当时，可得， 所以. 焦点位置判断错误 【例2】（24-25高二下·上海杨浦·月考）与椭圆有相等的焦距，且过圆的圆心的椭圆的标准方程为____________． 【答案】或 【分析】根据圆的一般方程得出其圆心坐标，再根据椭圆的定义计算即可. 【详解】由题意可知， 即其圆心为， 因为椭圆的焦距为， 所以与该椭圆等焦距的椭圆的焦点为或， 若焦点为，则圆心到两焦点的距离之和为， 所以相应椭圆方程为； 若焦点为，则圆心到两焦点的距离之和为， 所以相应椭圆方程为. 故答案为：或. 【变式1】（24-25高二下·上海·期中）已知椭圆的方程为，则它的焦点坐标为________． 【答案】 【分析】化椭圆方程为标准形式，求出长短半轴长，进而求出半焦距即得. 【详解】椭圆，即，长半轴长，短半轴长， 则半焦距，显然椭圆焦点在y轴上， 所以它的焦点坐标为. 故答案为： 【变式2】（24-25高二上·上海·期中）双曲线焦点坐标为__________. 【答案】 【分析】化双曲线方程为标准形式，再求出焦点坐标即得. 【详解】双曲线化为，因此双曲线半焦距， 所以双曲线焦点坐标为. 故答案为： 【变式3】（23-24高二下·上海普陀·期中）已知椭圆的方程为，写出它的长轴长、短轴长和焦点坐标. 【答案】长轴长为，短轴长为，焦点坐标为，. 【分析】把椭圆方程化为标准方程，判断焦点位置，可得答案. 【详解】椭圆的方程化为标准方程为， 因为，所以焦点在轴上， ，所以， ，所以， 所以长轴长为，短轴长为，焦点坐标为，. 标准方程快速定形 【例1】（24-25高二下·上海静安·期中）设，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值围是____________． 【答案】 【分析】根据椭圆标准方程的特点及焦点的位置列出关于的不等式组，求解即可. 【详解】由题意可得： ，解得：. 所以的取值围为：. 故答案为：. 【变式1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示.若该花瓶的瓶身最小的直径是，瓶口和底面的直径都是，瓶高是，则该双曲线的标准方程是_____.      【答案】 【分析】设双曲线的标准方程为，分析可知，该双曲线的焦点在轴，且其实轴长为，点上该双曲线上，由此可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，由此可得出双曲线的标准方程. 【详解】以双曲线最小口径所在直线为轴，轴与该双曲线两交点连线线段的中点为原点建立如下图所示的平面直角坐标系，    由题意可知，该双曲线的焦点在轴，且其实轴长为，点上该双曲线上， 设双曲线的标准方程为， 由题意可得，解得，因此，该双曲线的标准方程为. 故答案为：. 【变式2】（24-25高二下·上海黄浦·期中）探照灯，汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．根据光路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线，一条光线经过点，与轴平行射到抛物线上，经过两次反射后经过点射出，则光线从点到点经过的总路程为_____． 【答案】20 【分析】根据抛物线的光学性质以及焦半径公式，结合抛物线定义计算可得结果. 【详解】设入射光线和反射光线与抛物线的交点分别为，显然直线过焦点， 分别从向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，如下图所示： 由抛物线方程可知准线方程为， 再由抛物线定义可得， 因此光线从点到点经过的总路程为. 故答案为：20 【变式3】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆的左右两个焦点分别为、，是该椭圆的短轴，且，三角形的面积为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若点是椭圆上任意一点，求的最值. 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为 【分析】（1）根据已知条件求出、的值，进而求出的值，由此可得出椭圆的标准方程； （2）设点，则，求出的取值范围，再结合二次函数的基本性质可求出的最小值和最大值. 【详解】（1）由题意可知，且， 所以，，则, 故椭圆的标准方程为. （2）设点，则，，易知点、， 所以， 设，则，且， 所以，， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，，， 故的最小值为，最大值为. 离心率速算 【例2】（24-25高二下·上海·期中）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为_________． 【答案】 【详解】因为直线的斜率为， 则与直线垂直的渐近线的斜率为， 所以，所以. 故答案为：. 【变式1】（24-25高二下·上海徐汇·期中）如图，已知，为双曲线的左、右焦点，，过点，分别作直线，交双曲线于，，，四点，使得四边形为平行四边形，且以为直径的圆过，，则双曲线的离心率为________. 【答案】 【分析】利用双曲线的定义、对称性，以及平行四边形的性质和圆的直径性质，结合勾股定理列方程即可求解. 【详解】设，则. 由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：. 连接，则有，. ∵点在以为直径的圆周上，∴. ∵四边形为平行四边形，∴，∴. 在中，由勾股定理可知，即， 整理得：，∴，. 在中，由勾股定理可知，即， ∴. 故答案为：. 【变式2】（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据等腰三角形三边关系可构造不等式求得的范围，根据双曲线和椭圆定义可利用表示出，从而得到，结合的范围可得结果. 【详解】 设椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆长半轴为，双曲线实半轴为，，， 是以为底边的等腰三角形，点在第一象限内， ， 即，，且，， ，，解得：． 在双曲线中，，； 在椭圆中，，； ； ，，则，， 可得：， 的取值范围为. 故答案为： 【变式3】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知双曲线. (1)若双曲线的离心率为，求的值； (2)若直线与圆相切，证明：直线与双曲线的左右两支各有一个公共点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据双曲线的离心率公式可得出关于的等式，解之即可； （2）由直线与圆相切可得出，再将直线方程与双曲线方程联立，结合韦达定理可证得结论成立. 【详解】（1）由题意可得，因为，解得. （2）因为直线与圆相切，所以，可得， 联立得，即， 则，所以方程有两个不等的实根， 设这两个实根分别为、，则， 因此，直线与双曲线的左右两支各有一个公共点. 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆锥曲线 圆 1、圆的定义 平面内到______的距离等于______的点的轨迹叫做圆。 定点叫做______，定长叫做______。 2、圆的标准方程 （1）一般形式（圆心在，半径为）： （） （2）特殊形式（圆心在原点，半径为）： （） 3、圆的一般方程 标准形式： 成立条件：______ 圆心坐标：______ 半径公式：______ 4、点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为，圆的半径为： 点在圆______ 点在圆______ 点在圆______ 5、直线与圆的位置关系 设圆心到直线的距离为，圆的半径为： 直线与圆______ 直线与圆______ 直线与圆______ 6、圆的切线方程 圆上一点处的切线方程： 圆上一点处的切线方程： 7、弦长公式 直线与圆相交，弦长 （为半径，为圆心到直线的距离） 8、两圆的位置关系 设两圆圆心距为，半径为、（）： ______ ______ ______ ______ ______ 圆锥曲线的统一定义 定义：平面内到定点（______）的距离与到定直线（______，）的距离之比为常数（______）的点的轨迹。 分类：为______；为______；为______。 椭圆 （1）定义 第一定义：______（）。 第二定义：______（）。 （2）标准方程与参数关系 焦点在轴：（______）。 焦点在轴：（______）。 关系：______。 焦距：______。 （3）几何性质 范围：______，______（焦点在轴）。 顶点：______（焦点在轴）。 离心率：______，范围______。 准线：______（焦点在轴）。 通径：______。 焦点三角形面积：______（）。 双曲线 （1）定义 第一定义：______（）。 第二定义：______（）。 （2）标准方程与参数关系 焦点在轴：（______）。 焦点在轴：（______）。 关系：______。 焦距：______。 （3）几何性质 范围：______（焦点在轴）。 顶点：______（焦点在轴）。 渐近线：______（焦点在轴）。 离心率：______，范围______。 准线：______（焦点在轴）。 通径：______。 抛物线 （1）定义 ______（为点到准线的距离），______。 （2）标准方程与性质（） 开口向右：，焦点______，准线______。 开口向左：，焦点______，准线______。 开口向上：，焦点______，准线______。 开口向下：，焦点______，准线______。 （3）几何性质 对称性：关于______对称（）；关于______对称（）。 离心率：______。 通径：______。 直线与圆锥曲线的位置关系 位置关系由______判断（联立方程消元得一元二次方程，）： ：______；：______；：______。 弦长公式：______（为直线斜率）。 圆的一般方程 【例1】（24-25高二下·上海普陀·期中）设，若圆的半径为2，则的值为________； 【变式1】（24-25高二下·上海宝山·期中）若圆的方程为，则该圆的半径 _____. 【变式2】（24-25高二下·上海徐汇·期中）圆的圆心坐标是________． 【变式3】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知圆与圆关于轴对称．则圆的标准方程为________． 直线与圆的位置关系 【例2】（24-25高二上·上海·期中）若圆与轴相切，则实数的值是_____. 【变式1】（24-25高二下·上海·期中）若直线与曲线有两个公共点，则实数b的取值范围是_______. 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）已知实数满足，则的取值范围是______． 【变式3】（24-25高二下·上海·期中）已知的顶点坐标分别为.圆为的外接圆. (1)求圆的方程； (2)若直线，求证：不论为何值，直线与圆相交. 根据a、b、c求椭圆标准方程 【例3】（24-25高二下·上海徐汇·期中）一个顶点是，长轴长是短轴长2倍的椭圆标准方程是________． 【变式1】（24-25高二下·上海·期中）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦距是6，椭圆上的一点到两个焦点的距离之和等于10，则该椭圆的标准方程为______． 【变式2】（24-25高二下·上海黄浦·期中）若椭圆的焦点在轴上，焦距为，且经过点则该椭圆的标准方程为_________． 【变式3】（23-24高二下·上海杨浦·期中）若椭圆的一个焦点为，则______． 双曲线的定义 【例4】（24-25高二下·上海宝山·月考）若椭圆（）和双曲线（）有相同的焦点和，而P是这两条曲线的一个交点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二下·上海·期中）已知二次曲线的方程为： ，当m，n为正整数，且时存在两条曲线，其交点P与点满足，则__________ 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于、两点（其中在第一象限），的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则直线的斜率为_____. 【变式3】（24-25高二下·上海·期中）学校在操场开展春季运动会，如图所示，操场由长100米、宽60米的长方形及两个以长方形宽为直径的半圆M、半圆N拼接而成，整个操场关于中轴线对称．现有P、Q两位同学分别在左右两个半圆弧上值勤，并要求P、Q的距离尽可能远． (1)P、Q两位同学应处在什么位置？请说明理由； (2)若要在操场边界上关于中轴线对称的两点R、S处分别放置两个音箱（R、S两点在线段上），要求两个音箱间的距离尽可能大，同时P、Q两位同学听到两个音箱传来的声音时间差不超过0.2秒（声音在空气中的传播速度为340米/秒），求音箱距中轴线的距离（精确到0.1米）． 已知方程求双曲线的渐近线 【例5】（24-25高二下·上海·期中）双曲线的渐近线方程为_____. 【变式1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知双曲线过点，则双曲线的渐近线方程为________． 【变式2】（24-25高二下·上海嘉定·期中）以双曲线的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为_______. 【变式3】（24-25高二下·上海·期中）若圆心为的圆与双曲线的渐近线相切，则该圆的标准方程为______． 根据抛物线方程求焦点或准线 【例6】（25-26高二下·上海·期中）抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二下·上海·期中）抛物线上一点到准线的距离与到轴的距离相等，则______. 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）以抛物线的焦点为圆心、且与该抛物线的准线相切的圆的方程为______. 【变式3】（24-25高二上·上海杨浦·期中）抛物线的准线方程是__________. 抛物线标准方程的求法 【例7】（24-25高二下·上海·期中）准线为直线且顶点为坐标原点的抛物线的标准方程为_______. 【变式1】（24-25高二下·上海·期中）已知抛物线C:经过点，则此抛物线的准线方程是_________. 【变式2】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线的焦点是圆的圆心，则该抛物线的标准方程为______． 【变式3】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线的准线方程为. (1)求抛物线的标准方程； (2)过点的直线与抛物线交于、两点，若，求的值. 定义条件忽略 【例1】（24-25高二下·上海·期中）已知椭圆的左焦点为F，A、B为椭圆上两点，且直线经过椭圆的右焦点，则的周长为________． 【变式1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若过且斜率为的直线与椭圆在第一象限交于点，且，则的值为______． 【变式2】（24-25高二下·上海·期中）已知双曲线（）的左､右焦点分别为､.经过且倾斜角为的直线与交于第一象限的点，延长至，使.若的面积是，则双曲线的离心率为______. 【变式3】（24-25高二下·上海·期中）设为抛物线上的动点． (1)若点的纵坐标为，求点与抛物线的焦点之间的距离； (2)过点分别作两条直线交抛物线于、两点，交直线于两点，求的值． 焦点位置判断错误 【例2】（24-25高二下·上海杨浦·月考）与椭圆有相等的焦距，且过圆的圆心的椭圆的标准方程为____________． 【变式1】（24-25高二下·上海·期中）已知椭圆的方程为，则它的焦点坐标为________． 【变式2】（24-25高二上·上海·期中）双曲线焦点坐标为__________. 【变式3】（23-24高二下·上海普陀·期中）已知椭圆的方程为，写出它的长轴长、短轴长和焦点坐标. 标准方程快速定形 【例1】（24-25高二下·上海静安·期中）设，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值围是____________． 【变式1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示.若该花瓶的瓶身最小的直径是，瓶口和底面的直径都是，瓶高是，则该双曲线的标准方程是_____.      【变式2】（24-25高二下·上海黄浦·期中）探照灯，汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．根据光路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线，一条光线经过点，与轴平行射到抛物线上，经过两次反射后经过点射出，则光线从点到点经过的总路程为_____． 【变式3】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆的左右两个焦点分别为、，是该椭圆的短轴，且，三角形的面积为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若点是椭圆上任意一点，求的最值. 离心率速算 【例2】（24-25高二下·上海·期中）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为_________． 【变式1】（24-25高二下·上海徐汇·期中）如图，已知，为双曲线的左、右焦点，，过点，分别作直线，交双曲线于，，，四点，使得四边形为平行四边形，且以为直径的圆过，，则双曲线的离心率为________. 【变式2】（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是________． 【变式3】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知双曲线. (1)若双曲线的离心率为，求的值； (2)若直线与圆相切，证明：直线与双曲线的左右两支各有一个公共点. 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $